专题3.2 导数与函数的单调性讲义 【知识概要+12大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题3.2 导数与函数的单调性 知识点1：函数的单调性与导数的关系 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 3、利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段. 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）已知定义在上的函数，的图象如图所示，其导数为，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由图象可知，在内，图象上升，； 在内，图象下降，； 在内，图象上升，； 则不等式的解集为． 【常用结论】 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解. 3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0)＝0. 题型一：函数与导函数图象之间的关系 题型二：求单调区间 题型三：已知含参函数在区间上单调求参数范围 题型四：已知含参函数在区间上存在单调区间求参数范围 题型五：已知含参函数在区间上不单调求参数范围 题型六：利用函数的单调性解不等式 题型七：利用函数的单调性比较大小 题型八：导函数为含参一次型的单调性讨论 题型九：导函数为含参准一次函数的单调性讨论 题型十：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性讨论 题型十一：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性讨论 题型十二：导函数为含参准二次函数型的单调性讨论 题型一：函数与导函数图象之间的关系 1．（26-27高三上·河北廊坊·阶段检测）已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则同号且不为0. 由函数图像可知，， ，同时， 则的解集为. 2．（2026高三·全国·专题练习）如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可通过函数图象的单调性判断导数的符号，得到答案 【详解】因为所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减， 所以相应的导数值应为正负正负，故A选项满足要求. 3．（25-26高三下·四川自贡·期末）已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为________． 【答案】 【分析】由题意可得，结合图象及导数的意义分别可得、、和的解集，即可得答案. 【详解】因为，即， 即与的正负相反， 由图象可知当时，， 当时，， 又因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的解集为，的解集为， 所以的解集为 4．（25-26高三下·山东烟台·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象确定与的符号区间，结合与同号即可求解. 【详解】由的图象可知，当时，；当时，；当或时，； 当时，；当时，；当或时，； 若不等式，则与同号，分情况讨论： ①当且时，交集为； ②当且时，交集为； 因此，不等式的解集为，故D正确. 题型二：求单调区间 5．（2026高三上·重庆渝北·专题练习）函数的单调减区间是（     ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】首先根据函数解析式直接画出对勾函数图象，然后根据图象求解函数的单调减区间. 【详解】已知函数，其定义域为. 其函数图象如下图： 根据图象易知：函数的单调减区间为，. 6．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，解导数小于的不等式，结合定义域得到单调递减区间. 【详解】函数的定义域为. ， 令，即，解得. 因为定义域为，所以的单调递减区间为. 7．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数，若在某区间上单调递增，则该区间可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 由得；得； 故的单调递增区间为，递减区间为， 故该区间可以是. 8．（26-27高三上·湖南·阶段检测）函数在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，， 令，即，得. 所以在上单调递减. 题型三：已知含参函数在区间上单调求参数范围 9．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得， 在区间上单调递增，故对任意，都有， 即，解得，对任意恒成立， 当时，，故时恒成立， 故正数的取值范围为． 10．（26-27高三上·山东日照·开学考试）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，根据单调递减区间对应导数小于等于0的解集，可知区间端点是导数等于0的根，代入求解即可得到的值. 【详解】 对求导，得. 已知的单调递减区间为，因此方程的两个实根为. 将代入，得，解得. 当时，，当时，，即恒成立，符合题意. 11．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， ，且函数在上单调递减， 在上恒成立，即. 设，，则， 在上单调递增， ，， 即实数的取值范围为. 12．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而求解即可. 【详解】由函数在区间上单调递减， 则对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，则，即的最小值为. 题型四：已知含参函数在区间上存在单调区间求参数范围 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时，，对求导，计算与，最后用点斜式得出切线方程. （2）由无单调递增区间，得恒成立，转化为恒成立，求最小值，得取值范围. 【详解】（1）当时，，故， 所以，又因为， 所以切线方程是． （2）由题意得， 若不存在单调增区间，则恒成立（*）， 即恒成立，令，， 所以，当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以， （经检验当时，（*）式成立）， 因此函数存在单调递增区间，可知； 可知所求实数的取值范围是. 14．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，将区间存在递减区间转化为在有解，构造函数求其区间最大值，再验证临界值得到的取值范围. 【详解】由，得 ， 因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使得，即在上有解， 所以， 设，则，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又，，，因此在上的最大值为， 当时，在上恒成立（仅端点处导数为0，区间内导数恒正）， 函数单调递增，不存在递减区间，因此， 即的取值范围是. 15．（2026·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【详解】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 16．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数在上存在单调递减区间，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得解． 【详解】∵， ∴， 因为函数在上存在单调递减区间, 所以在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，此时， ∴，则， ∴，即． 题型五：已知含参函数在区间上不单调求参数范围 17．（25-26高三下·湖北襄阳·期末）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程． (2)若函数在内不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）对函数求导，应用分类讨论及区间单调性，函数零点存在定理求参数范围. 【详解】（1）当时，因为， 所以，， 所以在处的切线方程为； （2）由题设知， 当时，，则在内单调递减，不满足； 当时，令，则在内， 所以在内单调递增，要使函数在内不单调， 则在上有变号零点， 又，只需， 综上，的取值范围是. 18．（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，递减区间为 (2) 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由切线斜率求出导数值，进而求出参数，再根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数单调区间； （2）根据函数的单调性，判定函数导数值的情况，构造函数，根据函数零点情况，求出参数范围. 【详解】【小题1】由题意得， 故，解得， 则， 令，则， 令，解得， 故当时，，即在上单减； 当时，，即在上单增； 故恒成立， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递增区间为，递减区间为； 【小题2】由（1）知，， 在上不单调，即方程在上有变号解， 即在上有变号解，． 令，，则， 令，解得， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 时，，，在上单调递增，不符合题意，舍去． 当时，，当，， 故实数m的取值范围为． 19．（25-26高三下·北京丰台·期中）已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由于函数在区间上不单调， 故，或，解得或， 故的一个取值可为0. 20．（25-26高三上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围. 【详解】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 题型六：利用函数的单调性解不等式 21．（25-26高三上·四川乐山·期中）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性与单调性，将抽象不等式转化为关于的一元二次不等式求解即可. 【详解】由题可知函数定义域为， ，故是上的奇函数， 又函数均为定义在上的减函数，故是上的减函数， 不等式移项得：， 由奇函数性质得：，即， 又是上的减函数，故，整理得：， 因式分解得：，故的取值范围是. 22．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造辅助函数，通过导数判断其单调性，结合偶函数的对称性推出，进而结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】设，， 求导得. 又，则，因此，故在上单调递减. 因为为偶函数，故对任意成立. 令，得，因此. 故不等式等价于，即. 又在上单调递减，所以. 故不等式的解集为. 23．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）函数，则不等式的解集是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，证明其为单调递增的奇函数，将原不等式转化为，利用单调性解出x的范围． 【详解】设，则， ，故是奇函数， 求导得，在上单调递增；在上单调递增； 故在上单调递增； 不等式等价于， 即，结合单调性可得，解得，故解集为． 24．（26-27高三上·河北承德·阶段检测）已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的最大值，结合函数不等式恒成立，即可得参数范围. 【详解】由，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值， 要使恒成立，必须且只需， 因此实数的取值范围为. 题型七：利用函数的单调性比较大小 25．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）设，，，则，，的大小顺序为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小． 【详解】令，， 则，，， 而，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又，，即. 26．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，，，构造函数，利用函数的单调性判断大小． 【详解】， ，. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因为，所以，即. 所以，即. 27．（2026·河南·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一根据的单调性得出，然后利用作差法与放缩得到，于是得到. 解法二先利用作差法与放缩得到，再利用作商法比较的大小，最终得到. 【详解】解法一：设， 令，则，即在区间上单调递减，，即在区间上单调递减， ，即，故. 又. 解法二：. 又. 28．（26-27高三上·吉林松原·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造且，则，再构造并应用导数研究其单调性比较对应函数值的大小，即可得. 【详解】由，，， 令，，则， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，又，则在上恒成立， 将中换为可得，， 故在上恒成立，所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 故，即. 题型八：导函数为含参一次型的单调性讨论 29．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）根据题意，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，分或，两种情况讨论，进而得出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，可得，则， 则，且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由函数，可得其定义域为， 且， 当时，则，可得，则在上单调递增； 当时，则， 令，可得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减；在上单调递增． 30．（2026高三·全国·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在 上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数分类讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 求导可得，， 所以切点为，切线斜率为，切线方程为； （2）. 当时，对任意都有， 故，在上单调递增. 当时，令得， 当时，，当时，， 故 在上单调递增，在上单调递减. 综上：当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 31．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)． (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【分析】（1）由导数的意义可得； （2）分和两种情况，利用导数讨论即可. 【详解】（1）当时，，定义域为． ，即切点为． 对求导得：． 则切线斜率． 所以切线方程为，即． （2）由可知： 当时，定义域为； 当时，定义域为． 对求导得：． 当时，． 因为，所以恒成立，所以在上单调递减． 当时，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 即在上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 32．（25-26高三下·全国·课后作业）讨论下列函数的单调性： (1)，为常数； (2)，． 【答案】(1)当 时， 在定义域 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． (2)当 时， 在定义域 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减． 【分析】（1）求导后，根据参数 的符号判断 的符号； （2）将导数因式分解，根据 与 的大小关系确定两个零点的先后顺序，再判断导数符号． 【详解】（1）函数 的定义域为 ，且 当 时，对任意 ，均有 ，所以，故 在 上单调递增． 当 时，令 ，得 ． 当 时，；当 时，． 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 综上，当 时， 在定义域 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）因为 ，函数 的定义域为 ． ，所以 的符号由 决定． 当 时，，当且仅当 时等号成立，故 在 上单调递增． 当 时， 当 或 时，；当 时，． 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减． 当 时， 当 或 时，；当 时，． 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减． 题型九：导函数为含参准一次函数的单调性讨论 33．（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）已知函数，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性. 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】(1)利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标写出切线方程；(2) 先求的导函数，分类讨论参数的取值判断导函数符号，进而确定的单调性. 【详解】（1）当时，， ，故切点为， ， 故切线斜率， 由点斜式得切线方程，整理得； （2）由题设得，定义域为， ， (i)，对任意，恒成立，故，即，因此在上单调递增； (ii)，令，即，解得， 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 综上，时在上单调递增；时在单调递减，在单调递增. 34．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，． (1)设，讨论的单调性； (2)若在定义域上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) 当时，在上递增；当时， 在上递减，在上递增. (2) 【分析】（1）在两种情况下，讨论的符号，可得函数的单调性； （2）由题可得对一切恒成立，然后分三种情况进行讨论，通过参变分离转化为最值问题后求解的取值范围. 【详解】（1），则， ①当时，对任意的恒成立，则在上单调递增； ②当时，由， 所以当时，，当时，， 因此，在上单调递减，在上单调递增. 综上所述： 当时,在上递增； 当时， 在上递减，在上递增. （2）由题可得对一切恒成立. ①当时，，此时可取任意实数； ②当时，由题可得恒成立，则. 令，则， 由可得，由可得； 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 最大值为， 故此时； ③当时，由题可得恒成立. 对任意的，，则函数在上单调递增， 且当时，，且时，，故. 综上可得，. 35．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间. 【答案】(1) (2) 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）先代入计算切点坐标，再求导得到切线斜率，利用点斜式求解切线方程； （2）先求函数导数，按和两类讨论导数的正负，进而确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，， 计算得，故切点坐标为， 对求导得， 则切线斜率， 由点斜式得切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得. ①当时，对任意，都有，故， 因此恒成立，故在上单调递减； ②当时，令，即，变形得， 两边取自然对数得，解得. 当时，，函数在单调递减； 当时，，函数在单调递增. 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 36．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数 ，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性； (3)若在定义域上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上递增；当时，在上递减，上递增. (3) 【分析】（1）由题设可得切线方程斜率和所过点，据此可得切线方程； （2）在，两种情况下，解不等式，可得函数的单调性； （3）由题可得对一切恒成立，然后分、、三种情况进行讨论，据此可得答案. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 此时函数在处的切线方程，即. （2）因为，， 当时，对任意的恒成立，则在上递增； 当时，， ，， 此时，在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上递增； 当时，在上递减，上递增. （3）由题可得对一切恒成立. 当时，，此时可取任意实数； 当时，由题可得恒成立，则. 令，， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 故此时； 当时，由题可得恒成立， 对任意的，，则函数在上单调递增， 且当时，，且，故， 综上可得. 题型十：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性讨论 37．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，其中．当时，求函数的单调区间． 【答案】当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【分析】求导，分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】由，，定义域是， 则， 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，，此时， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 38．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．讨论的单调性． 【答案】时，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递减，在单调递增. 【分析】先对函数求导，再由求出方程的两个根，然后根据两根的大小关系对参数进行分类讨论． 【详解】的定义域是， ， 由，得或， 当，即时，时，，时，， 在单调递减，在单调递增； 当，即时，时，，或时，， 在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当，即时，，在单调递增； 当，即时，时，，或时，， 在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当，即时，时，，时，， 在单调递减，在单调递增； 综上，时，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递减，在单调递增. 39．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分，，和，四种情况讨论，结合导函数值与函数的关系，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，可得， 则，且，所以切线方程为，即． （2）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，可得或． ①当时，与如下表所示： x 0 + 单调递减 单调递增 所以函数在上单调递减，在上单调递增． ②当时，与如下表所示： x a + 0 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ③当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增． ④当时，与如下表所示： + 0 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 40．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数.讨论的单调性. 【答案】当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】先求导分解因式，再根据的正负，比较两根和的大小，分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间. 【详解】由题可知函数的定义域为， 求导得： 因故的符号由分子决定， （1）当时，由，得，在上单调递增， ，得，在上单调递减； （2）当时，因为， 当时，，在上单调递减； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 题型十一：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性讨论 41．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增 当时，在，上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）函数在区间单调递增，转化为导数大于等于在区间恒成立，分离参数后求新函数最小值，从而得到参数范围； （2）求导后把导数符号问题转化为二次函数符号讨论，结合二次方程判别式与根的正负，分类讨论得到原函数单调性. 【详解】（1）依题意，， 令，则， 令，，则， 故在上单调递增；故； 经检验，当时，，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为； （2）依题意，， 令，其中； 若，即时，恒成立， 所以，在上单调递增； 若，则或，令，解得，， 其中，； 若，则，此时，， 所以，在上单调递增； 若，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 42．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在内仅存在一个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)①当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；②当或时，的单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导得二次函数，根据判别式正负讨论单调区间； （2）导函数零点即极值点，分离参数后转化为对勾函数的值域问题，结合区间端点确定参数范围． 【详解】（1）因为，所以， 则二次方程的判别式， ①当，即时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间． ②当，即或时，的两个实根为，， 由得， 由得或， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 当或时，单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）若在内仅存在一个极值点，则在内仅存在一个变号零点， 由，可得，令，该函数为对勾函数， 则直线与在上的图象只有一个交点（非切点）， 如图所示： 根据对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，， 由的图象可知，所以，即a的取值范围为． 43．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，求证：. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. (3)证明：当时，，要证，即证， 令，则，易得在上单调递增， 又， 所以，使得，故， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以. 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分及讨论即可得； （3）构造函数，借助导数结合零点存在性定理可得该函数单调性，即可得证. 【详解】（1）当时，，求导得， 则有，， 故的图象在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，求导得， 因，若，即时，，故在上单调递增； 若，即时，由，得或， 由，得， 所以在和上单调递增， 在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. （3）略 44．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数． 【答案】(1)当时， 在上单调递增． 当时，在上单调递增；在上单调递减． (2) 【分析】（1）对进行分类讨论的单调性； （2）闭区间上的最值,比较端点值与极值可得. 【详解】（1）的定义域是，导函数． 设，二次方程的判别式． ①当即时，对一切都有，此时在上单调递增． ②当即时，仅对有，对其余的都有，此时在上的单调递增． ③当即时，方程有两个不同的实根，，． x + 0 - 0 + 单调递增↗ 极大 单调递减↘ 极小 单调递增↗ 此时在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增． （2）当时，方程有两个不同的实根，． 由（1）知，在内，当时取得极值， ，，． 因为， 所以在区间上的值域为． 题型十二：导函数为含参准二次函数型的单调性讨论 45．（26-27高三上·陕西渭南·期中）已知函数． (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，即可判断函数的单调性，进而求得最值； （2）求导，对a分类讨论，结合导数的正负，即可判断函数单调性. 【详解】（1）因为，则，， 求导得，即在内单调递减 所以，， 即函数在时的最大值为，最小值为. （2）因为，且定义域为， 求导得， 当时，， 则，即在上单调递减 当时，令，即， 因为，所以，，解得， 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减 当时，在上单调递减，在上单调递增. 46．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知，函数． (1)若时，函数的图象上存在斜率为的切线，求的取值范围； (2)当时，求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是 【分析】（1）对求导后，令换元，把方程有解问题转化为对勾函数求值域，从而求出参数的取值范围； （2）将导函数因式分解，比较两个零点与的大小，分、两类讨论，解不等式得到对应单调递减区间. 【详解】（1）因为 若时，有解， 即 令，则，即实数a的取值范围是． （2）因为 当，即时，由，可得， 即 当，即时，由，可得， 即 所以当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是． 47．（25-26高三下·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数 (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）对函数求导，判断函数的单调性，计算极值； （2）对函数求导，分类讨论参数，确定函数的单调性. 【详解】（1），， ， 令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值. （2），， 当时，，，在上单调递增； 当时，令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 48．（25-26高三下·河南郑州·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（或） (2)当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求解； （2）求出函数的导数，讨论参数a的取值范围，确定导数的正负，即可确定函数的单调性. 【详解】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）由得， 当时，，令，则， 当时，，则；当时，，则； 故在单调递增，在单调递减； 当时，令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 综合上述可知： 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增, 1．（25-26高三下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的部分图象可知处于函数单调减区间上，故； 处于函数单调增区间上，故， 又当函数递增时，随着x的增大，函数值的增加速度越来越大，即曲线切线的斜率越来越大， 结合，可得，故. 2．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）函数在下列哪个区间上单调递减（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数结合三角函数恒等变换及其性质计算即可. 【详解】易知， 对于选项A，易知时，， 所以在上单调递增，故A错误； 对于选项B，时，，则，即， 所以在上单调递减，故B正确； 对于选项C，同上时，，则， 所以，所以在上单调递增，故C错误； 对于选项D，时，则， 所以，所以在上单调递减， 而由C项可知在上单调递增，故D错误. 3．（25-26高三下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得． 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解． 当时， ， 故，即实数的取值范围是． 4．（25-26高三下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 5．（25-26高三下·重庆·期末）设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过求导得到函数的单调递减区间，再令给定区间为单调递减区间的子集从而求得参数范围. 【详解】函数， 求导可得， 因为恒成立， 所以，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以，即， 解得，即实数的取值范围是，故选项D正确. 6．（25-26高三下·江西赣州·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为存在使，求在区间最大值，故. 【详解】由题意，所以，， 函数在区间内存在单调递增区间， 则，，即，使得 ， 即， 设，， 则，，单调递减； ，，单调递增， ，， ，故在上最大值为， 只要，即，就存在满足， 即，函数存在递增区间. 7．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对与取自然对数，构造函数，利用导数证明，进而比较与的大小，构造函数利用导数证明不等式，进而比较与的大小，最终确定三者大小关系. 【详解】，，，， 令，则，， 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 所以，即，所以，即， 所以， 又在上单调递增，所以； 令，，则， 令，所以， 所以函数在上单调递增，故，即， 所以函数在上单调递增，故，即， 所以，即； 综上，. 8．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知定义在上的可导函数满足．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，求导得，因此在上单调递增． 又，可得． 将移项变形为，即． 又在上单调递增，由得，所以原不等式的解集为． 9．（25-26高三下·广东中山·阶段检测）（多选）若函数在上存在单调递减区间，则的取值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．－1 【答案】AC 【分析】对函数求导得到，由函数在存在单调递减区间转化为在区间上有解，分离参数得有解，换元令转化为二次函数在上求值域，得其值域为，只需即且，据此判断和符合条件. 【详解】函数在上存在单调递减区间. 等价于在上有解.求导得. 由在上有解，得在上有解. 令，则. 该函数在上单调递减，最大值为，最小值为. 要使在上有解，只需，即且. 选项中和均满足且，故A、C正确. 10．（25-26高三下·福建福州·期末）（多选）已知函数，下列说法正确的是 （    ） A．当时，函数的定义域为 B．当时，函数的值域为 C．函数可能有最小值 D．若函数在区间内单调递增，则实数 【答案】AB 【详解】设二次函数 ，则 ， ， 选项 A： 时，，令 或 ，定义域为 ，A 正确； 选项 B： 时，，则 ， 对数函数 在 时值域为 ，故 值域为，B 正确； 选项 C： 开口向上，， 恒有两个不同实根，在定义域内取值范围是， 在 无下界，不存在最小值，C 错误； 选项 D： 举反例，当 时 ，不满足定义域，D 错误. 11．（2026·江西南昌·模拟预测）（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负得出函数单调性，即可确定函数的极值点的情况. 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，，     当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项B正确； 是的极大值点，2为函数的极小值点，1不是函数的极值点，选项A错误； 当时，，在上单调递减，，选项C正确； 当时，，在上单调递减，，选项D错误． 12．（2026高三下·广西·竞赛）设函数，当时单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】将问题转化为当时，恒成立，然后构造函数，利用导数法求得，然后再验证，不满足时单调递增. 【详解】由已知有当时，恒成立. 即当时，恒成立. 令，则，，. 故时，.从而当时，. 因此时，，单调递增. 若，令，则，. 故时，，此时单调递减，从而时，. 因此时，，即. 此时不满足时单调递增. 故的取值范围是. 13．（25-26高三下·天津津南·期中）若函数的单调递减区间为，则________． 【答案】 【详解】由，得， 因为函数的单调递减区间为， 所以不等式的解集为， 因此一元二次方程的两个实数根为， 根据韦达定理，可得方程组：，解得， 则. 14．（25-26高三下·江西景德镇·期末）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】将不等式转化为，构造新函数，结合新函数的单调性即可求解. 【详解】已知函数，由于，即， 变形为， 构造函数，原不等式等价于， 由于导数恒成立，因此在上是单调递增的， 所以等价于，即在上恒成立， 因此，解得， 所以的取值范围为. 15．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】当时，在内单调递减，在内单调递增，； 当时，在内单调递减，在内单调递增． 【分析】对函数求导可得，令，得或．再按和进行讨论，确定单调区间. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 且，， 令，得或． ①当时，， 令得， 令得， 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当时，， 令得， 令得， 可知在内单调递减，在内单调递增． 综上所述， 当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增． 16．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数无严格单调区间；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）根据导数的几何意义，可求出切点横坐标，再代入原函数，求出切点坐标，最后代入切线方程求出的值； （2）先求导，整理可得，对分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，，求导得， 设曲线的切线的切点为，因切线方程为， 则，解得， 所以，则切点坐标为， 于是，所以. （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，函数为常数函数，无严格单调区间； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 导数与函数的单调性 知识点1：函数的单调性与导数的关系 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 3、利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段. 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）已知定义在上的函数，的图象如图所示，其导数为，则不等式的解集为______． 【常用结论】 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解. 3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0)＝0. 题型一：函数与导函数图象之间的关系 题型二：求单调区间 题型三：已知含参函数在区间上单调求参数范围 题型四：已知含参函数在区间上存在单调区间求参数范围 题型五：已知含参函数在区间上不单调求参数范围 题型六：利用函数的单调性解不等式 题型七：利用函数的单调性比较大小 题型八：导函数为含参一次型的单调性讨论 题型九：导函数为含参准一次函数的单调性讨论 题型十：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性讨论 题型十一：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性讨论 题型十二：导函数为含参准二次函数型的单调性讨论 题型一：函数与导函数图象之间的关系 1．（26-27高三上·河北廊坊·阶段检测）已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·四川自贡·期末）已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为________． 4．（25-26高三下·山东烟台·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 题型二：求单调区间 5．（2026高三上·重庆渝北·专题练习）函数的单调减区间是（     ） A． B．， C． D． 6．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数，若在某区间上单调递增，则该区间可以是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·湖南·阶段检测）函数在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 题型三：已知含参函数在区间上单调求参数范围 9．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·山东日照·开学考试）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四：已知含参函数在区间上存在单调区间求参数范围 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围． 14．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数在上存在单调递减区间，求实数m的取值范围． 题型五：已知含参函数在区间上不单调求参数范围 17．（25-26高三下·湖北襄阳·期末）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程． (2)若函数在内不单调，求实数的取值范围． 18．（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 19．（25-26高三下·北京丰台·期中）已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． 20．（25-26高三上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六：利用函数的单调性解不等式 21．（25-26高三上·四川乐山·期中）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 23．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）函数，则不等式的解集是（        ） A． B． C． D． 24．（26-27高三上·河北承德·阶段检测）已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：利用函数的单调性比较大小 25．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）设，，，则，，的大小顺序为（        ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 27．（2026·河南·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 28．（26-27高三上·吉林松原·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 题型八：导函数为含参一次型的单调性讨论 29．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 30．（2026高三·全国·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 31．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 32．（25-26高三下·全国·课后作业）讨论下列函数的单调性： (1)，为常数； (2)，． 题型九：导函数为含参准一次函数的单调性讨论 33．（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）已知函数，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性. 34．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，． (1)设，讨论的单调性； (2)若在定义域上单调递增，求的取值范围． 35．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间. 36．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数 ，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性； (3)若在定义域上单调递增，求的取值范围. 题型十：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性讨论 37．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，其中．当时，求函数的单调区间． 38．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．讨论的单调性． 39．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 40．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数.讨论的单调性. 题型十一：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性讨论 41．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 42．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在内仅存在一个极值点，求的取值范围. 43．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，求证：. 44．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数． 题型十二：导函数为含参准二次函数型的单调性讨论 45．（26-27高三上·陕西渭南·期中）已知函数． (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； 46．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知，函数． (1)若时，函数的图象上存在斜率为的切线，求的取值范围； (2)当时，求函数的单调递减区间． 47．（25-26高三下·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数 (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 48．（25-26高三下·河南郑州·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 1．（25-26高三下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 2．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）函数在下列哪个区间上单调递减（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·重庆·期末）设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·江西赣州·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知定义在上的可导函数满足．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·广东中山·阶段检测）（多选）若函数在上存在单调递减区间，则的取值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．－1 10．（25-26高三下·福建福州·期末）（多选）已知函数，下列说法正确的是 （    ） A．当时，函数的定义域为 B．当时，函数的值域为 C．函数可能有最小值 D．若函数在区间内单调递增，则实数 11．（2026·江西南昌·模拟预测）（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 12．（2026高三下·广西·竞赛）设函数，当时单调递增，则的取值范围是______. 13．（25-26高三下·天津津南·期中）若函数的单调递减区间为，则________． 14．（25-26高三下·江西景德镇·期末）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为______. 15．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数，讨论函数的单调性． 16．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $