精品解析：河北邯郸市大名县六中杨桥中学 等校2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

九上数学期中检测卷 （范围：第25章～第27章 时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数为，二次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，1 B. ， C. 3， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程化为一般形式，根据给定的一次项系数，确定二次项系数和常数项，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，且一次项系数， ∴将方程移项得：， ∴二次项系数，常数项， 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为； 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知抛物线的顶点坐标是是解题的关键. 3. 如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的值可以为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：, 从而列不等式可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：，只有选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵反比例函数， 当时，随的增大而增大， ∴， 解得. 5. 点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由两点纵坐标符号不同可知两点不在同一象限，结合时反比例函数的图象象限分布，判断、的正负即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象分布在第二、四象限， ∵点的纵坐标为， ∴该点在第四象限，， ∵点的纵坐标为， ∴该点在第二象限，， ∴． 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过直接计算各点的函数值，比较, , 的大小关系． 【详解】解：在二次函数中， 对于点：； 对于点，； 对于点，， ∵为常数， ∴， 即． 故选：A． 7. 制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平均每次降低成本的百分率为的话，经过第一次下降，成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，根据两次降低后的成本是元列方程求解即可. 【详解】设平均每次降低成本的百分率为，根据题意得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 即：. 故选：. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，这是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调后就变为原来的倍，调整2次就是倍. 8. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得，再向上平移1个单位长度，得． 9. 飞机着陆后滑行的距离s（）关于滑行时间t（）的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将一般式化为顶点式确定抛物线的对称轴和最值，再结合实际意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数图象是对称轴为，最大值为600，开口方向向下的抛物线， ∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行会停止， ∴A选项符合题意． （2026遂宁中考） 10. 如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号；利用抛物线解析式及的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④． 【详解】解：①抛物线开口向上， ， ∵与x轴的两个交点坐标分别为， ∴对称轴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故①正确； ， 由和可得， 故②结论错误； ③当时，抛物线有最小值，， ∵，， ∴当时，随增大而减小，当时，；当时，； ∴， 故③正确； ④方程有实数根， ，即. ， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 12. 已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出参数、的值，再代入代数式运用有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为． ∴ 根据根与系数的关系，两根满足，． ∵ 已知，． ∴ ，，解得． ∴ ． 13. 在学校就餐时，往往需要在窗口前排队等待．经调查发现，同学们的舒适度指数与等待时间之间满足如图所示的反比例函数关系．当舒适度指数不低于15时，同学们才感觉到舒适，那么在窗口排队的同学至多等待________才合适． 【答案】8 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出，当时，，然后结合图象求解． 【详解】解：设与之间的关系式为 将代入得， ∴ ∴ 当时， ∴ 由图象得，当时， ∴在窗口排队的同学至多等待才合适． 14. 已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染_____个人． 【答案】5 【解析】 【分析】设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得， 3（x+1）2=108， 解得：x1=5，x2=8（不合题意，舍去）， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染x人，n轮共传染（x+1）n人． （2026武汉四调改编） 15. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，线段的端点坐标分别是，．若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先求直线与抛物线的交点，再判断交点横坐标是否落在线段的横坐标范围内；讨论时按的正负与临界值（含端点与相切的情形）分类，相切记作一个公共点． 【详解】解：由， 令，得， 两边同乘，得， 即，解得或， 故，． 令，得，故． 当时，、重合于原点，而原点不在抛物线上，线段与抛物线没有公共点，不合题意． 当时，直线过、，设直线的解析式为． 把、的坐标分别代入，得 解得，， 故直线的解析式为． 线段上点的横坐标范围：当时为；当时为． 联立直线与抛物线，得， 两边同乘并整理，得． 判别式． 当时，，直线与抛物线没有交点，不合题意； 当时，交点横坐标为． ①当时，线段上点的横坐标范围为． 其中，不在该范围内； 而在该范围内，当且仅当， 即． 当时，两边平方得， 即，． 而时，故，即． 于是当时恰有个公共点；当时没有公共点，不合题意． ②当时，线段上点的横坐标范围为． 在该范围内，当且仅当， 即． 当时，而，该不等式不成立； 当时两边平方得，即， 而时，故，即； 故当时在范围内． 而在该范围内，当且仅当， 即，得． 当时，此时、，故，即， 又，故，即； 当时． 于是当时没有公共点，不合题意； 当时恰有个公共点； 当时有个公共点，不合题意； 当时，，直线与抛物线相切于，且，恰有个公共点； 综上，线段与抛物线只有一个公共点时， 的取值范围是或或． 当时，、， 此时，满足， 线段与抛物线恰有一个公共点（如图）． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】根据公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ，， ， ． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式．确定的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定、、的值． 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 根据根与系数关系先求出另一个根，再将，代入原方程，得到关于的方程求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， 设另一个根为， 则， 解得：， 将代入， 得， 解得：． 18. 如图，直线与双曲线交于点，，与轴交于点． （1）点的坐标为________； （2）直接写出方程的解是_______； （3）结合图像，直接写出不等式的解集是_______． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入即可确定其与y轴交点的纵坐标，从而确定交点坐标； （2）方程的解是直线与双曲线交点的横坐标，据此即可解答； （3）根据函数图像写出反比例函数图像在一次函数上方对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴将代入可得：， ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 解：∵直线与双曲线交于点，， ∴方程的解是直线与双曲线交于的横坐标，即． 【小问3详解】 解：不等式的解集是反比例函数图像在一次函数上方对应的自变量的取值范围，即或． 19. 已知抛物线的解析式为． （1）写出抛物线的对称轴及顶点的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 （2）当时，的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式，可求得抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴图象开口向下，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，，当时，， ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为． 20. 如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． （1）若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； （2）求双曲线的解析式及的值； （3）求点的坐标． 【答案】（1） （2）双曲线的解析式为， （3） 【解析】 【分析】（1）推导出，第一象限内反比例函数单调递减，纵坐标越大，对应的横坐标越小，直接比较， （2）先利用反比例函数的几何意义求出的值，写出双曲线解析式，把代入解析式，解方程求， （3）先求直线解析式，设出点坐标，写出中点坐标；利用在直线上列方程，求解正数，得到坐标即可， 【小问1详解】 解：∵双曲线的一支图像在第一象限， ，且双曲线在时，随的增大而减小， 点，在双曲线上，且， ； 【小问2详解】 解：∵为的中点，的面积为3， ∴， 轴， ∴， ∴双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）得， 设直线的解析式为， 把代入得 ， ， 直线解析式为， 设，则， 在直线上， ， ， ， ， 当时，， ． 21. 如图，用总长的篱笆依墙（墙足够长）围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等． （1）的值为______；的值为______； （2）当矩形的面积为时，求的长． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由矩形①和矩形②的面积相等，可得出，结合，可得出；由矩形①和矩形③的面积相等且，可得出，进而可得出； （2）设，则，，根据矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出的长． 【小问1详解】 矩形①和矩形②的面积相等， ， 又， ； 矩形①和矩形③的面积相等，且， ， ． 故答案为：2，2； 【小问2详解】 设，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ． 答：的长为． 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）点，在该函数图象上，若，求的取值范围． （3）将该函数图象向下平移个单位长度，所得图象与轴相交于点，（点在点的左侧），原点在点，之间．当时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）待定系数法求得解析式，再求对称轴即可． （2）根据二次函数的增减性求解即可． （3）根据，不妨设，故平移后的抛物线解析式为，平移后的抛物线解析式为，根据题意，得，求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， 故， 解得， 故， 故抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：中， 故与对称轴的距离越大，函数值越小， 由点，在该函数图象上，且， 得， 故， 故， 解得． 【小问3详解】 解：， 不妨设， 故平移后的抛物线解析式为， 因为函数图像向下平移个单位长度， 故平移后的抛物线解析式为， 根据题意，得， 解得． 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如下表所示： 销售单价x（元/件） 55 60 70 … 销售量y（件） 70 40 … （1）直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式 ； （2）求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？ （3）销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）元或元 （3）当销售单价为60时，利润最大，最大利润为1200元 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）设总利润为，求出与的解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴销售单价定为元或元时，当天的销售利润是1050元； 【小问3详解】 解：设总利润为，由题意，得： ； ∵，对称轴为直线：， ∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大， ∵销售过程中要求走出的商品数不少于60件， ∴， 即， ∴， ∴当时，利润最大为：； 答：销售单价定为元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．根据题意，正确的列出一元二次方程和二次函数关系式，是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）． （1）求A点的坐标； （2）如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）对于直线，令，求出x，即可求解； （2）表示出点，，的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论； （3）直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，各为13个，分别求出的范围． 【小问1详解】 解：对于直线， 当时，， ∴A点的坐标为； 【小问2详解】 解：联立直线与抛物线得： ， ， 或， ，， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， 若，则，即，所以， 若，则，即，所以， 若，则，即，此方程无解． 或； 【小问3详解】 解：如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上， ，，， ， 格点数恰好是26个， 落在轴和直线上的格点数应各为13个， 落在轴的格点应满足，即， ①若，即， 所以线段上的格点应该为，，，， ②若，，，所以线段上的格点正好13个， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在轴和直线上，各为13个，并对点、进行定位． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上数学期中检测卷 （范围：第25章～第27章 时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数为，二次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，1 B. ， C. 3， D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的值可以为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 4. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为（　　） A. B. C. D. 8. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 9. 飞机着陆后滑行的距离s（）关于滑行时间t（）的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（ ） A. B. C. D. （2026遂宁中考） 10. 如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 12. 已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是_______． 13. 在学校就餐时，往往需要在窗口前排队等待．经调查发现，同学们的舒适度指数与等待时间之间满足如图所示的反比例函数关系．当舒适度指数不低于15时，同学们才感觉到舒适，那么在窗口排队的同学至多等待________才合适． 14. 已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染_____个人． （2026武汉四调改编） 15. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，线段的端点坐标分别是，．若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是_______． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解方程： 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，直线与双曲线交于点，，与轴交于点． （1）点的坐标为________； （2）直接写出方程的解是_______； （3）结合图像，直接写出不等式的解集是_______． 19. 已知抛物线的解析式为． （1）写出抛物线的对称轴及顶点的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 20. 如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． （1）若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； （2）求双曲线的解析式及的值； （3）求点的坐标． 21. 如图，用总长的篱笆依墙（墙足够长）围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等． （1）的值为______；的值为______； （2）当矩形的面积为时，求的长． 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）点，在该函数图象上，若，求的取值范围． （3）将该函数图象向下平移个单位长度，所得图象与轴相交于点，（点在点的左侧），原点在点，之间．当时，求的值． 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如下表所示： 销售单价x（元/件） 55 60 70 … 销售量y（件） 70 40 … （1）直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式 ； （2）求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？ （3）销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）． （1）求A点的坐标； （2）如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $