26.2 二次函数的图像和性质 专题训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

26.2二次函数的图像和性质的专题训练 姓名： 班级： 一、选择题 1．抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 2．已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 3．已知二次函数开口向下，则___________． 4．将二次函数向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线的解析式为______． 5．将二次函数化为的形式，结果为______． 6．函数的图象开口方向___________，对称轴为___________，顶点是___________． 7．已知点，都在二次函数的图像上，则______（填>，<或=） 8．已知二次函数，当的值为时，对应的函数值为________． 9．函数的对称轴是________，顶点坐标是( )，最大值__________． 10．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 第10题图 第13题图 11．销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 12．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是________． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为___________． 14．二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 15．若点、、是二次函数图像上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）． 16．抛物线，当时，y的取值范围是________． 17．如图，四个函数图象对应的表达式分别为①，②，③，④，则a，b，c，d的大小关系是___________（用“>”连接）． 第17题图 第19题图 第20题图 18．已知函数的对称轴是 ，顶点是 ． 19．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④；上述结论正确的有 （填序号）． 20．已知经过点且对称轴为的二次函数的图象如图所示，有以下结论：；；；；；（m为任意实数）．正确结论是_____________（填序号）． 二、解答题 21．已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． (1)求k的值；(2)试判断点是否在该二次函数的图象上． 22．已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … _______ _______ _______ _______ … (2)根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是________； (4)根据图象可知，当x________时，y随x的增大而减小． 24．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 24．已知函数． (1)函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______． (2)当______时，随的增大而减小． (3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ (4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 25．已知二次函数图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，函数图象恰好经过原点，求的值． 26．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 向下 直线 【分析】本题给出抛物线顶点式，可根据二次项系数判断开口方向，直接得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：将抛物线解析式整理为标准顶点式，其中，，， ∵ ， ∴ 抛物线开口方向向下， ∵ 顶点式的对称轴为直线， ∴ 抛物线对称轴为直线， ∵ 顶点式的顶点坐标为， ∴ 抛物线顶点坐标为． 2．② 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的整式函数是二次函数，据此逐一判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数，逐一判断各函数． 【详解】解：① 是一次函数，不是二次函数； ② 满足 ，是二次函数； ③ 是三次函数，不是二次函数； ④ ，化简后为一次函数，不是二次函数； ⑤ 中 可能为0，不一定是二次函数； ⑥ 含有分式项，不是整式函数，不是二次函数． 故答案为：②． 3． 【分析】本题主要考查了二次函数的概念及性质，熟练掌握其二次函数的概念及性质是解决此题的关键．由二次函数开口向下，可得且，解方程即可得答案． 【详解】解：二次函数开口向下， 且， 解得：， 故答案为：． 4． 【分析】根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到结果． 【详解】解：原抛物线解析式为， 将抛物线向右平移个单位，可得解析式， 再将得到的抛物线向下平移个单位，可得新的解析式为． 5． 【分析】先提二次项系数，再对含的项进行配方，凑成完全平方式，最后整理得到顶点式． 【详解】解： ． 6． 向上 直线 【分析】根据二次项系数的符号判断开口方向，再结合二次函数顶点形式确定对称轴和顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数， ∴ 函数图象开口向上， 将函数整理为顶点式得， 根据二次函数顶点式的性质，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴ 可得该函数对称轴为直线，顶点坐标为． 7． 【分析】通过代入计算函数值直接比较即可解答． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图像上， ∴将代入解析式得， 将代入解析式得，， ∵， ∴． 8． 【分析】将代入二次函数解析式计算，即可得到对应函数值. 【详解】解：把代入，得 ， 因此当的值为时，对应的函数值为. 9． 直线 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，即可得到对应结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线；顶点坐标为； ∵抛物线，开口向下， ∴抛物线的最大值为顶点的纵坐标， ∴抛物线的最大值为． 10． 【分析】根据图象上一次函数图象在二次函数图象上方部分对应的自变量取值范围即可得解． 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方， 则的解集是． 11． 【分析】根据总利润等于每台利润乘以销售量，分别表示出降价后每台的利润和每天的销售量，相乘整理即可得到函数解析式． 【详解】解：∵每台护眼灯进价为元，原销售单价为元，单价下降元， ∴每台的利润为， ∵原本每天可卖出台，每降价元每天多卖出台， ∴降价元后每天的销售量为台， ∵总利润每台利润销售量， ∴， 展开整理得， ∵利润非负，为非负数， ∴， ∴， 即与之间的函数解析式为． 12． 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再比较各点到对称轴的距离，即可判断函数值大小． 【详解】解：，， 函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 13．， 【分析】观察图象得出对称轴为直线及与轴的一个交点坐标为，利用二次函数图象的对称性求出另一个交点坐标，进而得出方程的解． 【详解】解：观察图象可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为． 设抛物线与轴的另一个交点坐标为，根据抛物线的对称性， 得， 解得， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 关于的一元二次方程的解为，． 14． -2x , 1 【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ∴ 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1. 故答案是：; -2x;1. 【点睛】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 15． 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较距离即可得到大小关系． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上， 由对称轴公式可得对称轴为直线， 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 16． 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴位置，对称轴在给定区间内，开口向上时顶点处取最小值，比较区间端点函数值得最大值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵中，二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵对于二次函数，对称轴为，此处，， ∴对称轴为， ∵，对称轴在给定范围内，开口向上的抛物线顶点处取得最小值， ∴当时，取最小值，代入得， 分别计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴的最大值为， 因此的取值范围是． 17． 【分析】此题主要考查了二次函数图象，解题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小 【详解】解：∵直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ∴， 故答案为：． 18． 直线 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为， 故答案为：直线，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点坐标及对称轴是解题的关键． 19．①③④ 【分析】对于①，由图可知，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①正确， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①③④． 20．③⑥ 【分析】由开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定a，b，c符号；代入特殊x的函数值，结合对称轴公式，逐个判断六条结论正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ． 对称轴为直线，整理得，，则． 抛物线与轴交于正半轴， ． ①，，故①错误． ②当时，，图像过，，故②错误． ④由对称轴得，即，故④错误． ③当时，对应点在轴上方，，故③正确． ⑤，又时，代入： 故不成立，⑤错误． ⑥时，函数取得最大值，即当时，的值大于等于任意时的函数值： 两边消去，得到（为任意实数），故⑥正确． 综上，正确结论为③⑥． 21．(1) (2)点不在该二次函数的图象上 【分析】（1）先根据二次函数的定义求出的所有可能取值，再根据二次函数的增减性求解即可； （2）先求出二次函数的解析式，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵（为常数）是二次函数， ∴，且， 解得或， 又∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴这个二次函数的解析式为， 当时，， ∴点不在该二次函数的图象上． 22．(1) x … 0 1 2 3 … … __ __2___ __3__ __2__ … (2) (3) (4) 【分析】（1）把对应的x值代入二次函数解析式，然后求出对应的y值，然后填表即可． （2）描点，连线即可画出二次函数即可． （3）结合函数图象求解即可． （4）结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表略； （2）解：画图略； （3）解：根据点和，则抛物线对称轴直线为：， 故抛物线顶点坐标为， 结合函数图象可知：当时，． （4）解：由（3）可知：抛物线对称轴直线为， 故当，y随x的增大而减小． 23．(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 24．(1)向下，， (2) (3)当时，函数能取到最大值，最大值为． (4)抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数的平移变换等知识点，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． （1）根据二次函数图象的性质写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标即可； （2）直接根据二次函数的增减性即可解答； （3）根据二次函数的性质解答即可； （4）根据二次函数图象的平移变换即可解答． 【详解】（1）解：∵函数， ∴该函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为． 故答案为：向下，，． （2）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而减小． 故答案为：． （3）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为， ∴当时，函数能取到最大值，最大值为． （4）解：抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线． 25．(1) (2)3 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先通过配方得到顶点，进而得到平移后的解析式，将原点坐标代入求的值． 【详解】（1）解：顶点为， 设二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：由题意可得：，即， 图象恰好经过原点， ， 解得或， 的值为3． 26．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $