2026-2027学年苏科版九年级数学上册 期中复习卷6

苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝x的根为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝1 2．（3分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1+x2＝7，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．或- D． 3．（3分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：y与x的数据如表：则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为24cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是（　　） A．16πcm2 B．192πcm2 C．384πcm2 D．400πcm2 5．（3分）如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（　　）B、C两点分别在函数 y=(x＞0) 和 y=-（x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC经过圆心，∠BAD＝45°，BC＝2，CD=2，则⊙O的半径长度是（　　） A．1+ B．2+ C． D．2 7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 8．（3分）如图，两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）y1=和y2=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．6 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC=BC，则∠D的度数为　 　 ． 10．（3分）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点．若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 　 　 ． 11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数为　 　 ． 12．（3分）如图是一段弯形管道，其中，∠O＝∠O′＝90°，中心线的两条圆弧半径都是1000mm，则图中管道的展直长度是　 　 mm（π取3.14）． 13．（3分）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为2cm，母线长为6cm则需要的扇形纸片的圆心角为 　 　 度． 14．（3分）方程x2＝4x的根为 　 　 ． 15．（3分）已知a，b，c是非零实数，关于x的一元二次方程ax2+bx+=0，cx2+ax+=0，bx2+cx+=0，有公共解，则代数式--的值为 　　　　 ． 16．（3分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2﹣4x+1＝0． 18．（6分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．y=的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 19．（6分）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．解：移项，得2x2+4x＝1．①二次项系数化为1，得x2+2x=．②配方，得x2+2x+1=，即(x+1)2=．③开方，得x+1=±．④x1=-1+，x2=-1-．⑤（1）小聪的解答过程是从第　 　 步开始出现错误的，错误的原因是　 　 ； （2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 20．（6分）如图，OA，OB是⊙O的半径，且AC=BC，弦CM，CN分别经过OA，OB的中点D，E． （1）求证CD＝CE； （2）求证CM＝CN． 21．（6分）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝DC． （1）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的周长． 22．（6分）如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数； （2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，点F在BD的延长线上，连接AF，使∠FAE＝2∠ABD． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若DE＝1，BC＝4，求⊙O的半径． 24．（8分）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示．t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示． （1）当潜水深度为30米时，求气瓶可用时间； （2）为保证安全，计划要求气瓶可用时间不少于15分钟且不超过40分钟，潜水深度应控制在什么范围内？ 25．（10分）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点．M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y=的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 26．（10分）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°． ①求∠C的度数； ②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长； 【逆向思考】 （2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；【拓展应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=CB-CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 27．（10分）【问题提出】 （1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最大值为 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP、CP，则∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中∠BAC＝90°，AB＝6km，AC＝3km．点D是AC上的一个动点，以AD为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD，BD与半圆O交于点E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 参考答案与解析 1．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝x的根为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝1 【答案】C 【解答】解：x（x﹣1）﹣x＝0，x（x﹣1﹣1）＝0，x＝0或x﹣1﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝2．故选：C． （来源：2025•陇南期末） 2．（3分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1+x2＝7，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．或- D． 【答案】A 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝1﹣2m＝7，解得m＝﹣3，此时方程化为x2﹣7x+9＝0，根的判别式为Δ＝49﹣4×9＝13＞0，符合题意；故m＝﹣3．故选：A． （来源：2026•东港区校级开学） 3．（3分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：y与x的数据如表：则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx，则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k，解得：k=，故函数解析式为：y=x（0≤x＜8），由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y=，则将（12，4）代入得：a＝48，故函数解析式为：y=（x≥8）．故函数图象D正确．故选：D． （来源：2026•南海区校级三模） 4．（3分）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为24cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是（　　） A．16πcm2 B．192πcm2 C．384πcm2 D．400πcm2 【答案】B 【解答】解：由题意可知，一个地支的夹角为=30°，从“巳”时开始到“申”时结束走过的图形是扇形，且圆心角为120°，即∠AOB＝120°， ∵晷面内圈的半径OA为24cm， ∴S扇形==192π(cm2)， ∴晷针投影在晷面上划过的图形面积是192πcm2．故选：B． （来源：2026•蓬莱区期中） 5．（3分）如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（　　）B、C两点分别在函数 y=(x＞0) 和 y=-（x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【解答】解：连接OA、OB， ∵BC⊥y轴， ∴△ABC的面积等于△OBC的面积， ∵△OBC的面积：+=3， ∴△ABC的面积为：3．故选：A． （来源：2026•海州区一模） 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC经过圆心，∠BAD＝45°，BC＝2，CD=2，则⊙O的半径长度是（　　） A．1+ B．2+ C． D．2 【答案】C 【解答】解：如图，连接OB、OD，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝45°， ∴∠BCD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BCE＝45°， ∴EB＝EC=BC=， ∴DE＝DC+CE＝3，由勾股定理得：DB===2，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD＝90°， ∴OB＝OD=BD=，故选：C． （来源：2025•牟平区期末） 7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接BC，由条件可知CE＝DE，即AB垂直平分CD， ∴BC＝BD，又 ∵OC＝OD，OB＝OB， ∴△COB≌△DOB，则S△COB＝S△DOB， ∴∠DOB＝90°﹣∠ODE＝60°， ∵OA＝OB， ∴S△COB＝S△AOC，则S△COB＝S△DOB＝S△AOC则阴影部分的面积为S△AOC+S弓形=S△BOD+S弓形=S扇形BOD=π×22=π，故选：A． （来源：2026•南宁二模） 8．（3分）如图，两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）y1=和y2=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．6 【答案】C 【解答】解： ∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1， ∴S△POB＝2﹣1＝1．故选：C． （来源：2026•泰兴市期末） 9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC=BC，则∠D的度数为　 　 ． 【答案】45° 【解答】解：连接CO， ∵AB为⊙O的直径，AC=BC， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°（圆周角定理）， ∴∠D=∠AOC=×90°=45°．则∠D的度数为45°．故答案为：45°． （来源：2026•雁塔区校级模拟） 10．（3分）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点．若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 　 　 ． 【答案】2 【解答】解： ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN=AC，由题意可知：当AC为直径时，AC的值最大，最大值是4， ∴MN长的最大值是2，故答案为：2． （来源：2025•城厢区期中） 11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数为　 　 ． 【答案】35° 【解答】解：连接FB． ∵∠AOF＝40°， ∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB=∠FOB＝70° ∵EF＝EB ∴∠EFB＝∠EBF＝55°， ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF＝20°， ∴∠EFO＝∠EBO， ∴∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故答案为：35°． （来源：2026•黑龙江模拟） 12．（3分）如图是一段弯形管道，其中，∠O＝∠O′＝90°，中心线的两条圆弧半径都是1000mm，则图中管道的展直长度是　 　 mm（π取3.14）． 【答案】6140 【解答】解：由题知， ∵∠O＝∠O′＝90°，中心线的两条圆弧半径都是1000mm，所以这两段弧长之和为：=3140（mm），则3000+3140＝6140（mm），所以图中管道的展直长度是6140mm．故答案为：6140． （来源：2025•硚口区期末） 13．（3分）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为2cm，母线长为6cm则需要的扇形纸片的圆心角为 　 　 度． 【答案】120 【解答】解：设扇形纸片的圆心角为n°，由题意得：=2×2π，解得：n＝120，故答案为：120． （来源：2026•龙凤区模拟） 14．（3分）方程x2＝4x的根为 　 　 ． 【答案】x1＝0，x2＝4 【解答】解：x2＝4x，x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，x＝0，x﹣4＝0，x1＝0，x2＝4，故答案为：x1＝0，x2＝4． （来源：2026•雁塔区校级四模） 15．（3分）已知a，b，c是非零实数，关于x的一元二次方程ax2+bx+=0，cx2+ax+=0，bx2+cx+=0，有公共解，则代数式--的值为 ． 【答案】2或﹣1 【解答】解：设公共解为t，则at2+bt+=0，ct2+at+=0，bt2+ct+=0，三式相加得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+=0，即（a+b+c）（t2+t+）＝0， ∵t2+t+=（t+）2≥0， ∴a+b+c＝0或t=-，当a+b+c＝0时，c＝﹣a﹣b， ∴原式== ＝2；当t=-时，a-b+=0，c-a+=0， ∴c＝2b﹣a＝2a﹣b， ∴a＝b， ∴原式== = ＝﹣1，综上，代数式--的值为2或﹣1．故答案为：2或﹣1． （来源：2026春•泗阳县校级月考） 16．（3分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝ ． 【答案】﹣1或2 【解答】解：当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，即x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根；当x＝﹣2时，a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c＝4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和x＝﹣2， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程（x﹣3）（x+n）＝0的根为x＝3和x＝﹣n， ∴若相同根为x＝1，则﹣n＝1，即n＝﹣1，此时两方程分别有根1、﹣2和3、1，仅有相同根x＝1，满足条件；若相同根为x＝﹣2，则﹣n＝﹣2，即n＝2，此时两方程分别有根1、﹣2和3、﹣2，仅有共同根x＝﹣2，满足条件，若相同根为x＝3，则3不是方程ax2+bx+c＝0的根，不满足题意，综上，n＝﹣1或n＝2．故答案为：﹣1或2． （来源：2025秋•达川区期末） 17．（6分）解方程：x2﹣4x+1＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣4x+1＝0x2﹣4x+4＝3（x﹣2）2＝3x﹣2=± ∴x1＝2+，x2＝2-； （来源：2024•蒸湘区一模） 18．（6分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．y=的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2； （2） ∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣4＜﹣1＜0， ∴y1＜y2． （来源：2025•瑞金市期末） 19．（6分）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．解：移项，得2x2+4x＝1．①二次项系数化为1，得x2+2x=．②配方，得x2+2x+1=，即(x+1)2=．③开方，得x+1=±．④x1=-1+，x2=-1-．⑤（1）小聪的解答过程是从第　 　 步开始出现错误的，错误的原因是　 　 ； （2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 【答案】③ 【解答】解： （1）小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的，错误的原因是配方时方程右边没有加1；故答案为：③；配方时方程右边没有加1； （2）原方程移项得2x2﹣4x＝5，二次项系数化为1得x2-2x=，配方得x2-2x+1=+1，即(x-1)2=，开方得x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-． （来源：2025•丰润区期末） 20．（6分）如图，OA，OB是⊙O的半径，且AC=BC，弦CM，CN分别经过OA，OB的中点D，E． （1）求证CD＝CE； （2）求证CM＝CN． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵OA，OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB， ∵点D、E分别是OA、OB的中点， ∴OD=OA，OE=OB， ∴OD＝OE， ∵AC=BC， ∴∠AOC＝∠BOC，在△DOC和△EOC中，， ∴△DOC≌△EOC（SAS）， ∴CD＝CE． （2）如图，连接OM、ON． ∵△DOC≌△EOC， ∴∠OCD＝∠OCE，即∠OCM＝∠OCN， ∵OM＝OC，ON＝OC， ∴∠OMC＝∠OCM，∠ONC＝∠OCN， ∴∠OMC＝∠ONC，在△OMC和△ONC中，， ∴△OMC≌△ONC（AAS）， ∴CM＝CN． （来源：2025•洛龙区校级期中） 21．（6分）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝DC． （1）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的周长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）DE与⊙O相切，连接OE， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB（等边对等角）， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB+∠DBC＝90°， ∵∠DBC＝∠OBE， ∴∠DBC＝∠OEB， ∴∠DCB+∠OEB＝90°， ∵DE＝DC， ∴∠DCB＝∠DEB（等边对等角）， ∴∠DEB+∠OEB＝90°，即∠DEO＝90°，又OE为半径， ∴DE与⊙O相切． （2）由（1）知∠DEO＝90°，由题意知：DE＝DC＝4，BD＝2，设BO＝EO＝AO＝r，则DO＝2+r， ∴DE2+EO2＝DO2，即42+r2＝（2+r）2，解得：r＝3， ∴DO＝5，AB＝6， ∴AD＝DO+AO＝8， ∴AC==4， ∴BC===2， ∴△ABC的周长为：BC+AB+AC=2+6+4=6+6． （来源：2025•兴仁市期末） 22．（6分）如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数； （2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠C＝40°， ∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣40°＝140°， ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO， ∴∠OAB+∠OBA=×140°=70°， ∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°； （2） ∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，设切点为I， ∴EH＝EI，DI＝DG， ∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+EI+DI，＝CD+CE+EH+DG，＝CG+CH， ∵AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH， ∴CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣（AH+AF+BF+BG），＝8+6+9﹣2AB＝8+6+9﹣2×6＝11． （来源：2025•广安区期末） 23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，点F在BD的延长线上，连接AF，使∠FAE＝2∠ABD． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若DE＝1，BC＝4，求⊙O的半径． 【答案】见解析 【解答】解： （1）直线AF与⊙O相切，理由： ∵∠FAE＝2∠ABD，∠FOA＝2∠ABD， ∴∠FAE＝∠FOA， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， ∴∠FOA+∠EAO＝90°， ∴∠FAE+∠EAO＝90°．即∠FAO＝90°， ∴OA⊥FA． ∵OA为⊙O的半径， ∴直线AF与⊙O相切； （2）延长AE交⊙O于点H，连接BH，如图， ∵BD为⊙O的直径，AE⊥BD， ∴BD平分AH，即BD为AH的垂直平分线， ∴BA＝BH， ∵AB＝AC， ∴BH＝AC， ∴BH=AC， ∴AH=BC， ∴AH＝BC＝4． ∴AE=AH＝2．设⊙O的半径为r，则OE＝OD﹣DE＝r﹣1，在Rt△OAE中， ∵AE2+OE2＝OA2， ∴22+（r﹣1）2＝r2，解得：r＝2.5． ∴⊙O的半径为2.5． （来源：2025•余杭区校级自主招生） 24．（8分）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示．t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示． （1）当潜水深度为30米时，求气瓶可用时间； （2）为保证安全，计划要求气瓶可用时间不少于15分钟且不超过40分钟，潜水深度应控制在什么范围内？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意，设反比例函数为t=(k≠0)，又由图象知，当h＝10时，t＝60，代入得：60=⟹k=600， ∴反比例函数关系式为t=． ∴当h＝30时，代入函数：t==20． ∴当潜水深度为30米时，气瓶可用时间为20分钟； （2）由题意， ∵15≤t≤40， ∴代入t=，则≥15⟹600≥15h⟹h≤40，且600≤40h，则h≥15． ∴潜水深度应控制在15≤h≤40米的范围内． （来源：2026•柘城县模拟） 25．（10分）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点．M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y=的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【答案】见解析 【解答】（1）解：设点M的坐标为（a，b）， ∵点M在反比例函数y=上， ∴ab＝2， ∵AC⊥x轴，M是AC的中点， ∴点A的坐标为（a，2b），设经过点A的反比例函数C2的表达式为y=，把A（a，2b）代入可得2b=，即k＝2ab，又 ∵ab＝2， ∴k＝4，则反比例函数C2的表达式为y=； （2）证明：设点M的坐标为（a，b）， ∵BD⊥y轴， ∴点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， ∵点D在图象C2y=上， ∴xb＝4，即x=． ∴点D的坐标为（，b），由（1）知A（a，2b），ab＝2，即a=， ∴点M的坐标为（，b）， ∴BM＝DM=， ∵M是AC的中点， ∴AM＝CM； ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴AC∥y轴，BD∥x轴，即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． （来源：2026•新会区校级一模） 26．（10分）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角．【知识回顾】 （1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；【逆向思考】 （2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；【拓展应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=CB-CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【答案】见解析 【解答】（1）解：① ∵∠AOB+∠C＝135°，∠AOB＝2∠C， ∴3∠C＝135°， ∴∠C＝45°；②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，如图①， ∵∠C＝45°，AC＝8， ∴△ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=4， ∵∠AOB＝2∠C＝90°，OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB=OA=5，在直角三角形ABM中，BM==3， ∴BC=CM+BM=4+3=7． （2）证明：延长AP交圆于点N，则∠C＝∠N，如图②， ∵∠APB＝2∠C， ∴∠APB＝2∠N， ∵∠APB＝∠N+∠PBN， ∴∠N＝∠PBN， ∴PN＝PB， ∵PA＝PB， ∴PA＝PB＝PN， ∴P为该圆的圆心； （3）证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，如图③， ∵∠APB＝90°， ∴∠C＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE＝BC， ∵BP⊥AF，PA＝PF， ∴BA＝BF， ∵AF是直径， ∴∠ABF＝90°， ∴∠EBC＝∠ABF＝90°， ∴∠EBA＝∠CBF， ∴△EBA≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CD=CB-CA=CE-CA=AE， ∴CD＝CF， ∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求． （来源：2026•望奎县三模） 27．（10分）【问题提出】 （1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最大值为 　 　 ；【问题探究】 （2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP、CP，则∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值；【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中∠BAC＝90°，AB＝6km，AC＝3km．点D是AC上的一个动点，以AD为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD，BD与半圆O交于点E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值． 【答案】12 【解答】（1）解：P是半径为5的⊙O上一点，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，如图1，过点O作P1Q1⊥m，由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径OP不变，可知此时P1Q1最大，最大值为7+5＝12，故答案为：12； （2）根据题意得BC＝4是定值，∠BPC＝90°， ∴点P的轨迹在以BC为直径的圆O上部分，如图2，连接AO，交圆O于点P′，此时的AP′即为AP的最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∵BO=OP′=BC=2， ∴AO===2， ∴AP′=AO-OP′=2-2， ∴AP的最小值为2-2； （3）如图3，连接AE，根据题意得：∠AED＝90°，以AB为直径作圆Q，∠BEA＝90°， ∴点E在以AB为直径作圆Q上，连接QE，当点Q、E、C三点共线时，CE取得最小值， ∵∠BAC＝90°，AB＝6km，AC＝3km． ∴AQ=QE=AB=3km，在直角三角形ACQ中，由勾股定理得：CQ==3km， ∴CE=CQ-QE=(3-3)km， ∴CE的最小值为(3-3)km． （来源：2025•鼓楼区校级一模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 参考答案与解析 1．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝x的根为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝1 【答案】C 【解答】解：x（x﹣1）﹣x＝0，x（x﹣1﹣1）＝0，x＝0或x﹣1﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝2．故选：C． （来源：2025•陇南期末） 2．（3分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1+x2＝7，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．或- D． 【答案】A 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝1﹣2m＝7，解得m＝﹣3，此时方程化为x2﹣7x+9＝0，根的判别式为Δ＝49﹣4×9＝13＞0，符合题意；故m＝﹣3．故选：A． （来源：2026•东港区校级开学） 3．（3分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：y与x的数据如表：则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx，则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k，解得：k=，故函数解析式为：y=x（0≤x＜8），由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y=，则将（12，4）代入得：a＝48，故函数解析式为：y=（x≥8）．故函数图象D正确．故选：D． （来源：2026•南海区校级三模） 4．（3分）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为24cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是（　　） A．16πcm2 B．192πcm2 C．384πcm2 D．400πcm2 【答案】B 【解答】解：由题意可知，一个地支的夹角为=30°，从“巳”时开始到“申”时结束走过的图形是扇形，且圆心角为120°，即∠AOB＝120°， ∵晷面内圈的半径OA为24cm， ∴S扇形==192π(cm2)， ∴晷针投影在晷面上划过的图形面积是192πcm2．故选：B． （来源：2026•蓬莱区期中） 5．（3分）如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（　　）B、C两点分别在函数 y=(x＞0) 和 y=-（x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【解答】解：连接OA、OB， ∵BC⊥y轴， ∴△ABC的面积等于△OBC的面积， ∵△OBC的面积：+=3， ∴△ABC的面积为：3．故选：A． （来源：2026•海州区一模） 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC经过圆心，∠BAD＝45°，BC＝2，CD=2，则⊙O的半径长度是（　　） A．1+ B．2+ C． D．2 【答案】C 【解答】解：如图，连接OB、OD，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝45°， ∴∠BCD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BCE＝45°， ∴EB＝EC=BC=， ∴DE＝DC+CE＝3，由勾股定理得：DB===2，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD＝90°， ∴OB＝OD=BD=，故选：C． （来源：2025•牟平区期末） 7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接BC，由条件可知CE＝DE，即AB垂直平分CD， ∴BC＝BD，又 ∵OC＝OD，OB＝OB， ∴△COB≌△DOB，则S△COB＝S△DOB， ∴∠DOB＝90°﹣∠ODE＝60°， ∵OA＝OB， ∴S△COB＝S△AOC，则S△COB＝S△DOB＝S△AOC则阴影部分的面积为S△AOC+S弓形=S△BOD+S弓形=S扇形BOD=π×22=π，故选：A． （来源：2026•南宁二模） 8．（3分）如图，两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）y1=和y2=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．6 【答案】C 【解答】解： ∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1， ∴S△POB＝2﹣1＝1．故选：C． （来源：2026•泰兴市期末） 9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC=BC，则∠D的度数为　 　 ． 【答案】45° 【解答】解：连接CO， ∵AB为⊙O的直径，AC=BC， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°（圆周角定理）， ∴∠D=∠AOC=×90°=45°．则∠D的度数为45°．故答案为：45°． （来源：2026•雁塔区校级模拟） 10．（3分）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点．若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 　 　 ． 【答案】2 【解答】解： ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN=AC，由题意可知：当AC为直径时，AC的值最大，最大值是4， ∴MN长的最大值是2，故答案为：2． （来源：2025•城厢区期中） 11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数为　 　 ． 【答案】35° 【解答】解：连接FB． ∵∠AOF＝40°， ∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB=∠FOB＝70° ∵EF＝EB ∴∠EFB＝∠EBF＝55°， ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF＝20°， ∴∠EFO＝∠EBO， ∴∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故答案为：35°． （来源：2026•黑龙江模拟） 12．（3分）如图是一段弯形管道，其中，∠O＝∠O′＝90°，中心线的两条圆弧半径都是1000mm，则图中管道的展直长度是　 　 mm（π取3.14）． 【答案】6140 【解答】解：由题知， ∵∠O＝∠O′＝90°，中心线的两条圆弧半径都是1000mm，所以这两段弧长之和为：=3140（mm），则3000+3140＝6140（mm），所以图中管道的展直长度是6140mm．故答案为：6140． （来源：2025•硚口区期末） 13．（3分）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为2cm，母线长为6cm则需要的扇形纸片的圆心角为 　 　 度． 【答案】120 【解答】解：设扇形纸片的圆心角为n°，由题意得：=2×2π，解得：n＝120，故答案为：120． （来源：2026•龙凤区模拟） 14．（3分）方程x2＝4x的根为 　 　 ． 【答案】x1＝0，x2＝4 【解答】解：x2＝4x，x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，x＝0，x﹣4＝0，x1＝0，x2＝4，故答案为：x1＝0，x2＝4． （来源：2026•雁塔区校级四模） 15．（3分）已知a，b，c是非零实数，关于x的一元二次方程ax2+bx+=0，cx2+ax+=0，bx2+cx+=0，有公共解，则代数式--的值为 ． 【答案】2或﹣1 【解答】解：设公共解为t，则at2+bt+=0，ct2+at+=0，bt2+ct+=0，三式相加得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+=0，即（a+b+c）（t2+t+）＝0， ∵t2+t+=（t+）2≥0， ∴a+b+c＝0或t=-，当a+b+c＝0时，c＝﹣a﹣b， ∴原式== ＝2；当t=-时，a-b+=0，c-a+=0， ∴c＝2b﹣a＝2a﹣b， ∴a＝b， ∴原式== = ＝﹣1，综上，代数式--的值为2或﹣1．故答案为：2或﹣1． （来源：2026春•泗阳县校级月考） 16．（3分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝ ． 【答案】﹣1或2 【解答】解：当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，即x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根；当x＝﹣2时，a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c＝4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和x＝﹣2， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程（x﹣3）（x+n）＝0的根为x＝3和x＝﹣n， ∴若相同根为x＝1，则﹣n＝1，即n＝﹣1，此时两方程分别有根1、﹣2和3、1，仅有相同根x＝1，满足条件；若相同根为x＝﹣2，则﹣n＝﹣2，即n＝2，此时两方程分别有根1、﹣2和3、﹣2，仅有共同根x＝﹣2，满足条件，若相同根为x＝3，则3不是方程ax2+bx+c＝0的根，不满足题意，综上，n＝﹣1或n＝2．故答案为：﹣1或2． （来源：2025秋•达川区期末） 17．（6分）解方程：x2﹣4x+1＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣4x+1＝0x2﹣4x+4＝3（x﹣2）2＝3x﹣2=± ∴x1＝2+，x2＝2-； （来源：2024•蒸湘区一模） 18．（6分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．y=的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2； （2） ∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣4＜﹣1＜0， ∴y1＜y2． （来源：2025•瑞金市期末） 19．（6分）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．解：移项，得2x2+4x＝1．①二次项系数化为1，得x2+2x=．②配方，得x2+2x+1=，即(x+1)2=．③开方，得x+1=±．④x1=-1+，x2=-1-．⑤（1）小聪的解答过程是从第　 　 步开始出现错误的，错误的原因是　 　 ； （2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 【答案】③ 【解答】解： （1）小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的，错误的原因是配方时方程右边没有加1；故答案为：③；配方时方程右边没有加1； （2）原方程移项得2x2﹣4x＝5，二次项系数化为1得x2-2x=，配方得x2-2x+1=+1，即(x-1)2=，开方得x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-． （来源：2025•丰润区期末） 20．（6分）如图，OA，OB是⊙O的半径，且AC=BC，弦CM，CN分别经过OA，OB的中点D，E． （1）求证CD＝CE； （2）求证CM＝CN． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵OA，OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB， ∵点D、E分别是OA、OB的中点， ∴OD=OA，OE=OB， ∴OD＝OE， ∵AC=BC， ∴∠AOC＝∠BOC，在△DOC和△EOC中，， ∴△DOC≌△EOC（SAS）， ∴CD＝CE． （2）如图，连接OM、ON． ∵△DOC≌△EOC， ∴∠OCD＝∠OCE，即∠OCM＝∠OCN， ∵OM＝OC，ON＝OC， ∴∠OMC＝∠OCM，∠ONC＝∠OCN， ∴∠OMC＝∠ONC，在△OMC和△ONC中，， ∴△OMC≌△ONC（AAS）， ∴CM＝CN． （来源：2025•洛龙区校级期中） 21．（6分）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝DC． （1）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的周长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）DE与⊙O相切，连接OE， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB（等边对等角）， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB+∠DBC＝90°， ∵∠DBC＝∠OBE， ∴∠DBC＝∠OEB， ∴∠DCB+∠OEB＝90°， ∵DE＝DC， ∴∠DCB＝∠DEB（等边对等角）， ∴∠DEB+∠OEB＝90°，即∠DEO＝90°，又OE为半径， ∴DE与⊙O相切． （2）由（1）知∠DEO＝90°，由题意知：DE＝DC＝4，BD＝2，设BO＝EO＝AO＝r，则DO＝2+r， ∴DE2+EO2＝DO2，即42+r2＝（2+r）2，解得：r＝3， ∴DO＝5，AB＝6， ∴AD＝DO+AO＝8， ∴AC==4， ∴BC===2， ∴△ABC的周长为：BC+AB+AC=2+6+4=6+6． （来源：2025•兴仁市期末） 22．（6分）如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数； （2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠C＝40°， ∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣40°＝140°， ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO， ∴∠OAB+∠OBA=×140°=70°， ∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°； （2） ∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，设切点为I， ∴EH＝EI，DI＝DG， ∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+EI+DI，＝CD+CE+EH+DG，＝CG+CH， ∵AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH， ∴CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣（AH+AF+BF+BG），＝8+6+9﹣2AB＝8+6+9﹣2×6＝11． （来源：2025•广安区期末） 23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，点F在BD的延长线上，连接AF，使∠FAE＝2∠ABD． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若DE＝1，BC＝4，求⊙O的半径． 【答案】见解析 【解答】解： （1）直线AF与⊙O相切，理由： ∵∠FAE＝2∠ABD，∠FOA＝2∠ABD， ∴∠FAE＝∠FOA， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， ∴∠FOA+∠EAO＝90°， ∴∠FAE+∠EAO＝90°．即∠FAO＝90°， ∴OA⊥FA． ∵OA为⊙O的半径， ∴直线AF与⊙O相切； （2）延长AE交⊙O于点H，连接BH，如图， ∵BD为⊙O的直径，AE⊥BD， ∴BD平分AH，即BD为AH的垂直平分线， ∴BA＝BH， ∵AB＝AC， ∴BH＝AC， ∴BH=AC， ∴AH=BC， ∴AH＝BC＝4． ∴AE=AH＝2．设⊙O的半径为r，则OE＝OD﹣DE＝r﹣1，在Rt△OAE中， ∵AE2+OE2＝OA2， ∴22+（r﹣1）2＝r2，解得：r＝2.5． ∴⊙O的半径为2.5． （来源：2025•余杭区校级自主招生） 24．（8分）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示．t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示． （1）当潜水深度为30米时，求气瓶可用时间； （2）为保证安全，计划要求气瓶可用时间不少于15分钟且不超过40分钟，潜水深度应控制在什么范围内？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意，设反比例函数为t=(k≠0)，又由图象知，当h＝10时，t＝60，代入得：60=⟹k=600， ∴反比例函数关系式为t=． ∴当h＝30时，代入函数：t==20． ∴当潜水深度为30米时，气瓶可用时间为20分钟； （2）由题意， ∵15≤t≤40， ∴代入t=，则≥15⟹600≥15h⟹h≤40，且600≤40h，则h≥15． ∴潜水深度应控制在15≤h≤40米的范围内． （来源：2026•柘城县模拟） 25．（10分）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点．M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y=的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【答案】见解析 【解答】（1）解：设点M的坐标为（a，b）， ∵点M在反比例函数y=上， ∴ab＝2， ∵AC⊥x轴，M是AC的中点， ∴点A的坐标为（a，2b），设经过点A的反比例函数C2的表达式为y=，把A（a，2b）代入可得2b=，即k＝2ab，又 ∵ab＝2， ∴k＝4，则反比例函数C2的表达式为y=； （2）证明：设点M的坐标为（a，b）， ∵BD⊥y轴， ∴点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， ∵点D在图象C2y=上， ∴xb＝4，即x=． ∴点D的坐标为（，b），由（1）知A（a，2b），ab＝2，即a=， ∴点M的坐标为（，b）， ∴BM＝DM=， ∵M是AC的中点， ∴AM＝CM； ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴AC∥y轴，BD∥x轴，即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． （来源：2026•新会区校级一模） 26．（10分）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角．【知识回顾】 （1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；【逆向思考】 （2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；【拓展应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=CB-CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【答案】见解析 【解答】（1）解：① ∵∠AOB+∠C＝135°，∠AOB＝2∠C， ∴3∠C＝135°， ∴∠C＝45°；②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，如图①， ∵∠C＝45°，AC＝8， ∴△ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=4， ∵∠AOB＝2∠C＝90°，OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB=OA=5，在直角三角形ABM中，BM==3， ∴BC=CM+BM=4+3=7． （2）证明：延长AP交圆于点N，则∠C＝∠N，如图②， ∵∠APB＝2∠C， ∴∠APB＝2∠N， ∵∠APB＝∠N+∠PBN， ∴∠N＝∠PBN， ∴PN＝PB， ∵PA＝PB， ∴PA＝PB＝PN， ∴P为该圆的圆心； （3）证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，如图③， ∵∠APB＝90°， ∴∠C＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE＝BC， ∵BP⊥AF，PA＝PF， ∴BA＝BF， ∵AF是直径， ∴∠ABF＝90°， ∴∠EBC＝∠ABF＝90°， ∴∠EBA＝∠CBF， ∴△EBA≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CD=CB-CA=CE-CA=AE， ∴CD＝CF， ∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求． （来源：2026•望奎县三模） 27．（10分）【问题提出】 （1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最大值为 　 　 ；【问题探究】 （2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP、CP，则∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值；【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中∠BAC＝90°，AB＝6km，AC＝3km．点D是AC上的一个动点，以AD为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD，BD与半圆O交于点E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值． 【答案】12 【解答】（1）解：P是半径为5的⊙O上一点，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，如图1，过点O作P1Q1⊥m，由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径OP不变，可知此时P1Q1最大，最大值为7+5＝12，故答案为：12； （2）根据题意得BC＝4是定值，∠BPC＝90°， ∴点P的轨迹在以BC为直径的圆O上部分，如图2，连接AO，交圆O于点P′，此时的AP′即为AP的最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∵BO=OP′=BC=2， ∴AO===2， ∴AP′=AO-OP′=2-2， ∴AP的最小值为2-2； （3）如图3，连接AE，根据题意得：∠AED＝90°，以AB为直径作圆Q，∠BEA＝90°， ∴点E在以AB为直径作圆Q上，连接QE，当点Q、E、C三点共线时，CE取得最小值， ∵∠BAC＝90°，AB＝6km，AC＝3km． ∴AQ=QE=AB=3km，在直角三角形ACQ中，由勾股定理得：CQ==3km， ∴CE=CQ-QE=(3-3)km， ∴CE的最小值为(3-3)km． （来源：2025•鼓楼区校级一模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝x的根为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝1 2．（3分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1+x2＝7，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．或- D． 3．（3分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：y与x的数据如表：则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为24cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是（　　） A．16πcm2 B．192πcm2 C．384πcm2 D．400πcm2 5．（3分）如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（　　）B、C两点分别在函数 y=(x＞0) 和 y=-（x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC经过圆心，∠BAD＝45°，BC＝2，CD=2，则⊙O的半径长度是（　　） A．1+ B．2+ C． D．2 7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 8．（3分）如图，两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）y1=和y2=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．6 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC=BC，则∠D的度数为　 　 ． 10．（3分）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点．若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 　 　 ． 11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数为　 　 ． 12．（3分）如图是一段弯形管道，其中，∠O＝∠O′＝90°，中心线的两条圆弧半径都是1000mm，则图中管道的展直长度是　 　 mm（π取3.14）． 13．（3分）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为2cm，母线长为6cm则需要的扇形纸片的圆心角为 　 　 度． 14．（3分）方程x2＝4x的根为 　 　 ． 15．（3分）已知a，b，c是非零实数，关于x的一元二次方程ax2+bx+=0，cx2+ax+=0，bx2+cx+=0，有公共解，则代数式--的值为 　　　　 ． 16．（3分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2﹣4x+1＝0． 18．（6分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．y=的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 19．（6分）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1． ①二次项系数化为1，得x2+2x=． ②配方，得x2+2x+1=，即(x+1)2=． ③开方，得x+1=±． ④x1=-1+，x2=-1-． ⑤（1）小聪的解答过程是从第　 　 步开始出现错误的，错误的原因是　 　 ； （2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 20．（6分）如图，OA，OB是⊙O的半径，且AC=BC，弦CM，CN分别经过OA，OB的中点D，E． （1）求证CD＝CE； （2）求证CM＝CN． 21．（6分）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝DC． （1）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的周长． 22．（6分）如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数； （2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，点F在BD的延长线上，连接AF，使∠FAE＝2∠ABD． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若DE＝1，BC＝4，求⊙O的半径． 24．（8分）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示．t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示． （1）当潜水深度为30米时，求气瓶可用时间； （2）为保证安全，计划要求气瓶可用时间不少于15分钟且不超过40分钟，潜水深度应控制在什么范围内？ 25．（10分）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点．M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y=的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 26．（10分）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°． ①求∠C的度数； ②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长； 【逆向思考】 （2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；【拓展应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=CB-CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 27．（10分）【问题提出】 （1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最大值为 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP、CP，则∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中∠BAC＝90°，AB＝6km，AC＝3km．点D是AC上的一个动点，以AD为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD，BD与半圆O交于点E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $