河南省新乡市部分校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 参考答案及评分意见 1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．ABD 10．ACD 11．AC 12． 13． 14． 15．解：（1）因为，，所以线段的中点为． 2分 因为，所以边上的中线所在直线的方程为． 4分 （2）因为，，所以直线的斜率， 6分 所以边上的高所在直线的斜率． 7分 又因为边上的高过点， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 9分 （3）由（2）得，， 因为所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为． 11分 因为所求直线过点，所以所求直线的方程为， 即． 13分 16．解：（1）因为正方体的棱长为， 所以，，，，， ，，，． 2分 因为，所以， 所以，所以． 4分 因为，所以， 所以，所以． 6分 （2）由（1），得，，所以， 所以． 9分 （3）由（2），得，． 因为，，所以， 所以． 12分 设异面直线，所成的角为，则， 所以异面直线，所成角的余弦值为． 15分 17．解：（1）因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 3分 又因为直线过点，所以直线的方程为，即． 5分 （2）圆：的标准方程为， 则圆心，半径，． 6分 因为圆心到直线的距离， 8分 圆截直线所得的弦长为，所以，解得． 10分 （3）由（2），得圆的方程为． 设线段的中点为，． 因为，所以，则． 12分 因为点在圆上运动，所以， 即， 化简，得， 即线段的中点的轨迹方程为． 15分 18．（1）证明：因为，所以是等边三角形． 因为为的中点，所以，且． 2分 因为，，所以，所以． 如图，连接．因为为的中点，所以． 3分 因为，所以． 4分 因为，，平面，所以平面． 5分 （2）解：由（1）知，，． 因为，为的中点，所以． 6分 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，得，，，，， 所以，，． 因为点在棱上，所以设，则．由题意，得． 8分 设平面的法向量为，则． 设，则，，所以． 10分 由题意，得． 解得（舍）或，所以． 12分 设平面的法向量为，则． 设，则，，所以． 14分 因为， 由题知，二面角的平面角是锐角， 所以二面角的余弦值为． 17分 19．（1）证明：因为平面平面，平面平面， ，且平面，所以平面． 2分 又因为平面，所以． 3分 在正方形中，． 因为，，平面，所以平面． 5分 （2）解：以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴、轴，过点的平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 6分 设，，则，． 因为，所以．① 由（1）知，平面，因为平面，所以， 所以．② 8分 因为平面，所以平面的一个法向量为． 9分 设平面的法向量为，则． 因为，，所以． 取，则，所以． 10分 因为二面角的大小为， 所以．③ 11分 由①②③解得，，，或，，， 即或． 12分 当点的坐标为时，，，，满足题意． ，． 设平面的法向量为，则，即． 取，则，，所以． 设与平面所成的角为，则 又因为，所以． 14分 当点的坐标为时，，，，满足题意． ，． 设平面的法向量为，则， 即取，则，，所以． 设与平面所成的角为，则， 又因为，所以． 16分 综上，直线与平面所成角的大小为或． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是空间的一个基底，则下列选项中，不能构成空间基底的是 A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知直线，满足，直线的倾斜角为，则直线的斜率为 A． B． C． D． 3．“”是“直线与直线平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知异面直线，的方向向量分别为，，则异面直线，所成角的大小为 A． B． C． D． 5．已知空间向量，．若与的夹角为，则 A． B． C． D． 6．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，，动点在线段上，则的最小值为 A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为，点在正方体内部（含表面）且满足．若点到直线的距离为，则 A． B． C．或 D． 8．欧拉定理表明：任意三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，的欧拉线为直线，点为上的动点，过点作圆：的切线，其中一个切点为．当的面积取得最小值时，切线长 A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在平行六面体中，下列各式成立的有 A． B． C． D． 10．已知圆：，点，直线：，则下列说法正确的有 A．直线恒过点 B．点到直线的距离的最大值为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆上一点关于直线的对称点在圆上，则 11．已知正四面体的棱长为，，分别为，的中点，为的重心，则下列说法正确的有 A．异面直线与夹角的余弦值是 B．与平面所成角的正弦值为 C． D．二面角的余弦值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则________． 13．已知圆：，圆：．若圆与圆有公共点，则的取值范围是________． 14．已知，是空间中互相垂直的单位向量，，，则的最小值是________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的三个顶点分别是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求过点且与平行的直线的方程． 16．（15分）棱长为的正方体在空间直角坐标系中的位置如图，点，分别在线段和上，且，． （1）写出点，的坐标； （2）求线段的长； （3）求异面直线，所成角的余弦值． 17．（15分）已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． （1）求直线的方程； （2）求实数的值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 18．（17分）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 19．（17分）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，二面角的大小为，平面平面，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $