2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷01

苏科版 九年级数学 期中模拟卷01 时间：120分钟 满分：130分 (考试范围：苏科版九年级上册反比例函数、圆、数据的集中趋势和离散程度) 班级：______________ 姓名：_________________ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A和⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（3，﹣4） B．图象位于第二、四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 3．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且AB过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接AC．若△ABC的面积是4，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 第3题 第4题 第7题 4．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为10cm，测得水的深度CD为2cm，则水面宽AB为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 5．某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（　　） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A．这20人年龄的下四分位数是29岁 B．这20人年龄的上四分位数是29岁 C．这20人年龄的中位数是31岁 D．这20人年龄的众数是5人 6．若点A（m，y1），B（﹣m，y2），C（2m，y3）（m＞0）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 7． 如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　） A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，） 8．如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，过点C作CE⊥AD于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段AB的长为9；②点C的坐标为（3，3）；③BE：AE＝2：3．④当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第8题 第9题 第11题 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．若函数是反比例函数，则k的值为 _______ ． 10．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ________ Ω． 11．如图，点A是反比例函数y的图象上的一点过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是 ________ ． 12．设函数y与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 _______ ． 13．正六边形ABCDEF与正方形ABGH如图放置，则∠BGC＝_______ °． 14．如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为24πcm，侧面积为240πcm2，则该吊灯外罩的高是_______ cm． 15．如图，AB是⊙O的直径，弦AC⊥半径OD于点E，P为直径AB上一动点，若C为的中点，DE＝6，则PE+PC的最小值是_______ ． 16．如图在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB＝∠BCD＝90°．若函数y（x＞0）的图象经过点D，且△OAB与△BCD的面积之差为3，则k＝_____ ． 第13题 第14题 第15题 第16题 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）已知y是x的反比例函数，且当x＝3时，y＝8． （1）求这个函数的表达式； （2）求当x＝2时，y的值； （3）当x取何值时，y？ 18．（本题6分）如图，在⊙O中，于点D，CE⊥OB于E，求证：OD＝OE． 19．（本题6分）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若⊙O的半径为10，点O到BC的距离为6，求BC的长． 20．（本题6分）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为_______ 分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为_______ ，本次被抽取的B组成绩的中位数为_______ 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 21．（本题7分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当y1＜y2时，x的取值范围是 _______________ ； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，则△ABC的面积为 _____ ． 22．（本题7分）如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为（10，8），E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边AB交于点F． （1）求E的坐标及k的值； （2）求AF的长度． 23．（本题7分）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分）． 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差． 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 a 171.44 乙 86.3 b 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝_______ ，b＝_______ ； （2）甲组学生竞赛成绩的第一四分位数m25＝_______ ，第三四分位数m75＝_______ ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 24．（本题7分）通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜a时图象是线段；当a≤x≤45时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）a＝_______ ． （2）当0≤x＜10时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 25．（本题10分）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． （1）如图1，A，C是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线BD所在直线经过原点； （2）若A，C是双曲线上的任意两点（A与C不重合），以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线BD所在直线是否经过原点？请说明理由； （3）如图3，A，C是双曲线上的两点（点C在A右侧），连接AC，OA，若OA⊥AC且OA＝AC，求此时△OAC的面积． 26．（本题10分）解决下列问题： 问题探究 （1）如图1，半圆O的直径AB＝6，点P是半圆O上的一个动点，则△ABP面积的最大值_____ ； （2）如图2，△ABC与△BDE都为等边三角形，当CE⊥BD时，求∠ADB的度数； 问题解决： （3）如图3，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区ABCD，其中BC＝400米，∠DCB＝45°，AB⊥BC且，AC和BD是两条小路，AC和BD的交点为点E，其中△BCE区域为健身区，为响应“全民健身”的号召，现要使点B、C、E围成的三角形面积最大，求△BCE面积的最大值．（结果保留根号） 27．（本题10分）某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣结论． 小龙：如图1，直线y＝x与双曲线交于A，B两点，根据中心对称性可以得到OA＝OB． 【轻松探究】 兴趣小组深入探究，发现在平面直角坐标系中已知点P1（a，b）、P2（c，d）则线段P1P2的中点坐标为． 直线y＝3x﹣4与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D． 小华：如图2直线y＝3x﹣4与双曲线联立可得3x2﹣4x﹣6＝0，进而求得xA+xB与xC+xD的值，由证得线段AB的中点与线段CD的中点重合即可． 试证明：AC＝BD． 请完整的写出上述推理过程． 【深入探究】 直线y＝kx+b（k＞0）与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，试问：AC＝BD还成立吗？请说明理由． 【模型应用】 如图3，直线y＝x+b与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D．连接OA，OB，若△AOC的面积为5，2CD＝AB，求a的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版 九年级数学 期中模拟卷01 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A和⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【答案】B 【解析】比较点A到圆心O的距离与半径的大小即可判断位置关系。 【详解】解：∵⊙O的半径为3，OA＝5， ∴点到圆心的距离大于半径， ∴点A在圆外， 故选：B． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（3，﹣4） B．图象位于第二、四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】把x＝3代入解析式检验A；由k＝12＞0判断图象所在象限，再判断每一支上y随x的增减性，逐个选项排除。 【详解】解：A、∵当x＝3时，， ∴函数图象不经过过（3，﹣4），原说法错误，不符合题意； B、∵k＝12＞0， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，原说法错误，不符合题意； C、∵k＞0，当x＜0 时，函数图象在第三象限， ∴y 随x的增大而减小，正确，符合题意； D、∵k＞0，当x＞0时，函数图象在第一象限， ∴y随x的增大而减小，不是增大，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 3．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且AB过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接AC．若△ABC的面积是4，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】D 【解析】由反比例图象关于原点中心对称得OA＝OB，于是S△OBC＝S△OAC＝½S△ABC＝2；再由k的几何意义得S△OBC＝½|k|＝2，求出|k|＝4，最后由图象在第二、四象限确定k＝－4。 【详解】解：∵A，B是反比例函数图象上的两点，且AB经过原点O， ∴根据反比例函数的对称性得：点A，B关于点O对称， ∴OA＝OB， ∵△OBC的OB上的高与△OAC的OA上的高相同，△ABC的面积是4， ∴S△OBC＝S△OACS△ABC＝2， ∵BC⊥x轴， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBC|k|＝2， ∵|k|＝4， ∵该反比例函数的图象在第二、四象限， ∴k＝﹣4． 故选：D． 4．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为10cm，测得水的深度CD为2cm，则水面宽AB为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【解析】连接半径OB，由直径10cm得OB＝5cm，由水深CD＝2cm得OC＝3cm，用勾股定理求出半弦BC＝4cm，再由垂径定理得水面宽AB＝2BC＝8cm。 【详解】解：如图，连接OB， ∵直径为10cm， ∴OB＝OD＝5cm， ∵CD为2cm， ∴OC＝3cm， ∴由勾股定理得， ∵OC⊥AB， ∴水面宽AB＝2BC＝8cm． 故选：C． 5．某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（　　） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A．这20人年龄的下四分位数是29岁 B．这20人年龄的上四分位数是29岁 C．这20人年龄的中位数是31岁 D．这20人年龄的众数是5人 【答案】A 【解析】将各年龄从小到大重新排列，分别计算下四分位数、上四分位数、中位数和众数，再与四个选项逐一比对。 【详解】解：将各年龄从小到大排列如下： 年龄（岁） 25 28 30 32 43 50 62 人数（人） 1 4 2 5 3 3 2 A、下四分位数即25%分位数，20×25%＝5， 为第5个和第6个数据的平均数， 即，故A说法正确，符合题意； B、上四分位数即75%分位数，20×75%＝15， 为第15个和第16个数据的平均数， 即，故B说法错误，不符合题意； C、∵， ∴中位数为第10个和第11个数据的平均数，， 即中位数为32，故C说法错误，不符合题意； D、众数是出现次数最多的年龄，为32岁，故D说法错误，不符合题意． 故选：A． 6．若点A（m，y1），B（﹣m，y2），C（2m，y3）（m＞0）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【答案】C 【解析】把三点的横坐标分别代入解析式，得到y1、y2、y3关于m的式子，再由m＞0比较大小。 【详解】解：由题意可得y1，y2，y3， ∵m＞0， ∴0， 即y1＞y3＞y2． 故选：C． 7．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　） A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，） 【答案】B 【解析】先把D（3，2）代入反比例函数求出k，再求直线OB的解析式；设C（a，6/a），由平行四边形面积是△OBC面积的2倍列方程求出a，即可得点B的坐标。 【详解】解：∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2）， ∴2， ∴k＝6， ∴反比例函数y， ∵OB经过原点O， ∴设OB的解析式为y＝mx， ∵OB经过点D（3，2）， 则2＝3m， ∴m， ∴OB的解析式为yx， ∵反比例函数y经过点C， ∴设C（a，），且a＞0， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC， ∴点B的纵坐标为， ∵OB的解析式为yx， ∴B（，）， ∴BCa， ∴S△OBC（a）， ∴2（a）， 解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴B（，3）， 故选：B． 8．如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，过点C作CE⊥AD于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段AB的长为9；②点C的坐标为（3，3）；③BE：AE＝2：3．④当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】把x＝1分别代入两个解析式得点A、B的坐标，联立求出交点C，再由CE⊥AD定出点E的坐标，逐个判断四个结论。 【详解】解：由题意可知， 将x＝1代入y得，y＝9， 所以点A坐标为（1，9）； 将x＝1代入y＝x得，y＝1， 所以点B坐标为（1，1）， 所以AB＝9﹣1＝8≠9， 故①错误； 由得，x＝±3， 因为x＞0， 所以x＝3， 则点C坐标为（3，3）， 故②正确； 因为CE⊥AD且垂足为E， 所以点E坐标为（1，3）， 所以BE＝3﹣1＝2，AE＝9﹣3＝6， 所以BE：AE＝2：6＝1：3， 故③错误； 由函数图象可知， 当x＞3时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 所以当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值， 故④正确． 故选：B． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．若函数是反比例函数，则k的值为 　 　 ． 【答案】﹣3． 【解析】反比例函数中自变量的指数等于－1且系数不等于0，据此列方程组求出k。 【详解】解：由题意得， 解得k＝﹣3， 故答案为：﹣3． 10．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 　 Ω． 【答案】2.4． 【解析】先用图象上已知点的坐标求出定值U，得到I关于R的解析式，再分别求出I＝6A与I＝10A时的电阻，作差即得电阻减小的量。 【详解】解：设I，把（9，4）代入I， 得U＝36， ∴反比例函数的解析式为：I． ∴当I＝6A时，R＝6Ω，当I＝10A时，R＝3.6Ω． ∴当电流从6A增加到10A时，电阻小了：6﹣3.6＝2.4（Ω）， 答：电流I从6A增加到10A时，电阻R减小了2.4Ω． 故答案为：2.4． 11．如图，点A是反比例函数y的图象上的一点过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是 　 　 ． 【答案】﹣10． 【解析】连接OA，由AB⊥x轴得OC∥AB，从而S△OAB＝S△ABC＝5；再根据k的几何意义S△OAB＝|k|求出|k|，最后由图象所在象限确定k的符号。 【详解】解：连接OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝5， 而S△OAB|k|， ∴|k|＝5， ∵k＜0， ∴k＝﹣10． 故答案为：﹣10． 12．设函数y与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 　 　 ． 【答案】﹣1 【解析】交点（a，b）同时满足两个解析式，代入可得ab＝1、b－a＝－1；把所求式子通分后整体代入。 【详解】解：∵函数y与y＝x－1的图象的交点坐标为（a，b）， ∴ab＝1，b﹣a＝﹣1， ∴1， 故答案为：﹣1． 13．正六边形ABCDEF与正方形ABGH如图放置，则∠BGC＝　 　 °． 【答案】15． 【解析】先求正六边形的内角120°与正方形的内角90°，用周角求出∠CBG＝150°，再由BC＝BG和三角形内角和定理求∠BGC。 【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝BC，∠ABC120°， ∵四边形ABGH是正方形， ∴AB＝BG，∠ABG＝90°， ∴BC＝BG，∠CBG＝360°﹣∠ABC﹣∠ABG＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∴∠BGC＝∠BCG15°，故答案为：15． 14．如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为24πcm，侧面积为240πcm2，则该吊灯外罩的高是　 　 cm． 【答案】16． 【解析】由底面周长求出底面半径，由侧面积与底面周长求出母线长，最后用勾股定理求出圆锥的高。 【详解】解：∵圆锥的底面周长为24πcm， ∴圆锥的底面半径为24π÷2π＝12（cm）， ∵侧面积为240πcm2， ∴圆锥的母线长为240π÷24π×2＝20（cm）， ∴该吊灯外罩的高是16（cm）． 故答案为：16． 15．如图，AB是⊙O的直径，弦AC⊥半径OD于点E，P为直径AB上一动点，若C为的中点，DE＝6，则PE+PC的最小值是　 　 ． 【答案】18． 【解析】先用垂径定理和"C是弧BD的中点"求出各段弧与圆心角的度数，再由含30°角的直角三角形求出半径；接着作点C关于直径AB的对称点H，把PE＋PC的最小值转化为EH的长。 【详解】解：∵AC⊥OD， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∴∠BOD＝120°，∠AOD＝60°， ∴∠OAC＝30°， ∴， ∴OE＝DE＝6， ∴OA＝OD＝12， 过点C作CF⊥AB，并延长，交⊙O于点H，如图所示： ∴， ∴点C与点H关于AB对称， ∴∠BOC＝∠BOH＝60°， ∴∠BOD+∠BOH＝180°， ∴点E、O、H三点共线， 由轴对称的性质可知：PE+PC的最小值为点O与点P重合时，如图，即最小值为OE+OH＝EH， ∴OE+OH＝6+12＝18， 即C为的中点，DE＝6时，PE+PC的最小值为18； 故答案为：18． 16．如图在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB＝∠BCD＝90°．若函数y（x＞0）的图象经过点D，且△OAB与△BCD的面积之差为3，则k＝　 　 ． 【答案】6． 【解析】设两个等腰直角三角形的直角边分别为a、b，用它们表示出点D的坐标，则k＝(a＋b)(a－b)＝a²－b²；再由两三角形面积之差为3求出a²－b²，即得k。 【详解】解：∵△OAB和△BCD都是等腰直角三角形， ∴∠AOB＝45°，AB＝OA，BC＝CD ∴点B在函数y＝x上， 设OA＝AB＝a，BC＝CD＝b， ∴D（a+b，a﹣b）， ∵函数y（x＞0）的图象经过点D， ∴k＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， ∵△OAB与△BCD面积的差为3， ∴3， ∴a2﹣b2＝6， ∴k＝6． 故答案为：6． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）已知y是x的反比例函数，且当x＝3时，y＝8． （1）求这个函数的表达式； （2）求当x＝2时，y的值； （3）当x取何值时，y？ 【答案】（1）； （2）y＝9； （3）x＝16． 【详解】17．（本题满分8分）(1)解：设这个函数的表达式为， ∵当x＝3时，y＝8， ∴， 解得k＝8×3＝24， 则这个函数的表达式为； （2）当时，； （3）由（1）知反比例函数表达式为， 当时，， 解得x＝16， 经检验x＝16是分式方程的解， ∴当x＝16时，． 18．（本题6分）如图，在⊙O中，于点D，CE⊥OB于E，求证：OD＝OE． 【答案】OD＝OE． 【详解】18．（本题满分6分）证明：∵， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO＝∠CEO＝90°． 在△CDO与△CEO中， ， ∴△CDO≌△CEO（AAS）， ∴OD＝OE． 19．（本题6分）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若⊙O的半径为10，点O到BC的距离为6，求BC的长． 【详解】19．（本题满分6分）(1)解：如图1，⊙O即为所求作的△ABC的外接圆； （2）如图2，作OE⊥BC于点E， 在Rt△OBE中，OB＝10，OE＝6， 由勾股定理得：， ∵OE⊥BC， ∴BE＝EC＝8， ∴BC＝BE+EC＝16． 20．（本题6分）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为　 　 分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为　 　 ，本次被抽取的B组成绩的中位数为　 　 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1）84；（2）50，80；（3）120人． 【详解】 (1)解：B组15个成绩的平均数为： 84（分）； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为：15÷30%＝50， A组人数为：50×24%＝12（个）， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是80，80， ∴本次被抽取的所有成绩的中位数为：80（分）， （3）根据题意得：500×24%＝120（人）， 答：估计本次竞赛的获奖人数为120人． 21．（本题7分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当y1＜y2时，x的取值范围是 　 　 ； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，则△ABC的面积为 　 　 ． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y＝3/x，一次函数的表达式为y＝x+2；(2)0＜x＜1或x＜－3；(3)8． 【详解】(1)解：把点A的坐标代入反比例函数解析式，得m＝1×3＝3， ∴反比例函数解析式为y． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， n＝﹣3， ∴点B的坐标为（﹣3，﹣1）． 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+2． （2）由函数图象可知， 当0＜x＜1或x＜﹣3时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即y1＜y2， ∴当y1＜y2，x的取值范围是：0＜x＜1或x＜﹣3． （3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M， 将y＝0代入y＝x+2得， x＝﹣2， ∴点M的坐标为（﹣2，0）， ∴S△AOB＝S△AOM+S△BOM． ∵正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心， ∴点B和点C关于点O成中心对称， ∴BO＝CO， ∴S△ABC＝2S△AOB＝8． 22．（本题7分）如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为（10，8），E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边AB交于点F． （1）求E的坐标及k的值； （2）求AF的长度． 【答案】（1）E的坐标为（10，3），k的值为30； （2）AF的长度为． 【详解】22．（本题满分7分）(1)解：由矩形的性质可知：AB＝OC＝10，BC＝OA＝8，∠AOC＝∠C＝90°． 由折叠的性质可知AD＝AB＝10，DE＝BE． 由勾股定理得：． ∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4． 设CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x， ∴DE＝BE＝8﹣x． 由勾股定理得：CD2+CE2＝DE2，即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3． ∴CE＝3． ∴点E的坐标为（10，3）． ∵反比例函数的图象经过点E（10，3）， ∴， 解得k＝30． 答：E的坐标为（10，3），k的值为30； （2）反比例函数的解析式为． ∵点F在边AB上，且A（0，8）， ∴点F的纵坐标为8． 当y＝8时，， 解得． ∴点F的坐标为． ∴． 答：AF的长度为． 23．（本题7分）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分）． 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差． 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 a 171.44 乙 86.3 b 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）甲组学生竞赛成绩的第一四分位数m25＝　 　 ，第三四分位数m75＝　 　 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)90，92；(2)70，96；(3)乙组竞赛成绩较好． 【详解】23．（本题满分7分）(1)解：把甲组10个数据从小到大排列，处于第5、6位的两个数据分别是89，91， 故中位数a90， 由乙组数据可得，92出现的次数最多，故众数b＝92； （2）甲前半部分为前5个数（60，70，70，80，89），中位数是第3个为70，则第一四分位数m25为70，后半部分数据为（91，92，96，98，100），中位数是第3个为96，则第三四分位数m75为96； 方法二：10×25%＝2.5，则取整数3，那么第3个数据即为下四分位数，即70；10×75%＝7.5，则取整数8，那么第8个数据即为上四分位数，即96； 甲组的数据最大值为100，最小值为60，而中位数为90， 故补全箱线图： （3）乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数86.3大于甲组平均数84.6，乙组的方差73.41小于甲组的方差171.44，说明乙组平均分更高，成绩更稳定． ∴乙组竞赛成绩较好． 24．（本题7分）通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜a时图象是线段；当a≤x≤45时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）a＝　 　 ． （2）当0≤x＜10时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 【答案】（1）20；（2）y＝4.5x+45；（3）可以安排在分钟到30分钟之间即可． 【详解】24．（本题满分8分）(1)解：由图象可知，a＝20， （2）从图象看，点C（20，90）， 设双曲线的表达式为：y， 将点C的坐标代入抛物线表达式得：m＝20×90＝1800， 则反比例函数的表达式为：y， 当x＝40时，y45， 则点D（40，45）； 从图象看，点A和点D的纵坐标相同，则点A（0，45）， 设直线AB的表达式为：y＝kx+45， 将点B（10，90）代入上式得：90＝10k+45， 解得k＝4.5， 则直线AB的表达式为：y＝4.5x+45； （3）可以，理由：当y＝60时，则y＝4.5x+45＝60， 解得x； 当y＝60时，y60， 解得x＝30， 则3025， 故安排在分钟到30分钟之间即可． 25．（本题10分）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． （1）如图1，A，C是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线BD所在直线经过原点； （2）若A，C是双曲线上的任意两点（A与C不重合），以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线BD所在直线是否经过原点？请说明理由； （3）如图3，A，C是双曲线上的两点（点C在A右侧），连接AC，OA，若OA⊥AC且OA＝AC，求此时△OAC的面积． 【答案】(1)(2)对角线BD所在直线都经过原点；(3)△OAC的面积为． 【详解】25．（本题满分8分）(1)证明：∵A，C是双曲线上的两点，横坐标分别是和3， 当x时，得：y＝2； 当x＝3时，得：y， ∴点，， ∵以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，D（3，2）， 设直线OB的解析式为y＝kx，交B的坐标代入得： ， 解得， ∴直线OB的解析式为， 把x＝3代入得：y＝2， ∴D（3，2）在直线OB上， ∴对角线BD所在直线经过原点； （2）解：对角线BD所在直线经过原点；理由如下： ∵点A、C在反比例函数图象上， 设点，， ∵以AC为对角线构造矩形ABCD，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，， 设直线OB的解析式为y＝kx，把点B的坐标代入得： ， 解得， ∴直线OB的解析式为， 把代入得：， ∴在直线OB上， ∴对角线BD所在直线经过原点； （3）解：如图3，过点A作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，交于点E，EA交y轴于点F， ∴∠F＝∠E＝90°， ∵OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠FAO＝90°﹣∠EAC＝∠ACE， 又∵OA＝AC， 在△AOF和△CAE中， ， ∴△AOF≌△CAE（AAS）， ∴AF＝CE，OF＝AE， 设，则， ∴， ∵点A、C在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 26．（本题10分）解决下列问题： 问题探究 （1）如图1，半圆O的直径AB＝6，点P是半圆O上的一个动点，则△ABP面积的最大值　 　 ； （2）如图2，△ABC与△BDE都为等边三角形，当CE⊥BD时，求∠ADB的度数； 问题解决： （3）如图3，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区ABCD，其中BC＝400米，∠DCB＝45°，AB⊥BC且，AC和BD是两条小路，AC和BD的交点为点E，其中△BCE区域为健身区，为响应“全民健身”的号召，现要使点B、C、E围成的三角形面积最大，求△BCE面积的最大值．（结果保留根号） 【答案】（1）9；（2）30°；（3）． 【详解】26．（本题满分10分）(1)解：如图1，连接OP，过点P作PZ⊥AB于点Z， 则， ∴PZ≤OP＝3， ∴当点Z与点O重合时，点P到AB距离的最大值是3，此时△ABP的面积最大， ∴△ABP面积的最大值为． （2）解：∵△ABC与△BDE都为等边三角形， ∴BC＝BA，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠ADB＝∠CEB， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°﹣∠DBE＝30°， ∴∠ADB＝30°； （3）解：如图3，过点D作DF⊥DC交BC于点F，连接AF， ∵∠BCD＝45°， ∴△CDF为等腰直角三角形， ∴DF＝DC，∠DFC＝45°， ∴， ∵， ∴FC+AB＝BC， ∵FC+BF＝BC， ∴AB＝BF， ∵∠ABC＝90°， ∴△ABF为等腰直角三角形， ∴∠AFB＝45°， ∴， ∴， ∵∠AFB＝∠DFC＝45°， ∴∠BFD＝∠AFC， ∴△BFD∽△AFC， ∴∠FBD＝∠FAC， ∵∠FAC+∠ACF＝∠AFB＝45°， ∴∠FBD+∠ACF＝45°， ∴∠BEC＝135°， ∵BC＝400米， ∴如图3，作△BEC的外接圆，记为⊙O，连接OE、OB、OC，过点O作OK⊥BC于K，交于点E′，过点E作EH⊥BC于点H，过点O作ON⊥EH交EH延长线于点N， 则∠OKH＝∠KHN＝∠N＝90°， ∴四边形KONH为矩形， ∴NH＝OK， ∵∠BEC＝135°， ∴∠BOC＝360°﹣2∠BEC＝90°， ∴△BOC为等腰直角三角形， ∴，（米）， ∵（米）， ∴， 当点E，E′重合时，EH取最大值，最大值即为E′K的长，此时△BCE的面积最大， ∴， 即△BCE面积的最大值为． 27．（本题10分）某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣结论． 小龙：如图1，直线y＝x与双曲线交于A，B两点，根据中心对称性可以得到OA＝OB． 【轻松探究】 兴趣小组深入探究，发现在平面直角坐标系中已知点P1（a，b）、P2（c，d）则线段P1P2的中点坐标为． 直线y＝3x﹣4与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D． 小华：如图2直线y＝3x﹣4与双曲线联立可得3x2﹣4x﹣6＝0，进而求得xA+xB与xC+xD的值，由证得线段AB的中点与线段CD的中点重合即可． 试证明：AC＝BD． 请完整的写出上述推理过程． 【深入探究】 直线y＝kx+b（k＞0）与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，试问：AC＝BD还成立吗？请说明理由． 【模型应用】 如图3，直线y＝x+b与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D．连接OA，OB，若△AOC的面积为5，2CD＝AB，求a的值． 【答案】【轻松探究】AC＝BD；【深入探究】AC＝BD仍然成立；【模型应用】a＝15． 【详解】27．（本题满分10分）【轻松探究】证明：联立， 得3x2﹣4x﹣6＝0， ∴xA+xB， 在y＝3x﹣4中，令y＝0，则xC． 又∵xD＝0， ∴xA+xB＝xC+xD． ∴， ∴线段AB的中点E与线段CD的中点F重合， ∴AE﹣CE＝BE﹣DE， ∴AC＝BD； 【深入探究】解：AC＝BD仍然成立，理由如下： 联立， kx2+bx﹣a＝0， ∴xA+xB． 在y＝kx+b中，令y＝0，则xC， 又∵xD＝0， ∴xA+xB＝xC+xD． ∴， ∴线段AB的中点E与线段CD的中点F重合， ∴AE﹣CE＝BE﹣DE， ∴AC＝BD； 【模型应用】在y＝x+b中，令y＝0，则xC＝﹣b；令x＝0，则yD＝b， ∴OD＝OC， ∴△DOC是等腰直角三角形， ∴∠OCD＝∠ACE＝45° 过点A作x轴的垂线交于点E，则△ACE是等腰直角三角形，如图3， 由前面可知AC＝BD， ∵2CD＝AB， ∴2CD＝CD+AC+BD， ∴2AC＝CD， ∴2S△AOC＝S△COD， ∵S△AOC，S△COD， ∴2AE＝OD， ∴2CE＝OC， ∴S△AOES△AOC， ∴a＝2S△AOE＝3S△AOC＝15． 27 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $