26.2二次函数的图像和性质 同步提优训练-- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2二次函数的图像和性质 一、单选题 1．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 3．将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（　　） A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x+2）2﹣1 4．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A(3，0)，图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　）． A．b2<4ac B．ac>0 C．2a-b=0 D．a-b+c=0 5．如图，二次函数 的图象过点 ，对称轴为直线 ，给出以下结论：① ；② ；③ ：④若 为函数图象上的两点，则 ．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线．则以下结论错误的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（　　） A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 8．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线解析式为　 　． 9．若函数是二次函数，则a的值为　 　． 10．二次函数满足下列条件：①函数有最大值3；②对称轴为y轴，写出一个满足以上条件的二次函数解析式：　 　 11．写出一个图象开口向上，且经过点 的二次函数的解析式：　 　． 12．点，是二次函数图象上的两个点，则　 　填“”，“”或“=”． 13．关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为　 　． 14．将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的顶点坐标为　 　. 15．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是　 　．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 16．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是　 　． 17．如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线 y2=mx+n （m0）上．①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是（-4，0）；④方程 ax2+bx+c=−3 有两个不相等的实数根、②a-b+c<4m+n；⑥不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集为1<x<4．其中正确的是　 　． 18．如图，已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点（2，0），且对称轴为直线，有下列结论：①abc>0；②；③；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过；⑤．其中结论正确的序号有　 　（将所有正确的序号都填上）． 19．如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是　 　．（提示：两点间距离公式 ） 三、解答题 20．已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 21．已知点在抛物线上． （1）求点A的坐标； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 22．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx﹣6的图象与x轴交于一点A（2，0），与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 23．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点．连接，点是线段上方抛物线上的点，过点作轴垂线交于点，交轴于点．求线段的最大值． 24．如图，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（1，0）和点B（0，2）． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）将该抛物线上的点M（m，p）向右平移至点N（n，q），当点N落在该抛物线上且位于第一象限时，求m的取值范围． 25．将抛物线 向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴． 26．已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 【解析】【解答】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0）， 把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（2，1）， 所以平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1． 故答案为：A． 【分析】由平移前的顶点坐标为（0，0），根据平移的方向和距离可知平移后的顶点坐标是（2，1），而平移不改变抛物线的开口方向和大小，据此可得表达式。 4．【答案】D 【解析】【解答】A、∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，此选项不符合题意； B、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0，∴ac＜0，此选项不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为x==1，2a+b=0，此选项不符合题意； D、∵抛物线与x轴相交于点A（3，0），且对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），∴a-b+c=0，此选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】A、根据抛物线与x轴有两个交点可知b2-4ac＞0； B、根据抛物线的开口向上可知a＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴可知c＜0，于是可得ac＜0； C、根据抛物线的对称轴为x==1可得2a+b=0； D、根据抛物线与x轴的交点A的坐标和对称轴为x=1可得抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），把这个交点代入二次函数的解析式计算即可求解. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下， a＜0； ∵抛物线的对称轴为直线x=- =1＞0， ∴b＞0； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0）， ∴抛物线与x轴的另个交点是（-1，0）， ∴当x=1时，y最大，即a+b+c≥ax2+bx+c，故③符合题意； ∵B（x2+1，y1）、C（x2+2，y2）在对称轴右侧，x2+1＜x2+2， ∴y1＞y2，故④不符合题意； 故答案为：B． 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 6．【答案】B 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则 ∴ 故①符合题意； ∵二次函数的图象经过点， 则当时， 对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， 时， 即 故②不符合题意 对称轴为直线， ∴，即 故③符合题意； ∵二次函数图象与轴有两个交点，则 即 故④不符合题意； 对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， ，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上， 故⑤符合题意 故正确的是①③⑤ 故答案为：C 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。 8．【答案】 【解析】【解答】解：∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为：， 故答案为：． 【分析】由二次函数图象平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，即可得到答案. 9．【答案】 10．【答案】y＝﹣x2+3 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象具有下列特征：①函数有最大值3；②对称轴为y轴， ∴满足以上条件的一个二次函数的解析式（任写一个符合条件的即可）为y＝﹣x2+3． 故答案为：y＝﹣x2+3． 【分析】由①函数有最大值3；②对称轴为y轴，可得函数的顶点坐标为（0,3），抛物线开口向下，据此写出符合条件的解析式（答案不唯一）. 11．【答案】 等 【解析】【解答】解：设二次函数的表达式为 (a≠0)， ∵图象为开口向上，且经过(0，1)， ∴a＞0，c=1， ∴二次函数表达式可以为： (答案不唯一)． 故答案为： (答案不唯一)． 【分析】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式． 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵点，是二次函数图象上的两个点， ∴ ∴ 故答案为： ． 【分析】将x=-1，x=4代入解析式求得的值，进而比较，即可求解． 13．【答案】0或 【解析】【解答】解：①当a=0时，函数解析式化为y=2x+1，此一次函数与x轴只有一个公共点； ②当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数．∵关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，∴△=（a+2）2﹣4a（a+1）=﹣3a2+4=0，解得：a=± ． 综上所述：a=0或± ． 故答案为：0或± ． 【分析】分两种情况讨论：①当a=0时，此函数为一次函数；②当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数，根据b2-4ac＝0，建立关于a的方程，求出方程的解即可。 14．【答案】（1，-1） 【解析】【解答】解：抛物线向右平移3个单位得到抛物线y=-（x-3）2-4（x-3）-7， 再向上平移2个单位，得到抛物线y=-（x-3）2-4（x-3）-7+2=-x2+2x-2=-(x-1)2-1， 平移后抛物线的顶点坐标为（1，-1）. 故答案为：（1，-1）. 【分析】根据平移的规则，左加右减、上加下减即可求出平移后的抛物线，进而求出顶点坐标. 15．【答案】①③⑥ 16．【答案】②③④ 【解析】【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：， ∵对称轴在y轴右侧，即：， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， ∴①错误； ②∵抛物线对称轴是直线，即， ∴ ∴，故②正确； ③由图象知，与关于对称轴对称， 当时，， 即， ∵， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 如果， 那么， ∵， ∴， 根据抛物线与y轴的交点，可知， ∴结论④正确． 故答案为：②③④． 【分析】根据抛物线的性质，系数与图象的关系可判断①错误；再根据抛物线对称轴性质可判断②正确，根据抛物线的对称性可判断③正确，再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出答案. 17．【答案】①④ 【解析】【解答】解：①由抛物线对称轴为直线x=-=1，从而b=-2a，则2a+b=0，故①符合题意； ②抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，则a<0，c>0，而b=-2a>0，因而abc<0，故②不符合题意； ③由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（-2，0），故③不符合题意； ④方程ax2+bx+c=-3从函数角度可以看作是y=ax2+bx+c与直线y=-3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有两个交点，故方程ax2+bx+c=-3有两个相等的实数根，故④符合题意； ⑤由图象可知，当x=-1时，y1=a-b+c>0；当x=4时，y2=4m+n=0，所以y1>y2，即a-b+c>4m+n，故⑤不符合题意； ⑥由图象可知，当x<1或x>4时，一次函数图象在二次函数图象上方，所以y2>y1，即mx+n>ax2+bx+c，所以mx+n>ax2+bx+c的解集为x<1或x>4，故⑥不符合题意． 故答案为：①④． 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。 18．【答案】①③④⑤ 【解析】【解答】解：由图象得a>0，c<0， ∵对称轴， ∴b<0， ∴abc>0，故①符合题意； ∵对称轴， ∴b=-a， 即a+b=0，故②不符合题意； ∵抛物线经过（2，0）， ∴4a+2b+c=0， ∵c<0， ∴，故③符合题意； 由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0）， ∴ ∴c=-2a， ∴， ∴当a≠0时，无论b，c取何值，抛物线一定经过，故④符合题意； ∵b=-a， ∴4am2+4mb-b=4am2-4am+a=a(4m2-4m+1)=a(2m-1)2， ∵a>0， ∴a(2m-1)2≥0， 即，故⑤符合题意． 故答案为：①③④⑤． 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。 19．【答案】 20．【答案】 21．【答案】（1）点A的坐标为或； （2）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． 22．【答案】解：将A（2，0）代入函数y=﹣x2+bx﹣6，得： 0=﹣4+2b﹣6， 解得：b=5， ∴二次函数解析式为y=﹣x2+5x﹣6． 当x=0时，y=﹣6， ∴B（0，﹣6）， 抛物线对称轴为x=﹣ = ， ∴C（ ，0）， ∴S△ABC= AC•OB= ×（ ﹣2）×6= ． 【解析】【分析】由点A的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式即可找出抛物线的对称轴，从而得出点C的坐标，再将x=0代入二次函数解析式求出点B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 23．【答案】 24．【答案】（1） （2） 25．【答案】解：∵ = ，∴平移后的函数解析式是 ．顶点坐标是（-2，1）．对称轴是直线 【解析】【分析】先将函数解析式化为顶点式得y=，由平移的性质可知向左平移4个单位即在解析式中括号内加4即可，所以平移后的函数解析式是 y =，所以顶点坐标是（-2，1）．对称轴是直线 x = − 2。 26．【答案】（1）解：拋物线的图象经过点， ，且. . 所求二次函数的表达式为 （2）由题意，， 当时，取最大值为4. ①当时， 又， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为. 又， . ②当t>1时， 若，即， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为，此时，符合题意. 若，即， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为. 又， . . 或，不合题意 【解析】【分析】（1）将已知的两个点的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得到二次函数解析式. （2）将函数解析式转化为顶点式，可得到当x=1时y的最大值，再分情况讨论：当t≤1时，由x的取值范围，可得到当x=t时y的最大值，当x=-2时y的最小值，根据m-n=9，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值；当t＞1时，可得到t的取值范围为1＜t≤4，分别求出当x=1和x=t时y的最大值和最小值，根据m-n=9可求出n的值，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值；综上所述，可得到t的值. 学科网（北京）股份有限公司 $