精品解析：山东泰安市宁阳金桥学校复读班2027届高三上学期9月份月考数学试卷

金桥复读班9月份数学检测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在上的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理逐个分析判断. 【详解】因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 对于A，因为，所以在上无零点，所以A错误； 对于B，因为，所以在上无零点，所以B错误； 对于C，因为，所以在上有唯一零点，所以C正确； 对于D，因为，所以在上无零点，所以D错误. 故选：C 2. 已知全集，，则图中阴影部分表达的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，阴影部分表达的集合为， 令，得，解得， ， 由二次根式性质得，则， 而，可得，故D正确. 3. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 4. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用导数法得，从而有；设，利用导数法得，从而有，即可得解. 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即； 设，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，所以，即； 所以. 故选：B 7. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 8. 对于任意，，且，则（ ） A. 2026 B. 2027 C. 4053 D. 4054 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列递推思想，结合裂项相消法和累加法来求出即可. 【详解】因为，所以， 所以， 以上各式相加可得， 所以，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数、满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式求出各选项中代数式的最值，由此可判断各选项的正误. 【详解】设正实数、满足. 对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当时，等号成立，B选项错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C选项正确； 对于D选项，，则， 当且仅当时，等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”成立的充要条件 B. 命题，，则命题的否定为：， . C. 函数的最小值是 D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据必要条件的定义和不等式的性质判断A；根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B；设，结合对勾函数性质求函数的最小值，判断C；根据零点的定义，结合指数函数和对数函数图象判断D. 【详解】对于A，若，，则， 所以“”不是“”成立的必要条件， 若，则可得，所以“”是“”成立的充分条件； 所以“”是“”成立的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题，，则命题的否定为：， .，故B正确； 对于C，设，则， 由对勾函数的性质可得，函数在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，函数取最小值，最小值为，故C正确； 对于D，令，则， 当时，作出函数的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 所以当时，函数的零点个数为2； 当时，作出函数的图象， 如下图，两函数图象有两个交点， 即函数的零点个数为2 当时，两函数图象有三个交点， 即函数的零点个数为3； 当，两函数图象有1个交点， 即函数的零点个数为1； 所以“”是“函数的零点个数为2”成立的充分不必要条件，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递增 B. 点是曲线的对称中心 C. 函数有三个零点 D. 若过点有三条直线与曲线相切，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用判断B；求导分析在单调性判断A；计算极值，由极值符号判断零点个数判断C；设切点求切线方程，转化为三次方程根的分布，判断切线条数条件D. 【详解】，求导得， 对于A：令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在上先减后增，故A错误； 对于B：， ， 满足，所以点是曲线的对称中心，故B正确； 对于C：，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此左侧增、右侧减，是极大值点；左侧减、右侧增，是极小值点， ，， 当时，，当时，， 故函数图象仅在区间穿过x轴一次，故只有一个零点，故C错误； 对于D：，设切点为，， 切线斜率，切线方程为， 切线过点，代入得， 整理得， 过点有三条切线等价于方程有三个不同实根， ，极值点为， 要有三个不同实根，则，，， ， 因为，所以，即，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则______ 【答案】 【解析】 【详解】， ， ， 所以， 已知， 所以. 13. 曲线在点处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点代入成立，即点为切点． 因为，所以切线斜率．所以切线方程为，即． 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，运用数形结合法求解本题. 【详解】设， 由图可知，，解得， 由二次函数的对称性可知，的解、满足， 即且， 所以 ， 因为在上单调递增， 所以， 故的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示， 故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 16. 已知函数是R上的偶函数. （1）求实数的值. （2）证明：函数在区间上单调递减. 【答案】（1） （2）当，， 所以， 当时，，则，所以， 故函数在区间上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用奇偶函数的性质，得到，即可求解； （2）利用导数与函数的单调性的关系，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为是偶函数，所以， 即，所以， 所以恒成立，所以. 【小问2详解】 略 17. 已知是的一个极值点. （1）求函数的单调递减区间； （2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由求得，并检验，然后由确定减区间； （2）同样求出，然后由在上恒成立得的范围． 【详解】（1）的定义域为， . 因为是的一个极值点， 所以，即. 解得，经检验，适合题意，所以 因为， 解，得. 所以函数的单调递减区间为. （2）， . 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以. 因为在上，，所以. 【点睛】本题考查由导数研究函数的极值、单调性，考查由单调性确定参数范围，解题关键是的转化，单调性转化为不等式恒成立，再转化为求函数最值．本题旨在考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，转化与化归能力． 18. 已知，，为常数，. （1）求证：当时，在区间上恒成立； （2）若，对于，，使，求的取值范围. 【答案】（1）当时，，，时，恒成立， 所以在上是单调递增函数， 所以，令， 则，当时，，所以在区间上单调递减， 所以，则，即在区间上恒成立. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数，求出的最小值和的最大值，即可求解； （2）利用导数，求出和的值域，结合条件得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，当时，由得， 所以在区间上单调递增， 所以，，所以的值域是， 因为，∴， 所以时，，则在上单调递增， 所以，，故的值域是， 因为对于，，使， 所以的值域是的值域的子集，故，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； 【答案】（1） （2）是定义域为的奇函数，当时，， 则当时，，且， 在上严格递增，且， 在上严格递增，且， 当时，， 若，由得，即， 若，由，不等式无解， 故； 当时，， 若，由，即恒成立， 若，由，即成立， 若，由得， 故； 由且： 若，由在单调递增，得，故， 故； 若，由在单调递增，得，故， 故； 若，此时，满足， ， 若，此时，满足， ， 若，则，不满足， 故这种情况不成立； 综上，，命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义，计算基准点的函数值，把集合转化为不等式，分情况讨论得出的取值范围； （2）利用奇函数的性质补全解析式，分和两种情况讨论，再根据且，分四种情况讨论证明结论． 【小问1详解】 由题意，集合是满足的所有的集合， 令， 当即时，，不等式， 由单调递增，得，即，对应； 当即时，，不等式，解得， 结合，得，对应， 综上可得，，即． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金桥复读班9月份数学检测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在上的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，则图中阴影部分表达的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 对于任意，，且，则（ ） A. 2026 B. 2027 C. 4053 D. 4054 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数、满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”成立的充要条件 B. 命题，，则命题的否定为：， . C. 函数的最小值是 D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充分不必要条件 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递增 B. 点是曲线的对称中心 C. 函数有三个零点 D. 若过点有三条直线与曲线相切，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则______ 13. 曲线在点处的切线方程为_______． 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数是R上的偶函数. （1）求实数的值. （2）证明：函数在区间上单调递减. 17. 已知是的一个极值点. （1）求函数的单调递减区间； （2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 18. 已知，，为常数，. （1）求证：当时，在区间上恒成立； （2）若，对于，，使，求的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $