1.2.2 与数轴有关的培优专项训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

与数轴有关的专项训练 1．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______． (2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值． (3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？ 2．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移变换． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是_________； ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是_________； (2)翻折变换． ①若折叠数轴，使表示的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示_________的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧，且折叠点与①相同），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示_________，点B表示_________； (3)如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在数轴上，并且．求点C表示的数． 3．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】 如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏． 每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果按如下方式进行移动． 若都对或都错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位； 若甲对乙错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向正半轴方向移动个单位； 若甲错乙对，则甲向负半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位． 注：每次移动均从上一次移动结束的位置开始． 前三次游戏如表： 第一次 第二次 第三次 … 甲乙都对 甲对乙错 甲错乙对 … 【问题解决】 (1)从如图所示的位置开始，分别求第一次游戏后甲、乙两人在数轴上的位置所表示的数； (2)从如图所示的位置开始，从前三次游戏看，第几次游戏后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图位置开始进行游戏，请求出共进行了多少次移动游戏，甲与乙的位置会相距个单位？ 4．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 5．（26-27七年级上·吉林松原·阶段检测）如图，数轴上，点与点对应的数分别是，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（点在点的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为__________个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足点与点的距离等于点与点距离的倍时，求此时点对应的数； (3)当点对应的数为时，作为起始位置，直尺以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点不与点、重合，请直接写出所有满足条件的的值． 6．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 8．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 9．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 11．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）综合与实践 综合实践 数学探究性学习单 背景材料 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离． 任务一 （1）先把下列各数在数轴上表示出来：3.5，，，，，再用“”把这些数从小到大排列起来． 特例研究 （2）数轴上的点，，，，分别表示，，，，3.5，求有理数与3.5对应的两点，之间的距离（表示为）． 任务二 （3）若数轴上，两个不同点分别表示有理数和，求，两点之间的距离． 应用拓展 （4）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 12．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 13．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）数轴上，把点A表示的数记为a，点B表示的数记为b．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点A、B之间的距离记作或．例如：当，时，点A，B之间的距离；当，时，点A，B之间的距离；当，时，点A，B之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离|或． 如图，数轴上点A，B分别表示数，2． (1)填空：______； (2)若C点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点C表示的数是______，点D表示的数是______，点C，D之间的距离______（用含有t的代数式表示）； ②移动中，若点C，D之间相距4个单位长度，求t的值； ③在点C，D出发的同时点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值？请分析并说明理由． 14．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 15．（25-26七年级上·全国·期末）【背景知识】 在数轴上，对于不重合的三点M、N、P，我们给出如下定义：若点P到点M、N的距离之和是即（），我们就把点M、N叫作点P的“伴随点”． 例如：如图1，若点P表示的数是，点P到表示的数是的点M与表示的数是6的点N的距离之和，则点M、N是点P的“伴随点”． 【问题情境】 已知：不重合的点A、B、C在数轴上，点A表示的数是. 【综合运用】 (1)数轴上有三点H、G、K，它们表示的数分别是5、7、9，其中有两个点是点A的“伴随点”，则这两个点分别是________． (2)如图2，若点B表示的数是8，点B、C是点A的“伴随点”． ①点C在数轴上表示的数是________． ②若点C在点A的左侧，点E表示的数是m，点F表示的数是，点E、F是点C的“伴随点”，求m的值． 16．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M，N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点A，B，C表示的数分别是． (1)点到原点的距离是__________，A，C两点之间的距离是__________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，t秒后，求点表示的数是多少？（用含t的式子表示） (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 17．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球A、B、C，轨道两端各有一个挡板M和N，挡板间的距离为．其中C到左挡板M的距离为，B到右挡板N的距离为，A、C两球相距．现以轨道所在直线画数轴，A球在原点，B球表示的数为40，解答下列问题： (1)C球表示的数为________，左挡板M表示的数为________； (2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设A、B两球同时开始运动，运动时间为t秒． 若A球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动，当A、B两球相撞时停止运动． ①当B球撞到挡板N时，________； ②令，其中，表示点A、M之间的距离，表示点B、N之间的距离．请探究在运动过程中，m与t的数量关系； ③当三个球运动的路程和为时，求此时正在运动的球表示的数是什么？ 18．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 19．（25-26七年级上·全国·期中）【问题情境】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题初探】 (1)请在图中表示出，，三点的位置； (2)点到点的距离______，点到点的距离______； (3)【深入探究】 若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点，从点，点分别以每秒个单位长度、每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒．在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 20．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则______； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，当秒时，试推出，，之间的数量关系． 21．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 22．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 24．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即．如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是3的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数． (1)______，______，______． (2)是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (3)如图③，，，是数轴上的三点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是6，点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设运动后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出的值． 25．（25-26七年级上·广东深圳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 ； ②在①的情况下， 如果， 那么x为 ； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点、、分别表示数、、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台、、、、，一只配件箱应该放在工作台____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 26．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 27．（25-26七年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______； (3)若，则x的值为______； (4)当______时，的值最小，且最小值是______； (5)设，当Q的值最小时，整数x所有可能的值的和为______． 28．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，点、、在数轴上对应的数分别为，，，点、、是数轴上的任意三个点． 【初步探究】 （1）若点到点、的距离相等，则点表示的数为___________； （2）若点到点、的距离相等，点在点左侧，且点到点的距离为，用含的代数式表示点到点的距离；（化为最简形式） 【拓展提升】 （3）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，三点同时出发，经过秒时． ①用含的代数式表示代数式点、之间的距离；（化为最简形式） ②若点之间的距离记为，点、之间的距离记为，求的值． 29．（25-26七年级上·重庆大渡口·期中）如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则 ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)由第（1）小题可以发现，．若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，，，之间是否存在类似于（1）的数量关系？若存在，请直接写出答案，若不存在，请说明理由． 30．（25-26七年级上·广东湛江·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是1，点与点之间的距离是，点与点的中点表示的数为． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．如图2所示； 【初步理解】 （1）若点表示的数是表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是__________，点关于点的二次跳跃点表示的数是__________，线段的长度为__________． 【深入探究】 （2）若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 （3）若在数轴上点M，P分别表示有理数m，p（其中），点为点关于点的二次跳跃点，求线段的长度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）先根据点A到原点距离求出点B表示的数，再利用点C是中点求点C表示的数； （2）先由平移算出m的值，再代入代数式，根据绝对值法则化简求值； （3）先分点在点B左侧或右侧两种情况算出点表示的数，再利用折叠后折点C是的中点求出点C． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为， ∴点A到原点O的距离为， ∵点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍， ∴点B到原点O的距离为， ∵点A在点B的左侧， ∴数轴上点B对应的数是； ∵点A表示的数为，数轴上点B对应的数是， ∴， ∵点C到点A、B的距离相等，， ∴点C对应的数是； （2）解：∵点A表示的数为，设点B表示的数为m，动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当点在点B左侧时，点表示的数为，， 由折叠可知，点C为中点，， ∴点C表示的数是； ②当点在点B右侧时，点表示的数为，， 由折叠可知，点C为中点，， ∴点C表示的数是； 综上，C表示的数是或． 2．(1)①；② (2)①；②，1013 (3)或 【分析】（1）①规定数轴负方向移动记作负数、正方向记作正数，根据移动过程列出加法算式计算 ；②寻找跳动周期规律，每两次跳动整体向右移动1个单位，用总次数除以2算出周期组数得到结果； （2）①先求折叠中心点，利用折叠两点到折点距离相等，求出与重合的数；②折点不变，由A、B距离算出两点到折点的距离，结合A在B左侧求出两点数值； （3）先算出A、B距离，根据折叠性质得到，再结合得到，最后算出C代表的数． 【详解】（1）解：①从原点处先向负方向移动4个单位长度为， 再向正方向移动1个单位长度为， 故用算式表示为； ②由题意得机器人每跳两次后向右移动1个单位， ， 当它跳次时，向右移动个单位， 当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是； （2）解：①折叠纸条后表示的点与表示3的点重合， 是从表示的点折叠的， ， 表示7的点与表示的点重合； ②数轴上、两点之间的距离为（折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合， 、两点分别距表示的点个单位， 在的左侧， 点表示，点表示； （3）解：点、表示的数分别是、，以点为折点，将数轴向右对折，点对应的点落在数轴上， ，， ①当点在点的右侧时： 比大， ∴， 即， 点表示的数为； ②当点在点的左侧时： 比大， ∴， 即， 点表示的数为． 综上：点表示的数为或． 3．(1)， (2)第二次游戏后甲离原点最近，离原点距离为 (3)次或次 【分析】（1）根据“甲乙都对”的移动规则，在初始位置基础上分别加减移动量，算出移动后甲乙对应的数轴数； （2）按表格顺序逐次算出每次游戏后甲的位置，计算各位置到原点的距离，对比找出最小值； （3）先求出初始距离，根据题意可知每轮距离都减少，分间距减少个和个单位两种情况计算游戏次数． 【详解】（1）解：根据题意可知，第一次甲乙都对， 则甲的位置为，乙的位置为． （2）解：据（1）可知，第一次游戏后，甲的位置为，离原点距离为， 第二次游戏，甲对乙错，甲的位置为，离原点距离为， 第三次游戏，甲错乙对，甲的位置为，离原点距离为， 可知第二次游戏后甲离原点最近，离原点距离为． （3）解：据题可知， 甲乙两人最初相距个单位，甲乙同时答对或答错，距离减少个单位，甲乙一对一错，距离同样减少个单位， 当两人相距个单位时，间距需要减少个或个单位， ，， 故共进行了次或次游戏，甲与乙的位置会相距个单位． 4．(1) (2)B (3)①三；② 【分析】（1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2026表示的点与点B重合； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 5．(1) (2)或 (3)①；②或或 【分析】（）根据题意可得，进而即可求解； （）分点在上和点的左侧两种情况解答即可求解； （）①求出、、三点重合的时间，再表示出点在数轴上对应的数，进而列出方程解答即可求解；②当时，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，再分点是两点中点，点是两点中点，点是两点中点三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∴点对应的数是或， 即点对应的数是或； （3）解：①当点对应的数为时，点运动前表示的数是， ∵直尺以个单位秒的速度沿数轴匀速向右运动， ∴两点重合时秒， ∵点从点出发，以个单位秒的速度也沿数轴匀速向右移动， ∴点在数轴上对应的数为， 若三点恰好在同一时刻重合，则， 解得； ②当时，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 综上，的值为或或． 6．(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 7．(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 8．(1)，5 (2)乙的手势是布，4个单位长度 (3) (4)7或5 【分析】（1）根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为，解答即可； （2）三局后甲对应的数为，乙对应的数为．第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且，解答即可． （3）根据乙赢了n次，则乙输了次，则10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数，由他最终停留的位置对应的数为m，故，根据n是正整数，利用绝对值解答即可． （4）甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或，解答即可． 本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算，绝对值的应用，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3）解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5． 9．(1)21，7 (2)11，18 (3)如下图∶点表示孙子现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄， 则孙子与奶奶的年龄差可以看作木棒，奶奶像孙子那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为；孙子像奶奶那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为； ∴奶奶比孙子大（岁）， ∵，， ∴孙子现在岁，奶奶现在岁． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式可求，再根据题意可知，进而可求出的值； （2）由（1）可得出，再根据数轴上两点之间的距离公式即可得出答案； （3）根据方法画出图形求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为， ∴， ∵， ∴， 即： （2）解：由（1）可得：点所表示的数是：； 点所表示的数是：； （3）略 10．(1)原点、正方向、单位长度 (2) 如图即为所求： (3) B点表示的数为4，如图，在数轴上标出原点O： 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）略 （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 11． （1）在数轴上表示， ． （2）；（3）； （4）不变． 理由如下， 经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是，，，， ， ． 所以的值不会随着时间t的变化而改变． 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点间的距离，整式的加减运算等知识点． （1）先化简各数，再用数轴上的点表示出各数，然后根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数比较出各数大小即可； （2）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （4）先表示出A，B，C三点所对应的数分别是，，，然后利用数轴上两点之间的距离公式表示，即可求解． 【详解】（1）解：略． （2）解：； （3）解：数轴上M，N两个不同点分别表示有理数m和n，则M，N两点之间的距离为； （4）解：略． 12．(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 13．(1)8 (2)①，，；②6或2； ③当时，为定值；当时，为定值，理由如下： 由题意可知，点的数是：， ∴， ∴， ， ∵当时，． 当时，； 当时，． ∴当时，，为定值， ，不是定值， 当时，，不是定值 ，为定值． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）直接根据即可得出答案； （2）①移动过程中点表示的数是，点表示的数是，点，之间的距离，则答案可得；②令，求解即可；③首先求出，然后讨论和的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，． 故答案为：8； （2）解：①根据题意，点表示的数是：，点表示的数是：， ∴点，之间的距离． 故答案为：，，； ②根据题意，可得， ∴， ∴或； ③略 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值方程以及化简绝对值等知识，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解本题的关键． 14．（1）①2，；②③；（2）当点在点右侧时，点与点之间的距离为；当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 【分析】本题考查了代数式，数轴上两点之间的距离，理解互为基准变换点是解题的关键； （1）①根据互为基准变换点的定义求解即可； ②根据①中a，b两数可知，； ③根据②即可用含的式子表示． （2）先根据题意求出点表示的数，再根据③的结论即可求出点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：（1）①当时，，当时，， 故答案为：2，． ②由①中的结论可知与之间的数量关系为， 所以． ③当时，． （2）解：由题意可得，点表示的数为． 因为点与点互为基准变换点， 点与点互为基准变换点， 由②可得点表示的数为． 当点在点右侧时，点与点之间的距离为． 当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 点与点之间的距离为或． 15．(1)，K (2)①6或，②或 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，解含有绝对值的一元一次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据“伴随点”的定义，即可得出答案； （2）①设点对应的数是，根据点、是点的“伴随点”可得，建立方程求解即可； ②根据点、为点的“伴随点”，可得，即，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，，， 且， ∴、为点的“伴随点”， 故答案为：、． （2）解：①设点对应的数是， ∵点、为点的“伴随点”， ∴， 即， 解得：或， 故答案为：或； ②∵在点的左侧， ∴点表示， ∵点E表示的数是m，点F表示的数是 ∴，， ∵点、为点的“伴随点”， ∴， ∴， Ⅰ．当时，， 解得：； Ⅱ．当时，， 此时无解； Ⅲ．当时，， 解得：； 综上，的值为或． 16．(1)； (2)向右运动，秒后点表示的数为；向左运动，秒后点表示的数为 (3)在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是 【分析】本题考查数轴上的动点问题，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点表示的数，再根据点的运动方向及速度即可求解； （3）先求出点表示的数，再计算出每次运动后点表示的数，进而计算出点与点的距离，即可求解． 【详解】（1）点到原点的距离是，、两点之间的距离是， 故答案为：，； （2）解：∵点和点之间的距离是， ∴点表示的数是， ∵动点P从点B出发，速度为2单位每秒， ∴分两种情况：若向右运动，秒后表示的数为， 若向左运动，秒后表示的数为； （3）解：∵点在点的左侧，和点的距离是个单位长度， ∴点表示的数是． ∴第1次运动后点表示的数， 则此时点与点的距离：； 第2次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：； 第3次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：； 第4次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：． ∵， ∴在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是． 17．(1)，； (2)①秒；②；③，． 【分析】（1）由，，可求得，即可得到答案； （2）①根据球以每秒的速度向右运动，,即可得到答案； ②由题意可得A、B两球相撞时的时间秒，此时两球停止运动，然后分、、、四种情况解答即可； ③先求出三个球运动的时间，再分别计算B球向右和A球向左撞到C球的运动路线，求出最终停止时的位置即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 球在原点， 球表示的数为，左挡板M表示的数为； （2）①球以每秒的速度向右运动，, 秒； ②由题意可得：左挡板M表示的数为，C球表示的数为，A球表示的数为0，B球表示的数为40，右挡板N表示的数为130， 当A、B两球相撞时的时间秒，此时两球停止运动， 当时，A球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动， ，， ， ； 当时，A球撞C球后A球停止运动，C球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动， ，， ， ； 当时，A球停止运动，B球撞右挡板N后返回，以每秒的速度向左运动， ，， ， ； 当时，C球撞A球后C球停止运动，A球以每秒的速度向右运动，B球继续以每秒的速度向左运动， ，， ， ； 综上所述，； ③三个球运动的时间为：秒， B球：B到N时间为秒，撞到右挡板返回距离为，此时B球回到位置，B球表示的数为； A球：A球到C球时间为秒，C球到M时间为秒，撞到左挡板返回撞到A球的时间为秒，此时，C球停止， 秒，则A球继续运动秒，此时A球表示的数为． 此时正在运动的球表示的数是，． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离计算，列代数式，掌握相关知识是解题的关键． 18．探索1：秒；探索2：． 【分析】本题主要考查数轴上动点计算问题、数轴上两点间距离问题等知识点，理解题意并掌握相关的知识是解题的关键． 探索1：先求得和的长度，再说明点P在和上的速度为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒，再根据时间、路程、速度的关系列式计算即可； 探索2：由探索1可得P在段运动时间为： 秒，进而得到，结合点B表示12即可解答． 【详解】解：探索1：∵点A表示， 点B表示12， ∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， ∵点B表示12，点C表示24， ∴ 由探索1可得：P在段运动时间为： 秒， ∴， ∴P表示的数为：． 19．(1) ，，三点的位置在数轴上表示如图所示 (2)    (3)的值总等于，保持不变 【分析】本题主要考查数轴、代数式和整式的混合运算： （1）根据题意标注即可； （2），； （3），，， 秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，表示出和的长度，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）， 故答案为：    （3）在运动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，理由如下： 由题意得，，， 所以秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，可得 ， ． 所以． 所以在运动的过程中，的值总等于，保持不变． 20．(1)5； (2)①；②不变，； (3)当时，；当时，． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的两点之间的距离的求法，采用分类讨论的思想解题，是解题此题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点C以每秒5单位长度的速度向右运动，得到运动t秒后，点C表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出，，的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点B、C表示的数分别为1，6， ， 故答案为：5； （2）解：①点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动t秒后，点A表示的数为：，点B表示的数为：， 点A与点B之间的距离为：； ②点C以每秒5单位长度的速度向右运动， 运动t秒后，点C表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动t秒后，点A表示的数为：，点B表示的数为：，点C表示的数为：， ， ， ， 当时，， 当时，， 当时，；当时， 21．(1)；10 (2)或 (3)这个定值为15； 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）先表示出t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为，再根据点与点之间的距离为4个单位长度，列出方程，解方程即可； （3）先表示出t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：，再表示出，然后根据在运动过程中为定值，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是10； （2）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为， ∵点与点之间的距离为4个单位长度， ∴， 解得：或， 即当或时，点与点之间的距离为4个单位长度； （3）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：， 当P、D相遇时，， ∵当相遇时停止运动， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵在运动过程中为定值， ∴， 解得：， ∴这个定值为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，绝对值方程，整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式 22．（1）12，1；（2）①；②存在，，定值为18 【分析】本题考查列代数式，整式加减中的无关型问题，有理数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式，中点公式，是解题的关键： （1）根据倒数和相反数的定义求出，根据两点间的距离公式，中点公式，进行求解即可； （2）①表示出点表示的数，中点公式列出代数式即可； ②根据两点间的距离公式表示出，根据，得到的值与无关，进而得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，， ∴，线段的中点表示的数为； （2）①由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为； ②存在， 当点在点左侧时，点在点的左侧， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴， ∴， ∴． 23．(1) (2)5或1 (3)或 (4)1秒或2秒或3秒或秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的求解方法． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）由得到或，再解方程即可； （3）分类讨论去绝对值，再解一元一次方程即可； （4）点表示的数为，设运动时间为,当时，点表示的数为，点表示的数为，则由题意得，；当时，点表示的数为，点表示的数为，由题意得，，再分别解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为， 故答案为：， 故答案为：； （2）解： 则或 解得或， 故答案为：5或1； （3）解： 时，，解得； 时，，不符合题意，舍； 时，，解得， ∴当或时，， 故答案为：或； （4）解：∵点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧， ∴点表示的数为， 秒， 设运动时间为 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则由题意得，， 即或 解得或； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 即或 解得或， 综上：运动1秒或2秒或3秒或秒后，点P与点Q相距1个单位长度． 24．(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，多项式的定义． （1）根据有理数相关知识，多项式的定义，即可获得答案； （2）根据的范围分类讨论即可； （3）先分别用含的代数式表示出与，再根据的范围去掉绝对值符号，根据的值是一个定值求出m的值． 【详解】（1）解：对于：是3的相反数，所以； 对于：最大的负整数是，所以； 对于：多项式的次数是次数最高项的次数，中次数最高项为， 故； 故答案为：；；； （2）解：当时，，因为，故； 当时，； 当时，，因为，故； 综上，当时，的最小值为． 故答案为：； （3）解：点初始表示，向左运动（速度2单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度3单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度1单位/秒），秒后表示的数为， 根据计算与， ， ， 当时，，， 由于的值是定值，所以， 解得； 当时，，， 由于的值是定值，所以， 解得； 可知若，则当时，不再是定值，不符合运动后，的值是一个定值； 若，则当时，是定值，符合运动后，的值是一个定值； 综上，的值为． 25．(1)①；②5或 (2)①2；②；12； (3)其值不随时间变化，恒为2 【分析】本题考查绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及动点问题，解题的关键是利用＂绝对值表示数轴上两点距离＂的几何意义，结合数轴分析最值或动点的距离变化． （1）①根据绝对值的几何意义求两点距离； ②结合距离列方程求； （2）①利用绝对值的几何意义，分析点在线段上时的距离和最小值； ②利用绝对值的几何意义，求解工作流水线的最短路径问题； （3）表示出动点运动秒后的位置，计算和的长度，再求差值判断是否变化． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点距离，根据绝对值的几何意义，为， ②若，则，解得或，即或， 故答案为：①；②5或； （2）解：①代数式的几何意义是数轴上点到0、1、2的距离之和． 当时，距离和为，此时和最小． 故答案为：2； ②5个工作台、、、、依次间隔2米，相当于数轴上的点，最短路径是将配件箱放在中间位置（即处）． 最短路程为：到的距离到的距离到的距离到的距离米． 故答案为：，12； （3）解：秒后，点的位置：，点的位置：，点的位置：， ， ， 因此， 其值不随时间变化，恒为2． 26．(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）略 27．(1)15； (2)； (3)或； (4)2，4； (5)2026 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）根据的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离即可求解； （2）根据的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离即可求解； （3）由题意可知表示x到和4的距离之和为7，因此分两种情况讨论即可解答； （4）根据题意可知，当时，的值最小，进而求出最小值即可； （5）数轴被，，2026分成四段，对每一段上的x取值进行讨论，去掉绝对值即可求解． 【详解】（1）解：的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． 数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：15； （2）解：的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离， 数轴上表示x和的两点之间的距离， 故答案为：； （3）解：由题意可知表示x到和4的距离之和为7，且， 有两种情况， 当时，，解得； 当时，， 解得， 故答案为：或； （4）解：根据题意可知，表示x到，2，3这3个数的距离最小， 当时，的值最小， 把代入，得最小值为4， 故答案为：2，4； （5）解：，当Q的值最小时，分情况讨论， 当时，， 当时，， 此时， 当时，； 当时，， 取最小值时，， 此时整数x所有可能的值为，，…，2026， ， 故答案为： 28．（1），（2），（3）①，② 【分析】（1）利用中点性质，求的中点，得到表示的数； （2）先求的中点对应的数；再根据到的距离和位置，得出表示的数；最后计算到的距离； （3）①写出秒后、对应的数，作差即得距离；②写出秒后对应的数，分别算、的距离和、的距离，代入代数式计算即可． 【详解】解：（1）∵点到点、的距离相等， ∴点为中点，故点表示的数为， 故答案为：； （2）∵点到点、的距离相等， ∴点为中点，故点表示的数为， ∵点在点左侧，且点到点的距离为， ∴点表示的数为， ∴点到点的距离为； （3）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为， ∴点、之间的距离为； ②由题意得：点表示的数为， ∴点之间的距离， 点、之间的距离， 代入得： ． 【点睛】本题考查了数轴上的中点计算，数轴上两点间的距离表示，动点问题的代数式表示，代数式的化简求值等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 29．(1)3，8 (2)① ②的值不随着运动时间t的变化而改变， (3)当时，成立 【分析】本题考查了两点间距离的计算，代数式的化简与运算．熟练运用数轴两点间距离公式是解题的关键． （1）利用数轴两点间距离公式计算即可； （2）①用含的代数式表示运动后，的位置，再利用距离公式计算即可； ②用含的代数式表示运动后的位置，利用距离公式计算，再用即可； （3）先用含的代数式表示运动后，，的位置，分，两种情况讨论，利用距离公式分别计算出，，即可判断它们之间的关系． 【详解】（1）解：，． 故答案为3，8． （2）解：①点向左运动，秒后位置为， 点向右运动，秒后位置为， ； ②点向右运动，秒后位置为， ， 的值不随着运动时间t的变化而改变，． （3）解：设运动时间为， 点向左运动，其位置为， 点向右运动，其位置为， 点向右运动，其位置为， ， 当时，在右侧， ， 当时，在右侧， ， ， 当时， ，此时成立； 当时， ，此时不成立； 综上所述，当时，成立． 30．（1）2，10，12；（2）不变，；（3） 【分析】（1）易得表示的数是，结合题意并根据数轴上两点之间的距离公式得出，进而即可得出表示的数，最后再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）由题意可得点表示的数是，再分两种情况：若，若，分别计算即可得解； （3）由题意可得一次跳跃点表示的数是，结合，点与点位于点的两侧，得出点是的中点，由此计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意，表示的数是， ∵表示的数是6， ∴， ∴， ∴表示的数是， ∴线段的长度为； （2）的值不发生变化，，理由如下： 由题意可得：点表示的数是， 若，如图所示： ∵， ∴，即点表示的数是， ∴； 若，如图所示： ∵，点与点位于点的两侧， ∴， ∴，即点表示的数是， ∴； 综上所述，的值不发生变化，； （3）∵点表示的数是， ∴一次跳跃点表示的数是， ∵，点与点位于点的两侧， ∴点是的中点， ∵点表示的数是， ∴点表示的数是， ∴． 【点睛】本题利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与数轴有关的专项训练 1．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______． (2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值． (3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？ 2．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移变换． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是_________； ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是_________； (2)翻折变换． ①若折叠数轴，使表示的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示_________的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧，且折叠点与①相同），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示_________，点B表示_________； (3)如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在数轴上，并且．求点C表示的数． 3．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】 如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏． 每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果按如下方式进行移动． 若都对或都错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位； 若甲对乙错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向正半轴方向移动个单位； 若甲错乙对，则甲向负半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位． 注：每次移动均从上一次移动结束的位置开始． 前三次游戏如表： 第一次 第二次 第三次 … 甲乙都对 甲对乙错 甲错乙对 … 【问题解决】 (1)从如图所示的位置开始，分别求第一次游戏后甲、乙两人在数轴上的位置所表示的数； (2)从如图所示的位置开始，从前三次游戏看，第几次游戏后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图位置开始进行游戏，请求出共进行了多少次移动游戏，甲与乙的位置会相距个单位？ 4．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 5．（26-27七年级上·吉林松原·阶段检测）如图，数轴上，点与点对应的数分别是，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（点在点的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为__________个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足点与点的距离等于点与点距离的倍时，求此时点对应的数； (3)当点对应的数为时，作为起始位置，直尺以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点不与点、重合，请直接写出所有满足条件的的值． 6．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 8．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 9．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 11．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）综合与实践 综合实践 数学探究性学习单 背景材料 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离． 任务一 （1）先把下列各数在数轴上表示出来：3.5，，，，，再用“”把这些数从小到大排列起来． 特例研究 （2）数轴上的点，，，，分别表示，，，，3.5，求有理数与3.5对应的两点，之间的距离（表示为）． 任务二 （3）若数轴上，两个不同点分别表示有理数和，求，两点之间的距离． 应用拓展 （4）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 12．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 13．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）数轴上，把点A表示的数记为a，点B表示的数记为b．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点A、B之间的距离记作或．例如：当，时，点A，B之间的距离；当，时，点A，B之间的距离；当，时，点A，B之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离|或． 如图，数轴上点A，B分别表示数，2． (1)填空：______； (2)若C点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点C表示的数是______，点D表示的数是______，点C，D之间的距离______（用含有t的代数式表示）； ②移动中，若点C，D之间相距4个单位长度，求t的值； ③在点C，D出发的同时点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值？请分析并说明理由． 14．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 15．（25-26七年级上·全国·期末）【背景知识】 在数轴上，对于不重合的三点M、N、P，我们给出如下定义：若点P到点M、N的距离之和是即（），我们就把点M、N叫作点P的“伴随点”． 例如：如图1，若点P表示的数是，点P到表示的数是的点M与表示的数是6的点N的距离之和，则点M、N是点P的“伴随点”． 【问题情境】 已知：不重合的点A、B、C在数轴上，点A表示的数是. 【综合运用】 (1)数轴上有三点H、G、K，它们表示的数分别是5、7、9，其中有两个点是点A的“伴随点”，则这两个点分别是________． (2)如图2，若点B表示的数是8，点B、C是点A的“伴随点”． ①点C在数轴上表示的数是________． ②若点C在点A的左侧，点E表示的数是m，点F表示的数是，点E、F是点C的“伴随点”，求m的值． 16．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M，N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点A，B，C表示的数分别是． (1)点到原点的距离是__________，A，C两点之间的距离是__________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，t秒后，求点表示的数是多少？（用含t的式子表示） (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 17．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球A、B、C，轨道两端各有一个挡板M和N，挡板间的距离为．其中C到左挡板M的距离为，B到右挡板N的距离为，A、C两球相距．现以轨道所在直线画数轴，A球在原点，B球表示的数为40，解答下列问题： (1)C球表示的数为________，左挡板M表示的数为________； (2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设A、B两球同时开始运动，运动时间为t秒． 若A球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动，当A、B两球相撞时停止运动． ①当B球撞到挡板N时，________； ②令，其中，表示点A、M之间的距离，表示点B、N之间的距离．请探究在运动过程中，m与t的数量关系； ③当三个球运动的路程和为时，求此时正在运动的球表示的数是什么？ 18．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 19．（25-26七年级上·全国·期中）【问题情境】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题初探】 (1)请在图中表示出，，三点的位置； (2)点到点的距离______，点到点的距离______； (3)【深入探究】 若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点，从点，点分别以每秒个单位长度、每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒．在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 20．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则______； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，当秒时，试推出，，之间的数量关系． 21．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 22．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 24．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即．如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是3的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数． (1)______，______，______． (2)是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (3)如图③，，，是数轴上的三点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是6，点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设运动后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出的值． 25．（25-26七年级上·广东深圳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 ； ②在①的情况下， 如果， 那么x为 ； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点、、分别表示数、、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台、、、、，一只配件箱应该放在工作台____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 26．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 27．（25-26七年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______； (3)若，则x的值为______； (4)当______时，的值最小，且最小值是______； (5)设，当Q的值最小时，整数x所有可能的值的和为______． 28．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，点、、在数轴上对应的数分别为，，，点、、是数轴上的任意三个点． 【初步探究】 （1）若点到点、的距离相等，则点表示的数为___________； （2）若点到点、的距离相等，点在点左侧，且点到点的距离为，用含的代数式表示点到点的距离；（化为最简形式） 【拓展提升】 （3）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，三点同时出发，经过秒时． ①用含的代数式表示代数式点、之间的距离；（化为最简形式） ②若点之间的距离记为，点、之间的距离记为，求的值． 29．（25-26七年级上·重庆大渡口·期中）如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则 ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)由第（1）小题可以发现，．若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，，，之间是否存在类似于（1）的数量关系？若存在，请直接写出答案，若不存在，请说明理由． 30．（25-26七年级上·广东湛江·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是1，点与点之间的距离是，点与点的中点表示的数为． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．如图2所示； 【初步理解】 （1）若点表示的数是表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是__________，点关于点的二次跳跃点表示的数是__________，线段的长度为__________． 【深入探究】 （2）若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 （3）若在数轴上点M，P分别表示有理数m，p（其中），点为点关于点的二次跳跃点，求线段的长度． 试题第1页（共2页） 试题第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $