第3章 3.4 函数的应用(一)-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦函数模型的应用这一核心知识点，系统梳理从理解函数模型描述变量关系，到运用一次、二次、分段、幂函数模型解决实际问题的步骤，构建“情境引入-问题探究-知识梳理-应用实践”的学习支架，衔接函数概念与实际应用。 该资料以汽车销售等真实情境为切入点，通过问题链驱动学生比较函数模型、预测销量，结合服装店利润、纪念品销售等实例，培养数学建模与数据分析素养。课中辅助教师引导建模过程，课后分层练习助力学生巩固，有效查漏补缺。

3．4　函数的应用(一) 课程标准 素养解读 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要模型 2．会利用已知的函数模型(或建立函数模型)解决实际问题 通过本节的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养 [情境引入] 随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表： 年份 2022 2023 2024 销量/万辆 8 18 30 结合以上三年的销量及人们生活的需要，2025年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2025年实际销售44万辆，圆满完成销售目标． [问题1]　在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？ [问题2]　如果我们分别将2022,2023,2024,2025年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？ [问题3]　依照目前的形势分析，你能预测一下2026年，该公司预销售多少辆汽车吗？ 提示　1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司的年销量.3.2026年，该公司预销售60万辆汽车． [知识梳理] [知识点一]　　 1．常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a(x＋)2＋ a≠0 幂函数模型 y＝axn＋b a≠0，n≠1 2.本质：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，选择适当的函数模型，数学模型解决问题． 3．应用：应用于各类与数学相关的应用题． 　解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： [知识点二]　　 分段函数模型：一种比较复杂的函数模型，可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题．或者将定义域上变化复杂的函数分成几段区间来研究，在每一段区间上函数有各自的变化规律，根据函数的具体变化，再分段选择相应的函数模型． [预习自测] 1．某地供电公司为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量x(kW·h)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示，当夜间月用电量为300 kW·h时，应交电费为(　　) A．130元　　　　　 B．140元 C．150元 D．160元 答案：D 2．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为(　　) A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x C．y＝x(x≥0) D．y＝x 答案：A 3．企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋4x＋10(万元)，一万件的售价是30万元．若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为　________　万元． 答案：159 　　　一次函数模型的应用 [例1] 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价/(元/件) 45 60 售价/(元/件) 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6 000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． [思路点拨]　(1)设服装店购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件， 则有从而求得x，y. (2)W＝(66－45－5)m＋(90－60－10)(150－m)＝－4m＋3 000，根据一次函数的单调性求解． [解]　(1)设服装店购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件． 由题意，得解得 (66－45)×80＋(90－60)×40＝2 880(元)． 答：全部售完获利2 880元． (2)①∵购进A种T恤衫m件， ∴购进B种T恤衫(150－m)件． 由题意，得0＜150－m≤2m，∴50≤m＜150. 则W＝(66－45－5)m＋(90－60－10)(150－m) ＝－4m＋3 000， ∴W与m的函数关系式为W＝－4m＋3 000(50≤m＜150)． ②服装店第二次获利不能超过第一次获利． 理由如下：∵W＝－4m＋3 000(50≤m＜150)，－4＜0， ∴W随m的增大而减小，当m＝50时，W取最大值，最大值为－4×50＋3 000＝2 800(元)． ∵2 800＜2 880， ∴服装店第二次获利不能超过第一次获利． 1．一次函数模型解决实际问题的原则 一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也比较简单． 2．一次函数模型解决问题的注意点 用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a>0时为增函数，当a<0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)或这些特殊点的意义． [变式训练] 1．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县、B县的运费分别为40元、80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县、B县的运费分别为30元、50元．则总费用最少为(　　) A．300元　　　　　　 B．400元 C．700元 D．860元 解析：D　[设从甲仓库调往A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为12－x，从乙仓库调往A县的车辆数为10－x，从乙仓库调往B县的车辆数为6－(10－x)＝x－4. 设总费用为y，则y＝40x＋80×(12－x)＋30×(10－x)＋50×(x－4)＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)，要使总费用y最少，则需x最大，所以当x＝10时，总费用y最少，为860元．] 　　　二次函数模型的应用 [例2] 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价x元，求该纪念品的销售量y与x之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ [思路点拨]　本题主要考查二次函数的实际应用，掌握相关量之间的关系并列出函数解析式是解题的关键． (1)根据题意，用含有x的式子将销售量表示出来，即可求解． (2)根据总利润等于单件利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． [解]　(1)根据题意，可知当纪念品每套降价x元时，每天可以多卖10x套， 则销售量y与x之间的函数解析式为y＝10x＋60. (2)根据题意，可知当纪念品每套降价x元时，售价为(40－x)元，由(1)可知每天销售量为(10x＋60)套， 则W＝[(40－x)－30](10x＋60)＝10x2＋40x＋600＝－10(x－2)2＋640， ∵－10＜0， ∴当x＝2时，W取最大值为640. 故售价为40－2＝38元． 答：每套售价定为38元时，每天利润最大，最大利润是640元． 二次函数模型解题思路 二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． [变式训练] 2．随着人们对交通安全的认识，骑电动车必需戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的必备品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 解：设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额8(100－10x)元，显然100－10x>0，即x<10， 则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)． 当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元． 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 　　　分段函数模型 [例3] 为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后满足y＝，如图所示，现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg，请按题中所供给的信息，解答下列各题． (1)求y关于x的函数解析式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ [思路点拨]　依题意，把实际问题转化为数学问题． [解]　(1)当0≤x≤8时，设y＝λx，代入(8,6)， 得到λ＝，所以y＝x(0≤x≤8)， 当x≥8时，把(8,6)代入得到k＝48， 所以y＝(x>8)，所以y＝ (2)当0≤x≤8时，令x＝3，得x＝4， 当x>8时，令＝3，得x＝16， 所以空气中每立方米的含药量不低于3 mg时的持续时间为16－4＝12(min)>10，所以此次消毒有效． (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型． (2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． [变式训练] 3．共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元，根据初步测算，自行车厂生产新样式单车的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝ x是新样式单车的产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂生产新样式单车的利润y(单位：元)表示为产量x的函数； (2)当产量为多少时，自行车厂生产新样式单车的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)依题意，生产x辆新样式单车的总成本为(20 000＋10x)元， 则y＝ (2)当0<x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000， 则当x＝300时，ymax＝25 000； 当x>400时，y＝60 000－100x单调递减， 则y<60 000－100×400＝20 000， 所以当产量为300辆时，自行车厂生产新样式单车的利润最大，最大利润为25 000元． 　　　幂函数模型的应用 [例4] 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金) [思路点拨]　设投入资金为x千万元，则A芯片的毛收入为y＝(x>0)，将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa，得生产B芯片的毛收入为y＝(x>0)． [解]　(1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y＝(x>0)． 将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa， 得∴ ∴生产B芯片的毛收入y＝(x>0)． (2)由>，得x>16； 由＝，得x＝16； 由<，得0<x<16. ∴当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大． (3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)＝＋－2＝－(－2)2＋9，故当＝2，即x＝4千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元． 幂函数模型的应用求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式． [变式训练] 4．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量． 解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)． (2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400， ∴k＝，∴流量R的函数解析式为R＝·r4. (3)∵R＝·r4， ∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s). 1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A．820元　　　　　　 B．840元 C．860元 D．880元 答案：C 2．某工厂计划在一边长为60 m的正三角形空地上建造一座长方体的厂房，则厂房占地面积的最大值为(　　) A．400m2 B．450m2 C．400 m2 D．450 m2 答案：B 3．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计　________　元． 答案：360 4．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为　________　万元． 答案：125 5．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知： f(t)＝ (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 解：(1)当0<t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20<t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min. (2)因为f(5)＝195，f(25)＝205， 所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中． (3)当0<t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4， 当20<t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180， 得t≈28.57， 又28.57－4＝24.57>24， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目. 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　) A．一次函数　　　 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 答案：C 2．一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　) A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10) C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10) 答案：D 3．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真《元夜》的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系式为h＝－3.6t2＋28.8t，则烟花在冲击后爆裂的时刻是(　　) A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 答案：A 4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： y＝ 其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A．15 B．40 C．25 D．130 答案：C 5．(多选)在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量v(单位：cm3/s)与管道的半径r(单位：cm)的四次方成正比，当气体在半径为5 cm的管道中时，流量为1 250 cm3/s，则(　　) A．当气体在半径为3 cm的管道中时，流量为162 cm3/s B．当气体在半径为3 cm的管道中时，流量为152 cm3/s C．要使得气体流量不小于512 cm3/s，管道的半径的最小值为4 cm D．要使得气体流量不小于512 cm3/s，管道的半径的最小值为3 cm 解析：AC　[依题意可设v＝kr4，k为常数． 当气体在半径为5 cm的管道中时，流量为1 250 cm3/s，所以1 250＝k×54，解得k＝2，则v＝2r4.当r＝3时，v＝162，故A正确，B错误． 由2r4≥512，解得r≥4，故C正确，D错误．] 6．(多选)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为(　　) A．x＝15 B．x＝12 C．y＝12 D．y＝14 解析：AC　[结合题图，可得＝，得y＝24－，矩形铁片的面积S＝xy＝x＝－＋24x，所以当x＝－＝15时，S最大，此时y＝24－×15＝12.故选A、C.] 7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示．若某户居民某月缴纳水费60元，则该月用水量为　________　m3. 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 解析：设用水量为x m3，缴纳水费为y元，由题可知y当y＝60时，解得x＝16. 答案：16 8.有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图所示，则围成的矩形最大面积为　________　m2(围墙厚度不计)． 解析：设矩形宽为x m，则矩形长为(200－4x)m，则矩形面积S＝x(200－4x) ＝－4(x－25)2＋2 500(0＜x＜500)， ∴x＝25 m时，Smax＝2 500 m2. 答案：2 500 9．某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用　________　种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算(元)的区间为　________　. 解析：由题意，设月通话时间为t分钟，使用甲种卡费用为30＋0.1 t，使用乙种卡费用为0.2 t. ∵每月手机费预算为50元， ∴由30＋0.1 t＝50知，使用甲种卡的通话时间为最长200分钟； 由0.2 t＝50知，使用乙种卡的通话时间最长为250分钟． ∴用户每月手机费预算为50元时，用乙种卡合算． 要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲种卡费用更低，即30＋0.1 t＜0.2 t，解得t＞300， 此时每月手机费预算(元)的区间为(60，＋∞)． 答案：乙　(60，＋∞) 10．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃. (1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求0≤x≤12时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？ 解：(1)由题意知y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)， 即y＝a＋kx. ∵当x＝12时，y＝－55，∴－55＝a＋12k， 解得k＝－， ∴当0≤x≤12时，y＝a－x， ∴所求的函数关系式为y＝a－x(0≤x≤12)． (2)当a＝29，x＝3时，y＝29－×3＝8(℃)， 即当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是8 ℃. 11．“新能源汽车”是如今社会的热门话题，截止到2025年9月，中国新能源汽车市场的渗透率达到了53.3%.某汽车厂商计划引进新能源汽车生产设备，生产某款汽车每月需投入固定成本8 000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本f(x)(万元)，且f(x)＝ 每辆汽车售价15万元，当月生产的汽车可全部销售完． (1)求出月利润g(x)(万元)关于月产量x(百辆)的关系． (2)当月产量为多少百辆时，企业所获得的月利润最大？并求出最大月利润． 解：(1)由题意得g(x)＝1 500x－f(x)－8 000＝ ∴月利润g(x)(万元)和月产量x(百辆)的关系为g(x)＝ (2)由(1)得 g(x)＝ ①当0＜x＜60时，g(x)＝－10x2＋800x－8 000＝－10(x－40)2＋8 000， ∴当月产量为40百辆时，月利润最大，为8 000万元； ②当60≤x≤120时，g(x)＝－5x－＋10 000＝－5(x－2)－＋9 990≤－2＋9 990＝8 990，当且仅当x＝102时等号成立， ∴当月产量为102百辆时，月利润最大，为8 990万元． 又∵8 990＞8 000， ∴当月产量为102百辆时，企业所获得的月利润最大，最大月利润为8 990万元． 12．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人类的健康造成了一定的危害，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社将每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)分别满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？ 解：(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5. (2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120 ＝－x＋4＋250， 依题意得⇒20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)． 令t＝∈[2，6]，则f(x)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282， 当t＝8时，即x＝128时，f(x)max＝282， 所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，为282万元． 13．某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x(万件)之间满足关系：p＝(其中m为小于12的正整数)．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．(注：次品率＝次品数/生产量，如p＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)． (1)将生产这批零件每天的盈利额y(万元)表示为关于日产量x(万件)的函数． (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 解：(1)由题意知y＝30·(1－p)x－10·px＝(30－40p)x， 当0＜x≤m时，p＝，故y＝x＝， 当x＞m时，p＝，故y＝·x＝0， 所以盈利额y(万元)与日产量x(万件)之间的函数关系为y＝ (2)当x＞m时，每天的盈利额为0元，则只需求当0＜x≤m时y的最大值． 设u＝12－x,0＜x≤m，则x＝12－u，且u∈[12－m,12)， 则y＝＝＝－30＋400， ①当12－m≤4，即8≤m＜12时，y＝－30＋400≤－30×2＋400＝160， 当且仅当u＝，即u＝4∈[12－m,12)时，y取最大值160，此时x＝8. ②当12－m＞4，即0＜m＜8时，由t＝u＋在[4，＋∞)上单调递增， 得y＝－30＋400在[12－m,12)上单调递减， 所以当u＝12－m，即x＝m时，y取最大值． 综上所述，当0＜m＜8时，日产量为m万件时，该厂可获得最大利润； 当8≤m＜12时，日产量为8万件时，该厂可获最大利润． 学科网（北京）股份有限公司 $