精品解析：山东省多校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题（聊城地区）

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以“”是“”的必要不充分条件. 2. 若函数的最小正周期为，则（ ） A. 且为奇函数 B. 且为奇函数 C. 且为偶函数 D. 且为偶函数 【答案】A 【解析】 【详解】. 因为函数的定义域为关于原点对称. 又因为，所以为奇函数. 3. 已知集合,，,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全集和集合，求出集合的补集，解集合的分式不等式得集合，即可求解. 【详解】由,， 得, 由，得， 整理得，解得或， 则， 所以. 4. “兮”字是《离骚》中出现频率最高的字，在《离骚》中几乎每个上句句末都出现，起舒缓语气、调节节奏、增强咏叹感的作用. 帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸. 摄提贞于孟陬兮，惟庚寅吾以降. 皇览揆余初度兮，肇锡余以嘉名. 名余曰正则兮，字余曰灵均. 纷吾既有此内美兮，又重之以修能. 扈江离与辟芷兮，纫秋兰以为佩. 汩余若将不及兮，恐年岁之不吾与. 朝搴阰之木兰兮，夕揽洲之宿莽. 上述这段选自《离骚》，共有8行，若从左到右数第行中的“兮”字是位于该行的第个字，则，例如：第1行“帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸”中的“兮”字是位于该行的第7个字，所以.那么（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】因为第4行中的“兮”字是位于该行的第6个字，第6行中的“兮”字是位于该行的第7个字，所以. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 且，所以. 6. 若，曲线与曲线的一个交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦函数相等的等价条件求解交点纵坐标的绝对值. 【详解】因为点为两曲线的交点，因此满足：， 根据余弦函数的性质，等价于，，分两种情况讨论： 若，化简得，不存在整数满足该式，舍去； 若，整理得，即，. 将代入得：. 7. 若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知当不等式有解时，函数存在单调递增区间，然后分离参数，构造新函数，进而求出的取值范围. 【详解】由，得， 则.设，则. 令，得，则在上单调递增，令，得，则在上单调递减， 则， 当时，有解，即函数存在单调递增区间， 所以的取值范围是. 8. 设函数的最大值为，且无最小值，则函数的（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】通过化简可得，然后研究函数与函数的定义域和值域的关系即可得出答案. 【详解】易知的定义域为， 则. 由，得， 所以与的值域相同，则的最大值为， 则的最小值为，又无最小值，所以无最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 命题：，，命题：存在偶数，使得函数为偶函数.关于这两个命题，下列判断正确的是（ ） A. 是全称量词命题 B. 的否定：， C. 的否定是假命题 D. 的否定：对每个偶数，函数都不是偶函数 【答案】BCD 【解析】 【详解】命题是存在量词命题，A错误. 全称量词命题的否定是存在量词命题，B正确. 因为当时，， 所以，即介于两个连续正整数之间，是无理数， 则是真命题，从而的否定是假命题，C正确. 存在量词命题的否定是全称量词命题，D正确. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与方程表示的圆可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题中条件可以得到圆的直径等于的图象与轴的两交点之间的距离，再结合，的可能取值逐一判断即可. 【详解】二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，， 圆的圆心为，半径为， 则圆的直径等于的图象与轴的两交点之间的距离，C错误. 因为A，B中的圆都过原点，所以，即. 取，，与A图一致，A正确； 取，，与B图一致，B正确. D中的圆不过原点，圆在轴左侧，抛物线的开口向下，取，，与D图一致，D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且曲线在上是一条连续不断的曲线，恰有三个极值点，点，.若函数的图象经过某个点集中的所有元素，则称该点集能被承载，否则不能被承载.下列结论正确的是（ ） A. ，不能被承载 B. ，不能被承载 C. ，能被承载 D. 若满足对任意的，当时，都有，则能被承载 【答案】AC 【解析】 【分析】A由极值点处函数值必不相等判断；举反例说明三点可共线即可判断B；由三点横坐标互异确定唯一二次函数判断C；由单调递增得，与极值点处函数值呈峰谷交替矛盾判断D. 【详解】因为是的三个极值点，所以，，满足，或，， 故，不能被承载，所以A正确； 取，则，令，可得，0，2是的3个极值点， 且，，，所以能被承载，所以B不正确； 由题意知，，三点不共线且横坐标均不相等，则由该三点的坐标可以唯一确定一条对称轴垂直于轴的抛物线，所以C正确； 对任意的，当时，都有，则在上单调递增， 假设能被承载，则由，可得，即， 这与，或，矛盾，故不能被承载，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【详解】， . 13. 已知函数，，若恰有奇数个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】函数的零点个数等价于两函数的交点个数，画出函数的图象和的图象，观察图像的变化即可求出的取值范围. 【详解】的零点个数即方程的解的个数，即的图象与直线的公共点个数. 当时，， 令，得，则在上单调递增， 令，得，则在上单调递减， 且，，当时，.作出的大致图象，如图所示. 当的图象与直线有个公共点时，， 有个公共点时，或. 所以的取值范围是. 14. 若存在正数，，使得不等式成立，则正数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，利用基本不等式可得，进而可得，解不等式即可得结果. 【详解】因为，则， 即， 因为，，则，， 当且仅当且，即，时，等号成立， 可得，则， 整理得，解得或， 且，可得，所以正数的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 回答下列问题 15. 求方程的解集； 16. 若，求函数的单调区间． 【答案】15. 16. 单调递增区间为，单调递减区间为和 【解析】 【15题详解】 ，所以原方程等价于，解得或者， 所以方程的解集为. 【16题详解】 因为，令，则，，即， 所以，令，解得，令，解得或， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和. 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 根据对数函数的性质，，，解不等式组可得； (2) 不等式对任意的恒成立，转化为求，，根据基本不等式可求其最小值为2，依题意可得，解对数不等式可求. 【小问1详解】 因为，， 所以，． 因为，，所以， 所以的定义域为． 【小问2详解】 ． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以 综上，的取值范围为. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上的最大值小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数的解析式，根据可得，，再结合函数的周期可得的值。进而得的解析式. （2）先根据函数图象平移变换得的解析式，再根据函数在上的最大值小于，可求的取值范围. 【小问1详解】 ． 因为，所以，， 得，． 设的最小正周期为，则得， 则，得． 由，，可得， 则． 【小问2详解】 ． 由，得． 因为在上的最大值小于，且，所以，， 解得，， 故的取值范围为． 19. 如图，某工厂拟将，，三个地点设为销售点，为的中点，.该工厂将建在与之间（不含和）.已知与之间的距离为40千米，与之间的距离为60千米，工厂建在点处.为便于运输，要修建，，三段快速路.设千米，三段快速路的总长为千米. （1）求关于的函数表达式； （2）求三段快速路的总长的最小值（结果精确到1千米）； （3）若修建段快速路的价格为每千米2万元，修建段快速路与段快速路的价格相等，修建段快速路的价格为每千米万元，，且，为了使得修建三段快速路的总费用最少，该如何选取的值？ 【答案】（1），其中. （2）95千米. （3）当时，为了使得修建三段快速路的总费用最少，应该取（或）；当时，为了使得修建三段快速路的总费用最少，应该取. 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形性质得，再用勾股定理表示，将三段长度相加即得关于的函数； （2）对求导，令导数为零求出极小值点，利用单调性确定最小值点，代入计算并按要求取近似值； （3）写出总费用函数，求导后令，解出极值点候选值，再按该值与区间端点 的大小关系分两种情况讨论，分别确定最小值点. 【小问1详解】 依题意可得千米，千米，千米， 所以，其中. 【小问2详解】 设，， 则. 令，得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以. 因为， 所以三段快速路的总长的最小值约为95千米. 【小问3详解】 设修建三段快速路的总费用为万元， 则，， 则. 令，得. 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值； 当，即时， 对恒成立，则在上单调递增， 所以在处取得最小值. 综上，当时，为了使得修建三段快速路的总费用最少，应该取（或）； 当时，为了使得修建三段快速路的总费用最少，应该取. 20. 设函数. （1）求曲线在坐标原点处的切线方程； （2）证明：对任意正整数，在上存在唯一的极值点； （3）记（2）中在（）上的极值点为，设点，证明：存在定点，使得为定值. 【答案】（1） （2）证明：设，则. 当时，若为偶数，，，单调递减， 若为奇数，，，单调递增，所以在上单调. 又，. 因为对于任意正整数，且，所以. 因为的图象是连续不断的，所以结合在上的单调性可知，存在唯一的，使得. 又，且对恒成立， 所以当时，与同号，零点相同，即在左、右两侧的符号相反，且. 故对任意正整数，在上存在唯一的极值点. （3）证明：由（2）可知，即. 令.因为，所以. 将代入上式，可化简为，即. 由，得且， 所以. 又，所以. 因为，所以. 由，得，则，所以. 将代入，得. 设定点，则， 所以. 若使其为定值恒成立，只需.比较得，，， 解得，，即或， 所以存在定点或，使得为定值1. 【解析】 【分析】（1）求导后代入得切线斜率，再由写出切线方程； （2）构造函数 并求导，利用 在给定区间上的单调性和端点异号确定唯一零点，再由 与 同号得极值点唯一； （3）利用极值点条件消去和的关系，再结合化简得到；设定点后令为常数，比较系数求出的坐标. 【小问1详解】 因为， 所以. 故曲线在坐标原点处的切线方程为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若函数的最小正周期为，则（ ） A. 且为奇函数 B. 且为奇函数 C. 且为偶函数 D. 且为偶函数 3. 已知集合,，,则（ ） A. B. C. D. 4. “兮”字是《离骚》中出现频率最高的字，在《离骚》中几乎每个上句句末都出现，起舒缓语气、调节节奏、增强咏叹感的作用. 帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸. 摄提贞于孟陬兮，惟庚寅吾以降. 皇览揆余初度兮，肇锡余以嘉名. 名余曰正则兮，字余曰灵均. 纷吾既有此内美兮，又重之以修能. 扈江离与辟芷兮，纫秋兰以为佩. 汩余若将不及兮，恐年岁之不吾与. 朝搴阰之木兰兮，夕揽洲之宿莽. 上述这段选自《离骚》，共有8行，若从左到右数第行中的“兮”字是位于该行的第个字，则，例如：第1行“帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸”中的“兮”字是位于该行的第7个字，所以.那么（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，曲线与曲线的一个交点为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的最大值为，且无最小值，则函数的（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 命题：，，命题：存在偶数，使得函数为偶函数.关于这两个命题，下列判断正确的是（ ） A. 是全称量词命题 B. 的否定：， C. 的否定是假命题 D. 的否定：对每个偶数，函数都不是偶函数 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与方程表示的圆可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且曲线在上是一条连续不断的曲线，恰有三个极值点，点，.若函数的图象经过某个点集中的所有元素，则称该点集能被承载，否则不能被承载.下列结论正确的是（ ） A. ，不能被承载 B. ，不能被承载 C. ，能被承载 D. 若满足对任意的，当时，都有，则能被承载 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，则______，______. 13. 已知函数，，若恰有奇数个零点，则的取值范围是______. 14. 若存在正数，，使得不等式成立，则正数的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 回答下列问题 15. 求方程的解集； 16. 若，求函数的单调区间． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上的最大值小于，求的取值范围． 19. 如图，某工厂拟将，，三个地点设为销售点，为的中点，.该工厂将建在与之间（不含和）.已知与之间的距离为40千米，与之间的距离为60千米，工厂建在点处.为便于运输，要修建，，三段快速路.设千米，三段快速路的总长为千米. （1）求关于的函数表达式； （2）求三段快速路的总长的最小值（结果精确到1千米）； （3）若修建段快速路的价格为每千米2万元，修建段快速路与段快速路的价格相等，修建段快速路的价格为每千米万元，，且，为了使得修建三段快速路的总费用最少，该如何选取的值？ 20. 设函数. （1）求曲线在坐标原点处的切线方程； （2）证明：对任意正整数，在上存在唯一的极值点； （3）记（2）中在（）上的极值点为，设点，证明：存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $