15.3.1 等腰三角形 第一课时 等腰三角形的性质 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3.1 等腰三角形 第 1 课时 等腰三角形的性质 导入新知 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形。 把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 探究新知 A B C AB=AC 等腰三角形 探究新知 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 探究新知 【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 等腰三角形是轴对称图形.折痕所在的直线是它的对称轴. 探究新知 A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 【思考】如何构造两个全等的三角形？ 猜想:等腰三角形的两个底角相等. 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证. 探究新知 证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B = ∠C. 分析： 构造两个全等三角形 证明角相等 1.作底边上的中线 2.作底边上的高线 3.作顶角的角平分线 探究新知 作底边 BC 的中线 AD. AB = AC (已知)， BD = CD (已作)， AD = AD (公共边)， ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴∠B =∠C . 在 △BAD 和 △CAD 中， 方法1：作底边上的中线. 探究新知 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， ∵ AD⊥BC， 方法2：作底边上的高线. ∴∠B＝∠C. ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 探究新知 在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC (已知)， ∠BAD＝∠CAD， AD＝AD (公共边)， ∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线， 方法3：作顶角的角平分线 AD. ∴∠B＝∠C. ∴ △ABD≌△ACD (SAS). ∴∠BAD＝∠CAD. 探究新知 由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . A B C D 探究新知 【想一想】 性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 即：等腰三角形 顶角平分线 底边上的高线 底边上的中线 具备其中一条 另外两条成立（知一求二） 探究新知 三线合一 (1)∵△ABC是等腰三角形， BD = CD (已知)∴______________，________ (等腰三角形的“三线合一”) (2)∵△ABC是等腰三角形，∠BAD＝∠CAD (已知)∴_________，AD⊥BC，_________________________ (3)∵△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD AD⊥BC BD = CD (等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD 探究新知 【例1】如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数. ∠A+∠ABC+∠C = x + 2x + 2x =180°. 解得 x = 36°. 解：∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴ ∠ABC = ∠C = ∠BDC， ∠A =∠ABD (等边对等角) . 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而 ∠ABC = ∠C =∠BDC = 2x. 于是在△ABC 中，有 所以，在△ABC 中∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. A B C D 典例精讲 【例2】已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 图② 图① 探究新知 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG–DG＝CG–EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图② 图① G 探究新知 【基础巩固】已知等腰三角形ABC. 第2题图 (1)若AB＝AC，∠A＝70°，则∠C的度数为 ⁠； (2)若该三角形有一个角为100°，则其底角度数 为 ⁠； (3)若该三角形有一个角为40°， 则其顶角的度数为 ⁠； (4)如图，若AB＝AC，∠A＝40°，以点B 为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点E， 则∠AEB的度数是 ⁠. 55° 40°　 40°或100°　 110°　 新知巩固 当堂反馈 【挑战自我】探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE. (1)当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数； 能力提升 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°.∵∠BAD＝60°， ∴∠DAE＝30°. ∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝75°. ∴∠CDE＝∠AED－∠C＝30°. 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°.∵∠BAD＝60°， ∴∠DAE＝30°. ∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝75°. ∴∠CDE＝∠AED－∠C＝30°. 能力提升 【挑战自我】探究与发现：如图①，在Rt△ABC中， ∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝ AD，连接DE. (2)当点D在线段BC(点B，C除外)上运动时，试猜想 并探究∠BAD与∠CDE的数量关系； 能力提升 解：(2)∠BAD＝2∠CDE. 设∠BAD＝α，则∠CAD＝90°－α. ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝45°＋α. ∴∠CDE＝∠AED－∠C＝α. ∴∠BAD＝2∠CDE. 解：(2)∠BAD＝2∠CDE. 设∠BAD＝α，则∠CAD＝90°－α. ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝45°＋α. ∴∠CDE＝∠AED－∠C＝α. ∴∠BAD＝2∠CDE. 能力提升 【挑战自我】探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE. (3)深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②直接写出 ∠BAD与∠CDE的数量关系. 解：(3)∠BAD＝2∠CDE. 　 能力提升 解析：设∠CDE＝x，∠C＝y. ∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠B＝∠C＝y. ∵∠CDE＝x，∴∠AED＝y＋x. ∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝y＋x. ∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE， ∴y＋∠BAD＝y＋x＋x. ∴∠BAD＝2x. ∴∠BAD＝2∠CDE. 2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° A 1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ 　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° B 课堂检测 1 3.(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为_______； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为_________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________. 45°、 90° 72°、72°或36°、108° 30°、30° 课堂检测 4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________． A B C A B C 70°或20° 课堂检测 5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. A B C D 解：∵AB=AC， ∴ ∠C= ∠B=30°， ∵BD = CD，∴AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC = 90°. ∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°. 课堂检测 课堂检测 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝CD.求证：∠ABD＝∠ACD. 课堂检测 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵BD＝CD，∴∠1＝∠2. ∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2， 即∠ABD＝∠ACD. 7.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠DBC＝∠ECB. ∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD、CE为底角的平分线， ∴ 课堂检测 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质 易错点拨 （1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论 （2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线” 课堂小结 $