精品解析：安徽合肥市第四十五中学菱湖分校2026-2027学年度第一学期九年级数学练习单

数学练习单 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次函数图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次项系数的符号判断二次函数图象的开口方向． 【详解】解：A选项二次项系数为，图象开口向上；B、C、D选项二次项系数均小于0，图象开口向下． 2. 将二次函数的图像沿轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”求解． 【详解】解：将函数图象沿x轴向右平移2个单位长度， ∴平移后解析式为：． 3. 如果，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据合分比例性质，可得答案．利用合分比性质是解题关键． 【详解】解： ， 故选：B． 4. 如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是①y=a1x2；②y=a2x2；③y=a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是（ ） A. a1a2a3 B. a1a3a2 C. a3a2a1 D. a2a1a3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：①y=a1x2的开口小于②y=a2x2的开口，则a1a20， ③y=a3x2，开口向下，则a30， 故a1a2a3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键． 5. 某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以每次降价的百分率，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 6. 若，为二次函数图像上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，再求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，为二次函数图像上的两点，且， ∴， 故选：C． 7. 二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 8. 如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（ ） A. 1∶4 B. 2∶5 C. 1∶5 D. 3∶5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理等知识．过点F作交于点G，得到，进一步得到，由得到即可． 【详解】解：∵F是上的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 故选：C 9. 若，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵当时，的值随的增大而增大， ∴当时，， 此时得到最大值． 10. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果是的二次函数，其表达式为，那么的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义，需满足两个条件：自变量的最高次数为，二次项系数不为，据此列等式求解即可得到的值 【详解】解：是的二次函数，表达式为 且， 解得或，且， 的值为． 12. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径与后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 __．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交的图像于B，C两点，若的面积是3，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 【详解】如图所示：连接、， ∵轴， ∴， ∴ ， 又∵的面积是3， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义常考的几种类型是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．已知抛物线． （1）当时，该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）的整点有_____个； （2）若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，则的范围是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，然后确定抛物线与直线的交点坐标，再结合图象求解． 【详解】解：（1）当时，此时抛物线为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 令得，，即，解得，， 令得，，则整点有，； 令得，，则整点有，，； 令得，，则整点有，； ∴该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）的整点有：，共个整点； （2）， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有，，，四个整点， 如图：当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有一个整点； 结合图象可知，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是． （1）求这个二次函数的表达式． （2）求该抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2）该抛物线的顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）把时，函数值是4；当时，函数值是分别代入列出方程组，解出即可得二次函数的表达式． （2）把（1）的二次函数表达式配方后得，即可得抛物线的顶点坐标． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得： ∴， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：根据（1）得：二次函数的表达式为， 配方得， ∴该抛物线的顶点坐标为． 16. 已知二次函数． （1）列表如下： 0 2 4 0 0 请将表格填写完整； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 0 1 2 3 4 3 0 0 3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别将x的值代入计算即可； （2）根据列表、描点、连线的步骤即可作图； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 令， 解得或， 填表略； 【小问2详解】 解：由（1）得， 二次函数经过点，对称轴为， 当时，，即顶点坐标为，描点并连线如图所示，图略； 【小问3详解】 解：由图可知，当，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． （1）求h与之间的函数关系式； （2）当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少． 【答案】（1） （2）密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了3cm 【解析】 【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【小问1详解】 解：设h与之间的函数关系式为（）． 由题可知，图象过， 将，代入， 得． 解得． 所以h与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，． ． 答：密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了． 18. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）利用图象求不等式的解集； （3）设直线交轴于点，利用求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比例函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ， 根据图象得：或； 【小问3详解】 解：把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 20. 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 七、（本题满分12分） 22. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 【答案】（1） （2）该商品日销售利润的最大值为6250元 （3） 【解析】 【分析】（1）先设y关于x的函数关系式为，然后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出w的解析式，再根据抛物线的图像和性质作答即可； （3）设利润为元，根据题意得的解析式，再求出对称轴，再根据抛物线的图像和性质作答即可． 【小问1详解】 解：设日销售量（件）与销售单价（元）之间满足的一次函数解析式为，把，代入得：， 解得：，， 解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得该商品的成本单价是 元． ， ， 当时，最大，最大值为， 答：该商品日销售利润的最大值为元； 【小问3详解】 解：设利润为元，根据题意可得： ， 对称轴为． ∵销售单价不低于68元，即， ∵日销售量， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴，且开口向下， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值为6600， ∴， ∴． 八、（本题满分12分） 23. 已知二次函数． （1）若，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： （3）将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或且 【解析】 【分析】（1）当时，，令，求出对应的自变量取值，即可得到与x轴的交点坐标； （2）将函数化为顶点式，得出抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小，进而求出时，y的最大值与最小值，即可得解； （3）根据与轴的交点可得，图象G与直线始终有1个交点，分两种情况讨论：当时，在处图象上的点需在直线上或它的上方；当时，在处图象上的点需在直线上或它的下方，再考虑直线与图象相切时只有1个交点，即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， 令，则， 解得：，， 此函数与x轴的交点坐标为，； 【小问2详解】 解：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小， 当时，为最大值； ， 当时，为最小值 时，y的最大值与最小值的差为5， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 令，则， 直线与x轴的交点坐标为， 图象与直线始终有1个交点， 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：； 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：， 当时，整理得，， 若直线与图象相切，则， 整理得，，即 解得：，此时只有1个交点， 综上可知，若图象G与直线有2个不同的交点，a的取值范围为或且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习单 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次函数图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数的图像沿轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是①y=a1x2；②y=a2x2；③y=a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是（ ） A. a1a2a3 B. a1a3a2 C. a3a2a1 D. a2a1a3 5. 某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 6. 若，为二次函数图像上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（ ） A. 1∶4 B. 2∶5 C. 1∶5 D. 3∶5 9. 若，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 10. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果是的二次函数，其表达式为，那么的值为_______． 12. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径与后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 __．（结果保留根号） 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交的图像于B，C两点，若的面积是3，则k的值为_________． 14. 在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．已知抛物线． （1）当时，该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）的整点有_____个； （2）若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，则的范围是_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是． （1）求这个二次函数的表达式． （2）求该抛物线的顶点坐标． 16. 已知二次函数． （1）列表如下： 0 2 4 0 0 请将表格填写完整； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． （1）求h与之间的函数关系式； （2）当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少． 18. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）求的面积． 20. 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 六、（本题满分12分） 21. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 七、（本题满分12分） 22. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 八、（本题满分12分） 23. 已知二次函数． （1）若，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： （3）将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $