专题03 图形的相似29大题型87题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材冀教版

专题03 图形的相似（29大题型87题） 基础·固本强基 题型1 比例线段 题型2 黄金分割（重点） 题型3 相似多边形 题型4 平行线分线段成比例（重点） 题型5 相似三角形的判定（重点） 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解（重点） 题型8 网格中的相似三角形 题型9 相似三角形的动点问题（重点） 题型10 图形的位似 题型11 重心的有关性质（重点） 题型12 用相似三角形解决问题 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（重点） 题型14 黄金分割综合（重点） 题型15 相似多边形的性质综合 题型16 相似形的判定综合（重点） 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（重点） 题型18 相似三角形的动点综合（重点） 题型19 相似三角形的综合问题 题型20 重心的有关性质（重点） 题型21 图形位似综合 题型22 相似三角形的实际问题综合（重点） 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（难点） 题型24 相似三角形与函数结合（难点） 题型25 相似三角形的旋转综合（难点） 题型26 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型27 相似三角形的最值问题（难点） 题型28 相似三角形的模型问题（难点） 题型29 相似三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 比例线段（共3小题） 【易错】比例内项、外项易混淆，等积式化比例式容易写反；设参数求值时，忽略线段长度大于 0 的隐含限制 1．（26-27九年级上·河北张家口·期中）若，且，则等于（     ） A．4 B．8 C．32 D．2 2．（26-27九年级上·河北·期中）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 题型2 黄金分割（共3小题） 【易错】一条线段有两个黄金分割点，常漏掉一个；分不清较长段、全段的比例关系，数值代换出错。 4．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A．4.6cm B．6.4cm C．7.2cm D．7.4cm 6．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）滕州一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（    ） A． B． C． D． 题型3 相似多边形（共6小题） 【易错】判定需要角相等且边成比例，只看边长判定；容易混淆相似比，面积比不是相似比本身。 7．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 根据题意得，，， 则，， ∴，， 根据题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 9．（24-25九年级上·江苏南京·期中）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 题型4 平行线分线段成比例（共3小题） 【易错】找错对应线段，上下线段不交叉列式；平行线未截两腰时不能套用定理，线段对应关系易混乱。 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，已知，它们依次与直线交于点、、和点、、，则的对应线段是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________． 12．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．    (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 题型5 相似三角形的判定（共3小题） 【易错】SSA 不能判定相似；找角时误把非对应角当作等角，直角三角形相似判定条件容易记混。 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 14．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 【易错】忽略已有一组等角，添加边时必须是夹边；条件写为 SSA，忽略多种可行情况，答案写不全。 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 17．（2026九年级下·河北·专题练习）如图，，分别是的边，上的动点，若，，． (1)若，则________； (2)若，． ①对应边的关系为：________________________； ②________； ③与的周长之比为________，面积之比为________； (3)添加一个条件：________（不添加辅助线），使得． 18．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，为平行四边形的对角线，E为的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，在上作一点F，连接，使得． (2)如图2，在上作一点G，连接，使得． 题型7 利用相似三角形的性质求解（共3小题） 【易错】周长比等于相似比，面积比是相似比平方；经常直接用相似比当作面积比，对应边匹配错误。 19．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，D是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 21．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 题型8 网格中的相似三角形（共3小题） 【易错】计算边长时勾股定理算错；找对应角凭肉眼直观判断，未计算角度，对应顶点匹配出错。 22．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 23．（25-26九年级下·浙江丽水·期中）如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 24．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 题型9 相似三角形的动点问题（共3小题） 【易错】动点产生多组相似，对应顶点不确定，分类不全；算出结果不检验，舍去不能构成三角形的解。 25．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 26．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 27．（26-27九年级上·山东济南·期中）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 题型10 图形的位似（共3小题） 【易错】位似中心可在图形内外，常只考虑同侧；位似比与坐标缩放关系搞反，漏另一侧位似图形。 28．（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 29．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若的周长是，则的周长为________． 30．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型11 重心的有关性质（共3小题） 【易错】重心分中线为 2:1，易记成 1:2；混淆重心、垂心、外心概念，错把线段比例搞颠倒。 31．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　）    A．6 B．8 C．10 D．12 32．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，点G是△ABC的重心，点E为BC上一点．如果GE//AC，那么BE:EC=______． 33．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为______． 题型12 用相似三角形解决问题（共3小题） 【易错】建模时找错相似三角形；忽略实际场景，边长取值不符合现实，计算后缺少检验步骤。 34．（26-27九年级上·河北张家口·期中）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下： 如图2，首先，小芳在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为；然后，小明在处竖立了一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和旗杆顶点在一条直线上，此时测得的长为，的长为，已知，，，点，，，，在一条直线上． (1)_____________； (2)请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 35．（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 36．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（共3小题） 37．（26-27九年级上·河北张家口·期中）已知； (1)求代数式的值； (2)当时，求a，b，c的值． 38．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一道习题及其不完整的解答过程如下： 已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步 (1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________； (2)模仿上述解答过程，已知，求的值． 39．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，， ，．    (1)若，求线段的长； (2)若的面积是，求的面积． 题型14 黄金分割综合（共3小题） 40．（26-27九年级上·湖北十堰·期中）阅读材料： 黄金分割定义：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，比值称为黄金比．一条线段上存在两个黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好．舞台总长20米． (1)主持人站在距离点较远处的黄金分割点，求； (2)舞台上还有另外一个黄金分割点，则的长为______米； (3)若舞台长为，求两个黄金分割点之间距离．（用含的代数式表示） 41．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）【问题背景】公元前4世纪，古希腊数学家发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽之比为最佳比例（看起来赏心悦目），这个美妙的比例实质上是将一条单位长的线段分成两段，使小段：大段=大段：全段，这就是众所周知的“黄金分割比”．比如：是线段的“黄金分割点”， 如图： 则有 【问题解决】设全段为1，大线段为，则小线段长为，于是有解得． (1)如图，上海东方明珠塔的塔身高度为，塔身上装置了下球体，中球体和上球体（太空舱）．分别位于塔身的，，之间，若要使得塔身显得非常协调美观，请直接写出塔身的一个黄金分割点位于______________球体内． (2)若要作线段的黄金分割点，小军认为他可以这样实现．步骤如下： ①作于点，且使得． ②连接，以为圆心，的长为半径作弧，交于点． ③以为圆心，长为半径作弧交于点． ④点即为的一个黄金分割点． 请你判断他的作图是否正确，并说明理由． (3)已知，求的值． 42．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）阅读下面数学材料，并完成相应的任务： 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段、、之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程：设，，则． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有______________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程． (3)如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点．求证：点是线段的黄金分割点． 题型15 相似多边形的性质综合（共3小题） 43．（2026九年级上·河北·专题练习）如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 44．（2026九年级上·河北·专题练习）如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 45．（25-26九年级上·河北·期中）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型16 相似形的判定综合（共3小题） 46．（26-27九年级上·广东深圳·期中）定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”， 如图1，在四边形中，，，则四边形为“单邻等补四边形”． (1)下列图形一定为单邻等补四边形的是________． A． B． C． D． 【特例探究】 (2)如图，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． 解：过D作交于点E，过D作交的延长线于点F，由题意得：________°． 易证：（________）（选择填写：、、、、） 补全求解过程…… 【归纳分析】 (3)如图，在单邻等补四边形中，，延长，交于点E，连接，若，请你求出和，之间的关系． 【灵活应用】 (4)如图，在中，，，，在射线或射线上存在一点F，当四边形为“单邻等补四边形”时，请直接写出此时的长． 47．（26-27九年级上·山东聊城·期中）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 48．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． (1)与相似吗？为什么？ (2)若，求的长； (3)当为多少时，的长最大？最大为多少？ 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（共3小题） 49．（26-27九年级上·山东济南·期中）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 50．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接，． (1)求证：． (2)若为的中点，，，求的长． 51．（26-27九年级上·湖南常德·期中）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 题型18 相似三角形的动点综合（共3小题） 52．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以1的速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以3的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)当以，，为顶点的三角形与相似时，_________． (3)求出图2中，的值． 53．（26-27九年级上·山东枣庄·期中）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 54．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型19 相似三角形的综合问题（共3小题） 55．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长： (2)连接，求证：四边形是菱形： (3)如图分别是线段上的动点（与端点不重合），且，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 56．（26-27九年级上·四川成都·期中）完成下列小题． (1)如图1，已知中，，，．正方形的顶点在边上，点在斜边上，点F在边BC上，试求正方形的边长． (2)如图2，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？ 我们不妨这样思考： 如图2，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个； ①按上述思路，如图3，排列第二层时，通过计算确定第二层最多排列多少个小正方形． ②请通过计算确定在内部能排列的小正方形最多个数； (3)如图4，在梯形ABCD中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．直接写出在梯形内部能排列的小正方形的最多个数． 57．（2026·吉林·模拟预测）如图①，在中，，，．点D在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点F． (1)求证：； (2)如图②，当点E是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段、，与交于点F； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 题型20 重心的有关性质（共3小题） 58．（25-26九年级上·江苏南京·期末）确定重心位置 我们知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，其他平面图形的重心在什么位置呢？根据数学方法、物理知识，我们可以这样确定平面图形及其组合图形的重心位置： ①对称图形的重心在其对称中心或对称轴上； ②若图形由两部分组成，其重心位于连接这两部分重心的直线上； ③若图形由面积相等的两部分组成，其重心是这两部分重心连线的中点； ④若图形由面积不相等的两部分组成，其重心位置满足杠杆原理，关系如上． (1)在方格纸中，仅用无刻度直尺画出图1～图3中阴影所示图形的重心G的位置； (2)如图4，一般四边形的重心位置如何确定？请写出确定其重心位置的主要思路，并画出示意图． (3)在一张匀质平整卡纸上打了5个孔，打孔后的卡纸仍是轴对称的，具体尺寸如图5所示，求打孔后卡纸的重心比之前偏移了多少？（结果精确到，取3．） 59．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 60．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 题型21 图形位似综合（共3小题） 61．（2026八年级上·江苏徐州·竞赛）在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，则称p为这k个点的“平面特征值”，记为．如：点点，则，如图，正方形的边在x轴上，交y轴于点E，已知O为的中点，点B的坐标为．点为y轴上一动点，过点F作直线轴，与直线、的交点记为P，Q，请直接写出以及相应的b的取值范围． 62．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 63．（2026九年级上·河北·专题练习）解答下列各题 (1)【问题思考】如图①，正方形的边长是4，轴，若点的坐标是，则点、、的坐标分别是__________、__________、___________； (2)【深入探究】如图②，四边形是正方形，轴，，点在直线上，直线与直线平行，且经过点． ①求的值； ②求直线的解析式； (3)【灵活应用】如图③，四边形是正方形（点在点的右侧，点、在的下方），轴，，点是直线上的一个动点，设点的横坐标为，当正方形的某个顶点落在直线上时，直接写出的值． 题型22 相似三角形的实际问题综合（共3小题） 64．（2026·河南平顶山·三模）中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 65．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 66．（【智】41☆问题解决活动利用相似三角形测高-26秋高效课堂九年级数学上册（北师版）-作业手册）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小明所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，完成了如下的测量活动报告： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 利用相似三角形的知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，小明在地面上的点处安装一测角仪，测得，然后沿方向走到点处，在点处安装一测角仪，此时，测得，同时测得，，从房管物业处查询到建筑物，利用激光笔测得点、点和点在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度（精确到）． 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：；是等腰直角三角形；；若点是的中点，则；⑤当时，，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 68．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 69．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，O是对角线与的交点，是边上的动点（点M不与B，C重合），，与交于点N，连接，；下列五个结论：①；②；③；④；⑤若，则的最小值是．其中正确的说法有___________（只填序号）． 题型24 相似三角形与函数结合（共3小题） 70．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）如图，中，，，是的角平分线，过点C作的垂线，交的延长线于点E．若设，，则y关于x的函数解析式为______． 71．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接，与对角线、边分别交于点、．设，． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，当与相似时，求的值． 72．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，k为正实数，直线l：交x轴于点A，交y轴于点B；直线a：交y轴于点C；直线a与直线l的交点记为点D，反比例函数的图象L交直线a于点E． (1)______，点E的横坐标为______； (2)若，求反比例函数的解析式，并求点A坐标； (3)连接，两线段交于点F，当点F在图形L上时， ①求点F坐标； ②若过点C的直线图象L上段有交点，直接写出m取值范围． 题型25 相似三角形的旋转综合（共3小题） 73．（25-26八年级下·山东泰安·期末）数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对图形旋转过程中的相似进行了深入研究． (1)【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形，则_________； (2)【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． (3)【解决问题】如图3，中，，点在线段上运动，以为直角边构造且，连接，点为线段的中点，连接． ①求的度数，并说明理由； ②在点的运动过程中，求线段的最小值． 74．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在中，，，，点在线段上，且．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点，分别在，上时，则________； 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由： ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 75．（25-26八年级上·北京密云·期中）已知和均为等腰直角三角形，， ， ，点P、Q分别为的中点，连接． 猜想：如图①，当点D在上时，线段和的大小关系是 ． 探究：如图②，把绕着点C旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？并加以说明． 拓展：如图③，和均为直角三角形，，且，， ，点P、Q分别为的中点，连接，当时，的面积是 ． 题型26 相似三角形的判定与性质综合（共3小题） 76．（26-27九年级上·四川达州·期中）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长； (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 77．（26-27九年级上·广东深圳·期中）【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 (1)如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当是中点时，________度； (2)【深入探究】 如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； (3)【拓展提升】 如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 78．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． (1)如图1，延长交于点P，与相等吗？证明你的结论． (2)如图2，当时，连接交于点G，求的值． (3)如图3，连接交于点M，连接并延长交于点N，求证∶． 题型27 相似三角形的最值问题（共3小题） 79．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，D为边上一点，连接，过D点作，且，连接，若长最小，则长为（   ） A． B． C． D． 80．（25-26九年级上·广东深圳·期中）在中，，，． (1)如图1，折叠使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若，则______． (2)如图2，折叠使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若，求证：四边形是菱形； (3)在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． (4)在线段AC上找一点G，使值最小，请直接写出最小值． 81．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，，，，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________． 题型28 相似三角形的模型问题（共3小题） 82．（26-27九年级上·河南驻马店·期中）按要求完成以下问题 (1)问题发现 如图1，在正方形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且，则的值为_________． (2)类比探究 如图2，在矩形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且．求证：． (3)拓展延伸 如图3，在中，，，，点F，Q，H分别在边，，上，与交于点且，，直接写出的值． 83．（26-27九年级上·云南昆明·期中）如图，在等腰三角形中，，点在边上，点在边上，连接、，交于点．已知． (1)若，求的值． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，判断的形状，并说明理由． 84．（26-27九年级上·山西临汾·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型29 相似三角形的新定义问题（共3小题） 85．（26-27九年级上·河北·期中）如图1，点C将线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． (1)如图2，在中，，，的平分线交于点D，请问点D是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论； (2)若在（1）的条件下，如图3，请问直线是不是的黄金分割线，并证明你的结论． 86．（2026·浙江杭州·三模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 87．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 定义：如果一个小矩形的四个顶点分别落在另一个大矩形的四条边上（不含顶点），则称这个小矩形为大矩形的内接矩形． (1)概念理解： 如图1，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，判断：四边形____________（填“是”或“不是”）正方形的内接矩形； (2)操作探究： 用长方形纸片进行如下操作： 第一步：如图2，沿折叠长方形纸片，点落在边上的点处，再展开纸片，沿裁剪，得到正方形和矩形； 第二步：将矩形按图3放置，发现、、、的对应点、、、恰好分别落在、、、上． ①试说明：； ②探究发现： 如图3，通过度量发现：点恰好是的中点，请说明理由； ③深入思考： 直接写出的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的相似（29大题型87题） 基础·固本强基 题型1 比例线段 题型2 黄金分割（重点） 题型3 相似多边形 题型4 平行线分线段成比例（重点） 题型5 相似三角形的判定（重点） 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解（重点） 题型8 网格中的相似三角形 题型9 相似三角形的动点问题（重点） 题型10 图形的位似 题型11 重心的有关性质（重点） 题型12 用相似三角形解决问题 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（重点） 题型14 黄金分割综合（重点） 题型15 相似多边形的性质综合 题型16 相似形的判定综合（重点） 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（重点） 题型18 相似三角形的动点综合（重点） 题型19 相似三角形的综合问题 题型20 重心的有关性质（重点） 题型21 图形位似综合 题型22 相似三角形的实际问题综合（重点） 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（难点） 题型24 相似三角形与函数结合（难点） 题型25 相似三角形的旋转综合（难点） 题型26 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型27 相似三角形的最值问题（难点） 题型28 相似三角形的模型问题（难点） 题型29 相似三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 比例线段（共3小题） 【易错】比例内项、外项易混淆，等积式化比例式容易写反；设参数求值时，忽略线段长度大于 0 的隐含限制 1．（26-27九年级上·河北张家口·期中）若，且，则等于（     ） A．4 B．8 C．32 D．2 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．（26-27九年级上·河北·期中）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 3．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【答案】(1)，， (2)8 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：． 题型2 黄金分割（共3小题） 【易错】一条线段有两个黄金分割点，常漏掉一个；分不清较长段、全段的比例关系，数值代换出错。 4．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A．4.6cm B．6.4cm C．7.2cm D．7.4cm 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 与之比为黄金比， ， ， ． 故选：D． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）滕州一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割的概念以及近似数，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割的概念得到，代入数值进行计算即可． 【详解】解：∵为舞台的一个黄金分割点，且， ∴． 故选：D ． 题型3 相似多边形（共6小题） 【易错】判定需要角相等且边成比例，只看边长判定；容易混淆相似比，面积比不是相似比本身。 7．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 【答案】 不相似．理由如下： ，，，，， ，． ，． ∴ 矩形和矩形不相似． 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，欲判断矩形和矩形是否相似，需判断的值和的值是否相等，据此求解即可． 【详解】略 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 丙： ∵新正方形与原正方形的四个角都为，且新正方形的边长都是，原正方形的边长都是， ∴新正方形与原正方形对应角相等，对应边的比值都是， ∴新正方形与原正方形相似； 故上述三人的说法正确的个数是2个． 故选：C． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期中）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】(1)不相似， ∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； (2)是相似图形， ∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：略． （2）略． 题型4 平行线分线段成比例（共3小题） 【易错】找错对应线段，上下线段不交叉列式；平行线未截两腰时不能套用定理，线段对应关系易混乱。 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，已知，它们依次与直线交于点、、和点、、，则的对应线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解． 【详解】解：依题意，的对应线段是， 故选：C． 11．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________． 【答案】4 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 12．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．    (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键． （1）由可得，再代入数据即可得到结论； （2）由，可得，可得，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：， ， ，，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型5 相似三角形的判定（共3小题） 【易错】SSA 不能判定相似；找角时误把非对应角当作等角，直角三角形相似判定条件容易记混。 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】 证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 14．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2) 证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）略 15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 【易错】忽略已有一组等角，添加边时必须是夹边；条件写为 SSA，忽略多种可行情况，答案写不全。 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】(1) 选：， 理由：∵，， ∴； 选：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； 选： 理由：∵， ∴， ∵， ∴； 选：：， 因为夹角不一定相等， 所以与不一定相似； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （）由题意可得，由相似三角形的性质可得，再代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 17．（2026九年级下·河北·专题练习）如图，，分别是的边，上的动点，若，，． (1)若，则________； (2)若，． ①对应边的关系为：________________________； ②________； ③与的周长之比为________，面积之比为________； (3)添加一个条件：________（不添加辅助线），使得． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）根据判定，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）①根据相似三角形对应边成比例作答即可； ②根据相似三角形对应角相等求解即可； ③根据相似三角形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求解即可； （3）根据相似三角形的判定作答即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 解得：． （2）解：∵， ∴， ， 与的周长之比为，面积之比为． （3）解：当时，．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，为平行四边形的对角线，E为的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，在上作一点F，连接，使得． (2)如图2，在上作一点G，连接，使得． 【答案】(1) 如图，点F即为所求： (2) 如图，点G即为所求： 【分析】本题考查了平行四边形的性质、重心的性质与判定、中位线定理，相似三角形德邦判定，根据相关性质正确作图是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质得点为的中点，所以是的中位线，则有，即可得出； （2）连接交于点，连接交于点，连接并延长交交于点，由平行四边形的性质得点为的中点，结合点E为的中点，可得点为的重心，再由重心的性质可得为的中线，即点为的中点，所以是的中位线，则有，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 题型7 利用相似三角形的性质求解（共3小题） 【易错】周长比等于相似比，面积比是相似比平方；经常直接用相似比当作面积比，对应边匹配错误。 19．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，D是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形得到，再代入数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 20．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； (2)21 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴． 题型8 网格中的相似三角形（共3小题） 【易错】计算边长时勾股定理算错；找对应角凭肉眼直观判断，未计算角度，对应顶点匹配出错。 22．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 的面积为5． 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【详解】（1）略； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 23．（25-26九年级下·浙江丽水·期中）如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． 24．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 题型9 相似三角形的动点问题（共3小题） 【易错】动点产生多组相似，对应顶点不确定，分类不全；算出结果不检验，舍去不能构成三角形的解。 25．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 26．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 【答案】(1)或秒 (2)或秒 【分析】（1）设移动秒，表示出，，再列方程即可解答； （2）设移动秒，分和两种情况，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 设移动秒，且，则，， ， 的面积为， 解得，， 所以当移动或秒时，的面积为； （2）解：设移动秒，且，则，， 当时，， 则可得， 解得； 当时，， 则可得， 解得； 所以当移动或秒时，与相似． 27．（26-27九年级上·山东济南·期中）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)， (2)当时，平分面积 (3) 【分析】（1）根据点P和点Q的运动速度表示即可； （2）用含t的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性； （3）分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， ∴， ， 解得，（舍）， ∴当时，平分面积； （3）解：∵， ∴以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时，则， ， ∴； 情况二：当时，则， ， ∴， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 题型10 图形的位似（共3小题） 【易错】位似中心可在图形内外，常只考虑同侧；位似比与坐标缩放关系搞反，漏另一侧位似图形。 28．（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，解题的关键是掌握坐标平面点的特征，灵活运用所学知识解决问题． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点C的坐标，再在坐标系中描出点A和点C即可； （2）根据求解即可； （3）根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点与点关于轴对称， ∴点C的坐标为， （2）解：如图所示，； （3）解：由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴点D的坐标为或． 29．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若的周长是，则的周长为________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， ，， (2) 【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应点坐标，位似图形的性质，正确找到对应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键． （1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以得到、、的横纵坐标，再描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】（1） 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：与关于原点位似，且相似比为，的周长是， 的周长为， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，在y轴上的点的坐标特点，在y轴上的点的横坐标为0，据此求出m的值，进而求出A、B、C的坐标，则可推出轴，再由垂线段最短，可得当时，有最小值，则此时轴，据此可得答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴轴， ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时轴， ∴， 故选：B． 题型11 重心的有关性质（共3小题） 【易错】重心分中线为 2:1，易记成 1:2；混淆重心、垂心、外心概念，错把线段比例搞颠倒。 31．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形重心的有关系性质，相似三角形的判定以及性质，连接并延长交于G，由重心的性质得，，由平行线截直线成比例可得出，，再证明，，由相似三角形的性质可得出，，分别求出和，进一步即可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于G，由重心的性质得，，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴四边形的面积， 故选：B． 32．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，点G是△ABC的重心，点E为BC上一点．如果GE//AC，那么BE:EC=______． 【答案】2：1/2 【分析】根据重心的概念得到BG：GH=2：1，根据平行线分线段成比例定理解答． 【详解】解：连接BG并延长交AC于点H， ∵G是重心， ∴BG：GH=2：1， ∵GE∥AC， ∴BE：EC=BG：GH=2：1， 故答案为：2：1． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 33．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为______． 【答案】/0.6 【分析】过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点，通过构造平行线，灵活运用和这条中线，逐步求解即可． 【详解】如图，过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点， ∴为的中位线， ∴点P为的中点， ∵，且， ∴， ∵点G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心和平行线对应边成比例，能够运用三角形的重心将三角形的中线所在的线段分为两部分是解答本题的关键． 题型12 用相似三角形解决问题（共3小题） 【易错】建模时找错相似三角形；忽略实际场景，边长取值不符合现实，计算后缺少检验步骤。 34．（26-27九年级上·河北张家口·期中）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下： 如图2，首先，小芳在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为；然后，小明在处竖立了一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和旗杆顶点在一条直线上，此时测得的长为，的长为，已知，，，点，，，，在一条直线上． (1)_____________； (2)请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用三角形相似即可求值； （2）根据题意可证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 根据反射定律可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，，，， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高度为． 35．（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1)的长为； (2)点到地面的高度的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解题的关键． （）由题意得，，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可； （）先求出，由题意得，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴的长为； （2）解：由（）得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴点到地面的高度的长为． 36．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质．过点作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 于点，于点，交的延长线于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 根据入射角等于反射角，可得：， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：路灯的高度为． 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（共3小题） 37．（26-27九年级上·河北张家口·期中）已知； (1)求代数式的值； (2)当时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2) ，， 【分析】 （1）设比例系数，将，，用含的式子表示，代入代数式化简即可； （2）将用表示的，，代入已知等式，求出，即可得到，，的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 代入所求代数式，得 ； （2）解：设，则，，， 代入，得 ， 解得， 因此，，． 38．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一道习题及其不完整的解答过程如下： 已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步 (1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________； (2)模仿上述解答过程，已知，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． （1）根据比例的基本性质即可得到答案； （2）设，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第一步的①处应填，第二步的②处应填； 故答案为：，； （2）解：设， ， ． 39．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，， ，．    (1)若，求线段的长； (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1)； (2)的面积为． 【分析】（）先由，得，通过证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型14 黄金分割综合（共3小题） 40．（26-27九年级上·湖北十堰·期中）阅读材料： 黄金分割定义：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，比值称为黄金比．一条线段上存在两个黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好．舞台总长20米． (1)主持人站在距离点较远处的黄金分割点，求； (2)舞台上还有另外一个黄金分割点，则的长为______米； (3)若舞台长为，求两个黄金分割点之间距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1)米 (2) (3) 【分析】（1）由黄金分割的定义得到，据此求解即可； （2）同理可得米，求出的长，再根据线段的和差关系可得答案； （3）同（2）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵米， ∴米； （2）解：同理可得米， ∴米， ∴米； （3）解：设舞台的长为L，点G为靠近F点的黄金分割点，点H为靠近E点的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）【问题背景】公元前4世纪，古希腊数学家发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽之比为最佳比例（看起来赏心悦目），这个美妙的比例实质上是将一条单位长的线段分成两段，使小段：大段=大段：全段，这就是众所周知的“黄金分割比”．比如：是线段的“黄金分割点”， 如图： 则有 【问题解决】设全段为1，大线段为，则小线段长为，于是有解得． (1)如图，上海东方明珠塔的塔身高度为，塔身上装置了下球体，中球体和上球体（太空舱）．分别位于塔身的，，之间，若要使得塔身显得非常协调美观，请直接写出塔身的一个黄金分割点位于______________球体内． (2)若要作线段的黄金分割点，小军认为他可以这样实现．步骤如下： ①作于点，且使得． ②连接，以为圆心，的长为半径作弧，交于点． ③以为圆心，长为半径作弧交于点． ④点即为的一个黄金分割点． 请你判断他的作图是否正确，并说明理由． (3)已知，求的值． 【答案】(1)中 (2)证明：作图正确，理由如下： 设，则， 设，即，， 为直角三角形， ． 即， 化简得， ，（舍去）， 即 ， 点为线段的黄金分割点． (3) 【分析】（1）根据黄金分割的定义，先计算塔身高度的黄金分割点对应的长度，再判断该长度所在的区间，从而确定位置． （2）设，，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解． （3）由，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵ 黄金分割比值约为，塔身高度为， ∴ 黄金分割点对应的长度为． ∵ ，此区间对应中球体的位置， ∴ 塔身的黄金分割点位于中球体． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴即， ∴. 42．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）阅读下面数学材料，并完成相应的任务： 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段、、之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程：设，，则． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有______________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程． (3)如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点．求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1) (2)解：设，，则， ， ， 整理得：， 解得：， 线段的长度不能是负数， ， ， ； (3)证明：在中，，， 设，则， ， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则，， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则， ， ，， ， 点是线段的黄金分割点． 【分析】（1）根据黄金分割的定义可知一条线段有个黄金分割点； （2）根据黄金分割的定义可得方程：，解方程求出的值即为线段的长度，根据黄金分割的定义求出黄金分割数的值； （3）设，则，证明，即可证明点是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：如下图所示，点为线段上一点，点把线段分成和两段， 其中， 线段、、之间的关系满足， 则点是线段的一个黄金分割点； 如下图所示，点为线段上一点，点把线段分成和两段， 其中， 线段、、之间的关系满足， 则点是线段的一个黄金分割点； 综上所述，一条线段有个黄金分割点； （2）略 （3）略 题型15 相似多边形的性质综合（共3小题） 43．（2026九年级上·河北·专题练习）如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 【答案】(1) (2)， (3)，，， 【分析】（1）根据对应边的比就是相似比求解即可； （2）利用相似多边形对应角相等求解即可； （3）利用相似多边形性质列出比例式求解． 【详解】（1）解：∵六边形与六边形相似，与是对应边， ∴相似比为． （2）解：∵六边形与六边形相似， ∴，． （3）解：∵六边形与六边形相似， ∴， 即， ∴，，，． 44．（2026九年级上·河北·专题练习）如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 【答案】(1)不相似 (2)相邻两条小路宽度的比值为 【分析】（1）根据题意求出小路外边缘矩形的长和宽，根据相似多边形的判定定理计算进行判断即可． （2）设横向小路的宽度为，纵向小路的宽度为，根据两矩形相似得出比例式，求出相邻两条小路宽度的比值即可． 【详解】（1）解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似， 由题意得，小路外边缘矩形的长、宽， ∵， ∴小路内外边缘形成的两个矩形不相似． （2）解：如图，设相邻两条小路的宽度分别是和． ∵相对两条小路的宽度相等， ，． ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴相邻两条小路宽度的比值为． 45．（25-26九年级上·河北·期中）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．或 【分析】（1）先根据矩形相似可得出两矩形的对应边成比例，设，再把、的值代入关系式即可得出的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）矩形矩形， ． 设． ， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． （2）存在． 假设存在矩形与矩形相似，则一定与对应，一定与对应， ， ． 又，， ， ，而， 依据对称性考虑，一定存在当时，使矩形与矩形相似的情况． 综上所述，当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解题的关键是掌握相似多边形的判定． 题型16 相似形的判定综合（共3小题） 46．（26-27九年级上·广东深圳·期中）定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”， 如图1，在四边形中，，，则四边形为“单邻等补四边形”． (1)下列图形一定为单邻等补四边形的是________． A． B． C． D． 【特例探究】 (2)如图，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． 解：过D作交于点E，过D作交的延长线于点F，由题意得：________°． 易证：（________）（选择填写：、、、、） 补全求解过程…… 【归纳分析】 (3)如图，在单邻等补四边形中，，延长，交于点E，连接，若，请你求出和，之间的关系． 【灵活应用】 (4)如图，在中，，，，在射线或射线上存在一点F，当四边形为“单邻等补四边形”时，请直接写出此时的长． 【答案】(1)A (2)60；；补全求解过程见解析 (3) (4)或 【详解】（1）解：A、图中，且只有一组邻边相等，，所以四边形为“单邻等补四边形”，符合题意； B、因为四边形的所有邻边都相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； C、因为四边形中没有邻边相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； D、，， 四边形不是“单邻等补四边形”； （2）解：过D作交于点E，过D作交， 在单邻等补四边形中，，， ， ， ， ， ， ； （3）解：过D作于点G，于点F， 在单邻等补四边形中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， （4）解：或．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点B作于点G，于点H， 由（3）知，， ， ， ， ， ， 又由（3）知，， ，， ， ， 解得， 在中，， ； 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点D作于点G，于点H，延长，相交于点K， 由（3）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由（3）知，， ， 解得， ， ， ， ； 综上所述，或． 47．（26-27九年级上·山东聊城·期中）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 48．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． (1)与相似吗？为什么？ (2)若，求的长； (3)当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【答案】(1) ，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； (2) (3)当时，最大值为 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据外角定理和等量代换可推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）设，则，根据相似三角形的性质对应线段成比例列出等式，得是关于的二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可； 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴当时，最大为， ∴当时，最大值为． 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（共3小题） 49．（26-27九年级上·山东济南·期中）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】(1)，． (2)①； ②证明：由①知， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）证明即可解答； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；②由①知，得出．再结合（1）即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：①如图：连接， ∵，， ∴， ∴． ②略． 50．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接，． (1)求证：． (2)若为的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：， ∴， ，，且， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）通过相似三角形的性质得到角的关系，再根据等腰三角形的判定来得出结论． （2）先根据中点的性质求出的长，再由（1）的结论得到的长，最后根据相似三角形的对应边成比例列式求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的中点，， ∴， 由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 即的长为． 51．（26-27九年级上·湖南常德·期中）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 【答案】(1)或或（填一个即可） (2)①②6 (3)证明：∵， ∴，， ∴，． ∴； (4) 【分析】（1）依据题意，根据相似三角形的判定，结合图形可以判断得解； （2）①依据题意，由，则，结合，从而可以计算得解； ②依据题意，由，则，结合，可得，则，从而计算可以得解； （3）通过已知，利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等，推导出且，从而证明； （4）通过作辅助线构造直角三角形和相似三角形，利用角度关系和勾股定理，逐步推导得出的长度． 【详解】（1）解：或或．理由如下： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴． （2）解：①由题意，∵， ∴． ∵， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴四边形的面积的面积； （3）略 （4）解：如图，过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 题型18 相似三角形的动点综合（共3小题） 52．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以1的速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以3的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)当以，，为顶点的三角形与相似时，_________． (3)求出图2中，的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【分析】（1）由图2中关键点和可知，； （2）以，，为顶点的三角形与相似，则分两种情况分别进行讨论，再根据相似三角形对应边成比例建立方程，解方程即可； （3）在中，根据勾股定理表示出，再由图像可知：当时取最小值，即可求解，的值． 【详解】（1）解：由图2中关键点和可知： 当时，点从点出发，点从点出发， ∴，， 当时，点到达终点， ∴； （2）以，，为顶点的三角形与相似，则分两种情况： 情况一： 此时， ∴，即， 解得， 情况二 此时， ∴，即， 解得， 综上可得，当以，，为顶点的三角形与相似时，或； （3）∵在中，有， ∴， 由图像可知：当时取最小值，最小值为， ∴点的坐标对应当时取最小值， ∴，． 53．（26-27九年级上·山东枣庄·期中）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 【答案】(1)4或6 (2)2或5 【分析】（1）先根据点坐标得到，，由运动速度表示线段：，，运动范围．利用四边形面积等于面积减去面积，建立一元二次方程求解； （2）两个直角三角形直角对应相等，分两种对应边成比例情况分类讨论，列方程求出t． 【详解】（1）解：， ， ． 由题意得：，， ． 四边形的面积， ， 整理得：， 因式分解得， 解得，． 两个解均满足． 的值为或． （2）解：， 与相似分两种情况： ①当时， ， 即， 化简得，解得． ②当时， ， 即， ， 解得． 、都符合题意， 的值为或． 54．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）首先利用勾股定理求出，根据题意得，则，然后分两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列式求解； （2）过点Q作于点H，证明，得到，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，过点P作于点E，利用角平分线的性质得到，证明，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据题意得，，则， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与相似； （2）解：如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点P作于点E， ∵，则， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 题型19 相似三角形的综合问题（共3小题） 55．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长： (2)连接，求证：四边形是菱形： (3)如图分别是线段上的动点（与端点不重合），且，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：如图2中， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (3)的值为或 【分析】（1）设，由矩形的性质，折叠的性质和勾股定理得出，的值，然后在中利用勾股定理即可求解； （2）由矩形的性质得出，然后根据平行线分线段成比例可求出的长度，进而可求出的长度，则可证明结论； （3）分两种情况：和，分别利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定及性质得出的长度，然后利用勾股定理求出的长度，最后利用即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，，， 由折叠的性质可知， ， ， ， ． 设，则 ， ， ， 解得 ， ； （2）略 （3）存在，理由如下： ①若， ∵四边形是菱形， ∴ ， ． ， ． ， ， ． ， ． ， ， ； ②若， 过点P作交于点H， ， ． ， ， ． ， ． ∵四边形是菱形， ∴ ． ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 56．（26-27九年级上·四川成都·期中）完成下列小题． (1)如图1，已知中，，，．正方形的顶点在边上，点在斜边上，点F在边BC上，试求正方形的边长． (2)如图2，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？ 我们不妨这样思考： 如图2，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个； ①按上述思路，如图3，排列第二层时，通过计算确定第二层最多排列多少个小正方形． ②请通过计算确定在内部能排列的小正方形最多个数； (3)如图4，在梯形ABCD中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．直接写出在梯形内部能排列的小正方形的最多个数． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】（1）根据相似三角形列比例式求解即可； （2）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （3）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵，，． ∴ ， 即正方形的边长为. （2）解：如图2，排列第一层时，因为，所以，同理（1）可得： ， 即： 解得． 因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，同理（1）可得： ， 即：， 解得． 因为，所以第二层最多排列个；， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； （3）解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图4，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个. 57．（2026·吉林·模拟预测）如图①，在中，，，．点D在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点F． (1)求证：； (2)如图②，当点E是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段、，与交于点F； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①如图，、即为所求； ②1 (3)或 【分析】（1）根据同角的余角相等进行证明即可； （2）①连接，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，分别以点C、M为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点D，交于点F； ②根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据等积法求出，证明，得出，即可求出结果； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 题型20 重心的有关性质（共3小题） 58．（25-26九年级上·江苏南京·期末）确定重心位置 我们知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，其他平面图形的重心在什么位置呢？根据数学方法、物理知识，我们可以这样确定平面图形及其组合图形的重心位置： ①对称图形的重心在其对称中心或对称轴上； ②若图形由两部分组成，其重心位于连接这两部分重心的直线上； ③若图形由面积相等的两部分组成，其重心是这两部分重心连线的中点； ④若图形由面积不相等的两部分组成，其重心位置满足杠杆原理，关系如上． (1)在方格纸中，仅用无刻度直尺画出图1～图3中阴影所示图形的重心G的位置； (2)如图4，一般四边形的重心位置如何确定？请写出确定其重心位置的主要思路，并画出示意图． (3)在一张匀质平整卡纸上打了5个孔，打孔后的卡纸仍是轴对称的，具体尺寸如图5所示，求打孔后卡纸的重心比之前偏移了多少？（结果精确到，取3．） 【答案】(1)如图1，重心G即为所求： 如图2，重心G即为所求： 如图3，重心G即为所求： (2)①连接，将四边形分成和， ②分别作出和的重心，； ③由题意中的情况④可知，四边形的重心在上，且满足， ④设的面积为，的面积为，则，，故， ⑤在上重心G，使即可， 如图，四边形的重心位置示意图为所求： (3)打孔后卡纸的重心比之前偏移了 【分析】（1）结合题意针对不同方格纸内的图形作出对应的重心即可； （2）根据题意中情况④进行分析画图即可； （3）原图形为矩形，其重心在对角线，的交点处，取，的中点M，N，连接，打孔后，矩形分为矩形和矩形，分别作出对应的重心，结合情况④得出对应的关系式并将涉及的线段分别表示出，列出二元一次方程组并求解出的值，最后即可求得打孔后卡纸的重心比之前偏移的距离． 【详解】（1）解：对于图1： ∵该三角形是等腰三角形，属轴对称图形， ∴其重心在对称轴上； 对于图2： 设六边形图形面积为，等腰三角形图形面积为， ∵， ∴； 对于图3： 将多边形分成正方形和矩形，设正方形面积为，矩形面积为，取正方形重心为，矩形重心为，连接，连接方格纸对角线，与阴影图形的边长交点为N，与的交点为G，取正方形右上角的点M，连接， ∴， ∴， ∴， 由图形可知，， ∴， 即． （2）略 （3）解：如图，原图形为矩形，其重心在对角线，的交点处，取，的中点M，N，连接， 打孔后，矩形分为矩形和矩形， 分别作矩形的重心，矩形的重心， 连接，在线段上取一点， ∵，， ∴， ∵， ∴联立，解得， ∴， 即打孔后卡纸的重心比之前偏移了． 59．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】 证明：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用： 证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：略 提升：略 60．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1) 证明：， ，， ，， ，， ，， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 题型21 图形位似综合（共3小题） 61．（2026八年级上·江苏徐州·竞赛）在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，则称p为这k个点的“平面特征值”，记为．如：点点，则，如图，正方形的边在x轴上，交y轴于点E，已知O为的中点，点B的坐标为．点为y轴上一动点，过点F作直线轴，与直线、的交点记为P，Q，请直接写出以及相应的b的取值范围． 【答案】 当或或或时，；当或时，；当时，； 【分析】根据正方形的性质，待定系数法，分类思想，求解即可； 【详解】解：根据题意，得正方形的边在x轴上，交y轴于点E，已知O为的中点，点B的坐标为， 点A的坐标为，， ， ，， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 此时与y轴的交点为， 当时，，解得， ， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 此时与y轴的交点为， 当时，，解得， ， 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 综上所述，当或或或时，； 当或时，； 当时，； ． 62．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：（1），，三分点， ，， 解得，， ； （2）点，的“三分点”是点， 点的坐标为，． 将代入得， ， 点在直线的右上方． 与直线没有公共点， 在直线的右上方， 则且， 解得， 的取值范围是． 63．（2026九年级上·河北·专题练习）解答下列各题 (1)【问题思考】如图①，正方形的边长是4，轴，若点的坐标是，则点、、的坐标分别是__________、__________、___________； (2)【深入探究】如图②，四边形是正方形，轴，，点在直线上，直线与直线平行，且经过点． ①求的值； ②求直线的解析式； (3)【灵活应用】如图③，四边形是正方形（点在点的右侧，点、在的下方），轴，，点是直线上的一个动点，设点的横坐标为，当正方形的某个顶点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1)；；； (2)①；②； (3)或或或． 【分析】（1）结合点A的坐标和正方形的边长，由坐标的定义即可确定B,C,D 的坐标； （2）①把代入直线，即可确定；②首先由点A 的坐标和可确定点的坐标，再根据“直线与直线平行”可知，最后把点 的坐标代入即可确定解析式； （3）首先根据已知条件分别表示出A,B,C,D的坐标，然后分别求出,,,落在直线时对应的值即可． 【详解】（1）解：点A坐标为，正方形边长为4 ， 点B的坐标为，即， 点C的坐标为，即， 点D的坐标为，即； （2）① 把代入，得 ， 即n的值为4； ② 直线与直线平行， ． 由①可知点A的坐标为． ， 点C的坐标为． 把代入，得 ， 解得． 直线的解析式为； （3）解：把代入，得 ， 点A的坐标为． 四边形为正方形，， 点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为． 当点A落在时，把代入，得 ， 解得； 当点落在时，把代入，得 ， 解得； 当点落在时，把代入，得 ， 解得； 当点落在时，把代入，得 ， 解得． 综上可知，或或或． 题型22 相似三角形的实际问题综合（共3小题） 64．（2026·河南平顶山·三模）中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 【答案】中原福塔的高度为 【分析】先利用得，再利用得，根据题目给出的边长计算即可． 【详解】解：由题意，知 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 同理，可得 ， ∴， ∵ ， ∴． ∵ ， ， ， ∴， 解得 ． ∵标杆长 ， ∴ ， ∴， 解得 ， ∴中原福塔的高度为 ． 65．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 66．（【智】41☆问题解决活动利用相似三角形测高-26秋高效课堂九年级数学上册（北师版）-作业手册）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小明所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，完成了如下的测量活动报告： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 利用相似三角形的知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，小明在地面上的点处安装一测角仪，测得，然后沿方向走到点处，在点处安装一测角仪，此时，测得，同时测得，，从房管物业处查询到建筑物，利用激光笔测得点、点和点在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度（精确到）． 【答案】 【分析】先根据角度关系证明，再利用相似三角形的对应边成比例求出的长度，最后用减去得到的高度． 【详解】解：由题意得： 又 ， 即 解得 答：教学楼顶部宣传牌的高度约为． 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：；是等腰直角三角形；；若点是的中点，则；⑤当时，，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角相等与对顶角证相似；通过四点共圆导角证明等腰直角三角形；用旋转法证明半角模型核心等式；设边长用勾股定理代数求解；用对称性与特殊角三角函数计算比值． 【详解】四边形是正方形， ． ，， ， ∴， 又， ，故正确 ， ， 是等腰直角三角形，故正确； 如图所示， 将绕点顺时针旋转得到， 则，，． ． ， 、、三点共线， 在和中， ， ，故正确． 设正方形的边长为,则,， ， ， ， ， ， ，故正确． 在和中， ， ， ， ， ， 假设正方形边长为，设,则, 如图，连接，交于， ，， 是的垂直平分线， ，， 中，, 中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确． 【点睛】本题是正方形半角模型综合题，综合考查旋转全等、四点共圆、相似三角形、勾股定理与三角函数．正方形内夹角（半角模型），优先用旋转构造全等，得到；出现两个角共底边，联想四点共圆快速导角；几何多选题要逐条严格推导，注意看清分式的分子分母；涉及线段比值时，设正方形边长为简化计算． 68．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】证明，可得，可判断结论①；代入计算，可判断结论②；由正方形的性质可知，得到，再由得到，算出后可推出，可判断结论③；证明，再根据，可判断结论④． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴， ∴，故结论②正确； ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确的结论个数为． 69．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，O是对角线与的交点，是边上的动点（点M不与B，C重合），，与交于点N，连接，；下列五个结论：①；②；③；④；⑤若，则的最小值是．其中正确的说法有___________（只填序号）． 【答案】①②③④⑤ 【分析】证明，则可证明，故①正确；由全等三角形的性质得到，结合正方形的性质可证明，则可推出，进而可证明，故②正确；可证明，故③正确；证明，结合勾股定理可证明④正确；可证明当时，有最小值，即此时有最小值，据此可判断⑤正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②在正方形中，O是对角线与的交点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，故②正确； ③在正方形中，O是对角线与的交点， ∴； ∴， ∴，故③正确； ④由正方形的性质可得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴此时， ∴的最小值为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤． 题型24 相似三角形与函数结合（共3小题） 70．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）如图，中，，，是的角平分线，过点C作的垂线，交的延长线于点E．若设，，则y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】延长、交于点，证明，得出，，从而，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：延长、交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得， ∴y关于x的函数解析式为． 71．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接，与对角线、边分别交于点、．设，． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，当与相似时，求的值． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形，，， ，，， ， ，即， ， ， ； (2) (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及，利用同角的余角相等得到，从而可证明； （2）根据得到，从而用，表示出、、、，易证，得到，将对应线段长代入整理即可得解； （3）延长交于点，根据，得到，，进而得到，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，结合正切的定义，分别列出比例式求出的值即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ， ， ， ，，， 在矩形中，， ， ， ， ； （3）解：如图所示，延长交于点， ， ， ， ， ， ， 若， ， ，即， 化简得， ， ， 化简得， 解得或（舍去）， 若，则有， ， ， ，即， ， ， ， ， 又， ， ，即， 整理得：， ， ，整理得：， ，（不符合题意，舍去）； 综上，当与相似时，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，函数关系式，正切的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题． 72．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，k为正实数，直线l：交x轴于点A，交y轴于点B；直线a：交y轴于点C；直线a与直线l的交点记为点D，反比例函数的图象L交直线a于点E． (1)______，点E的横坐标为______； (2)若，求反比例函数的解析式，并求点A坐标； (3)连接，两线段交于点F，当点F在图形L上时， ①求点F坐标； ②若过点C的直线图象L上段有交点，直接写出m取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)①；②． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数的综合、一次函数的性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定、、，再确定，再运用正切的定义即可解答；联立反比例函数解析式与直线a：即可确定点E的坐标； （2）由、、可得，再根据可得，进而确定反比例函数解析和点A的坐标； （3）①先求出直线的解析式为：；直线的解析式为，然后联立求得，再代入反比例函数解析式即可解答；②根据m的取值分两种情况，再根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：∵直线l：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵直线a：交y轴于点C， ∴， 联立，解得：， ∴， ∴， ∴， 联立，解得：， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵， ∴． （3）解：①∵、 ，， ∴设直线直线的解析式为：， 由题意可得：，解得： ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∵点F在图形L上， ∴，解得：， ∴． ②∵， ∴过点C的直线为，， 当时，直线，平行于轴，与反比例函数图象有交点， 当时，联立得到得到， 当，解得， 此时，解得， 即交点坐标为，满足题意， ∴m的取值范围为：． 题型25 相似三角形的旋转综合（共3小题） 73．（25-26八年级下·山东泰安·期末）数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对图形旋转过程中的相似进行了深入研究． (1)【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形，则_________； (2)【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． (3)【解决问题】如图3，中，，点在线段上运动，以为直角边构造且，连接，点为线段的中点，连接． ①求的度数，并说明理由； ②在点的运动过程中，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)证明：仍然成立．理由如下： ， ， ， ， 将图1中的矩形绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， (3)① 的度数是，理由如下： 在中，， ， ． 又， ． ， ， ， 即， ， ． ， ， ； ② 【分析】（1）根据，证明，，根据平行线分线段成比例，得到，继而得到，解答即可； （2）首先证明，得到，再证明，转化为（1）的情境，求解即可； （3）①首先证明，得到．结合，继而得到，即可得证； ②首先证明，然后根据点在线段上运动，时，线段长度最小，根据直角三角形的性质求解即可； 【详解】（1）解：（1）由题意得，在矩形中，四边形为矩形， ，， （平行线分线段成比例） ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：①略； ② 点为线段的中点 在中，， ， 点在线段上运动时，时，线段长度最小，如图， 此时，在中， 线段的最小值为； 74．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在中，，，，点在线段上，且．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． 初步感知： （1）如图1，当点，分别在，上时，则________； 深入探究： （2）如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由： ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1） （2）解：（1）中的结论仍然成立， 证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 当四边形的面积最小时，线段的长为． 【分析】（1）由已知结合对顶角相等，可证明，可得，由线段之间的关系，可得，，即可得； （2）由已知结合旋转的性质，可证明，可得，证明，可得，从而可得；设，可得，，，可得，由勾股定理可得，，作于点，于点，，由两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的面积最小，根据勾股定理可得，结合相似比，即可得线段的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）略 设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， 作于点，于点， ， ∵， ∴， 当点、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的面积最小， ∵，，，于点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当四边形的面积最小时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，图形的面积，旋转的性质． 75．（25-26八年级上·北京密云·期中）已知和均为等腰直角三角形，， ， ，点P、Q分别为的中点，连接． 猜想：如图①，当点D在上时，线段和的大小关系是 ． 探究：如图②，把绕着点C旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？并加以说明． 拓展：如图③，和均为直角三角形，，且，， ，点P、Q分别为的中点，连接，当时，的面积是 ． 【答案】猜想：； 探究：，理由如下： 由猜想可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展： 【分析】猜想：根据等腰直角三角形的性质求出，，，用勾股定理计算出，即可求解； 探究：根据，，证明，根据对应边成比例即可求解； 拓展：连接，由探究可知，，得出，再证为等边三角形，是直角三角形，求出两条直角边长度，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：猜想：∵，， ∴， ∵P点是的中点，是等腰直角三角形， ∴， 同理，∵，， ∴， ∵Q是的中点，为等腰直角三角形， ∴， ∵P点是的中点，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 同理可得 ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； 探究： 略 拓展：连接，如图③， 由探究可知，， ∴， 在 中，， ∴， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，综合应用上述知识点是解题的关键． 题型26 相似三角形的判定与性质综合（共3小题） 76．（26-27九年级上·四川达州·期中）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长； (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)证明：将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ，，， ， ． (2) (3)①证明：设旋转角为，则，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ． ② 【分析】（1）利用旋转的性质得到对应边相等，，，旋转角相等，再根据相似三角形的判定定理（两边成比例且夹角相等）证明； （2）先利用勾股定理求得斜边的长，过作，根据的正切值得到，然后在中利用勾股定理，求出的长，进而求得、的长，最后由，列出对应边比例关系，代入即可解得的长； （3）①根据旋转角度关系，得到，利用平行线的性质得到，又因为，，通过角度等量代换，推出，从而证明，所以，又因为，所以； ②设，，根据平行关系得到四边形是平行四边形，从而可以分别表示出，，由①可以推出，根据勾股定理，，所以和的正弦值为，再通过推出，进而求得，通过证明点，，，四点共圆得到，从而证明，列出对应边的比例关系，最后设，，，，分别表示出的长，列出二元一次方程组，解得的长计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ． 过作， ， ． 在中，， 即， 解得或（舍去） ， 在中，， ， ， ，即， ． （3）①略 ②解：， 设，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， 由①得，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 即， ， ， ，即， ， 由①可得，，， ， 点，，，四点共圆， ， ，， ， ， 设，，， 则①， 根据旋转可得， ② 联立①②可得，． ∴． 77．（26-27九年级上·广东深圳·期中）【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 (1)如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当是中点时，________度； (2)【深入探究】 如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； (3)【拓展提升】 如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形为正方形， ∴，． 在和中， ， ∴； ②67.5； (2) (3)或或． 【分析】S（1）①根据正方形的性质得，再结合，可证得； ②连接，根据（1）得出，即可证明，从而，进而得出，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点，可证得，从而，设，则，，可得出，从而，进而得出的方程，进而得出结果； （3）分三种情况讨论：当时，设，则，根据得出，根据得出，进而得出结果；当时，根据得出，从而设，则，从而得出，进而得出结果；当时，可得出，从而，此时点在的延长线上，不符合题意，进一步得出结果． 【详解】（1）（1）① 略； ②解：如图1，连接， 由①知，， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ，， ； （2）解：如图2，延长，交的延长线于点， ∵四边形是菱形， ， ， ∵点是的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， （舍去）， ； （3）解：分以下三种情况讨论： 情况一：如图，当时， ∵四边形是矩形，，， ，，， 设，则，， ∵， ， ①， ， ， ， ②， 由①②解得，，， ∴或； 情况二：如图，当时，作于， ， ， ， ， 设，则， ， ， ； 情况三：当时，， ∵，， ∴， ， ， ， ， 此时点在的延长线上，不符合题意， 综上所述：或或． 78．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． (1)如图1，延长交于点P，与相等吗？证明你的结论． (2)如图2，当时，连接交于点G，求的值． (3)如图3，连接交于点M，连接并延长交于点N，求证∶． 【答案】(1)解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由对称可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3)证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由对称可得，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵在正方形中，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，证明即可； （2）延长交于点，交延长线于点，设，同（1）可得，，设，则，则，对运用勾股定理求解，再由，求解即可； （3）证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，延长交于点，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， 设 ∵， ∴， 同（1）可得，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）略 题型27 相似三角形的最值问题（共3小题） 79．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，D为边上一点，连接，过D点作，且，连接，若长最小，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理． 在边上取一点F，使，连接，，可知和均为等腰直角三角形，即，，，可知，相似比为，得到，，，可知E点在直线上运动，当时，长最小，此时，根据勾股定理求出，即可求出长． 【详解】解：在边上取一点F，使，连接，， ∵，，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴，相似比为， ∴，， ∴E点在直线上运动， 当时，长最小， 又，， ∴， ∴ 即， 即． 故选：A． 80．（25-26九年级上·广东深圳·期中）在中，，，． (1)如图1，折叠使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若，则______． (2)如图2，折叠使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若，求证：四边形是菱形； (3)在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． (4)在线段AC上找一点G，使值最小，请直接写出最小值． 【答案】(1)4 (2) 证明：由题意得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (3)或或 (4) 【分析】（1）根据题意得到，进而得到，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由题意得 ，进而得到，再根据平行线的性质得到，，即可证明四边形是菱形； （3）先求出，再求出，设，分和两种情况讨论即可求解； （4）延长线段到D，使的，作于点M，交与点G，连接，可以得到为线段的垂直平分线，，证明，得到，从而得到，此时最小，证明，求出，问题得解 ． 【详解】（1）解：如图，由题意得折叠得到, ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4； （2）略 （3）解：在中，∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 设菱形边长为， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 经检验，或或都是原方程的解， 综上所述，满足条件的的值为或或； （4）解：如图延长线段到D，使的，作于点M，交与点G，连接， ∴， ， ∴为线段的垂直平分线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理，将军饮马等问题，综合性强，难度较大，熟知相关知识，理解题意，根据题意添加辅助线，构造相似三角形是解题关键，注意第（3）问要分类讨论，第（4）问为将军饮马问题变式，说明是关键． 81．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，，，，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________． 【答案】 【分析】由相似三角形性质得出，利用勾股定理求出和的长．证明，得出，从而证得．利用直角三角形斜边中线定理得出，根据垂线段最短可知当时最小，即最小． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 为中点， ， 在中，， ， ， ， 当时，最小，最小 ， ， 的最小值为． 题型28 相似三角形的模型问题（共3小题） 82．（26-27九年级上·河南驻马店·期中）按要求完成以下问题 (1)问题发现 如图1，在正方形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且，则的值为_________． (2)类比探究 如图2，在矩形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且．求证：． (3)拓展延伸 如图3，在中，，，，点F，Q，H分别在边，，上，与交于点且，，直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)证明：过点H作，垂足为点Q，过点G作，垂足为点P，与相交于点O， , ， ， ， ， ， ， ， ， 由，可得：， ， ， 由可得四边形为矩形， ， 同理可得， ； (3) 【分析】（1）过点H作交于点N，过点G作交于点M，证明即可求解； （2）过点H作交于点Q，过点G作交于点P，由（1）可得，再结合相似三角形的性质可得结论； （3）过点作的平行线交于点，构造平行四边形，得到等角与等线段；在上截取，利用构造等边，得到角，创造相似三角形条件，利用平行线、三角形外角定理，证出两组对应角相等，证明，把，，代入相似比直接得到． 【详解】（1）解：过点H作于点N，过点G作于点M， 设交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，与平行， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ； （2）略 （3）解：过点作的平行线交于点，交于点， 在上截取，连接 ， 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 又 是等边三角形 四边形是平行四边形 ． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 83．（26-27九年级上·云南昆明·期中）如图，在等腰三角形中，，点在边上，点在边上，连接、，交于点．已知． (1)若，求的值． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)证明：， ， 又， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ； (3)解：是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， 由（2）得， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【分析】（1）作，与的延长线交于点G，先根据平行证明，推出，再证，根据对应边长成比例即可求解； （2）由，，证明，推出，结合证明，推出，通过等量代换即可证明； （3）由可得，结合，可得，由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：如图，作，与的延长线交于点G， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）略 （3）略 84．（26-27九年级上·山西临汾·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，证明，再证明， 求得，最后用勾股定理，解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 题型29 相似三角形的新定义问题（共3小题） 85．（26-27九年级上·河北·期中）如图1，点C将线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． (1)如图2，在中，，，的平分线交于点D，请问点D是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论； (2)若在（1）的条件下，如图3，请问直线是不是的黄金分割线，并证明你的结论． 【答案】(1)点是边上的黄金分割点． 理由如下：，， ． 平分， ， ， ． ， ， ， ， 在与中，，， ， ， ， 点是边上的黄金分割点． (2)直线是的黄金分割线． 理由如下：设中，边上的高为， 则，，， ，， 由（1）知，点是边上的黄金分割点，， ， 是的黄金分割线． 【分析】（1）证明，证明，得到，则有，所以点是边上的黄金分割点； （2）证明，即可证出直线是的黄金分割线； 【详解】（1）略 （2）略 86．（2026·浙江杭州·三模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 【答案】/ 【分析】连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【详解】解：连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 87．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 定义：如果一个小矩形的四个顶点分别落在另一个大矩形的四条边上（不含顶点），则称这个小矩形为大矩形的内接矩形． (1)概念理解： 如图1，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，判断：四边形____________（填“是”或“不是”）正方形的内接矩形； (2)操作探究： 用长方形纸片进行如下操作： 第一步：如图2，沿折叠长方形纸片，点落在边上的点处，再展开纸片，沿裁剪，得到正方形和矩形； 第二步：将矩形按图3放置，发现、、、的对应点、、、恰好分别落在、、、上． ①试说明：； ②探究发现： 如图3，通过度量发现：点恰好是的中点，请说明理由； ③深入思考： 直接写出的值． 【答案】(1)是 (2) ①证明：四边形是正方形， ，． 四边形是矩形， ，． ∴，， ， ，， ． 在与中，，，， ， ； ②证明：如图，过点作于点，连接、， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． 矩形矩形， ． 在与中，，， ， ． 由①知， ∴， ， ，即点恰好是的中点； ③ 【分析】本题结合“内接矩形”综合考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，关键是通过全等关系与相似关系推导线段长度与比例。 （1）根据内接矩形的定义，结合正方形边长相等的性质，证明四边形的顶点在正方形的边上，且为矩形，从而判定其为内接矩形。 （2）①利用正方形和矩形的性质找等角，用证，得到； ②过作，证四边形是矩形，再用证，结合推得，即是中点； ③设正方形边长为，由两角相等证，得比例式化简得，推出是等腰直角三角形，结合是中点，知、，又，故． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，，则． 在与中，，，， ， ，． ， ，即． 同理可得四边形的四个角均为直角，且四边相等，故为正方形； 又其顶点均在正方形的四条边上， 四边形是正方形的内接矩形； 故答案为：是． （2）①略 ②略 ③解：设正方形的边长为，则， 由①， 设，， 则，． ∵，， ∴， ∴，即，展开化简得， 解得或(舍去)， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵点是的中点， ， ∴． 故答案为：． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $