精品解析：上海市曹杨第二中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

曹二高一上10月月考 一．填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分） 1. 用列举法表示集合______． 【答案】 【解析】 【详解】已知， 当时，；当时，；故集合为． 2. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 3. 设，若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据元素与集合的属于关系，结合集合元素的互异性分类讨论求解. 【详解】因为，所以若，解得或， 当时，集合为{}，不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，集合为{}，符合要求； 若，此时集合为{}，符合要求， 综上，为或. 4. 设，已知集合，．若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且， 所以，则的取值范围是. 5. 设，且，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以，， 由基本不等式可得，故， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 6. 设，若集合有且仅有两个子集，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据集合的子集性质和分式方程与化成的整式方程的根的特征分类考虑，计算即得. 【详解】依题意，方程只有一个实数根，因即， 可得（*）， 则方程（*）只有这一个根或者有0和1（增根）两个根， 即或，解得或. 7. 已知全集，集合且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，根据补集的定义，即得答案. 【详解】由题意可知全集， 集合且， 故， 故答案为： 8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的解集为，可知是方程的两个根， 由韦达定理可知，可知不等式等价于，解绝对值不等式，即可求出结果. 【详解】因为不等式的解集为 所以是方程的两个根， 所以. 所以不等式等价于 解不等式，得，， 即不等式的解集为. 故答案为：. 9. 某运货卡车以千米/时的速度匀速行驶千米，按交通法规限制，假设柴油的价格为每升元，汽车每小时耗油升，司机工资为每小时元．则当________（千米/时），这次行车的总费用（油费与司机工资的总和）最低． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可得总费用，再由基本不等式可得最小值. 【详解】因为卡车行驶千米，速度为千米/时，因此总用时为 小时，其中. 每小时油费为元，每小时司机工资为元， 因此每小时总支出为​元. 设全程总费用为，则​， 根据基本不等式，因为，， 当且仅当，即时等号成立，且. 因此当千米/时，行车的总费用（油费与司机工资的总和）最低. 10. 设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据、是关于的方程的两个实数根，由，解得 ，然后由 ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就. 【详解】因为、是关于的方程的两个实数根， 所以，解得 ， 所以， 则 ， ， ， ， 所以的最小值为， 故答案为： 11. 小玲在钻研《九章算术》中“勾股容方”问题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”时，发现魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法： 如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论． 如图，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列四个推理中正确的序号是______． ①由图和图面积相等得；②由可得 ③由可得；④由可得 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据图1、图2与图3的组成，结合各推理中的条件，利用面积相等，直角三角形斜边中线的性质即可逐一判断. 【详解】对于①，图1的面积为，图2的面积为， 由两图面积相等，可得，即，故①正确； 对于②，由题意， 由面积相等得，即， 由得，整理得，故②不正确； 对于③，因是直角三角形斜边的中线，则， 由得， 即，故③正确； 对于④，由得，整理得，故④正确. 12. 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，，得到，，从而根据绝对值三角不等式得到，进而即可得到的最大值． 【详解】设，，则，， 又，， 则， 当，且，，，时取等号， 故的最大值为． 二．选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，，若，则，故A错误； 对于B选项，因为，在，两边同时乘，则；在，两边同时乘，则，所以，故B正确； 对于C选项，令，，则，故C错误； 对于D选项，令，，则，故D错误. 14. 小玲在学习《论语·子路》时读到“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”，这句话的数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件判断及逆否命题与原命题等价可得. 【详解】设“身正”，“令行”，则“身不正”，“令不从”， 由“其身正，不令而行”，即，所以“身正”是“令行”的充分条件； 又由“其身不正，虽令不从”，即，所以它的逆否命题为真命题， 所以“身正”是“令行”的必要充分条件. 综上，“身正”是“令行”的充分必要条件. 15. 某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为，电视机拥有率为，洗衣机拥有率为，恰好拥有两种电器的农户占比为，三种电器齐全的为，那么一种电器也没有的农户所占的比例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设拥有1种电器的占，一种也没有的占，由三集合容斥的计数原理： 各电器拥有率之和等于仅拥有1种的占比加2倍仅拥有2种的占比加3倍拥有3种的占比， 可得，解得， 故至少拥有1种电器的农户占比为：， 故，解得． 16. 设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①真②真 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】根据邻集的定义，并应用反例判断各命题的正误，即可得. 【详解】由于任意实数均可被有理数逼近，故①真； 注意到邻集的定义关于A，B不对称，如，时，A是B的一个邻集，而B不是A的一个邻集，故②假. 故选：A 三．解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 设，完成下列问题： （1）求不等式的解集； （2）设集合，，．若，，求的值． 【答案】（1）当时，； 当时，； 当时，； （2）． 【解析】 【分析】（1）通过讨论x系数的正负求解一元一次不等式； （2）解一元二次方程求出集合B，C，由集合运算得，代入方程求得或， ，然后代入验证即可得解． 【小问1详解】 原不等式整理得 当时，即时，解得； 当时，即时，解得， 当时，即时，，无解； 综上当时，； 当时，； 当时，； 【小问2详解】 解方程得；解方程得； 由，得， 将代入得，即， 即，解得或， 当时，，，舍去； 当时，，满足条件，故． 18. 完成下列问题： （1）设，，且，用反证法证明：或； （2）设，，，求的最大值． 【答案】（1）证明：假设且， 则，与已知矛盾， 故假设不成立，即或． （2） 【解析】 【分析】（1）由反证法证明思路，假设结论不成立，倒推与条件矛盾得证； （2）利用分离参数法，构建积定的形式利用基本不等式计算最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，由得， 由可得： ； 因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 故，即，的最大值为，当时取得. 19. 已知函数 . （1）当时，求不等式的解集； （2）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，分，和三种情况，去绝对值求出不等式的解集； （2），分和两种情况，由绝对值三角不等式得到最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 时，， 则，即， 当时，，解得，与取交集得， 当时，，解得，与取交集得， 当时，，解得，与取交集得， 综上，不等式的解集为； 【小问2详解】 ，即， 故， 当时，不等式显然成立， 当时，由绝对值三角不等式得， 当且仅当时，等号成立， 因此，平方得，解得，故， 综上，实数的取值范围是. 20. 对于集合，定义集合且． （1）若，求集合和； （2）给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； （3）用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 【答案】（1），； （2）； （3） 表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义求解即可； （2）根据题设定义及韦恩图，结合集合方程组用表示出即可； （3）分中至少含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可. 【小问1详解】 由，则，； 【小问2详解】 由，则或， 再结合，则， 所以 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹二高一上10月月考 一．填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分） 1. 用列举法表示集合______． 2. 不等式的解集是________. 3. 设，若，则______． 4. 设，已知集合，．若，则的取值范围是________． 5. 设，且，则的最大值为________． 6. 设，若集合有且仅有两个子集，则______． 7. 已知全集，集合且，则__________． 8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________. 9. 某运货卡车以千米/时的速度匀速行驶千米，按交通法规限制，假设柴油的价格为每升元，汽车每小时耗油升，司机工资为每小时元．则当________（千米/时），这次行车的总费用（油费与司机工资的总和）最低． 10. 设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______. 11. 小玲在钻研《九章算术》中“勾股容方”问题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”时，发现魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法： 如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论． 如图，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列四个推理中正确的序号是______． ①由图和图面积相等得；②由可得 ③由可得；④由可得 12. 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为_________． 二．选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 小玲在学习《论语·子路》时读到“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”，这句话的数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为，电视机拥有率为，洗衣机拥有率为，恰好拥有两种电器的农户占比为，三种电器齐全的为，那么一种电器也没有的农户所占的比例是（ ） A. B. C. D. 16. 设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①真②真 D. ①假②假 三．解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 设，完成下列问题： （1）求不等式的解集； （2）设集合，，．若，，求的值． 18. 完成下列问题： （1）设，，且，用反证法证明：或； （2）设，，，求的最大值． 19. 已知函数 . （1）当时，求不等式的解集； （2）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 20. 对于集合，定义集合且． （1）若，求集合和； （2）给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； （3）用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $