25.2降次--解一元二次方程 同步提优训练-- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2降次--解一元二次方程 一、单选题 1．一元二次方程 的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 2．下列方程中，无实数根的是（　　） A．3x2﹣2x+1=0 B．x2﹣x﹣2=0 C．（x﹣2）2=0 D．（x﹣2）2=10 3．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 4．一元二次方程x2+5＝4x根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 5．对二次三项式 变形正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（　　） A． B． C． D．﹣2 7．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 二、填空题 8．若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根是　 　． 9．一元二次方程根的判别式的值是　 　． 10．若关于x的一元二次方程(x+3)2=p有实数根，则p的值可以为　 　(写出一个即可)． 11．设是方程的两个根，则　 　. 12．已知a是方程x2-5x+1=0的一个根，则a4+a-4的个位数字为　 　． 13．若实数a，b是一元二次方程的两根，则　 　． 14．已知关于x的方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2=　 　． 15．已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程的一个根，则该三角形的面积是　 　． 16．若关于x的方程无解，则m的取值范围是　 　． 17．如图，等腰直角三角形，，，，是，边上的动点，且，以，为边作平行四边形，连接，，当时，则的面积为　 　． 18．若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m－3=0有一个根是0，则m=　 　，另一根为　 　。 19．已知二次多项式 ． （1） 当 时，该多项式的值为　 　 （2） 若关于 的方程 有两个不相等的整数根， 则正数 的值为　 　 三、解答题 20．解方程： （1） （2） 21．已知为实数，关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）若，试求的值． 22．已知等腰的两边长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）当时，求的周长． （2）若为等边三角形，求k的值． 23．用指定的方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣2＝0（公式法）； （2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（因式分解法）； （3）2x2﹣4x+1＝0（配方法） 24．已知关于x的方程． （1）当m取什么值时，原方程没有实数根； （2）当时，原方程有两个实数根，求这两个实数根的平方和． 25．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法； 解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1． 当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出（x-1）2+3的最小值为　 　． （2）求代数式x2+10x+32的最小值． （3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：x2-x+1=0中a=1，b=-1，c=1，则△=b2-4ac=1-4=-3<0， ∴方程无实数根. 故答案为：A. 【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A．∵△=（﹣2）2﹣4×3×1=﹣8＜0，∴方程3x2﹣2x+1=0无解，故A符合题意； B．∵△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，∴方程x2﹣x﹣2=0有两个不相等的实数根，故B不符合题意； C．∵（x﹣2）2=0，∴x1=x2=2，故C不符合题意； D．∵（x﹣2）2=10，∴x﹣2=± ，∴x1=2+ ，x2=2﹣ ，故D不符合题意． 故答案为：A． 【分析】利用根的判别式进行判断，<0无实根。 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根， ∴x1x2=-3. 故答案为：B. 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1x2=，据此求解即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】∵一元二次方程x2+5＝4x， ∴一元二次方程的一般式为x2-4x+5=0， ∴△=（-4）2-4×1×5=16-20=-4<0， ∴一元二次方程没有实数根， 故答案为：C. 【分析】先将方程化为一般式，再利用一元二次方程根的判别式求解即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：x2-4x-1= x2-4x +22-22-1=(x-2)2-5. 故答案为：C 【分析】配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2.根据配方法“先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方”即可求解. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1， b(a2+2a+1)=a2﹣a﹣1， b(a+1)2=a2﹣a﹣1， 当a+1=0时，即a=-1时， 左边=0，右边a2﹣a﹣1=1+1-1=1， 左边≠右边， a=-1（舍去）， 当a+1≠0时， ， ， 故符合题意的选项为B. 故答案为：B. 【分析】先将等式a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1变形为b(a+1)2=a2﹣a﹣1，再分两种情况讨论，当a+1=0时，得出等号左边≠右边，应舍去；当a+1≠0时，得到，将其变形为，再根据非负性得到b≥ ，然后结合选项即可得到答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意． ②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意． ③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意． ④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意． 综上：正确的有①②④，共3个． 故答案为：A． 【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确. 8．【答案】-3 【解析】【解答】设方程 的另一个根是x，由根与系数的关系可得：x+1=-2，所以x=-3，所以另一个根是-3． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解。 9．【答案】5 【解析】【解答】解：． 故答案为：5． 【分析】一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，将的二次项系数1，一次项系数1和常数项-1代入根的判别式，即可求得结果． 10．【答案】1(答案不唯一，只要p≥0即可) 【解析】【解答】解：∵（x+3）2=p有实数根， ∴p≥0， 【分析】根据一元二次方程（x+3）2=p有实数根以及偶次方的非负性得出p≥0，写出p=1即可. 11．【答案】 【解析】【解答】解：， ∴，， ∴. 故答案为：. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出的值，代入取值即可. 12．【答案】7 【解析】【解答】解：由题意可得： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴个位数字是7； 故答案是7． 【分析】将x=a代入方程可得，从而得出，先求出，再将变形为，然后代入计算即可. 13．【答案】5 14．【答案】2 【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1、x2， ∴x1+x2=﹣ =3，x1•x2= =1， ∴x1+x2﹣x1x2=3﹣1=2． 故答案为：2． 【分析】根据根与系数的关系可得出“x1+x2=﹣ =3，x1•x2= =1”，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可得出结论． 15．【答案】24或 【解析】【解答】解：设三角形的第三边的长为， ∵， ∴， ∴，， ∵三角形两边的长是6和8， ∴， ∴， ∴第三边的长为6或10． ∴三角形有两种： ①当三边为6、6、8时，如图， 在中，，， ∴为等腰三角形， 过点作于点， ∴， ， ∴； ②当三边为6、8、10时，如图， 在中，，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 综上所述，该三角形的面积为24或． 故答案为：24或． 【分析】先求出一元二次方程的根，再分两种情况：①当三边为6、6、8时，②当三边为6、8、10时，再分别求解即可。 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】m=1； 【解析】【解答】∵方程（m+3）x2+5x+m2+2m-3=0有一个根为0，∴将x=0代入方程得：m2+2m-3=0，即（m-1）（m+3）=0，解得：m1=1，m2=-3，又原方程为关于x的一元二次方程，m+3≠0，即m≠-3，则m=1． 那么方程为4x2+5x=0解得x=0或 ∴另一个根是 【分析】方程有一根为0，那么将x=0代入即可得到m的一元二次方程，解方程并结合一元二次方程的定义即可求得m的值，从而求得一元二次方程，解该方程即可求得另一个根. 19．【答案】（1）-4 （2）2或5 【解析】【解答】解：（1）当x=1时，x2-ax+a-5=1-a+a-5=-4； 故答案为：-4； （2）设x1与x2是关于x的方程x2-ax+a-5=0的两个不相等的整数根， ∴x1+x2=a，x1x2=a-5， ∴a与a-5都是整数， ∴(-a)2-4(a-5)=a2-4a+20=(a-2)2+16为完全平方数， 设(a-2)2+16=t2（t为正整数）， 则(a-2)2-t2=-16， ∴(a-2-t)(a-2+t)=-16， 由于a-2-t与a-2+t奇偶性相同，且a-2-t＜a-2+t， ∴或或， 解得或(舍去)或， 经检验，a=2与a=5符合要求， ∴正数a的值为2或5. 故答案为：2或5. 【分析】（1）直接把x=1代入多项式，化简即可； （2）设x1与x2是关于x的方程x2-ax+a-5=0的两个不相等的整数根，由根与系数的关系得x1+x2=a，x1x2=a-5，且a与a-5都是整数，由根的判别式可得(-a)2-4(a-5)=a2-4a+20=(a-2)2+16为完全平方数，设(a-2)2+16=t2（t为正整数），则(a-2-t)(a-2+t)=-16，由于a-2-t与a-2+t奇偶性相同，且a-2-t＜a-2+t，从而列出方程组，求解即可. 20．【答案】（1） （2） 21．【答案】（1） （2） 22．【答案】（1） （2） 23．【答案】（1）x1＝1+ ，x2＝1﹣ ；（2）x1＝ ，x2＝3；（3）x1＝1+ ，x2＝1﹣． 24．【答案】（1）当时，原方程没有实数根； （2）这两个实数根的平方和是14． 25．【答案】（1）3 （2）解：x2+10x+32＝x2+10x+25-25+32＝（x+5）2+7， ∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7． 当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7， ∴x2+10x+32的最小值是7； （3）解： ＝-（x2-6x）+5 ＝-（x2-6x+9-9）+5 ＝-（x-3）2+3+5 ＝-（x-3）2+8， ∵（x-3）2≥0， ∴-（x-3）2≤0， ∴-（x-3）2+8≤8， ∴当（x-3）2＝0时，-x2+2x+5有最大值，最大值是8． 【解析】【解答】解：（1）当x=1时， （x-1）2+3有最小值，为3. 【分析】（1）直接代入x=1即可得出答案； （2）对代数式x2+10x+32 进行配方，从而得出答案； （3）对 代数式进行配方，根据-＜0，可得该代数式的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $