第三章位置与坐标（单元测试） -2026—2027学年北师大版数学八年级上册

第三章位置与坐标 一、单选题 1．点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，如果点在第三象限，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则的值可能是（　　） A． B．0 C．1 D．3 4．点P（3，－4）关于y轴对称的点 的坐标为（　　） A．（- 3，- 4） B．（3，- 4） C．（- 3，4） D．（4，- 3） 5．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAC，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，…的斜边都在坐标轴上，∠AOC=∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=…=30°．若点A的坐标为（3，0），OA=OC1，OA1=OC2，OA2=OC3，…则依此规律，点A2015的纵坐标为（　　） A．0 B． C． D． 8．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） A．(4，O) B．(5，0) C．(0，5) D．(5，5) 9．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣1） 10．下列说法中正确的是（　　） A．(-2，2)与(2，-2)关于x轴对称 B．平行于y轴的直线上所有点的纵坐标都相同 C．若点A(3，-1)，则点A到x轴的距离为1 D．若点Q(a，b)在x轴上，则a=0 11．平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点.正方形的四个顶点坐标分别是（－n，0）、（0，－n）、（n，0）、（0，n），其中n为正整数.已知正方形内部（不包括边）的整点比边上的整点多177个，则n的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 12．一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动：（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第63秒时，这个点所在位置的坐标是（　　） A．（7，0） B．（0，7） C．（7，7） D．（6，0） 13．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．例如：点A1的坐标为（3，1），则点A2的坐标为（0，4），…；若点A1的坐标为（a，b），则点A2015的坐标为（　　） A．（﹣b+1，a+1） B．（﹣a，﹣b+2） C．（b﹣1，﹣a+1） D．（a，b） 二、填空题 14．如果M（a，b），N（c，d）是平行于y轴的一条直线上的两点，那么a与c的关系是　 　 15．如果用（9，2）表示九年级2班，那么八年级一班可表示成　 　． 16．在直角坐标系中，将点关于原点的对称点向左平移个单位长度得到的点的坐标是　 　. 17．与点关于y轴对称的点的坐标为　 　，关于对称的点的坐标为　 　． 18．若点P(3a-6，1-a)在x轴上，则点P的坐标为　 　. 19．将点P （-3，4）先向下平移3个单位，再向左平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是　 　。 20．如图，在平面直角坐标系中 ， ， 是线段 上的一个动点，则 的最小值是　 　. 21．如图，在直线y= x+1上取一点A1，以O、A1为顶点作等一个等边三角形OA1B1，再在直线上取一点A2，以A2、B1为顶点作第二个等边三角形A2B1B2，…，一直这样做下去，则B1点的坐标为　 　，第10个等边三角形的边长为　 　． 22．如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到(1，1)，第二次从(1，1)运动到(2，0)，第三次从(2，0)运动到(3，2)，第四次从(3，2)运动到(4，0)，第五次从(4，0)运动到(5，1)，……，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是　 　 23．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为和，点P的坐标为，则的最小值为　 　． 三、解答题 24．如图，已知在平面直角坐标系中，S三角形ABC=24，OA=OB，BC =12，求三角形ABC三个顶点的坐标. 25．在平面直角坐标系中，，点Q在x轴下方，轴，若，求点Q的坐标． 26．已知：如图，的三个顶点分别为：，，，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． （1）写出、、的坐标； （2）求的面积． 27．已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，且轴，求的长． 28．如图，已知，，． （1）写出点C到x轴的距离______； （2）连接AB、BC、AC，求的面积； （3）点P在y轴上，当的面积是6时，求出点P的坐标． 29．已知点，根据下列条件求出各点的坐标． （1）若点在第二象限，且点到轴的距离为，则点的坐标； （2）若点到两坐标轴的距离相等，则关于轴的对称点的坐标． 30．已知点 在 轴上，求 的值以及点 的坐标． 31．如图，将△ABC中向右平移4个单位得到△A′B′C′． ①写出A、B、C的坐标； ②画出△A′B′C′； ③求△ABC的面积． 32．平面直角坐标系中，已知，为等腰三角形且面积为，求满足条件的点坐标． 33．如图，点、，且a、b满足． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当时，求t的取值范围： （3）如图3，点C在线段上，（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵点在第三象限， ∴a-1<0 解得： 故答案为：A. 【分析】根据第三象限的点，横纵坐标都小于0，列出不等式即可求解． 3．【答案】A 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵（3，-4）关于y轴对称的点坐标为（-3，-4）， 故答案为：A. 【分析】关于y轴对称点的坐标特点是，纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此解答即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：因为目标在第四象限，所以其坐标的符号是（+，-），观察各选项只有B符合题意， 故答案为：B． 【分析】根据第四象限点坐标的特征求解即可。 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵A的坐标为（﹣3，2）， ∴A关于y轴的对应点的坐标为（3，2）． 故选B． 【分析】让点A的横坐标为原来横坐标的相反数，纵坐标不变可得所求点的坐标． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2=3， 在Rt△OA2C2中，∠A2OC2=30°， 设A2C2=x，则有OA2=2x，根据勾股定理得：x2+9=4x2， 解得：x=，即OA2=2， ∴A2纵坐标为2， 由OA2=OC3=2， 在Rt△OA3C3中，∠A3OC3=30°， 设A3C3=y，则有OA3=2y，根据勾股定理得：y2+12=4y2， 解得：y=2，即OA3=4， ∴A3纵坐标为0， ∵2015÷4=503…3， ∴点A2015的纵坐标与A3纵坐标相同，为﹣3×（）2015． 故选：B． 【分析】根据题意确定出A1，A2，A3，A4…纵坐标，归纳总结得到点A2015的纵坐标与A3纵坐标相同，即可得到结果． 8．【答案】B 9．【答案】B 【解析】【解答】解： 矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇； … 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵2014÷3=671…1， 故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是：第一次相遇地点， 即物体甲行的路程为12×1×=4，物体乙行的路程为12×1×=8； 此时相遇点F的坐标为：（﹣1，1）， 故选：B． 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 10．【答案】C 【解析】【解答】解：A、(-2，2)与(2，-2)关于原点对称，则本项错误，不符合题意； B、平行于y轴的直线上所有点的横坐标都相同，则本项错误，不符合题意； C、若点A（3，-1），则点A到x轴的距离为1；则本项正确，符合题意； D、若点Q(a，b)在x轴上， 则则本项错误，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】由关于原点对称的两个点的坐标特点可判断A；由平行于y轴的直线上点的横坐标相等可判断B；由点到坐标轴的距离的含义可判断C；由x轴上的点的坐标特点可判断D，从而可得答案. 11．【答案】D 【解析】【解答】解：如图， ∵正方形的四个顶点坐标分别是（-n，0）、（0，-n）、（n，0）、（0，n），其中n为正整数， ∴正方形内部（不包括边）的整点个数为1+4×1+…+4n-4n=2n2-2n+1，边上的整点个数为4n， 依题意有2n2-2n+1-4n=177， 解得：n1=11，n2=-8（舍去）. 故答案为：D. 【分析】根据整点的定义分别得到正方形内部（不包括边）的整点个数，边上的整点个数，再根据正方形内部（不包括边）的整点比边上的整点多177个，列出关于n的方程，解方程即可求解. 12．【答案】A 13．【答案】B 【解析】【解答】解：∵点A1的坐标为（a，b）， ∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b）， …， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵2015÷4=503余3， ∴点A2015的坐标与A3的坐标相同，为（﹣a，﹣b+2）； 故选B． 【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2015除以4，根据商和余数的情况确定点A2015的坐标即可． 14．【答案】相等 【解析】【解答】解：∵M（a，b），N（c，d）是平行于y轴的一条直线上的两点， ∴a=c． 故答案为：相等． 【分析】平行于y轴的一条直线上的点的横坐标不变，所以M，N两点的横坐标相等，因此：a=c。 15．【答案】（8，1） 【解析】【解答】解：由题意得八年级一班可表示成（8，1）， 故答案为：（8，1） 【分析】根据九年级2班的表示方法得到，第一个数表示年级，第二个数表示班级，进而即可求解。 16．【答案】（0，-3） 【解析】【解答】解：∵点（-2，3）关于原点的对称点为：（2，-3）， ∴（2，-3）再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是：（0，-3）. 故答案为：（0，-3）. 【分析】根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标分别互为相反数及点的坐标的平移规律，左移减右移加，上移加下移减，可得出答案. 17．【答案】； 【解析】【解答】解：点（2，-7）关于y轴对称的坐标为（-2，-7），关于y=-1对称的坐标，为-7-（-1）=-6，-1-（-6）=5，所以坐标为（2，5）。 故答案为：（-2，-7）；（2，5）. 【分析】关于y轴对称的纵坐标不变，横坐标的值相反数，然后关于y=-1的对称点横坐标不变，-7-（-1）=-6，-1-（-6）=5，所以关于y=-1的对称点为（2，5）。 18．【答案】(-3，0) 【解析】【解答】解：∵点P(3a-6，1-a)在x轴上， ∴1-a=0， 解得：a=1， ∴3a-6=-3， 即点P的坐标为（-3，0）， 故答案为：（-3，0）. 【分析】根据点P的坐标在x轴上求出1-a=0，再求出3a-6=-3，最后求点P的坐标即可。 19．【答案】（-5，1） 【解析】【解答】解：根据题意，点Q的横坐标为：-3-2=-5；纵坐标为4-3=-1； ∴点Q的坐标是（-5，1）． 故答案填：（-5，1） 【分析】利用点的坐标平移规律：上加下减（点的纵坐标加或减），左减右加（横坐标加或减），可解答此题。 20．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可知，当OP⊥AB于H点时，由点到直线的距离垂线段最短可知此时OH有最小值，如下图所示： 在Rt△AOB中，由勾股定理可知 ， 且△ABO中的等面积法有： ，代入数据： ， 故答案为： . 【分析】当OP⊥AB于H点时，由点到直线的距离垂线段最短可知此时OH有最小值，在Rt△AOB中，由勾股定理可求出AB=5，利用△ABC的面积=进行解答即可. 21．【答案】（ ，0）；29 【解析】【解答】解：作A1D⊥x轴于D，A2E⊥x轴于E，如图， ∵△OA1B1、△B1A2B2均为等边三角形， ∴OD=B1D，B1E=B2E，∠OA1D=30°，∠B1A2E=30°， 设OD=t，B1E=a，则A1D= t，A2E= a， ∴A1点坐标为（t， t）， 把A1（t， t）代入y= x+1得 t= t+1，解得t= ， ∴OB1= ， ∴B1点的坐标为（ ，0）， ∴A2点坐标为（ +a， a）， 把A2（ +a， a）代入y= x+1得 a= （ +a）+1，解得a= ， ∴B1B2=2 ， 同理得到B2B3=22 ，…，按照此规律得到B9B10=29 ． 故答案为（ ，0），29 ． 【分析】作A1D⊥x轴于D，A2E⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得OD=B1D，B1E=B2E，∠OA1D=30°，∠B1A2E=30°，设OD=t，B1E=a，则A1D= t，A2E= a，则A1点坐标为（t， t），把A1（t， t）代入y= x+1可解得t= ，于是得到B1点的坐标为（ ，0），OB1= ，则A2点坐标为（ +a， a），然后把A2代入y= x+1可解得a= ，B1B2=2 ，同理得到B2B3=4 ，…，按照此规律得到B9B10=29 ． 22．【答案】(2013，1) 【解析】【解答】∵第一次从原点运动到(1，1)，第二次从(1，1)运动到(2，0)，第三次从(2，0)运动到(3，2)， 第四次从(3，2)运动到(4，0)，第五次从(4，0)运动到(5，1)，…， ∴按这样的运动规律，第几次横坐标即为几，纵坐标为：1，0，2，0，1，0，2，0…4个一循环， ∵ =503…1， ∴经过第2013次运动后，动点P的坐标是：(2013，1). 故答案为：(2013，1). 【分析】根据各点的横纵坐标变化得出点的坐标规律进而得出答案即可． 23．【答案】 【解析】【解答】∵点P的坐标为， ∴点P在函数的图象上． 如图，作点关于的对称点，连接交直线于点P，则此时最小，且最小值为的长． ∵点与点关于直线的对称，， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】由点P的坐标为，可知点P在函数的图象上，作点关于的对称点，连接交直线于点P，则此时最小，且最小值为的长，利用勾股定理求出的长即可． 24．【答案】A（0，4），B（-4，0），C（8，0）． 25．【答案】 26．【答案】（1）解：∵，，， 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴、、. （2）解：由题意知，， ∴的面积为6． 【解析】【分析】（1）根据左减右加，上加下减，求平移后的点坐标即可； （2）根据，计算求解即可． （1）解：∵，，，向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴、、； （2）解：由题意知，， ∴的面积为6． 27．【答案】（1） （2） 28．【答案】（1）3 （2）15 （3）或 29．【答案】（1） （2）或 30．【答案】解：∵点 在 轴上， ∴ ， ∴ ． 当 时， ， ∴ 点的坐标为 ； 当 时， ， ∴ 点的坐标为 ． 即 ．点 的坐标为 或 ． 【解析】【分析】先求出 ． 再分类讨论，最后求点的坐标即可。 31．【答案】解：①由图可知，A（﹣4，1）、B（﹣2，0）、C（﹣1，3）；②如图，△A′B′C′即为所求；③S△ABC=3×3﹣ ×2×1﹣ ×3×1﹣ ×2×3=9﹣1﹣ ﹣3= ．故答案为：①A（﹣4，1）、B（﹣2，0）、C（﹣1，3）；②△A′B′C′即为所求；③. 【解析】【分析】①根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可； ②根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可； ③利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 32．【答案】解：， ， 设的边上的高是， 则， 解得：， 在轴的两侧作直线和直线都和轴平行，且到轴的距离都等于，如图： 以为圆心，以为半径画弧，交直线和直线分别有两个点，即共个点符合，分别为，，； 以为圆心，以为半径画弧，交直线和直线分别有两个点，即共个点符合，分别为，，； 作的垂直平分线分别交直线、于一点，即共个点符合，分别为，． 综上所述．的坐标分别为，，，，，，，． 【解析】【分析】 使为等腰三角形，分两种情况：OA为底边或OA为腰，①当OA为底边时，有两个点，②当OA为腰时，有8个点，分别写出对应的坐标点即可. 33．【答案】（1） （2）或； （3） 学科网（北京）股份有限公司 $