25.2降次---解一元二次方程 强化训练 -2026—2027学年人教版数学九年级上册

25.2降次---解一元二次方程 一、单选题 1．一元二次方程的解为（　　） A．－2 B．2 C．0或－2 D．0或2 2．方程中的根是（　　） A． B．， C． D． 3．已知 m， n 是一元二次方程 的两个根， 则 的值为（　　） A．3 B．-10 C．0 D．10 4．若方程有实数根，则值可以是（　　） A． B． C． D． 5．方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（　　） A．x1=1，x2=﹣3 B．x1=4，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣4，x2=2 6．设x1，x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则x12+x22的值为（　　） A．3 B．9 C． D．15 7．已知四个多项式，，，，下列说法中正确的个数为（　　） ①若，则 ②若，则 ③若x为正整数，且为整数，则 ④若对任意x都有，则当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．设方程的两根为，则的值为（　　） A．-10 B．22 C．24 D．30 二、填空题 9．若一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1和x2，则x1+x2=　 　 10．若一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为　 　． 11．设a，b是方程+x-2013=0的两个不相等的实数根，a2+2a+b的值　 　. 12．关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是　 　． 13．关于x的方程有两个相等的实数根，则　 　 14．若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 15．配方填空： 　 　　 　 . 16．一元二次方程 的两个实数根中较大的根是　 　． 17．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为　 　． 18．已知实数，且满足，．请解决下列问题： （1）当时，的值为　 　； （2）当时，的值为　 　． 19．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则　 　．（结果用含p的代数式表示） 三、解答题 20．用指定方法解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 22．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 23．（1）已知关于的方程若方程有两个相等的实数根，求的值，并求出此时方程的根； （2）是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 24．一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-(m+2)x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长。 25．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：， x2-2x=0， x(x-2)=0， x=0或x-2=0， ∴x=0或2， 故答案为：D． 【分析】利用因式分解法解方程即可。 2．【答案】D 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵m， n 是一元二次方程 的两个根， ∴m+n=-2，mn=-5， 把m代入得， ， ∴， ∴ = =5-5 =0 故答案为：C. 【分析】根据根与系数关系得mn=-5，把m代入得，，代入即可求解. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵方程有实数根， ∴ 解得 四个选项，只有C选项符合 故答案为：C 【分析】当一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，根据题意应该列不等式． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：（x+1）（x﹣3）=5， x2﹣2x﹣3﹣5=0， x2﹣2x﹣8=0， 化为（x﹣4）（x+2）=0， ∴x1=4，x2=﹣2． 故选：B． 【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解． 6．【答案】D 【解析】【解答】∵x1，x2是一元二次方程x2+3x-3=0的两个实数根， ∴x1+x2=-3，x1x2=-3， 则x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=9+6=15． 故答案为：D． 【分析】完全平方公式的应用， x12+x22 =（x1+x2）2-2x1x2，根据韦达定理：x1+x2=-，x1×x2=.列出关系式，整理求解即可。 7．【答案】B 8．【答案】B 【解析】【解答】解： 方程 去分母，得x2-2x-4=0， 方程的两根为， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：B. 【分析】先把分式方程转化为一元二次方程，由根的概念和根与系数的关系得到的关系式，再把所求的代数式变形后，整体代入求解即可。 9．【答案】3 【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2， ∴x1+x2=3， 故答案为：3． 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得可求解。 10．【答案】2019 11．【答案】2012 12．【答案】3 【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x 由题意可得：(-1)x=-3，解得x=3 故答案为：3 【分析】设方程的另一个根为x，根据二次方程根与系数的关系建立方程，解方程即可求出答案. 13．【答案】0 14．【答案】：k＜1． 【解析】【解答】∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，∴△= =4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为：k＜1． 【分析】根据一元二次方程 有两个不相等的实数根可知其根的判别式的值应该大于0，从而列出关于k的不等式，求解即可。 15．【答案】9； 【解析】【解答】解： . 故答案为：9， . 【分析】首先提取4，然后对括号中的式子利用完全平方公式分解即可. 16．【答案】6 【解析】【解答】解 得： ，较大的根是6. 【分析】利用因式分解法求出方程的两个解，即可求解. 17．【答案】6或10或12 【解析】【解答】∵x2﹣6x+8=0， ∴（x-2）（x-4）=0， ∴x1=2，x2=4， ①当4为腰，2为底时， ∴C三角形=4+4+2=10， ②当2为腰，4为底时， ∵2+2=4， ∴ 不能构成三角形， ③当三角形三边都是4时， ∴C三角形=4+4+4=12， ④当三角形三边都是2时， ∴C三角形=2+2+2=6， 故答案为：6，10或12. 【分析】先解一元二次方程求出根为2或4，之后分情况讨论三角形三边的长度，从而求出其周长. 18．【答案】（1） （2）2 【解析】【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴a和b为方程的两个根， ∴a+b=-3， 故答案为：-3； （2）∵，， ∴， ∴， ∴a和b为方程的两个根， ∴a+b=-3，ab=-c， ∴， ∴， 故答案为：2 【分析】（1）先根据题意得到，进而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解； （2）先根据题意得到，进而得到，从而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，ab=-c，进而得到，然后结合题意代入即可求解。 19．【答案】 20．【答案】（1） （2） 21．【答案】（1） （2）； 22．【答案】（1）且 （2） 23．【答案】（1）解：，，方程有两个相等的实数根， ，即， ． 原方程化为：，， ． （2）解：不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于． ， ， 即：， 解得：，不合题意，舍去， 又时，，此时方程无实数根， 不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于． 【解析】【分析】(1)对照一元二次方程一般式，分别写出a，b，c，根据“方程有两个相等的实数根”，列出关于待求字母的方程求得待定字母，代回后得到方程，解这个方程即可； （2）利用根与系数的关系，分别计算两根之和、积，再求两根的平方和，依次“ 方程的两个实数根的平方和等于”求解，说明其不可能即可. 24．【答案】解：根据韦达定理： 因为两直角边边长为整数 所以m是整数 又因为判别式 = 设其等于 则有 因为且为整数 或 或 时，两直角边长为12和5，斜边长为13 时，两直角边长为6和8，斜边长为10 【解析】【分析】利用韦达定理x1+x2=m+2，x1x2=4m，容易消去m而直接得到两根的关系，从而解出x1，x2，然后进行检验即可. 25．【答案】（1）倍根方程 （2）c的值是8 （3）方程的两个根是，或， 学科网（北京）股份有限公司 $