15.3.1等腰三角形的性质（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十五章 轴对称 15.3.1.1 等腰三角形的性质 关于坐标轴对称的点的坐标特征 用坐标表示轴对称 关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同. 在坐标系中作已知图形的对称图形 明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确画出对称点的位置. 复习导入 把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 探究新知 等腰三角形的性质 知识点 新知探究一：什么是等腰三角形？ 观察图形特征，明确等腰三角形的定义，并认识其腰、底边、顶角、底角等关键构成要素。 新知探究 一、核心定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。这是等腰三角形最本质的特征。 二、各部分名称解读： 等腰三角形的构成包含四个关键部分，分别对应不同的位置与特征，理解它们是后续学习性质的基础。 腰：相等的两条边 底边：第三条不等的边 顶角：两腰相交的角 底角：腰与底边的夹角 关键点提示： 底角是一对“双胞胎”角，后续我们会探究它们的大小关系，这是等腰三角形重要的性质之一。 小技巧：判断等腰三角形，只需找两条长度相等的边即可，与摆放位置无关。 1.7.2013 那么，到底什么样的三角形才叫等腰三角形呢？定义非常简单：只要一个三角形里有两条边的长度是相等的，它就是等腰三角形。大家看屏幕上的这个图，AB边和AC边长度相等，所以它就是一个等腰三角形。我们还给它的各个部分起了名字：这两条相等的边，我们叫它们“腰”；第三条边叫“底边”；两条腰夹着的角叫“顶角”；腰和底边形成的两个角，我们叫它们“底角”。记住这些名字，对我们接下来的学习非常重要哦！ ‹#› 第一步：标记顶点 将等腰三角形的顶角顶点记为A，底边的两个端点分别记为B和C，明确腰AB、AC与底边BC的位置。 第二步：动手对 捏住顶角顶点A，将纸片沿着过A点的直线对折，使两条腰AB和AC完全重合，观察折痕两侧的图形变化。 核心思考：对折后的重合 仔细观察重合部分，思考底角是否重合、底边是否被折痕平分、折痕与底边的夹角特征，尝试总结规律。 动手折一折，你发现了什么？ 通过折纸操作直观感受等腰三角形的对称性，从重合的边与角中探索其隐藏的几何性质。 动手操作 1.7.2013 理论学习完了，现在我们来动手操作一下。请大家拿出自己准备的等腰三角形纸片。我们来玩一个折纸游戏。首先，把这个三角形的三个顶点分别标记为A、B、C，A是顶角。然后，捏住A点，把两条腰AB和AC对齐，对折起来。现在，请大家仔细观察并思考几个问题：第一，两个底角B和C是不是也重合了？第二，折痕把底边BC分成了几段？这两段一样长吗？第三，这条折痕和底边BC相交的角是直角吗？把你的发现和同桌交流一下。 ‹#› 新知探究 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 探究点：等腰三角形的性质 【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 探究新知 新知探究 重合的线段 重合的角 AB=AC BD=CD AD=AD ∠B=∠C ∠ADB=∠ADC ∠BAD=∠CAD 1.等腰三角形两个底角相等. 2.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 猜想：等腰三角形的特征？ 操作2：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 探究点：等腰三角形的性质 性质探究 动手操作发现：将等腰三角形对折，使两腰AB与AC重合，观察发现底角∠B与∠C也完全重合，这揭示了等腰三角形的重要特征。 核心性质：等边对等角 在等腰三角形中，相等的两边（腰）所对的角（底角）是相等的。这是等腰三角形最基本的角度性质，由折叠重合的直观现象可推导出此结论。 几何语言规范书写： ∵ 在△ABC中，AB = AC（已知） ∴ ∠B = ∠C（等边对等角） 1.7.2013 刚才的折纸游戏是不是很有趣？我们从中发现了一个非常重要的规律。当我们把两条相等的腰AB和AC重合时，它们所对的底角∠B和∠C也完美地重合在了一起。这说明了什么呢？这说明，在等腰三角形中，相等的边所对的角也是相等的。这就是等腰三角形的第一条性质，我们可以简单地记为“等边对等角”。大家看屏幕上的几何语言，以后我们解题时就可以这样写，非常规范。 ‹#› 探究观察折痕AD的多重身份，你能发现等腰三角形的什么特殊性质？ 这条折痕既是角平分线，又是中线和高，这就是神奇的“三线合一”！ 合作探究 身份一：角平分线—— 折痕AD将顶角∠BAC平分为两个相等的角，即∠BAD = ∠CAD。 身份二：底边上的中线—— 折痕AD将底边BC分成两条相等的线段，即BD = CD，D为BC中点。 身份三：底边上的高—— 折痕AD与底边BC互相垂直，即AD ⊥ BC，∠ADB = ∠ADC = 90°。 核心结论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。 AD平分∠BAC AD是底边BC的中线 AD是底边BC的高 一条线段，三个身份 性质探究核心 性质2：等腰三角形“三线合一” 对称轴是折痕所在直线 1.7.2013 刚才的折痕不仅帮助我们发现了“等边对等角”，它本身还有一个更神奇的身份。大家想一想，这条折痕，它是不是把顶角A平均分成了两份？所以它是“顶角平分线”。它是不是把底边BC分成了相等的两段？所以它是“底边上的中线”。它和底边BC是不是垂直的？所以它还是“底边上的高”。一条线，竟然同时扮演了三个角色！这就是等腰三角形的第二条性质——“三线合一”。这个性质非常强大，一定要牢牢记住！ ‹#› 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想. 探究新知 新知探究 等腰三角形的两个底角相等。 1、根据结论画出相应的图形，写出已知和求证。 2、结合图形，你认为要如何证明两个角相等？ 3、从折纸过程中你能获得什么启发？ 猜想1 探究点：等腰三角形的性质 核心应用 01.“三线合一”的核心逻辑：在等腰△ABC(AB=AC)中，知一线即可推两线 情况一：知角平分线 若AD平分∠BAC（∠BAD=∠CAD），则可直接推出：AD是BC边上的中线(BD=CD)，且AD是BC边上的高(AD⊥BC)。 情况二：知中线 若AD是BC边中线（BD=CD），则可直接推出：AD平分∠BAC(∠BAD=∠CAD)，且AD是BC边上的高(AD⊥BC)。 情况三：知高线 若AD⊥BC（AD是高），则可直接推出：AD平分∠BAC(∠BAD=∠CAD)，且AD是BC边上的中线(BD=CD)。 💡 解题技巧：题目中出现等腰三角形+一线，优先联想“三线合一”，无需重复证明全等，直接推导结论。 �� 核心总结：角平分线、中线、高线，三者相互等价。在等腰三角形的几何证明与计算中，是“化繁为简”的关键工具。 1.7.2013 “三线合一”这个性质到底怎么用呢？它的强大之处在于，它是一个“三合一”的定理。也就是说，在等腰三角形中，只要我们知道这三条特殊的线中的任意一条，就可以直接推出另外两条。比如，如果题目告诉我们AD是中线，我们马上就能知道AD也是高和角平分线。反过来，如果告诉我们AD是高，我们也能知道它是中线和角平分线。这个性质在解题时非常有用，可以帮我们节省很多步骤。 ‹#› 典例分析 例1已知在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80°，求∠B和 ∠C的度数。 解：∵在△ABC中，AB = AC ∴ ∠B = ∠C（等边对等角） ∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，且∠A = 80° ∴ 两个底角的和为：180° - 80° = 100° 又∵ ∠B = ∠C，因此： ∠B = ∠C = 100° ÷ 2 = 50° 答：∠B 和 ∠C 的度数均为50°。 1.7.2013 理论学完了，我们来看一道例题，看看如何运用刚刚学到的性质。题目说，在△ABC中，AB等于AC，顶角A是80度，求两个底角B和C的度数。大家思考一下，看到AB=AC，我们应该想到哪个性质？对，就是“等边对等角”，所以∠B和∠C是相等的。我们又知道三角形的内角和是180度，所以用180度减去顶角80度，剩下的100度就是两个底角的和。因为两个底角相等，所以再除以2，就得到每个底角是50度。是不是很简单？ ‹#› A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 【思考】如何构造两个全等的三角形？ 猜想:等腰三角形的两个底角相等. 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证. 探究新知 新知探究 证明：作底边中线AD，则BD=CD. 在△ BAD和△ CAD中， AB=AC ( 已知 ) BD=CD ( 辅助线作法 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS) ∴ ∠B= ∠C（全等三角形对应角相等） 已知： △ABC中，AB=AC. 求证： ∠B=∠C. 证明：等腰三角形的两个底角相等 探究点：等腰三角形的性质 证明：作底边中线AD，则BD=CD. 在△ BAD和△ CAD中， AB=AC ( 已知 ) BD=CD ( 辅助线作法 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS) ∴ ∠B= ∠C（全等三角形对应角相等） 已知： △ABC中，AB=AC. 求证： ∠B=∠C. 方法一：作底边的中线 ∵ △BAD ≌ △CAD ∴ ∠ BAD = ∠ CAD ， ∠ADB=∠ADC ∵ ∠ADB ＋∠ADC =180 ° ∴ ∠ADB=∠ADC =90 ° ∴ AD⊥BC AD为顶角平分线 AD为底边上的高线 AD为底边上的中线 ⌒ ⌒ 新知探究 探究点：等腰三角形的性质 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 猜想2 例题解析 【题目】已知在△ABC中，AB = AC，AD是底边BC上的中线，BD = 4cm，求BC的长度。 【解析】∵ 在△ABC中，AB = AC，AD是底边BC上的中线（已知） ∴ BD = CD（等腰三角形“三线合一”的性质，中线平分底边） ∵ BD = 4cm（已知），∴ CD = 4cm ∴ BC = BD + CD = 4cm + 4cm = 8cm 【答案】BC的长度为8厘米。 例题2：巧用“三线合一”求等腰三角形底边长 关键：中线 ⇒ 平分底边 1.7.2013 我们再来看一道求边长的题目。题目说，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC的中线，BD的长度是4厘米，求BC的长度。这道题考察的是哪个性质呢？没错，就是“三线合一”。既然AD是中线，根据“三线合一”的性质，它就把底边BC平分成了两段相等的线段。也就是说，BD等于CD。题目告诉我们BD是4厘米，那CD自然也是4厘米。所以，整个底边BC的长度就是BD加上CD，也就是4加4，等于8厘米。大家明白了吗？ ‹#› 归纳总结 等腰三角形核心要点回顾 基础认知 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边为腰，另一边为底边。 要素：包含腰、底边、顶角、底角四个关键名称，明确各部分位置关系。 数学思想 运用数形结合思想，通过动手折叠、测量操作，直观发现边与角的内在规律，将抽象几何特征具象化。 核心性质 性质1（角）：等边对等角，即等腰三角形的两个底角相等，是角度计算的重要依据。 性质2（线）：三线合一，底边上的中线、高与顶角平分线重合，简化了线段与角度的证明逻辑。 1个核心定义 2大关键性质 4个组成要素：腰/底/顶/底角 1种思想：数形结合探究规律 1.7.2013 一节课很快就要结束了，我们来一起回顾一下今天都学到了什么。首先，我们学习了等腰三角形的定义，知道了它的四个组成部分：腰、底边、顶角和底角。然后，我们通过动手操作，发现了它的两个核心性质：“等边对等角”和“三线合一”。最后，我们还体会到了数形结合的数学思想。希望大家课后能好好复习，把这些知识牢牢掌握。 ‹#› 结论1：等腰三角形底边上的中线，既是 ，又是 . 符号语言：在△ABC中，点D在BC上 ∵ AB=AC BD=CD， ∴∠ =∠ ； ⊥ ， CAD BAD AD BC 在不同的辅助线的作法中，你还可以得到什么结论？ 顶角的平分线 底边上的高 新知探究 探究点：等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 即：等腰三角形 顶角平分线 底边上的高线 底边上的中线 具备其中一条 另外两条成立 探究新知 A C B D 1 2 ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一） 数学语言：如图, 在△ABC中, 探究新知 符号语言：在△ABC中，点D在BC上 ∵ AB=AC ，∠BAD=∠CAD ∴ ⊥ ， = . 符号语言：在△ABC中，点D在BC上 ∵ AB=AC ， AD⊥BC, ∴ ∠ =∠ , = . BAD BD CD CAD AD BC BD CD 结论2：等腰三角形的顶角的平分线，既是 ，又是 . 结论3：等腰三角形的底边上的高，既是 ，又是 . 底边上的中线 底边上的高 底边上的中线 顶角平分线 新知探究 探究点：等腰三角形的性质 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 24 课堂小结 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 顶角的平分线, 底边上的高 底边上的中线 思想方法： 试验发现法、类比归纳法、方程的思想 谢谢大家聆听 $