第3章 圆 期中复习单元专题卷 - 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

《圆》期中复习单元专题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下面各说法中，正确的是（　　） A．直径是半径的2倍 B．所有的半径都相等 C．两端都在圆上的线段中，直径最长 D．通过圆心的线段叫做直径 【解析】根据点与圆的位置关系以及圆的基本概念，对四个选项逐一判断． 【详解】解：A、直径等于半径的2倍必须限定在"同圆或等圆"中，原说法不严谨，不符合题意； B、各条半径都相等同样缺少"同圆或等圆"的前提，原说法不严谨，不符合题意； C、两端都在圆上的线段中，直径过圆心因而最长，说法正确，符合题意； D、直径要求"经过圆心且两端都在圆上"，选项漏去"两端都在圆上"，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 2．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠OBC＝40°，则∠ADC的度数为（　　） A．50° B．25° C．30° D．35° 【解析】连接OC，设OA交BC于点E．由垂径定理得，且∠OEB＝90°，于是∠AOC＝∠AOB＝90°－∠OBC＝50°；再由圆周角定理得∠ADC∠AOC＝25°． 【详解】解：连接OC，设OA交BC于点E， ∵BC是⊙O的弦，OA是⊙O的半径，且OA⊥BC于点E， ∴，∠OEB＝90°， ∵∠OBC＝40°， ∴∠AOC＝∠AOB＝90°﹣∠OBC＝90°﹣40°＝50°， ∵∠ADC是所对的圆周角，∠AOC是所对的圆心角， ∴∠ADC∠AOC50°＝25°， 故选：B． 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠D＝64°，则∠BAC＝（　　） A．32° B．30° C．28° D．26° 【解析】连接BC，由AB是直径得∠ACB＝90°，由同弧所对的圆周角相等得∠B＝∠D＝64°，再用直角三角形两锐角互余求∠BAC． 【详解】解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E， ∴∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝64°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣64°＝26°， 故选：D． 4．如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，AD与⊙O相交于点E，则DE﹣AE为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】连接EC，由∠ADC＝90°知EC是⊙O的直径；设⊙O与AB相切于点F，连接FO并延长交DC于G，由切线的性质得FG⊥AB，又AB∥DC∴FG⊥DC，由垂径定理得；设半径为r，在Rt△OGC中由勾股定理列方程求出r＝5，得EC＝10，再用勾股定理求出ED＝6、AE＝2，即可算出DE－AE． 【详解】解：∵四边形ABCD是边长为8的正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°， 连接EC， ∵∠ADC＝90°， ∴EC是⊙O的直径， ∴O点是EC的中点， ∵⊙O与直线AB相切， 设⊙O与AB边的切点为F，连接FO并延长，交DC于G点， 则FG⊥AB， ∵AB∥DC， ∴FG⊥DC， ∴四边形FBCG是矩形，且， ∴FG＝BC＝8， 设⊙O的半径为r，则OG＝8﹣r，OF＝OC＝r， 在Rt△OGC中，OG2+GC2＝OC2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， 解得r＝5， ∴EC＝2r＝10， ∴， ∴AE＝AD﹣ED＝8﹣6＝2， ∴DE﹣AE＝6﹣2＝4． 故选：B． 5．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，连接AB，AC．若∠BAC＝20°，，则∠OAC的度数为（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【解析】由圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝40°，再依据圆心角、弧、弦的关系得∠AOB＝2∠BOC＝80°，从而∠AOC＝120°，最后由OA＝OC及三角形内角和定理求∠OAC． 【详解】解：由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝40°， ∵2， ∴∠AOB＝2∠BOC＝80°， ∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝120°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣120°）＝30°， 故选：D． 6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（　　） A．110° B．100° C．80° D．70° 【解析】直接用圆内接四边形的对角互补计算∠B． 【详解】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠B＝180°， ∵∠D＝70°， ∴∠B＝180°﹣70°＝110°， 故选：A． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB、BC分别交⊙O于点D、E，AC为⊙O的直径，连接AE，若∠BED＝45°，AB＝8，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D．4π 【解析】连接OE、OD，由AC是直径得∠AEC＝90°，结合AB＝AC知AE是△ABC的中线，又O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线、OE∥AB，得S△ADE＝S△AOD，于是阴影部分面积转化为S扇形OAD，再用扇形面积公式计算． 【详解】解：连接OE、OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∵在△ABC中，AB＝AC， ∴AE是△ABC的中线， ∵O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△ADE＝S△AOD， ∴阴影部分的面积＝S扇形OAD， ∵∠BED＝45°， ∴∠CED＝180°﹣45°＝135°， ∵四边形ADEC是圆内接四边形， ∴∠BAC＝45°， ∵OA＝DO， ∴∠OAD＝∠ODA＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∵AB＝8， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为4π． 故选：D． 8．如图，∠O＝30°，P为边OA上的一点，且OP＝5，若以P为圆心，r为半径的圆与射线OB只有一个公共点，则半径r的取值范围是（　　） A．r＝5 B．r C． D．或r＞5 【解析】先求出点P到射线OB的距离PC，再分⊙P与射线OB相切、以及半径大于OP两种情形讨论公共点的个数． 【详解】解：∠O＝30°，P为边OA上的一点，且OP＝5，如图，过点P作PC⊥OB于点C，则， 即当时，此时⊙P与射线OB只有一个公共点； 如图，当r＞5时，则⊙P与射线OB只有一个公共点，此时r＞5； 综上，当或r＞5时，⊙P与射线OB只有一个公共点． 故选：D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB对圆心角是　 　 度． 【解析】画出图形后，弦AB与两条半径恰好构成等边三角形，由等边三角形的性质即可得圆心角的度数． 【详解】解：如图， ∵AB＝OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， 即弦AB所对圆心角的度数为60°． 故答案为：60． 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P，且AP＝1，BP＝5，且∠DPB＝45°，则弦CD的长为　　 ． 【解析】过点O作OE⊥CD于点E，连接OD．由AP＝1、BP＝5得直径AB＝6、半径OD＝3、OP＝2；由垂径定理得CD＝2DE，又∠DPB＝45°知△POE是等腰直角三角形，求出OE后用勾股定理求DE即可． 【详解】解：AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD， ∵AP＝1，BP＝5， ∴AB＝AP+BP＝6， ∵AB是⊙O的直径， ∴， ∴OP＝OA﹣AP＝2； ∵OE⊥CD， ∴∠OEP＝∠OED＝90°，CD＝2DE， ∵∠DPB＝45°， ∴△POE是等腰直角三角形， ∴EP＝OE， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，AB为弦，若∠ABC＝20°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为　 　 边形． 【解析】连接AO、CO，构造弦AC所对的圆心角，由圆周角定理求出∠AOC，再用360°除以∠AOC即得正多边形的边数． 【详解】解：连接AO，CO， ∵∠ABC＝20°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝40°， ∴9， ∴AC是正九边形的一条边． 故答案为：九． 12．已知直角三角形的两直角边分别长为15，8，则其内切圆的半径为　 　 ． 【解析】先用勾股定理求出斜边，再设内切圆半径为r，由切线长定理列出关于r的方程求解． 【详解】解：直角三角形的斜边长为17， 设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r＝17， 解得r＝3． 答：内切圆的半径为3， 故答案为：3． 13．圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为1cm，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是　 　 °． 【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于母线长、弧长等于底面圆周长，按弧长公式列方程求圆心角n． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角是n°， 则2π×1， 解得n＝90， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角度数是90°． 故答案为：90． 14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝120°，则∠DAE的度数是　 　 ． 【解析】由圆内接四边形对角互补求出∠BAD＝60°，由BE是直径得∠BAE＝90°，两角相减即得∠DAE． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝120°， ∴∠BAD＝60°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°， 故答案为：30°． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，平面上有一点P，AP＝1，连接AP，BP，取BP的中点G．连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是　 　 ． 【解析】取AB的中点H，连接GH、CH．由勾股定理得，由三角形中位线性质得，∴点G在以H为圆心、为半径的圆上；当点C、H、G依次共线时CG最长，再利用直角三角形斜边上的中线求出CH即可求解． 【详解】解：取AB的中点H，连接GH，如图所示： ∵BC＝12，∠ACB＝90°，AC＝5， ∴， ∵点H为AB中点，点G为BP中点， ∴GH为△ABP的中位线， ∴， 则点G在以点H为圆心，为半径的圆上， 如图，连接CH， ∵△ABC为直角三角形，H为AB的中点， ∴， 当点C、H、G三点依次共线时CG最长， ∴CG的最大值为． 故答案为：7． 16．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为　 　 ． 【解析】在y轴上截取OQ＝OA，连接PQ、BQ、PB，由三角形中位线定理得OCPQ，由勾股定理求出BQ，由三角形三边关系得PQ≥BQ－PB2，∴OC1，即得OC的最小值． 【详解】解：在y轴上截取OQ＝OA，连接PQ，BQ，PB， ∵点C为AP的中点， ∴OC是△APQ的中位线， ∴OCPQ， ∵点A、B的坐标分别是（0，3），B（5，0）， ∴OA＝3，OB＝5， 由勾股定理得到：BQ， ∵⊙B的半径是2， ∴PB＝2， 由三角形三边关系定理得到：PQ≥BQ﹣PB2， ∴OC1， ∴OC的最小值为1． 故答案为：1． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）已知：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P＝60°，PA＝10cm，求AB的长． 【解析】由切线长定理得PA＝PB，再由∠P＝60°判定△PAB是等边三角形，即可得到AB的长． 【详解】解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B， ∴PA＝PB， ∵∠P＝60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴AB＝PA＝10cm． 18．（本题6分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB，∠D＝50°，求∠BAC和的度数． 【解析】连接BD，设AB与CD交于点E，先由DC⊥AB、∠ODC＝50°求出∠DOB＝40°，再由OB＝OD求出∠ODB，得到∠CDB＝20°，由圆周角定理得∠BAC，最后由垂径定理得出所求弧的度数． 【详解】解：线段AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB，连接BD，设AB与CD交于点E， ∵DC⊥AB，∠ODC＝50°， ∴∠DOB＝90°﹣∠ODC＝40°， ∵OB＝OD， ∴， ∴∠CDB＝∠ODB﹣∠ODC＝70°﹣50°＝20°， ∴根据圆周角定理可得∠BAC＝∠CDB＝20°， ∵线段AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB， ∴， ∵的度数等于∠DOB＝40°， ∴的度数为2×40°＝80°． 答：∠BAC＝20°，的度数是80°． 19．（本题6分）如图，点P是直角坐标系第三象限内的一个点． （1）求作⊙M，使得⊙M经过O、P两点且圆心在x轴上； （用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P的坐标为（﹣4，﹣2），求⊙M的半径． 【解析】（1）到O、P两点距离相等的圆心必在线段OP的垂直平分线上，作OP的垂直平分线交x轴于点M，再以M为圆心、OM的长为半径画圆； （2）设点M的坐标为（m，0），由PM＝OM即PM2＝OM2列出关于m的方程，解方程即可得圆心坐标与半径． 【详解】（1）解：如图所示，⊙M即为所求； （2）设点M的坐标为（m，0）， ∵PM2＝OM2， ∴（﹣m）2＝（﹣4﹣m）2+（﹣2﹣0）2， ∴m2＝m2+8m+16+4， 解得m＝﹣2.5， ∴圆心M的坐标为（﹣2.5，0）． ∴⊙M的半径为2.5． 20．（本题6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AE＝2，CD＝8，求直径AB的长． 【解析】连接OC，由垂径定理得CE＝DECD＝4；设半径为OA，则OE＝OA－2，在Rt△OEC中由勾股定理列方程（OA－2）2+42＝OA2求出OA＝5，从而AB＝2OA＝10． 【详解】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝8， ∴∠OEC＝90°，CE＝DECD8＝4， ∵AE＝2， ∴OE＝OA﹣2， ∵OE2+CE2＝OC2，且OC＝OA， ∴（OA﹣2）2+42＝OA2， 解得OA＝5， ∴AB＝2OA＝2×5＝10， ∴直径AB的长为10． 21．（本题7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD． （1）求证：∠AGD＝∠ADC； （2）若AE＝9，BE＝1，求CD的长． 【解析】（1）由垂径定理可得，再利用同弧所对的圆周角相等即可得证； （2）连接OC，先由AE＝9、BE＝1求出半径和OE，再用勾股定理求出CE，最后由垂径定理得CD＝2CE． 【详解】（1）证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径， ∴， ∴∠ADC＝∠AGD； （2）如图，连接OC， ∵AE＝9，BE＝1， ∴AB＝AE+BE＝9+1＝10， ∴， ∴OE＝OB﹣BE＝5﹣1＝4， ∵CD⊥AB， ∴， ∴CD＝2CE＝6． 22．（本题7分）如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD＝∠CAE．求证： （1）CD是⊙O的切线； （2）△CEF是等腰三角形． 【解析】（1）连接OC，由C是BF的中点、O是AB的中点得OC∥AF，故∠CAE＝∠ACO，结合∠BCD＝∠CAE得∠ACO＝∠BCD；再由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，推出∠OCD＝90°，即可判定CD是⊙O的切线； （2）由C是BF的中点且AC⊥BF得AF＝AB、∠F＝∠ABC；再由四边形ABCE内接于⊙O得∠ABC＝∠FEC，从而∠F＝∠FEC，即可判定△CEF是等腰三角形． 【详解】证明：（1）连接OC，如图， ∵C是BF的中点，O是AB的中点， ∴OC∥AF， ∴∠CAE＝∠ACO， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠ACO＝∠BCD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 即∠ACO+∠BCO＝90°， ∴∠BCD+∠BCO＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）∵点C是BF的中点，∠ACB＝90°，即AC⊥BF， ∴AF＝AB， ∴∠F＝∠ABC， ∵四边形ABCE内接于⊙O， ∴∠ABC＝∠FEC， ∴∠F＝∠FEC， ∴△CEF是等腰三角形． 23．（本题7分）如图，小明把折扇完全打开后，测得AB与AC的夹角为150°，AB的长为30cm，BD的长为20cm．求折扇的一面上贴纸部分的面积（结果精确到0.1cm2）． 【解析】贴纸部分是由两个同心扇形围成的扇环，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可求得． 【详解】解：∵AD＝AB－BD＝30－20＝10（cm）， ∴S贴纸1047.2（cm2）． 24．（本题7分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，连接DB并延长，交⊙O于点E，连接CE． （1）求证：CE＝CD； （2）若所对圆心角的度数为120°，AD＝6，求⊙O的半径． 【解析】（1）连接BC，由AB是直径得∠ACB＝90°，结合AC＝CD知BC垂直平分AD，故BA＝BD、∠A＝∠D；再由同弧所对的圆周角相等得∠A＝∠CED，于是∠CED＝∠D，即可证明CE＝CD； （2）由AD＝6先求得AC＝3，连接OE、BC，依题意所对圆心角为120°得∠AOE＝120°，由圆周角定理得∠ABE＝60°，结合三角形外角的性质与（1）的结论得∠A＝∠D＝30°，再用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出AB，即可得半径． 【详解】（1）证明：如图，连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD ∵点D是弦AC延长线上一点，AC＝CD， ∴BC垂直平分AD， ∴BA＝BD， ∴∠A＝∠D， ∵∠A＝∠CED， ∴∠CED＝∠D， ∴CE＝CD； （2）解：∵AC＝CD，AD＝6， ∴， 如图，连接OE，BC， ∵所对圆心角的度数为120°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠ABE＝60°， ∴∠A+∠D＝∠ABE＝60°， 由（1）可得：∠A＝∠D，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠D＝30°， ∴， 在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2， ∴，解得（已舍去负值）， ∵AB为⊙O的直径， ∴⊙O的半径为． 25．（本题10分）在学习矩形之后，某同学想要利用矩形的性质对图形中的角度大小进行探究． 【动手操作】 在矩形ABCD中，连接对角线BD，取线段BD中点O，连接OC，用尺规完成基本作图：过点A作BD的垂线交BD于点E． 【问题提出】 当∠DAE＝3∠BAE时，∠COD的度数是多少？ 【问题解决】 任务：（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你帮该同学求出∠COD的大小，并写出推理过程． 【解析】（1）按题目要求用直尺和圆规作出满足条件的射线AE； （2）由矩形的性质得∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°，结合∠DAE＝3∠BAE求出∠BAE＝22.5°、∠DAE＝67.5°；再由AE⊥BD得∠AED＝90°，求出∠CDO＝67.5°，最后由求出∠COD． 【详解】（1）解：如图所示，射线AE即为所求； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∵∠DAE＝3∠BAE，∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠BAE+3∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝3×22.5°＝67.5°， ∵AE⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝22.5°， ∴∠CDO＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵点O是BD的中点， ∴OC＝ODBD， ∴∠ODC＝∠OCD＝67.5°， ∴∠COD＝180°﹣∠ODC﹣∠OCD＝45°． 26．（本题10分）盐城是江苏的产粮大市，有着深厚的农耕文化，旧时盐阜乡间随处可见的石磨，就是古代劳动人民加工粮食的智慧创造．石磨依靠磨盘边缘的连杆带动转动碾磨谷物，这种动力结构在物理学上被称为“曲柄连杆机构”．我校“鹿鸣数思”社团探访本地农耕馆后，受石磨原理启发，设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．如图2，当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上．请就图2的情形解答下列问题： （1）若∠PBO＝10°，求∠PAO的度数． （2）若线段AO与⊙O交于点C，AC＝3，AP＝5，求⊙O的半径． 【解析】（1）连接OP，由OP＝OB得∠OPB＝∠PBO＝10°，用三角形外角的性质得∠POK＝20°；再由AP与⊙O相切得∠OPA＝90°，结合OM⊥ON用同角的余角相等推出∠PAO＝∠POK＝20°； （2）设⊙O的半径是r，则AO＝AC+OC＝r+3，由勾股定理得（r+3）2＝r2+52，求出r，即得⊙O的半径为． 【详解】（1）解：连接OP， ∵OP＝OB， ∴∠OPB＝∠PBO＝10°， ∴∠POK＝∠OPB+∠PBO＝20°， ∵AP切圆于P， ∴OP⊥AP， ∴∠OPA＝90°， ∴∠PAO+∠AOP＝90°， ∵OM⊥ON， ∴∠POK+∠AOP＝90°， ∴∠PAO＝∠POK＝20°； （2）设⊙O的半径是r， ∴PO＝OC＝r， ∴AO＝AC+OC＝r+3， ∵∠APO＝90°， ∴OA2＝OP2+AP2， ∴（r+3）2＝r2+52， ∴r， ∴⊙O的半径是． 27．（本题10分）问题探究 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，延长CD到点F，连接BF，BF交AD于点E，若点E是BF的中点，则CF的长为　 　 ； （2）如图②，△ABC内接于⊙O，点A是动点，，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，BE＝2AE，求AD的最大值； 问题解决 （3）近几年，我国机器人行业在智能化技术、应用场景和产业链成熟度上均实现高速发展．某物流中转中心准备使用机器人分拣运输货物，如图③，BC是围墙，BC＝300m．点A是BC上方的动点，连接AB、AC，将△ABC建成货物集散中心，∠BAC＝90°．点D是AB上一点，连接CD并延长，S△ACD＝S△BCD，射线CD计划建成水泥路运输线，点P在射线CD上，连接BP，∠BPC＝135°，BP是一条机器人运输轨道．根据规划要求，机器人运输轨道BP的长度尽可能的大．请你求出BP的最大值．（水泥路、机器人运输轨道的宽度忽略不计） 【解析】（1）由E是BF的中点得BE＝EF，在矩形ABCD中由AB∥CD得∠ABE＝∠F，从而可证△AEB≌△DEF（ASA），得DF＝AB＝3，再由CF＝CD+DF求出结果； （2）过点O作OH⊥BC于点H，连接OB、OC，由圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝120°，由三线合一得，，在Rt△BOH中用正弦的定义求出OB；在Rt△ADE中用余弦的定义得，由BE＝2AE得，由此可知AB取最大值时AD也取最大值，再按"直径是最长的弦"求解； （3）取BC的中点E、BE的中点F，连接AE、DF，由斜边中线定理和三角形中位线定理得AE＝BE＝CEBC＝150m，DFAE＝75m，故点D在以F为圆心、75m为半径的圆上；作△BPC的外接圆⊙O，由圆周角定理得∠BOC＝360°－2∠BPC＝90°，求出OB＝OC150m；当CD与⊙F相切时∠BCD最大，此时证△OGB∽△CDF即可求出BP的最大值． 【详解】（1）解：∵点E是BF的中点， ∴BE＝EF； 在矩形ABCD中，AB＝3， ∴AB∥CD，CD＝AB＝3， ∴∠ABE＝∠F， 在△AEB和△DEF中， ， ∴△AEB≌△DEF（ASA）， ∴DF＝AB＝3， ∴CF＝CD+DF＝3+3＝6， （2）如图②，过点O作OH⊥BC于点H，连接OB、OC， ∵， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°， ∵OB＝OC，OH⊥BC， ∴，，∠OHB＝90°， 在Rt△BOH中，， ∴， 即⊙O的半径为3； ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， 在Rt△ADE中，， ∴， ∵BE＝2AE， ∴， ∴， ∴当AB取最大值时，AD有最大值， ∵点A在⊙O上， ∴当AB是⊙O的直径时，AB有最大值，最大值为2×3＝6， ∴AD的最大值为； （3）如图③，取BC的中点E，取BE的中点F，连接AE、DF， ∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点， ∴AE＝BE＝CEBC300＝150（m）， ∵S△ACD＝S△BCD， ∴BD＝AD， 又∵点F是BE的中点， ∴DF是△BAE的中位线，BF＝EFBE＝75m， ∴DFAE＝75m，CF＝CE+EF＝150+75＝225（m）， ∴D在以点F为圆心，半径为75m的圆上； 作△BPC的外接圆⊙O，连接OB、OC、OP， ∵∠BPC＝135°， ∴∠BOC＝360°﹣2∠BPC＝90°， 又∵OB＝OC， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴OB＝OC150（m）， ∴⊙O的半径为m， ∵BP要取得最大值， ∴∠BOP要取得最大值， ∵∠BOP＝2∠BCP＝2∠BCD， ∴∠BCD要取得最大值， 当CD与⊙F相切时，∠BCD取得最大值，此时∠CDF＝90°， 作OG⊥BP于点G，则∠OGB＝90°， ∴∠OGB＝∠CDF， ∵OB＝OP， ∴BP＝2BG，∠BOG∠BOP， ∴∠BOG＝∠BCD， ∴△OGB∽△CDF， ∴，即， ∴BG＝50m， ∴BP＝2BG＝100m， 即BP的最大值为． 第1页（共26页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《圆》期中复习单元专题卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下面各说法中，正确的是（　　） A．直径是半径的2倍 B．所有的半径都相等 C．两端都在圆上的线段中，直径最长 D．通过圆心的线段叫做直径 2．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠OBC＝40°，则∠ADC的度数为（　　） A．50° B．25° C．30° D．35° 第2题 第3题 第4题 第5题 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠D＝64°，则∠BAC＝（　　） A．32° B．30° C．28° D．26° 4．如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，AD与⊙O相交于点E，则DE﹣AE为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，连接AB，AC．若∠BAC＝20°，，则∠OAC的度数为（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（　　） A．110° B．100° C．80° D．70° 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB、BC分别交⊙O于点D、E，AC为⊙O的直径，连接AE，若∠BED＝45°，AB＝8，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D．4π 8．（2026秋•东城区校级月考）·【中档】如图，∠O＝30°，P为边OA上的一点，且OP＝5，若以P为圆心，r为半径的圆与射线OB只有一个公共点，则半径r的取值范围是（　　） A．r＝5 B．r C． D．或r＞5 第6题 第7题 第8题 第10题 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB对圆心角是_______ 度． 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P，且AP＝1，BP＝5，且∠DPB＝45°，则弦CD的长为________________ ． 第11题 第14题 第15题 第16题 11．如图，AB为弦，若∠ABC＝20°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为_______ 边形． 12．已知直角三角形的两直角边分别长为15，8，则其内切圆的半径为_____ ． 13．圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为1cm，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______ °． 14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝120°，则∠DAE的度数是________ ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，平面上有一点P，AP＝1，连接AP，BP，取BP的中点G．连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是_____ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为____________________ ． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）已知：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P＝60°，PA＝10cm，求AB的长． 18．（本题6分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB，∠D＝50°，求∠BAC和的度数． 19．（本题6分）如图，点P是直角坐标系第三象限内的一个点． （1）求作⊙M，使得⊙M经过O、P两点且圆心在x轴上； （用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P的坐标为（﹣4，﹣2），求⊙M的半径． 20．（本题6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AE＝2，CD＝8，求直径AB的长． 21．（本题7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD． （1）求证：∠AGD＝∠ADC； （2）若AE＝9，BE＝1，求CD的长． 22．（本题7分）如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD＝∠CAE．求证： （1）CD是⊙O的切线； （2）△CEF是等腰三角形． 23．（本题7分）如图，小明把折扇完全打开后，测得AB与AC的夹角为150°，AB的长为30cm，BD的长为20cm．求折扇的一面上贴纸部分的面积（结果精确到0.1cm2）． 24．（本题7分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，连接DB并延长，交⊙O于点E，连接CE． （1）求证：CE＝CD； （2）若所对圆心角的度数为120°，AD＝6，求⊙O的半径． 25．（本题10分）在学习矩形之后，某同学想要利用矩形的性质对图形中的角度大小进行探究． 【动手操作】 在矩形ABCD中，连接对角线BD，取线段BD中点O，连接OC，用尺规完成基本作图：过点A作BD的垂线交BD于点E． 【问题提出】 当∠DAE＝3∠BAE时，∠COD的度数是多少？ 【问题解决】 任务：（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你帮该同学求出∠COD的大小，并写出推理过程． 26．（2026秋•盐城月考）·【中档】盐城是江苏的产粮大市，有着深厚的农耕文化，旧时盐阜乡间随处可见的石磨，就是古代劳动人民加工粮食的智慧创造．石磨依靠磨盘边缘的连杆带动转动碾磨谷物，这种动力结构在物理学上被称为“曲柄连杆机构”．我校“鹿鸣数思”社团探访本地农耕馆后，受石磨原理启发，设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．如图2，当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上．请就图2的情形解答下列问题： （1）若∠PBO＝10°，求∠PAO的度数． （2）若线段AO与⊙O交于点C，AC＝3，AP＝5，求⊙O的半径． 27．（本题10分）问题探究 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，延长CD到点F，连接BF，BF交AD于点E，若点E是BF的中点，则CF的长为_____ ； （2）如图②，△ABC内接于⊙O，点A是动点，，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，BE＝2AE，求AD的最大值； 问题解决 （3）近几年，我国机器人行业在智能化技术、应用场景和产业链成熟度上均实现高速发展．某物流中转中心准备使用机器人分拣运输货物，如图③，BC是围墙，BC＝300m．点A是BC上方的动点，连接AB、AC，将△ABC建成货物集散中心，∠BAC＝90°．点D是AB上一点，连接CD并延长，S△ACD＝S△BCD，射线CD计划建成水泥路运输线，点P在射线CD上，连接BP，∠BPC＝135°，BP是一条机器人运输轨道．根据规划要求，机器人运输轨道BP的长度尽可能的大．请你求出BP的最大值．（水泥路、机器人运输轨道的宽度忽略不计） 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $