17.2.2 利用完全平方公式分解因式 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

17.2.2 利用完全平方公式分解因式 第十七章　因式分解（第 4 课时） 学科：数学（人教版·八年级上册） 主讲人：____________ 学校：____________ 上节课用平方差分解'两项平方差'。但像 m²-8mn+16n² 这种'三项式'用平方差不行，今天逆向使用完全平方公式，把它写成一个完全平方的形式。 学习目标 1. 理解完全平方公式因式分解的意义，掌握 a²±2ab+b²=(a±b)²； 2. 能识别完全平方式（三项、两同号平方、一乘积项），会先提公因式再套； 3. 会用它做简便运算（如 103²+103×194+97²）。 重点：利用完全平方公式分解因式。难点：识别完全平方式、处理'首项为负'与'整体'。 复习导入：平方差还能解决这些 先用平方差分解： (1) -9x²+4y² = (2y+3x)(2y-3x) (2) (x+3y)²-(x-3y)² = 12xy (3) 81a⁴-16 = (9a²+4)(3a+2)(3a-2) 再看：m²-8mn+16n²、m²+8mn+16n² 用上面方法能分吗？（不能） 先复习平方差的'先提后用'，再抛出'三项式'无法用平方差，制造冲突，自然引出完全平方分解。 一 探究新知 探究：把完全平方'倒过来'用 先算（整式乘法）： (m-4n)²=m²-8mn+16n² (m+4n)²=m²+8mn+16n² 反过来分解： m²-8mn+16n²=(m-4n)² m²+8mn+16n²=(m+4n)² 把等号两边互换，就得到分解公式！ 让学生亲历'乘法公式逆向使用'。承接上节课主线：因式分解与整式乘法互逆。 完全平方公式（因式分解） 符号语言： a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 完全平方式的特点： ① 是三项（或能看成三项）；② 有两个同号的平方项； ③ 一项是这两个底数乘积的±2 倍。 板书把两个公式框出。和平方差不同：这里是'三项的平方和/差'。强调'两同号平方项 + 中间±2倍乘积项'。 怎么判断是不是完全平方式？ 判断下列式子（并说明能否分解）： (1) a²-2ab-b²（不是，末项 −b² 与前两项不同号） (2) a²+b²-2ab（是，= (a−b)²） (3) -6xy+9x²+y²（是，= (3x−y)²） (4) x²+x+1/4（是，= (x+1/2)²） 口诀：两项平方同号、中间恰是±2倍积，才是完全平方式。 第(1)题是高频误判：末项负号导致不是；第(3)题顺序打乱也能认；第(4)题系数是分数。训练'看本质不看顺序'。 二 例题示范 例1：直接套公式 例1　分解因式： (1) x²+4x+4 = x²+2·x·2+2² = (x+2)² (2) 16x²-24x+9 = (4x)²-2·4x·3+3² = (4x-3)² 要领：先认 a、b（如 16x²=(4x)²、9=3²、24x=2·4x·3），再写 (a±b)²。 系数不是 1 时，要拆成'平方±2倍积+平方'三块对号入座。强调中间项必须是首尾开方数乘积的 2 倍。 三 例题示范 例2：整体思想 与 首项为负 例2　分解因式： (1) (a+b)²-12(a+b)+36 = (a+b)²-2·(a+b)·6+6² = (a+b-6)² (2) -x²+4xy-4y² = -(x²-4xy+4y²) 　　 = -[x²-2·x·2y+(2y)²] = -(x-2y)² 要领：把 a+b 当整体；首项为负先提 −1 再配。 第(1)题把 a+b 看作一个整体当 a，渗透整体思想；第(2)题首项为负，先提负号使括号内成完全平方式。 四 综合应用 综合：先提公因式，再用完全平方 有公因数的，先提再套——分解才彻底： 分解 3ax²+6axy+3ay²： 原式 = 3a(x²+2xy+y²) = 3a(x+y)² 再看：2x³-4x²y+2xy² = 2x(x²-2xy+y²) = 2x(x-y)² 顺序：一提（公因式）→二套（公式）→三检查（彻底）。 这是易错高发区：学生常漏'先提公因式'或只提不套。明确'一提二套'顺序，与平方差那节呼应。 五 巩固练习 巩固练习（一）：直接分解 1. x²-10x+25 = (x-5)²（答案） 2. 9a²+6ab+b² = (3a+b)²（答案） 3. 4x²-12x+9 = (2x-3)²（答案） 4. -x²-4xy-4y² = -(x+2y)²（答案） 要点：第4题首项为负，先提 −1 再配。 第4题 −x²-4xy-4y² = −(x²+4xy+4y²) = −(x+2y)²。当堂抢答并说 a、b 是什么。 六 思维拓展 例3：用因式分解做简便计算 例3　计算：103²+103×194+97² 解：原式 = 103²+2×103×97+97² = (103+97)² 　　　 = 200² = 40000 思路：把 194 拆成 2×97，凑成 'a²+2ab+b²'，秒算。 大数平方和加交叉项，直接计算易错。先'凑'成完全平方式再开方，计算量骤减。 巩固练习（二）：简便计算 计算 3002²-3002×4+4： 原式 = 3002²-2×3002×2+2² = (3002-2)² = 3000² = 9000000 要点：看清中间项符号——这里是 '−'，对应 (a−b)²。 对比：103²+103×194+97² 是 '+'，对应 (a+b)²。 与例3 对照：中间项符号决定是 (a+b)² 还是 (a−b)²。让学生体会'先审结构再巧算'。 易错辨析：这些写法错在哪？ 错1：x²+4x+4=(x+2)(x-2)　正：应是 (x+2)²，不是平方差。 错2：(a+b)²-12(a+b)+36=(a+b)²-6²　正：是完全平方，应为 (a+b-6)²。 错3：-x²+4xy-4y²=(x-2y)²　正：漏了外面的负号，应为 −(x−2y)²。 口诀：三项式看完全平方；首项为负先提负号；提完再查彻底。 错1 把完全平方当平方差（最典型混淆）；错3 漏负号。让学生先找错再纠正。 课堂检测 1. 分解 x²+12x+36。（答案：(x+6)²） 2. 分解 25a²-10ab+b²。（答案：(5a-b)²） 3. 分解 3x²-12x+12。（答案：3(x-2)²，先提 3） 4. 判断：a²+ab+b² 是完全平方式吗？（答案：不是，中间应是 2ab） 第3题必须'先提 3 再套'；第4题 a²+ab+b² 中间项只有 1 倍不是 2 倍，不是完全平方式。当堂批改。 方法归纳：两类公式法对照 一提：先看有无公因式，有则先提取； 二套：再看结构——两项平方差 套 a²-b²=(a+b)(a-b)； 　　　三项完全平方式 套 a²±2ab+b²=(a±b)²； 三检查：是否分解彻底，首项为负先提 −1。 把'一提二套三检查'与两类公式并列，形成完整因式分解流程。强调对照区分平方差与完全平方。 七 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个公式：a²±2ab+b²=(a±b)²（完全平方=和/差的平方） 一种结构：三项、两同号平方、中间±2倍积。 一条流程：一提二套三检查，分解要彻底。 一类巧算：大数'凑'完全平方式，再开方。 请一名学生复述公式并举例。预告：下节课'综合运用'——一道题里提公因式、平方差、完全平方可能连续使用。 课后作业 1. 基础题：教材习题 17.2 第 2、8 题； 2. 变式题：分解 -4x²-20xy-25y²，写出完整过程； 3. 应用题：厦门某广场边长为 a m 的正方形花坛，扩建后每边加 b m，用完全平方写出新面积并分解； 4. 思考题：计算 99²+198×1+1²，并写出你的巧算依据。 基础题面向全体；变式题巩固'首项为负'；应用题联系厦门广场扩建；思考题训练'凑'完全平方。 $