17.2.2用完全平方公式分解因式-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式分解因式，通过复习导入中整式乘法与因式分解的填空练习，衔接旧知与新知，构建“先提公因式再套公式”的学习支架，帮助学生掌握公式结构及适用条件。 其亮点在于以“首平方尾平方，首尾两倍在中央”口诀强化公式特征，通过直接套用、整体思想等例题培养抽象能力与推理意识，结合几何面积、代数求值等应用提升知识迁移能力。教师使用可系统覆盖知识点，学生能深化对因式分解的理解与应用。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月24日 17.2.2用完全平方公式分解因式 第十七章 因式分解 17.2.2 用完全平方公式分解因式 同步练习题（人教版八年级上册） 核心知识点回顾：1. 完全平方公式（因式分解版）：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$，$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$；2. 适用条件：多项式为二次三项式，首尾两项是平方且同号，中间项是首尾底数乘积的2倍；3. 口诀：首平方、尾平方，首尾两倍在中央；同号完全平方；4. 解题步骤：先提公因式，再判断是否符合完全平方式，最后分解彻底；5. 易错点：混淆平方差与完全平方、中间项符号判断错误、漏掉系数2倍、分解不彻底。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+4x-4$$ D. $$x^2-2x-1$$ 2. 分解因式$$a^2-10a+25$$的结果是（） A. $$(a-5)^2$$ B. $$(a+5)^2$$ C. $$(a-10)^2$$ D. $$(a-5)(a+5)$$ 3. 下列分解因式正确的是（） A. $$x^2+4x+4=(x+4)^2$$ B. $$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$ C. $$x^2-6x-9=(x-3)^2$$ D. $$x^2+2xy-y^2=(x+y)^2$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 完全平方公式：$$a^2-2ab+b^2=$$________。 5. 分解因式：$$x^2+8x+16=$$________。 6. 分解因式：$$9a^2-12ab+4b^2=$$________。 三、解答题（共60分） 7.（20分）直接用完全平方公式分解：（1）$$x^2-12x+36$$ （2）$$m^2+6mn+9n^2$$ 8.（20分）先提公因式再套公式分解：（1）$$2x^2-8x+8$$ （2）$$3a^2+12a+12$$ 9.（20分）利用整体思想分解因式：$$(x-1)^2+4(x-1)+4$$ 参考答案与解析 选择题：1.B（符合首平方、尾平方、中间两倍乘积） 2.A（原式=$$a^2-2\times5a+5^2=(a-5)^2$$） 3.B（其余选项中间项、尾项符号或系数错误） 填空题：4. $$(a-b)^2$$ 5. $$(x+4)^2$$ 6. $$(3a-2b)^2$$ 解答题：7. 解：（1）原式=$$(x-6)^2$$；（2）原式=$$(m+3n)^2$$。 8. 解：（1）原式=$$2(x^2-4x+4)=2(x-2)^2$$；（2）原式=$$3(a^2+4a+4)=3(a+2)^2$$。 9. 解：设$$t=x-1$$，原式=$$t^2+4t+4=(t+2)^2$$，回代得原式=$$(x-1+2)^2=(x+1)^2$$。 （总字数：805） 复习导入 在括号里填上适当的式子，使等式成立： (1) (a + b)2 = ________________； (2) (a – b)2 = ________________； (3) a2 + ______ + 1 = (a + 1)2； (4) a2 – ______ + 1 = (a – 1)2 . a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 2a 2a 整式乘法 因式分解 探究新知 思 考 这两个式子有什么特点？ a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 首平方 尾平方 2倍乘积放中央 完全平方式 注意：①平方项符号相同； ②中间项是积的2倍. 练习 下列多项式是不是完全平方式？ （1）a2 – 12a + 36 （2）x2 + 4x + 4y2 （3）4a2 + 2ab + b2 1 4 （4）a2 – ab + b2 （6）a2 + a + 0.25 是 不是 是 不是 不是 是 a2 62 2·a·6 x2 (2y)2 2·x·2 (2a)2 ( b)2 1 2 2·2a· b 1 2 a2 b2 2·a· b 1 2 a2 0.52 2·a·0.5 （5）x2 – 6x – 9 完全平方公式： 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 等号两边互换： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 利用完全平方公式可以将形如完全平方式的多项式分解因式. 例1 分解因式： (1) x2+4x+4； x2+4x+4=x2+2·x·2+22 a2+2·a·b+b2 解：x2+4x+4 =x2+2·x·2+22 =(x+2)2. 例1 分解因式： (2) 16x2-24x+9.　 解：(2)16x2-24x+9 =(4x)2-2·4x·3+32 =(4x-3)2. 运用完全平方公式分解因式的步骤： 分析：在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m， 则原式可化为完全平方式m²-12m+36； 对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式. 例2 分解因式： (1) (a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y². 例2 分解因式： (1) (a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y². 解： (1)(a+b)-12(a+b)+36 =(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 解：(2) -x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = -(x-2y)2. 把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 思考 x2+(p+q)x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式， 如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 回顾题目 计算： （1）(x+2)(x+3)； （2）(x-4)(x+1)； （3）(x+4)(x-2)； （4）(x-5)(x-3). = x2+5x+6. = x2-3x-4. = x2+2x-8. = x2-8x+15. x x p q x2 qx px pq 由上面计算的结果找规律， 观察右图，填空： (x+p)(x+q)=( )2 + ( )x + ( ). x p+q pq 我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq. 这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出: (x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq =x2+(p+q)x+pq. 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 探究 将式子x2+3x+2分解因式. 因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子. p=1，q=2. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 1 1 1 2 1×2+1×1=3 x2+3x+2=(x+1)(x+2). 十字相乘法 探究 将式子x2+3x+2分解因式. x x 1 2 1x+2x =3x (x+1)(x+2). 跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？ (1)x2+7x+10; (2)x2-2x-8; x x 2 5 x5+x2=7x ∴x2+7x+10=(x+2)(x+5). x x -4 2 x2+ x(-4)=-2x ∴x2-2x-8=(x-4)(x+2). 跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？ (3)y2-7y+12; (4)x2+7x-18. y y -3 -4 y(-3)+y (-4)=-7y ∴y2-7y+12=(y-3)(y-4). x x -2 9 x9+ x(-2)=7x ∴x2+7x-18=(x-2)(x+9). 知识点1 完全平方式的特征 1.下列各式：①x2－6x＋9；②25a2＋10a＋1；③x2－4x－4；④4x2－x＋，其中不能用完全平方公式因式分解的式子有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 返回 基础提优题 中考考法 2.［2025成都］多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是　　 　　. (填一个即可). 4x(答案不唯一) 返回 3.若9x2＋(k－1)x＋4是一个完全平方式，则k的值为　　　　. 13或－11 基础提优题 中考考法 知识点2 用完全平方公式分解因式 4.整式(a－3b)2－4(a－3b)c＋4c2可以写成(　　) A.(a－3b＋2c)2　 B.(a－3b－2c)2 C.(a＋3b＋2c)2　 D.(a＋3b－2c)2 B 返回 基础提优题 中考考法 5. 把下列各式因式分解： (1)a3－4a2b＋4ab2； 【解】a3－4a2b＋4ab2＝a(a2－4ab＋4b2)＝a(a－2b)2. (2)－a2＋2a－2； 【解】－a2＋2a－2＝－(a2－4a＋4)＝－(a－2)2. 基础提优题 中考考法 (3)(x2＋4)2－16x2； 【解】(x2＋4)2－16x2＝(x2＋4－4x)(x2＋4＋4x)＝(x－2)2(x＋2)2. (4)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9. 返回 【解】(a2－4)2＋6(a2－4)＋9＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2＝(a－1)2(a＋1)2. 基础提优题 中考考法 知识点3 用完全平方公式分解因式的应用 6.如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为15mn，9n2，25m2，15mn(m＞0，n＞0)，则大正方形的边长为(　　) A.5m＋9n　　　　　　 B.5m－3n C.25m＋9n　　　　　　 D.5m＋3n D 基础提优题 中考考法 【点拨】因为9n2＋15mn＋25m2＋15mn＝25m2＋30mn＋9n2＝(5m＋3n)2，所以大正方形的边长为5m＋3n.故选D. 返回 基础提优题 中考考法 8. 已知a－2b＝，ab＝2，则－a4b2＋4a3b3－4a2b4＝　　　. －1 8.【点拨】－a4b2＋4a3b3－4a2b4＝－a2b2(a2－4ab＋4b2)＝ －a2b2(a－2b)2，∵a－2b＝，ab＝2，∴原式＝－22×＝－1. 返回 7.利用因式分解计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝　　　. 16 基础提优题 中考考法 返回 本题中a，b不容易求出，可以先分解因式，将所求整式整理成只含a－2b和ab的形式，然后求值即可. 基础提优题 中考考法 9.一个长方形的长与宽分别为a，b，若该长方形的周长为14，面积为5，求3a4b2＋6a3b3＋3a2b4的值. 【解】∵长方形的长与宽分别为a，b，该长方形的周长为14，面积为5，∴ab＝5，a＋b＝7. 3a4b2＋6a3b3＋3a2b4＝3a2b2(a＋b)2＝3［ab(a＋b)］2. 将ab＝5，a＋b＝7代入可得， 原式＝3×(5×7)2＝3×352＝3 675. 返回 基础提优题 中考考法 10.已知a，b，c为一个三角形的三边长，则4b2c2－(b2＋c2－a2)2的值为(　　) A.恒为正 B.恒为负 C.可正可负 D.非负 A 【点拨】原式＝(2bc＋b2＋c2－a2)(2bc－b2－c2＋a2)＝［(b＋c)2－a2］［a2－(b－c)2］＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(a＋b－c)(a－b＋c).∵a，b，c是三角形的三边长，∴b＋c＋a＞0，b＋c＞a，a＋b＞c，a＋c＞b.∴4b2c2－(b2＋c2－a2)2＞0. 返回 综合应用题 中考考法 11.已知实数a，b，c，其中c＜0且满足a＋b＋c＞0，4a＋c＝2b，下列结论：①b－a＜0，②2a－b＞0，③b2－4ac＞0，其中正确的是(　　) A.①②　　 B.②③　　 C.①③　　 D.①②③ B 综合应用题 中考考法 用完全平方公式分解因式 a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2 . 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式; 其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同; 中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以. 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 课堂小结 $