第二十五章 微专题2 一元二次方程的解法综合-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

第6课时降次—解一元二次方程(5) —因式分解法 1.A2.D3.x=0或x=34.2或-1 5.x1=0,x2=-26.x1=0,x2=10 1 7.4=-1x=28.五=-2=-2 9.解：整理得4x2一1=0，(2x+1)(2x一1)=0， 2x+1=0或2z-1=0a=-号= 1 10.解：移项得3x2一6x+3=0, 提公因式得3(x2-2x十1)=0， 整理得x2一2x+1=0,(x-1)2=0, 0=x2=1. 11.解：移项，得x(x-5)-2x=0, 因式分解，得x(x一5一2)=0，于是，得x=0或x一7=0， x1=0,x2=7. 12.解：因式分解，得(x-5)(x-2)=0, 于是，得x一5=0或x-2=0,x1=5,x2=2. 13.解：y2-9=1,y2=10,y=士√10， ∴y=√/10，y2=-√10. 14.解：移项，得x(x一5)十8(x-5)=0, 因式分解，得(x一5)(x十8)=0. 于是，得x十8=0或x-5=0,x1=-8,x2=5. 15.解：(1).关于x的一元二次方程(m十1)x+5x十m2-4m 6=0的常数项为0，可得：{m一4m90 由m+1≠0，可得：m≠-1，解方程m2一4m-5=0, 分解因式可得：(m-5)(m十1)=0，解得：m1=5,m2=一1， .m=5; (2)当m=5时，可得方程为6x2十5x=0, 分解因式得：z(6x十5)=0，解得：马=0，西=-名 16.解：(1)不正确不正确 (2)(2x+1)2-3(2x+1)=0, (2x+1)(2x+1-3)=0, 2z+1=0或2x+1-3=0,解得=-之=1. 17.C18.A 微专题1用十字相乘法解一元二次方程 1.解：(x-8)(x+3)=0,x+3=0或x-8=0, .x1=-3,x2=8. 2.解：(x十2)(x十4)=0， x十2=0或x十4=0，.=-2，x2=-4. 3.解：x2十2x一8=0， (x+4)(x一2)=0，x+4=0或x一2=0， .1=-4,x2=2. 4.解：(x-2024)(x十1)=0. .x-2024=0或x十1=0. .x1=2024,x2=-1. 5.解：(3x-5)(x+2)=0. .3x-5=0或x十2=0 5 小西=3西=一2. 6.解：2y2+3y-2=0,(2y-1)(y+2)=0, 2y-1=0或y+2=0, n=2%=-2. 7.解：(x十6)(x-1)=0,x+6=0或x一1=0， .x1=-6,x2=1. 参考苔案 8.解：(x一3)(x+1)=0,x-3=0或x+1=0, .x1=3,x2=-1. 9.解：(x-10)(x+9)=0,x一10=0或x十9=0， x1=10,x2=-9. 10.解：(x-3)(x十4)=0，x一3=0或x十4=0， x1=3,x2=-4. 11.解：(1)(x+3)(3x-4)=0,x十3=0或3x-4=0, =-36=号 (2)x2+3x-4=0,(x+4)(x-1)=0, .x十4=0或x-1=0,解得x1=-4,x2=1. 12.解：由方程得(x一4)(x一5)=0，解得x=4,x2=5. .AB长是方程x2一9x+20=0的一个根， ∴.AB=4或AB=5. .'AB=AC,BC=8, .2AB>8,∴.AB>4,.AB=5 如答图，过点A作AD⊥BC于点 D.则BD-?BC=4 B D 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 答图 AD=√AB-BD=V√5-4=3， Sa=合BC·AD=7×8X3=12, 即等腰三角形ABC的面积是12 13.解：①当=0时，原方程为-2x十2=0，解得x=1. ②当≠0时，原方程可因式分解为 (x-1)[kx-(k+2)]=0, 六x-1=0或z-(k+2)=0,G=1,=士2 微专题2一元二次方程的解法综合 1.(1)直接开平方法3 -3(2)因式分解法0多 (3)公式法 -1+6-1-6 5 5 (4)配方法 一3+√7 -3-√7 (5)直接开平方法一号一员 5 2.解：(1)(x+2)2-3(x+2)=0,(x+2)(x+2-3)=0, (x十2)(x-1)=0,x+2=0或x-1=0, 解得x1=一2，x2=1. (2)x2+2x-15=0,(x+5)(x-3)=0, x十5=0或x-3=0,x1=-5,x2=3. 3.解：(1)换元转化 (2)令a=x2,则原方程可化为a2-a-12=0, 解得a=-3或a=4,.x2=-3(舍去)或x2=4, 解得x1=2,x2=一2， 故原方程的解是x1=2,x2=一2. 4.解：(1)令4x-1=y,得y2-10y-24=0, .(y-12)(y+2)=0,∴.y-12=0或y+2=0, ∴=12%=-2，当y=12时，4红-1=12z=号 当y=-2时，4红-1=-2，x=-, 方程的解为石=坚=-子 (2)设y=x2+2x,则y-y-6=0. .(y-3)(y+2)=0,.y=3或y=-2. 当y=3时，x2+2x-3=0,x=-3,x2=1, 当y=-2时，x+2x十2=0，无解. 故方程的解为x1=一3，x2=1. 3 数学九年级上册(RJ) 5.解：(x-2)(x-4)=0, ∴.x-2=0或x-4=0,∴.x1=2,x2=4. 6.解：3x2-4x-1=0, .a=3,b=一4，c=一1， .△=16-4×3×(-1)=28， 解得2，-27 3 31 7.C8.D 9.解：2(x十y)2-3(x十y)-2=0, 设x十y=,则2F-3-2=0,解得有=-号4=2， ∴x+y=-2或2 第7课时降次一解一元二次方程(6) 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）】 1.D2.A3.-54.-15.-56.-37.-28.0 9.解：(1)a=1,b=2,c=1,且2-4ac=4-4=0, 函十=-名=-2=台=1 (2):a=1,b=√2，c=-3,且62-4ac=2+12=14>0, 通十=-名=-E,西=合=-3 (3)方程化为5x2十x-3=0, .'a=5,b=1,c=-3,且b2-4ac=1+60=61>0, a (4)方程化为6x2-5x+1=0, .a=6,b=-5,c=1,且b2-4ac=25-24=1>0, 函十=-名-号=台-行 10.3111.202112.113.2314.10 15.解：(1)方程x2-x-1=0中，a=1,b=-1,c=-1, 函+4=--1，函==-1， 故答案为：1；-1. (2)x号+x2=(十x)2-2m1x2=12-2X(-1)=3. 16.解：把x=1代入方程x2+bx-3=0, 得：1+b-3=0,解得b=2, .原方程为x2+2x一3=0. 解得x1=1,x2=一3， b的值为2，方程的另一个根为x=一3. 17.解：根据题意，得十x2=2k十1，xx2=2k. x十2x=(x1十x2)2-2x1x2 .(2k+1)2-2×2k2=4k+1=5,解得k=1. 18.解：(1)：m,n是方程x2+x-1=0的实数根， ∴.m十n=-1,mn=-1. (2).m,n是方程x2十x一1=0的实数根， .m2+m-1=0,m+n=-1,mn=-1, ∴.m2十2m十n-mn=m2+m十m+n-mm =1-1-(-1)=1. 19.解：(1)关于x的一元二次方程x2+2(k一1)x+k一1= 有实数根， .△=[2(k-1)]2-4(k2-1)≥0. 即4(k一1)2-4(k2一1)≥0，解得k≤1. (2),方程的两个实数根分别为x1,x2, x1+x2=-2(k-1),x2=k2-1. (x1-1)(x2-1)=6,x1x2-(十x2)+1=6. .k2-1+2(k-1)+1=6. 解得=一4或=2， k≤1，.k=-4. 微专题3一元二次方程阶段复习 1.D2.B3.-34.20245.C6.C 7.解：x2-4x十1=0， 6-4ac=(-4)2-4X1X1=12,x=4±/厘， 2 x=2+3,x2=2-√3. 8.解：2(x-3)-3x(x-3)=0,(x-3)(2-3x)=0, x-3=0,2-3x=0,x1=3,x2=2 9.B10.A11.-312.x=2-√5 13.解：(2x+1)2-3(2x+1)=0, (2x+1)(2x+1-3)=0,2x+1=0或2x+1-3=0, .x1= Γ2=1. 5 14.解：根据题意得西十五=一2西五=一之 (①)原式=石-(a十)+1=-号+号+1=8， (2)原式=+立-国十)2-2x2 T1x2 T Tz (-)》°-2x(》 _29 2 15.解：x2-(2m+1)x+m(m+1)=0, (x-m)(x-m-1)=0,解得x1=m,x2=m十1， .BC=6,△ABC为等腰三角形， ∴.m=6或m+1=6,.m=6或m=5 m=6时，三边长为6,7,6，符合三角形三边关系； m=5时，三边长为5,6,6，符合三角形三边关系. 则当△ABC为等腰三角形时，m的值为6或5. 16.解：(1)△=[2(a-1)]2-4(a2-7a-4)=20a+20, 方程有两个实数根，.20a十20≥0，∴.a≥一1. (2)由题意得x1十x2=-2(a-1),1·x=a2-7a-4, x1x2-3x1-3x2-2=0, .a2-7a-4-3[-2(a-1)]-2=0, .a2-a-12=0,解得a=4或a=-3, a≥-1，.a=4. 17.(1)证明：：关于x的一元二次方程为 x2-2mx+m2-1=0,∴.△=(-2m)2-4(m2-1)=4>0, .该一元二次方程总有两个不相等的实数根 (2)解：由求根公式得x1=m十1，x2=m-1 ·该一元二次方程有一个根大于3，另一个根小于3， ∴.m-1<3且m+1>3,解得2<m<4. 第8课时实际问题与一元二次方程(1)（几何问题） 1.(7+2x)(5+2x)=2×7×52.13.24.C5.B 6.解：设小路的宽为x米，则矩形花园的长为(16一2x)米，宽为 (12一2x)米，根据题意，得 (16-2x)12-2x)=7×16×12, 整理，得x2一14x十24=0， 解得=2，x2=12(不符合题意，舍去). 答：小路的宽为2米， 7.解：(1)由题意得：BQ=2tcm,AP=tcm,PB=(5-t)cm, 故答案为：2t:(5-t). (2)存在，理由如下：由题意得：号×2×(5-)=4， 解得：t1=1,t2=4(不符合题意，舍去)， ∴.存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm,此时t的值 为1.数学·九年级·上册（人教版） 微专题2一元二次方程的解法综合 A基础巩固。。 落实课标 3.阅读材料： 解方程(x2-1)2-5(x2-1)十4=0， 1.请在下列方程后面的括号内填写适当的解法， 我们可以将x2一1视为一个整体，然后设x2一 并求出方程的根： 1=y,则(x2-1)2=y2, (1)2x2-18=0( 原方程化为y2-5y+4=0.① 方程的根为x1= ,2 解得y1=1,y2=4. (2)4x2-6x=0( ), 当y=1时，x2一1=1.x2=2,x=士√2； 方程的根为x1= C2= 当y=4时，x2-1=4,.x2=5,.x=士√5. (3)5.x2+2x-1=0( 原方程的解为=√2，x2=一√2，= 方程的根为x1= √5，x4=-5. 根据上面的解答，解决下面的问题： C2= (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 (4)y2+6y+2=0( 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想； 方程的根为x1= (2)解方程：x4-x2-12=0. x2= (5)9(x-2)2=121(x+1)2( 方程的根为x1= C2= 2.解下列方程： (1)(x+2)2=3(x十2)； (2)(x-1)(x+3)=12. ●>16● 第二十五章一元二次方程 B能力提升 ●● 灵活应用 C拓展应用●●。。 深度思考 4.解下列方程： 6.解方程：3x2=4x十1. (1)(4x-1)2-10(4x-1)-24=0: 7.如果(x一y一2)(x-y十1)=0，那么x-y= () (2)(x2+2x)2-(x2+2x)-6=0. A.2 B.-1 C.2或-1 D.-2或1 8.若(a2+b2)(a2+b2+4)=12,则a2+b2的值为 () A.2或-6 B.-2或6 C.6 D.2 9.已知2(x+y)2-3x-3y-2=0,求x+y 的值. 5.解方程：x2-6x+8=0. ●>17●