2026-2027学年苏科版数学九年级上册期中复习卷2

苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 参考答案与解析 1．（3分）若一元二次方程的根为x=，则该一元二次方程为（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．2x2+3x﹣1＝0 【答案】A 【解答】解：若一元二次方程的根为x=，则该一元二次方程为2x2+3x+1＝0，故选：A． （来源：2024秋•方城县期中） 2．（3分）已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【解答】解： ∵⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和⊙O相离， ∴直线l与⊙O没有公共点．故选：A． （来源：2026•溧阳市校级模拟） 3．（3分）已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 3 4.5 9 ﹣9 ﹣4.5 ﹣3 A．y= B．y=- C．y= D．y=- 【答案】B 【解答】解：由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系，设函数的解析式为y=（k≠0），把x＝﹣3，y＝3代入得，k＝﹣9， ∴该函数的解析式为：y=-，故选：B． （来源：2024•定安县二模） 4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB==5（cm），由三角形面积公式得：×3×4=×5×CD，解得：CD＝2.4cm，即C到AB的距离大于⊙C的半径长， ∴⊙C和AB的位置关系是相离，故选：C． （来源：2026•郸城县一模） 5．（3分）如图，周长为18cm的三角形纸片ABC，其中AC＝4cm．小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE．则三角形BDE的周长是（　　） A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm 【答案】A 【解答】解：如图，设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于点G， ∴AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN， ∵周长为18cm的三角形纸片ABC，AC＝4cm． ∴AB+AC+BC＝18cm， ∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝18﹣4＝14（cm）， ∴DB+DE+BE＝BD+DG+GE+BE＝BM+BN＝AB+BC﹣AC＝14﹣4＝10（cm）， ∴三角形BDE的周长是10cm．故选：A． （来源：2026•泰山区校级模拟） 6．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　） A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0 【答案】A 【解答】解： ∵反比例函数中y=，k＝3＞0， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3， ∴点A，B在第三象限，点C在第一象限， ∴x1＜x2＜0＜x3， ∴x1•x2＞0，x1•x3＜0，x2•x3＜0，x1+x2＜0， ∴选项B、C、D正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意．故选：A． （来源：2024•武汉模拟） 7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，CE=，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】B 【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H， ∴∠CBF＝∠ABF=∠ABC，∠ACE＝∠BCE=∠ACB， ∴AF=CF， ∴OG⊥AC，AG＝CG=AC， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∴△CEF是等腰直角三角形，CF=EF=CE=，在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF===2， ∵S△BCF=BF•CF=BC•FH， ∴FH===2， ∵S△OCF=OC•FH=OF•CG，OC＝OF， ∴FH＝CG＝2， ∴AC＝2CG＝4，故选：B． （来源：2026•安州区一模） 8．（3分）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　）A是反比例函数y=-在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y=在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E， ∵AC＝CB， ∴OD＝OE，设A（﹣a，），则B（a，），故S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE=（+）×2a-a×-a×=3．解法二：过A，B两点作y轴的垂线，由AC＝BC求两个三角形全等，再求面积，故选：C． （来源：2026•昆都仑区校级三模） 9．（3分）《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有　 　 个人． 【答案】6 【解答】解：设诸侯共有x人，则每人行礼（x﹣1）次，由题意得：x(x-1)=15，即：x2﹣x﹣30＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），故诸侯共有6人．故答案为：6． （来源：2025•汉中期末） 10．（3分）如图，在扇形OAB中，C为AB上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为 　 　 °． 【答案】72 【解答】解：连接OC， ∵AO＝OC，OC＝OB， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝∠OAC+∠OBC， ∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB＝360°， ∴∠AOB+2∠ACB＝360°，又 ∵∠ACB＝2∠AOB， ∴5∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝72°，故答案为：72． （来源：2026•南岗区校级三模） 11．（3分）把一元二次方程（x﹣5）2＝（2x﹣1）（5﹣x）化成一般形式为 【答案】x2﹣7x+10＝0 【解答】解：（x﹣5）2＝（2x﹣1）（5﹣x）， ∴x2﹣10x+25＝10x﹣2x2﹣5+x， ∴3x2﹣21x+30＝0， ∴x2﹣7x+10＝0．故答案为：x2﹣7x+10＝0． （来源：2024秋•庐江县校级月考） 12．（3分）某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是　 　 ． 【答案】100+100（1+x）+100（1+x）2＝364 【解答】解：由题意可得，100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．故答案为：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364． （来源：2026•同步） 13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF=，则AB＝　 　 ． 【答案】5 【解答】解：作直径DG，连接CG，如图， ∵DG为直径， ∴∠DCG＝90°， ∴∠CDG+∠G＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠DAC+∠ADB＝90°， ∵∠DAC＝∠G， ∴∠ADB＝∠CDG， ∴AB=CG， ∴AB＝CG， ∵OF⊥CD， ∴DF＝CF， ∵OD＝OG， ∴OF为△DCG的中位线， ∴CG＝2OF＝2×=5， ∴AB＝5．故答案为5． （来源：2026•泰州模拟） 14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM的取值范围是　 　 ． 【答案】2-2≤CM≤2+2 【解答】解：当点P在⊙O上移动时，M为AP的中点，连接OM，根据垂径定理得出∠OMA＝90°， ∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'，如图，当CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最小， ∴CM=CO′-O′M=2-2，如图，当CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最大，由题意得，OA＝OB＝OC＝4，OO′=OA=2=O′M，在Rt△O′OC中，OC＝4，OO′＝2，O′C==2， ∴CM=CO′+O′M=2+2， ∴CM的取值范围是2-2≤CM≤2+2．故答案为：2-2≤CM≤2+2． （来源：2025•泸县期末） 15．（3分）用配方法解方程x2+8x+1＝0，首先移项得x2+8x＝﹣1，然后配方x2+8x+16＝﹣1+16，化简得（x+b）2＝15，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的b值为　 　 ． 【答案】4 【解答】解：由x2+8x+16＝﹣1+16得，（x+4）2＝15， ∴b＝4．故答案为：4． （来源：2025•洪山区期中） 16．（3分）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞- 【解答】解： ∵（2x）※1＝a， ∴2x+4x2＝a，方程化为一般式为4x2+2x﹣a＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0，解得a＞-，故答案为：a＞-． （来源：2026•灌云县模拟） 17．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝12，求m的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4， ∵方程总有两个实数根， ∴8m﹣4≥0， ∴m≥． （2）由（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝12， ∵x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2， ∴原式＝m2+2+2（m+1）+1＝12，整理得m2+2m﹣7＝0，解得m＝﹣1﹣2（舍）或m＝﹣1+2． （来源：2026•成武县三模） 18．（6分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”． （1）判断下列方程x2﹣7x+12＝0是否为“差1方程”？（2）已知关于x的方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4， ∵4﹣3＝1， ∴x2﹣7x+12＝0是“差1方程”； （2）x2+（2﹣m）x﹣2m＝0，（x﹣m）（x+2）＝0，解得：x1＝m，x2＝﹣2， ∵方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”， ∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1， ∴m＝﹣1或m＝﹣3． （来源：2025•官渡区校级期中） 19．（6分）数学课上，老师展示了班级某位同学解方程3x2﹣6x+1＝0的过程，其过程如下：解：3x2﹣6x＝﹣1第一步x2﹣2x＝﹣1第二步x2﹣2x+1＝﹣1+1第三步（x﹣1）2＝0第四步x1＝x2＝1第五步（1）第三步的依据是 　 　 ， （2）该同学的解题过程从第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ． （3）请直接写出该方程的正确解． 【答案】（1）等式的基本性质1 【解答】解： （1）第三步的依据是等式的基本性质1； （2）该同学的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是等式右边没有除以3； （3）3x2﹣6x+1＝0，3x2﹣6x＝﹣1，x2-2x=-，x2-2x+1=-+1，(x-1)2=，x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-．故答案为： （1）等式的基本性质1； （2）二，等式右边没有除以3； （来源：2025•壶关县月考） 20．（6分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交⊙O于点D，交AB于点P，且CP＝CB． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，OP＝4，求CB的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）CB与⊙O相切，理由：连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵CP＝CB， ∴∠CPB＝∠CBP， ∵∠CPB＝∠APO， ∴∠CBP＝∠APO，在Rt△AOP中， ∵∠A+∠APO＝90°， ∴∠OBA+∠CBP＝90°，即：∠OBC＝90°， ∴OB⊥CB，又 ∵OB是半径， ∴CB与⊙O相切； （2） ∵∠A＝30°，∠AOP＝90°， ∴∠APO＝60°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠A＝30°， ∴∠BOP＝∠APO﹣∠OBA＝30°＝∠OBP， ∴OP＝PB＝4， ∵∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB， ∴△PBC是等边三角形， ∴BC＝PB＝4． （来源：2024•丹徒区期末） 21．（6分）如图，在△ABD中，AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD．延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED． （1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数． （2）求证：点C是△BDE的外心． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAD＝2∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD＝40°， ∴∠BAD＝80°； （2） ∵AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ABE＝∠DBE， ∴BC=CD， ∴BC＝CD， ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠CBD+∠DBE，∠BEC＝∠BAC+∠ABE， ∴∠CBE＝∠BEC， ∴BC＝EC， ∴BC＝EC＝DC， ∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上， ∴点C是△BDE的外心． （来源：2024•邹平市校级期中） 22．（6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】见解析 【解答】解： （1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b， ∴△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2， ∴△ABC为直角三角形； （3） ∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1． （来源：2026•宁阳县期中） 23．（8分）如图1，线段AB⊥x轴于点B，AB＝8，反比例函数交AB于点C．AB的垂直平分线交反比例函数图象于点D．AB⊥x轴于点B，AB＝8，反比例函数y=(x＞0)交AB于点C．AB的垂直平分线交反比例函数图象于点D． （1）在图1中用直尺和圆规作出点D（保留作图痕迹，不写画法）． （2）连接AD，BD．若AD＝5，①当点B的坐标为（8，0）时，求反比例函数解析式；②连接OD，当AD＝AC时，求OD的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图所示，点D即为所求； （2）①如图，设线段AB的垂直平分线交AB于E， ∵AB＝8，∠AED＝90°， ∴AE=AB＝4， ∵AD＝5， ∴DE==3， ∵点B的坐标为（8，0）， ∴OB＝8，过D作DF⊥x轴于F，连接OC，则四边形BEDF是矩形， ∴BF＝DE＝3， ∴OF＝5， ∴D（5，4）， ∴k＝4×5＝20， ∴反比例函数解析式为y=；② ∵AD＝AC＝5，AB＝8， ∴BC＝3，设D（a，4）则C（a+3，3）， ∵点D，C在y=(x＞0)的图象上， ∴4a＝3（a+3）， ∴a＝9， ∴D（9，4）， ∴OF＝9， ∴OD===． （来源：2026•宝丰县一模） 24．（8分）问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 　 　 ；问题解决（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由． 【答案】 【解答】解： （1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8，由勾股定理得：BC===17．由三角形的面积得：S△ABC=AB•AC=BC•AD， ∴AB•AC＝BC•AD， ∴AD===．故答案为：． （2）可以． ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是△ABC的内心，作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O，则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：设BM＝xcm，⊙O的半径为Rcm， ∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm， ∴CM＝（160﹣x）cm，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2，在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2， ∴1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，解得：x＝50， ∴AM==50（cm）， ∴S△ABC=BC•AM=×160×50=4000（cm2） ∵点O为△ABC的内心， ∴OH＝OP＝OQ＝Rcm， ∵S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC， ∴BC•OH+AC•OP+AB•OQ=4000，即（100+160+140）R=8000， ∴R=20． （来源：2024•陕西） 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点A，点D的坐标为．ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A，点D的坐标为(2，)． （1）k的值为　 　 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】8 【解答】解： （1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为（2，）， ∴FO＝2，DF=， ∴DO==， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝AD＝DO=， ∴A点坐标为（2，4）， ∵反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A， ∴k＝2×4＝8，故答案为：8； （2）由（1）知OB=， ∴B（0，），将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点B′的坐标为（m，）．代入y=，得到=，解得m=； （3）将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（2+m，）．代入y=，得到=，解得m=． ∴0≤m≤． （来源：2025•江西校级期末） 26．（10分）拿破仑是法国的一位皇帝，非常喜欢数学．据说他想出一种作图方法，可以只用一把圆规，将已知圆周四等分．具体作法：如图1，设⊙O的半径是r．①在⊙O圆周上任取一点A；②以r为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点B，C，D；③分别以A和D为圆心，AC长为半径，画弧相交于点E；④以A为圆心，OE长为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点F，G，则A，G，D，F四点即为⊙O的四等分点．（为便于后续解题，图1中已补充连接线段OA，AC，OE） （1）应用几何知识说明上述作图方法可以将圆周四等分的理由； （2）请用不同于上述作图方法，在图2中用尺规完成作图，将圆周四等分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：如图1，连接OB、OC、OD、AB、BC、CD、AE、OF、AF、OG、AG， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB＝BC＝CD＝r＝OF＝OG，AE＝AC，AF＝AG＝OE， ∴△AOB，△BOC，△COD为等边三角形， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°， ∴∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°， ∴AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°，AD＝2r，在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AE=AC===r， ∵分别以A和D为圆心，AC长为半径，画弧相交于点E， ∴OE垂直平分AD， ∴∠AOE＝90°，在直角三角形AOE中，由勾股定理得：AF=AG=OE===r， ∴OA2+OF2=r2+r2=2r2=(r)2=AF2，OA2+OG2=r2+r2=2r2=(r)2=AG2， ∴△AOF是直角三角形，△AOG是直角三角形，∠AOF＝90°，∠AOG＝90°， ∴∠DOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣90°＝90°，∠DOG＝180°﹣∠AOG＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOF＝∠DOF＝∠DOG＝∠AOG＝90°， ∴AF=DF=DG=AG， ∴A、G、D、F为⊙O的四等分点； （2）解：如图2，作⊙O的直径AB，作直径AB的垂直平分线交⊙O于点C、D， ∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝90°， ∴AC=CB=BD=AD， ∴A、D、B、C为⊙O的四等分点． （来源：2025•莆田期末） 27．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C．y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C． （1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）设点D为反比例函数y=(k′≠0)的图象与直线AC的唯一公共点，连接OD，OA，试求△AOD的面积； （3）在（2）的条件下，点P为反比例函数y=(k′≠0)位于第二象限图象上的动点，连接PO，并将射线OP绕点O顺时针旋转90°交反比例函数y=（x＞0）的图象于点Q，当tan∠POD=()2，且点P在点D上方时，求点P的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）对于y=，令x＝1，则a＝5， ∴A（1，5）， ∵B（6，0），直线y＝kx+b，经过A，B， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6； （2） ∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+6， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵A（1，5），B（6，0）， ∴C（﹣4，0）， ∴直线AC的解析式为y＝x+4，由，得x2+4x﹣k′＝0， ∵只有唯一公共点， ∴Δ＝16+4k′＝0， ∴k′＝﹣4， ∴y=，由，得， ∴D（﹣2，2）， ∴S△AOD=×4×（xA﹣xD）＝6； （3）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N． ∵∠POQ＝∠PMO＝∠QNO＝90°， ∴∠POM+∠QON＝90°，∠QON+∠OQN＝90°， ∴∠POM＝∠OQN， ∴△PMO∽△ONQ， ∴（）2==2÷=，当P在D上方的图象上时，过点D作DG⊥OP于点G， ∴tan∠POD==，过点G作GH⊥y轴于点H，过点D作DI⊥HG于点I．由△DGI∽△GOH，可得===，设IG＝4n，ID＝4m，则HO＝5n，GH＝5m， ∴， ∴n＝9m， ∴G（﹣5m，45m）， ∴直线OG的解析式为y＝﹣9x，由，解得或（不合题意，舍去）， ∴P点坐标为（-，6）．解法二：过点D作DH⊥OC与点H，过点E作EF⊥HD交HD的延长线于点F．利用相似三角形的性质求出点E的坐标．求出折线OE的解析式，构建方程组确定点P的坐标． （来源：2026•市中区模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）若一元二次方程的根为x=，则该一元二次方程为（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．2x2+3x﹣1＝0 2．（3分）已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 3．（3分）已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 3 4.5 9 ﹣9 ﹣4.5 ﹣3 A．y= B．y=- C．y= D．y=- 4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 5．（3分）如图，周长为18cm的三角形纸片ABC，其中AC＝4cm．小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE．则三角形BDE的周长是（　　） A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm 6．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　） A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0 7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，CE=，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 8．（3分）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　）A是反比例函数y=-在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y=在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有　 　 个人． 10．（3分）如图，在扇形OAB中，C为AB上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为 　 　 °． 11．（3分）把一元二次方程（x﹣5）2＝（2x﹣1）（5﹣x）化成一般形式为　　　　 12．（3分）某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是　 　 ． 13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF=，则AB＝　 　 ． 14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM的取值范围是　 　 ． 15．（3分）用配方法解方程x2+8x+1＝0，首先移项得x2+8x＝﹣1，然后配方x2+8x+16＝﹣1+16，化简得（x+b）2＝15，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的b值为　 　 ． 16．（3分）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝12，求m的值． 18．（6分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”． （1）判断下列方程x2﹣7x+12＝0是否为“差1方程”？（2）已知关于x的方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值． 19．（6分）数学课上，老师展示了班级某位同学解方程3x2﹣6x+1＝0的过程，其过程如下：解：3x2﹣6x＝﹣1第一步x2﹣2x＝﹣1第二步x2﹣2x+1＝﹣1+1第三步（x﹣1）2＝0第四步x1＝x2＝1第五步（1）第三步的依据是 　 　 ， （2）该同学的解题过程从第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ． （3）请直接写出该方程的正确解． 20．（6分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交⊙O于点D，交AB于点P，且CP＝CB． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，OP＝4，求CB的长． 21．（6分）如图，在△ABD中，AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD．延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED． （1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数． （2）求证：点C是△BDE的外心． 22．（6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 23．（8分）如图1，线段AB⊥x轴于点B，AB＝8，反比例函数交AB于点C．AB的垂直平分线交反比例函数图象于点D．AB⊥x轴于点B，AB＝8，反比例函数y=(x＞0)交AB于点C．AB的垂直平分线交反比例函数图象于点D． （1）在图1中用直尺和圆规作出点D（保留作图痕迹，不写画法）． （2）连接AD，BD．若AD＝5，①当点B的坐标为（8，0）时，求反比例函数解析式；②连接OD，当AD＝AC时，求OD的长． 24．（8分）问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 　 　 ；问题解决（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点A，点D的坐标为．ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A，点D的坐标为(2，)． （1）k的值为　 　 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 26．（10分）拿破仑是法国的一位皇帝，非常喜欢数学．据说他想出一种作图方法，可以只用一把圆规，将已知圆周四等分．具体作法：如图1，设⊙O的半径是r．①在⊙O圆周上任取一点A；②以r为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点B，C，D；③分别以A和D为圆心，AC长为半径，画弧相交于点E；④以A为圆心，OE长为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点F，G，则A，G，D，F四点即为⊙O的四等分点．（为便于后续解题，图1中已补充连接线段OA，AC，OE） （1）应用几何知识说明上述作图方法可以将圆周四等分的理由； （2）请用不同于上述作图方法，在图2中用尺规完成作图，将圆周四等分（不写作法，保留作图痕迹）． 27．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C．y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C． （1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）设点D为反比例函数y=(k′≠0)的图象与直线AC的唯一公共点，连接OD，OA，试求△AOD的面积； （3）在（2）的条件下，点P为反比例函数y=(k′≠0)位于第二象限图象上的动点，连接PO，并将射线OP绕点O顺时针旋转90°交反比例函数y=（x＞0）的图象于点Q，当tan∠POD=()2，且点P在点D上方时，求点P的坐标． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）若一元二次方程的根为x=，则该一元二次方程为（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．2x2+3x﹣1＝0 2．（3分）已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 3．（3分）已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 3 4.5 9 ﹣9 ﹣4.5 ﹣3 A．y= B．y=- C．y= D．y=- 4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 5．（3分）如图，周长为18cm的三角形纸片ABC，其中AC＝4cm．小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE．则三角形BDE的周长是（　　） A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm 6．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　） A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0 7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，CE=，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 8．（3分）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　）A是反比例函数y=-在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y=在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有　 　 个人． 10．（3分）如图，在扇形OAB中，C为AB上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为 　 　 °． 11．（3分）把一元二次方程（x﹣5）2＝（2x﹣1）（5﹣x）化成一般形式为　　　　 12．（3分）某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是　 　 ． 13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF=，则AB＝　 　 ． 14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM的取值范围是　 　 ． 15．（3分）用配方法解方程x2+8x+1＝0，首先移项得x2+8x＝﹣1，然后配方x2+8x+16＝﹣1+16，化简得（x+b）2＝15，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的b值为　 　 ． 16．（3分）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝12，求m的值． 18．（6分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”． （1）判断下列方程x2﹣7x+12＝0是否为“差1方程”？（2）已知关于x的方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值． 19．（6分）数学课上，老师展示了班级某位同学解方程3x2﹣6x+1＝0的过程，其过程如下：解：3x2﹣6x＝﹣1第一步x2﹣2x＝﹣1第二步x2﹣2x+1＝﹣1+1第三步（x﹣1）2＝0第四步x1＝x2＝1第五步（1）第三步的依据是 　 　 ， （2）该同学的解题过程从第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ． （3）请直接写出该方程的正确解． 20．（6分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交⊙O于点D，交AB于点P，且CP＝CB． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，OP＝4，求CB的长． 21．（6分）如图，在△ABD中，AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD．延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED． （1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数． （2）求证：点C是△BDE的外心． 22．（6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 23．（8分）如图1，线段AB⊥x轴于点B，AB＝8，反比例函数交AB于点C．AB的垂直平分线交反比例函数图象于点D．AB⊥x轴于点B，AB＝8，反比例函数y=(x＞0)交AB于点C．AB的垂直平分线交反比例函数图象于点D． （1）在图1中用直尺和圆规作出点D（保留作图痕迹，不写画法）． （2）连接AD，BD．若AD＝5，①当点B的坐标为（8，0）时，求反比例函数解析式；②连接OD，当AD＝AC时，求OD的长． 24．（8分）问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 　 　 ；问题解决（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点A，点D的坐标为．ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A，点D的坐标为(2，)． （1）k的值为　 　 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 26．（10分）拿破仑是法国的一位皇帝，非常喜欢数学．据说他想出一种作图方法，可以只用一把圆规，将已知圆周四等分．具体作法：如图1，设⊙O的半径是r．①在⊙O圆周上任取一点A；②以r为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点B，C，D；③分别以A和D为圆心，AC长为半径，画弧相交于点E；④以A为圆心，OE长为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点F，G，则A，G，D，F四点即为⊙O的四等分点．（为便于后续解题，图1中已补充连接线段OA，AC，OE） （1）应用几何知识说明上述作图方法可以将圆周四等分的理由； （2）请用不同于上述作图方法，在图2中用尺规完成作图，将圆周四等分（不写作法，保留作图痕迹）． 27．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C．y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C． （1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）设点D为反比例函数y=(k′≠0)的图象与直线AC的唯一公共点，连接OD，OA，试求△AOD的面积； （3）在（2）的条件下，点P为反比例函数y=(k′≠0)位于第二象限图象上的动点，连接PO，并将射线OP绕点O顺时针旋转90°交反比例函数y=（x＞0）的图象于点Q，当tan∠POD=()2，且点P在点D上方时，求点P的坐标． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 苏科版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第1章 一元二次方程、第2章 反比例函数、第3章 圆 参考答案与解析 1．（3分）若一元二次方程的根为x=，则该一元二次方程为（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．2x2+3x﹣1＝0 【答案】A 【解答】解：若一元二次方程的根为x=，则该一元二次方程为2x2+3x+1＝0，故选：A． （来源：2024秋•方城县期中） 2．（3分）已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【解答】解： ∵⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和⊙O相离， ∴直线l与⊙O没有公共点．故选：A． （来源：2026•溧阳市校级模拟） 3．（3分）已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 3 4.5 9 ﹣9 ﹣4.5 ﹣3 A．y= B．y=- C．y= D．y=- 【答案】B 【解答】解：由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系，设函数的解析式为y=（k≠0），把x＝﹣3，y＝3代入得，k＝﹣9， ∴该函数的解析式为：y=-，故选：B． （来源：2024•定安县二模） 4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB==5（cm），由三角形面积公式得：×3×4=×5×CD，解得：CD＝2.4cm，即C到AB的距离大于⊙C的半径长， ∴⊙C和AB的位置关系是相离，故选：C． （来源：2026•郸城县一模） 5．（3分）如图，周长为18cm的三角形纸片ABC，其中AC＝4cm．小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE．则三角形BDE的周长是（　　） A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm 【答案】A 【解答】解：如图，设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于点G， ∴AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN， ∵周长为18cm的三角形纸片ABC，AC＝4cm． ∴AB+AC+BC＝18cm， ∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝18﹣4＝14（cm）， ∴DB+DE+BE＝BD+DG+GE+BE＝BM+BN＝AB+BC﹣AC＝14﹣4＝10（cm）， ∴三角形BDE的周长是10cm．故选：A． （来源：2026•泰山区校级模拟） 6．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　） A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0 【答案】A 【解答】解： ∵反比例函数中y=，k＝3＞0， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3， ∴点A，B在第三象限，点C在第一象限， ∴x1＜x2＜0＜x3， ∴x1•x2＞0，x1•x3＜0，x2•x3＜0，x1+x2＜0， ∴选项B、C、D正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意．故选：A． （来源：2024•武汉模拟） 7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，CE=，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】B 【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H， ∴∠CBF＝∠ABF=∠ABC，∠ACE＝∠BCE=∠ACB， ∴AF=CF， ∴OG⊥AC，AG＝CG=AC， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∴△CEF是等腰直角三角形，CF=EF=CE=，在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF===2， ∵S△BCF=BF•CF=BC•FH， ∴FH===2， ∵S△OCF=OC•FH=OF•CG，OC＝OF， ∴FH＝CG＝2， ∴AC＝2CG＝4，故选：B． （来源：2026•安州区一模） 8．（3分）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　）A是反比例函数y=-在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y=在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E， ∵AC＝CB， ∴OD＝OE，设A（﹣a，），则B（a，），故S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE=（+）×2a-a×-a×=3．解法二：过A，B两点作y轴的垂线，由AC＝BC求两个三角形全等，再求面积，故选：C． （来源：2026•昆都仑区校级三模） 9．（3分）《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有　 　 个人． 【答案】6 【解答】解：设诸侯共有x人，则每人行礼（x﹣1）次，由题意得：x(x-1)=15，即：x2﹣x﹣30＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），故诸侯共有6人．故答案为：6． （来源：2025•汉中期末） 10．（3分）如图，在扇形OAB中，C为AB上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为 　 　 °． 【答案】72 【解答】解：连接OC， ∵AO＝OC，OC＝OB， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝∠OAC+∠OBC， ∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB＝360°， ∴∠AOB+2∠ACB＝360°，又 ∵∠ACB＝2∠AOB， ∴5∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝72°，故答案为：72． （来源：2026•南岗区校级三模） 11．（3分）把一元二次方程（x﹣5）2＝（2x﹣1）（5﹣x）化成一般形式为 【答案】x2﹣7x+10＝0 【解答】解：（x﹣5）2＝（2x﹣1）（5﹣x）， ∴x2﹣10x+25＝10x﹣2x2﹣5+x， ∴3x2﹣21x+30＝0， ∴x2﹣7x+10＝0．故答案为：x2﹣7x+10＝0． （来源：2024秋•庐江县校级月考） 12．（3分）某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是　 　 ． 【答案】100+100（1+x）+100（1+x）2＝364 【解答】解：由题意可得，100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．故答案为：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364． （来源：2026•同步） 13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF=，则AB＝　 　 ． 【答案】5 【解答】解：作直径DG，连接CG，如图， ∵DG为直径， ∴∠DCG＝90°， ∴∠CDG+∠G＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠DAC+∠ADB＝90°， ∵∠DAC＝∠G， ∴∠ADB＝∠CDG， ∴AB=CG， ∴AB＝CG， ∵OF⊥CD， ∴DF＝CF， ∵OD＝OG， ∴OF为△DCG的中位线， ∴CG＝2OF＝2×=5， ∴AB＝5．故答案为5． （来源：2026•泰州模拟） 14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM的取值范围是　 　 ． 【答案】2-2≤CM≤2+2 【解答】解：当点P在⊙O上移动时，M为AP的中点，连接OM，根据垂径定理得出∠OMA＝90°， ∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'，如图，当CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最小， ∴CM=CO′-O′M=2-2，如图，当CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最大，由题意得，OA＝OB＝OC＝4，OO′=OA=2=O′M，在Rt△O′OC中，OC＝4，OO′＝2，O′C==2， ∴CM=CO′+O′M=2+2， ∴CM的取值范围是2-2≤CM≤2+2．故答案为：2-2≤CM≤2+2． （来源：2025•泸县期末） 15．（3分）用配方法解方程x2+8x+1＝0，首先移项得x2+8x＝﹣1，然后配方x2+8x+16＝﹣1+16，化简得（x+b）2＝15，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的b值为　 　 ． 【答案】4 【解答】解：由x2+8x+16＝﹣1+16得，（x+4）2＝15， ∴b＝4．故答案为：4． （来源：2025•洪山区期中） 16．（3分）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞- 【解答】解： ∵（2x）※1＝a， ∴2x+4x2＝a，方程化为一般式为4x2+2x﹣a＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0，解得a＞-，故答案为：a＞-． （来源：2026•灌云县模拟） 17．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝12，求m的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4， ∵方程总有两个实数根， ∴8m﹣4≥0， ∴m≥． （2）由（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝12， ∵x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2， ∴原式＝m2+2+2（m+1）+1＝12，整理得m2+2m﹣7＝0，解得m＝﹣1﹣2（舍）或m＝﹣1+2． （来源：2026•成武县三模） 18．（6分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”． （1）判断下列方程x2﹣7x+12＝0是否为“差1方程”？（2）已知关于x的方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4， ∵4﹣3＝1， ∴x2﹣7x+12＝0是“差1方程”； （2）x2+（2﹣m）x﹣2m＝0，（x﹣m）（x+2）＝0，解得：x1＝m，x2＝﹣2， ∵方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”， ∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1， ∴m＝﹣1或m＝﹣3． （来源：2025•官渡区校级期中） 19．（6分）数学课上，老师展示了班级某位同学解方程3x2﹣6x+1＝0的过程，其过程如下：解：3x2﹣6x＝﹣1第一步x2﹣2x＝﹣1第二步x2﹣2x+1＝﹣1+1第三步（x﹣1）2＝0第四步x1＝x2＝1第五步（1）第三步的依据是 　 　 ， （2）该同学的解题过程从第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ． （3）请直接写出该方程的正确解． 【答案】（1）等式的基本性质1 【解答】解： （1）第三步的依据是等式的基本性质1； （2）该同学的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是等式右边没有除以3； （3）3x2﹣6x+1＝0，3x2﹣6x＝﹣1，x2-2x=-，x2-2x+1=-+1，(x-1)2=，x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-．故答案为： （1）等式的基本性质1； （2）二，等式右边没有除以3； （来源：2025•壶关县月考） 20．（6分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交⊙O于点D，交AB于点P，且CP＝CB． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，OP＝4，求CB的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）CB与⊙O相切，理由：连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵CP＝CB， ∴∠CPB＝∠CBP， ∵∠CPB＝∠APO， ∴∠CBP＝∠APO，在Rt△AOP中， ∵∠A+∠APO＝90°， ∴∠OBA+∠CBP＝90°，即：∠OBC＝90°， ∴OB⊥CB，又 ∵OB是半径， ∴CB与⊙O相切； （2） ∵∠A＝30°，∠AOP＝90°， ∴∠APO＝60°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠A＝30°， ∴∠BOP＝∠APO﹣∠OBA＝30°＝∠OBP， ∴OP＝PB＝4， ∵∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB， ∴△PBC是等边三角形， ∴BC＝PB＝4． （来源：2024•丹徒区期末） 21．（6分）如图，在△ABD中，AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD．延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED． （1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数． （2）求证：点C是△BDE的外心． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAD＝2∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD＝40°， ∴∠BAD＝80°； （2） ∵AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ABE＝∠DBE， ∴BC=CD， ∴BC＝CD， ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠CBD+∠DBE，∠BEC＝∠BAC+∠ABE， ∴∠CBE＝∠BEC， ∴BC＝EC， ∴BC＝EC＝DC， ∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上， ∴点C是△BDE的外心． （来源：2024•邹平市校级期中） 22．（6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】见解析 【解答】解： （1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b， ∴△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2， ∴△ABC为直角三角形； （3） ∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1． （来源：2026•宁阳县期中） 23．（8分）如图1，线段AB⊥x轴于点B，AB＝8，反比例函数交AB于点C．AB的垂直平分线交反比例函数图象于点D．AB⊥x轴于点B，AB＝8，反比例函数y=(x＞0)交AB于点C．AB的垂直平分线交反比例函数图象于点D． （1）在图1中用直尺和圆规作出点D（保留作图痕迹，不写画法）． （2）连接AD，BD．若AD＝5，①当点B的坐标为（8，0）时，求反比例函数解析式；②连接OD，当AD＝AC时，求OD的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图所示，点D即为所求； （2）①如图，设线段AB的垂直平分线交AB于E， ∵AB＝8，∠AED＝90°， ∴AE=AB＝4， ∵AD＝5， ∴DE==3， ∵点B的坐标为（8，0）， ∴OB＝8，过D作DF⊥x轴于F，连接OC，则四边形BEDF是矩形， ∴BF＝DE＝3， ∴OF＝5， ∴D（5，4）， ∴k＝4×5＝20， ∴反比例函数解析式为y=；② ∵AD＝AC＝5，AB＝8， ∴BC＝3，设D（a，4）则C（a+3，3）， ∵点D，C在y=(x＞0)的图象上， ∴4a＝3（a+3）， ∴a＝9， ∴D（9，4）， ∴OF＝9， ∴OD===． （来源：2026•宝丰县一模） 24．（8分）问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 　 　 ；问题解决（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由． 【答案】 【解答】解： （1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8，由勾股定理得：BC===17．由三角形的面积得：S△ABC=AB•AC=BC•AD， ∴AB•AC＝BC•AD， ∴AD===．故答案为：． （2）可以． ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是△ABC的内心，作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O，则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：设BM＝xcm，⊙O的半径为Rcm， ∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm， ∴CM＝（160﹣x）cm，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2，在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2， ∴1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，解得：x＝50， ∴AM==50（cm）， ∴S△ABC=BC•AM=×160×50=4000（cm2） ∵点O为△ABC的内心， ∴OH＝OP＝OQ＝Rcm， ∵S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC， ∴BC•OH+AC•OP+AB•OQ=4000，即（100+160+140）R=8000， ∴R=20． （来源：2024•陕西） 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点A，点D的坐标为．ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A，点D的坐标为(2，)． （1）k的值为　 　 ； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；②在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】8 【解答】解： （1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为（2，）， ∴FO＝2，DF=， ∴DO==， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝AD＝DO=， ∴A点坐标为（2，4）， ∵反比例函数y=(k＞0，x＞0)的图象经过点A， ∴k＝2×4＝8，故答案为：8； （2）由（1）知OB=， ∴B（0，），将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点B′的坐标为（m，）．代入y=，得到=，解得m=； （3）将菱形ABCD向右平移m个单位长度，得到点D′的坐标为（2+m，）．代入y=，得到=，解得m=． ∴0≤m≤． （来源：2025•江西校级期末） 26．（10分）拿破仑是法国的一位皇帝，非常喜欢数学．据说他想出一种作图方法，可以只用一把圆规，将已知圆周四等分．具体作法：如图1，设⊙O的半径是r．①在⊙O圆周上任取一点A；②以r为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点B，C，D；③分别以A和D为圆心，AC长为半径，画弧相交于点E；④以A为圆心，OE长为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点F，G，则A，G，D，F四点即为⊙O的四等分点．（为便于后续解题，图1中已补充连接线段OA，AC，OE） （1）应用几何知识说明上述作图方法可以将圆周四等分的理由； （2）请用不同于上述作图方法，在图2中用尺规完成作图，将圆周四等分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：如图1，连接OB、OC、OD、AB、BC、CD、AE、OF、AF、OG、AG， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB＝BC＝CD＝r＝OF＝OG，AE＝AC，AF＝AG＝OE， ∴△AOB，△BOC，△COD为等边三角形， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°， ∴∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°， ∴AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°，AD＝2r，在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AE=AC===r， ∵分别以A和D为圆心，AC长为半径，画弧相交于点E， ∴OE垂直平分AD， ∴∠AOE＝90°，在直角三角形AOE中，由勾股定理得：AF=AG=OE===r， ∴OA2+OF2=r2+r2=2r2=(r)2=AF2，OA2+OG2=r2+r2=2r2=(r)2=AG2， ∴△AOF是直角三角形，△AOG是直角三角形，∠AOF＝90°，∠AOG＝90°， ∴∠DOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣90°＝90°，∠DOG＝180°﹣∠AOG＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOF＝∠DOF＝∠DOG＝∠AOG＝90°， ∴AF=DF=DG=AG， ∴A、G、D、F为⊙O的四等分点； （2）解：如图2，作⊙O的直径AB，作直径AB的垂直平分线交⊙O于点C、D， ∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝90°， ∴AC=CB=BD=AD， ∴A、D、B、C为⊙O的四等分点． （来源：2025•莆田期末） 27．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C．y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C． （1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）设点D为反比例函数y=(k′≠0)的图象与直线AC的唯一公共点，连接OD，OA，试求△AOD的面积； （3）在（2）的条件下，点P为反比例函数y=(k′≠0)位于第二象限图象上的动点，连接PO，并将射线OP绕点O顺时针旋转90°交反比例函数y=（x＞0）的图象于点Q，当tan∠POD=()2，且点P在点D上方时，求点P的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）对于y=，令x＝1，则a＝5， ∴A（1，5）， ∵B（6，0），直线y＝kx+b，经过A，B， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6； （2） ∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+6， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵A（1，5），B（6，0）， ∴C（﹣4，0）， ∴直线AC的解析式为y＝x+4，由，得x2+4x﹣k′＝0， ∵只有唯一公共点， ∴Δ＝16+4k′＝0， ∴k′＝﹣4， ∴y=，由，得， ∴D（﹣2，2）， ∴S△AOD=×4×（xA﹣xD）＝6； （3）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N． ∵∠POQ＝∠PMO＝∠QNO＝90°， ∴∠POM+∠QON＝90°，∠QON+∠OQN＝90°， ∴∠POM＝∠OQN， ∴△PMO∽△ONQ， ∴（）2==2÷=，当P在D上方的图象上时，过点D作DG⊥OP于点G， ∴tan∠POD==，过点G作GH⊥y轴于点H，过点D作DI⊥HG于点I．由△DGI∽△GOH，可得===，设IG＝4n，ID＝4m，则HO＝5n，GH＝5m， ∴， ∴n＝9m， ∴G（﹣5m，45m）， ∴直线OG的解析式为y＝﹣9x，由，解得或（不合题意，舍去）， ∴P点坐标为（-，6）．解法二：过点D作DH⊥OC与点H，过点E作EF⊥HD交HD的延长线于点F．利用相似三角形的性质求出点E的坐标．求出折线OE的解析式，构建方程组确定点P的坐标． （来源：2026•市中区模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $