专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算讲义 【知识概要+10大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 知识点1：导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即. 2．函数f(x)的导函数 称函数为f(x)的导函数． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·全国·课后作业）已知，，则的值为________． 知识点2：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·北京丰台·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点3：导数几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【跟踪训练】 3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【常用结论】 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3、高考常考的切线方程 （1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线. （2）是的切线，是y=tan x的切线. （3）是的切线，是的切线. 题型一：导数的定义及变化率问题 题型二：导数的运算 题型三：在某点的切线 题型四：过某点的切线 题型五：已知切线或切点求参数问题 题型六：公切线问题 题型七：切线的条数问题 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 题型九：切线平行、垂直、重合问题 题型十：切线斜率或倾斜角的问题 题型一：导数的定义及变化率问题 1．（26-27高三上·江西抚州·阶段检测）已知函数，则 （    ） A． B．8 C． D．4 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）火箭发射后的高度（单位：）为，则火箭在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·北京东城·阶段检测）设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·陕西榆林·期中）假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（    ） A． B． C． D． 题型二：导数的运算 5．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）（多选）下列求导运算正确的是（       ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 题型三：在某点的切线 9．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知，则曲线在处的切线方程是____________. 10．（26-27高三上·安徽·阶段检测）函数的图象在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么___________. 12．（26-27高三上·陕西渭南·期中）曲线在点处的切线方程为_______． 题型四：过某点的切线 13．（26-27高三上·河北承德·阶段检测）已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则____________． 14．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_____________. 15．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 16．（25-26高三下·北京延庆·期末）求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 题型五：已知切线或切点求参数问题 17．（2027·江西·模拟预测）已知直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026·广西百色·一模）若直线与曲线相切，则________． 19．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知存在实数，满足对任意实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是________． 20．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，. (1)当时，判断函数的奇偶性； (2)若函数在处的切线方程为，求的值. 题型六：公切线问题 21．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 22．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则____． 23．（26-27高三上·全国·阶段检测）已知函数，，则与的公切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 24．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 题型七：切线的条数问题 25．（26-27高三上·全国·阶段检测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 26．（2026·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 27．（2026·重庆·二模）（多选）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 28．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知函数，则函数与函数的公切线有___________条． 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 29．（2026·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 30．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 31．（2026·河南·模拟预测）已知是函数的图象上一点，函数满足，则坐标原点到曲线在点处的切线的距离为__________. 32．（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值． 题型九：切线平行、垂直、重合问题 33．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 34．（2026·云南·模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A．2 B．1 C． D． 35．（26-27高三上·福建福州·开学考试）曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（     ） A． B． C． D． 36．（25-26高三下·安徽蚌埠·阶段检测）已知的图象在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 题型十：切线斜率或倾斜角的问题 37．（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）曲线在点 处的切线倾斜角的大小为_____. 38．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知点 P在曲线 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知曲线在处的切线的斜率为__________. 40．（25-26高三上·陕西商洛·期末）曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 1．（25-26高三下·陕西榆林·期中）设是可导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·广东梅州·期末）“兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业．肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W（单位：g）与日龄t（单位：天）的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（    ） A．16g/天 B．18g/天 C．20g/天 D．22g/天 3．（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·重庆·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·全国·课后作业）若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 7．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）过点可以作曲线的两条切线，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·陕西咸阳·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若函数在上可导，且，则 D．若一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列求导运算正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D． 11．（25-26高三下·江西景德镇·期末）（多选）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 12．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线与曲线和均相切，则______. 13．（25-26高三下·上海宝山·期末）已知函数，则________. 14．（25-26高三上·河北廊坊·期末）函数．在点处的切线与直线垂直，则=______. 15．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）（1）设曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 16．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数．设l是曲线在点处的切线，且点A是曲线的最低点． (1)求点A的坐标； (2)若点T与点A不重合，求证：存在这样的切线l，使得l经过点A； (3)是否存在过原点的直线l，请直接写出结果（存在或不存在）． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 知识点1：导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即. 2．函数f(x)的导函数 称函数为f(x)的导函数． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·全国·课后作业）已知，，则的值为________． 【答案】 【详解】． 知识点2：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·北京丰台·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求导公式及复合函数的求导法则求解. 【详解】因为，，，， 所以ABC错误，D正确. 知识点3：导数几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【跟踪训练】 3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设切点坐标，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成在上单调，进而可求解. 【详解】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 【常用结论】 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3、高考常考的切线方程 （1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线. （2）是的切线，是y=tan x的切线. （3）是的切线，是的切线. 题型一：导数的定义及变化率问题 题型二：导数的运算 题型三：在某点的切线 题型四：过某点的切线 题型五：已知切线或切点求参数问题 题型六：公切线问题 题型七：切线的条数问题 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 题型九：切线平行、垂直、重合问题 题型十：切线斜率或倾斜角的问题 题型一：导数的定义及变化率问题 1．（26-27高三上·江西抚州·阶段检测）已知函数，则 （    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】先求导，计算，再结合导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以． 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）火箭发射后的高度（单位：）为，则火箭在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则火箭在时的瞬时速度为. 3．（25-26高三下·北京东城·阶段检测）设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上可导，所以 . 4．（25-26高三下·陕西榆林·期中）假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，. 当时，， 所以当时，“高原版”复兴号动车的加速度为. 题型二：导数的运算 5．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数四则运算法则、复合函数求导法则，逐一验证各选项的求导结果即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 6．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）（多选）下列求导运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D， ，D错误． 7．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 8．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，， 则， 解得． 题型三：在某点的切线 9．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知，则曲线在处的切线方程是____________. 【答案】（或） 【详解】，则，又， 所以曲线在处的切线方程是，即. 10．（26-27高三上·安徽·阶段检测）函数的图象在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 又， 所以切线方程为，即. 11．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么___________. 【答案】3 【详解】由题意，点在直线上，所以， 根据导数的几何意义，， 所以. 12．（26-27高三上·陕西渭南·期中）曲线在点处的切线方程为_______． 【答案】 【详解】 解：将点代入成立，即点为切点． 因为，所以切线斜率．所以切线方程为，即． 题型四：过某点的切线 13．（26-27高三上·河北承德·阶段检测）已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则____________． 【答案】1 【分析】设出切点，根据导数的几何意义得到方程，求出切点横坐标，进而由斜率公式得到方程，求出答案 【详解】设切点为，， 则过点且与曲线相切的直线的斜率为，所以，解得， 故切点为，由斜率公式可得，解得. 14．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_____________. 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据导数几何意义可得切线方程，代入坐标原点可构造方程求得. 【详解】函数的定义域为， 设切点为，求导得到， 所以在切点处切线斜率：， 则切线方程为：， 因为切线过原点，所以， 解得：. 15．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】若，则，所以， 设过点的切线与函数的切点为， 则， 所以切线方程为， 代入点得， 即， 解得， 故切线方程为 16．（25-26高三下·北京延庆·期末）求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． （2）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 所以． 因为，所以切点为． 所以切线方程为，即的方程为． （3）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为， 将原点代入上式并整理，可得，解得， 因此切点为，切线方程为，即的方程为． 题型五：已知切线或切点求参数问题 17．（2027·江西·模拟预测）已知直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，先由切线斜率求出切点横坐标，再将切点坐标代入曲线方程求. 【详解】设切点坐标为，因为，所以，解得. 将代入切线方程，得，因此切点坐标为. 将代入曲线方程得，解得 18．（2026·广西百色·一模）若直线与曲线相切，则________． 【答案】 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得， 则，即切点坐标为， 把代入直线可得，解得. 19．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知存在实数，满足对任意实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，将“直线恒不是曲线切线”转化为曲线导函数值恒不等于直线斜率，通过对应方程无实根求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，对其求导得： ， 直线的斜率为，若该直线是曲线的切线，则存在实数，使得曲线在处的切线斜率等于， 即： 整理得； 题目要求对任意实数，直线都不是曲线的切线，即上述关于的方程无实根， 由于对任意实数，均有，故，因此要使方程无实根，需满足： 解得， 即实数的取值范围为. 20．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，. (1)当时，判断函数的奇偶性； (2)若函数在处的切线方程为，求的值. 【答案】(1)是非奇非偶函数 (2) 【分析】（1）根据与的关系，判断函数的奇偶性； （2）导数的几何意义为切点处的导数等于切线的斜率，因此根据切线方程，可求参数m. 【详解】（1）当时，，， 因为且，所以是非奇非偶函数； （2）， ，则① ，将代入切线方程可得：②， 联立①②解得：，. 题型六：公切线问题 21．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别设出切点，结合导数的几何意义列出方程组，求出答案 【详解】因为直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 所以这两个切点都在直线上.设两个切点分别为，， 且，，则，即. 由切点在各自曲线上，得，将代入①得 ③，③-②得，解得. 由得，，由①得，解得. 22．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则____． 【答案】 【分析】设直线分别与两条曲线相切，利用导数的几何意义建立切点坐标与斜率的关系，再结合切点在直线上列方程求解. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得，所以切线斜率为，且切线过原点， 故，所以， 所以，于是 设直线与曲线相切于点， 由得，所以切线斜率为，且切线过原点， 故 切点纵坐标为 因为切点在直线上，所以， 解得 23．（26-27高三上·全国·阶段检测）已知函数，，则与的公切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】通过导数的几何意义得出与的公切线方程，通过截距相等，斜率相等求解. 【详解】，， 设公切线在上的切点为，， 则公切线为：，即， 设公切线在上的切点为， 则公切线为：，即， 由，， 得，化简得， 令， ， ，令，， ，所以是增函数， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又，所以有2个零点， 则有2个解， 所以与的公切线条数为2. 24．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据导数的几何意义列出和，然后联立这两个式子，进行化简得到，然后求导判断单调性，即可求出最大值. 【详解】因为直线既是曲线的切线， 对函数求导得，设切点为， 则，化简得①； 因为直线又是曲线的切线， 对函数求导得，设切点为， 则，化简得②， 联立①和②得，，化简得. 令，则，代入得，即. 所以，令， 对函数求导得，令得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值为，即的最大值是. 题型七：切线的条数问题 25．（26-27高三上·全国·阶段检测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解. 【详解】设切点为， 由可得， 则过坐标原点的切线的斜率， 故，即， 解得，故过坐标原点的切线共有1条． 故选：A． 26．（2026·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 27．（2026·重庆·二模）（多选）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】BC 【分析】设切点，根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式联立等式条件，分析在不同的情况下能够得到几个值，即能够得到几个切点，即对应几条切线即可. 【详解】因为， 所以， 设切点， 在点处的导数为， 根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有： 整理得 ， 所以， ①当时，可化为， 由函数定义域知分母不为0，， 所以只能解得，因此过只能找到一条与曲线相切的直线； ②当时，可化为， 是关于的二次方程，，且两根之积为， 所以所求根之中一定不含0，此时对任意能够找到两个满足条件. 综上所述，过点且与曲线相切的直线可能有1或2条. 故选：BC. 28．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知函数，则函数与函数的公切线有___________条． 【答案】2 【分析】分别设出切点坐标，求出两切点处的切线方程联立方程组并得出关系式，构造函数，利用导数求得其单调性得出零点个数即可求得切弦条数. 【详解】设在函数函数与函数处的切点分别为， 则，因此，可得切线方程为，即； 由，则， 因此切线方程为，即； 令，因此可得， 设，则， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得，即在上单调递减； 当， ，又，； 因此函数在上有两个零点，即公切线有2条. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：求解公切线条数问题首先设出切点坐标，求出切线方程并得出切点间的关系式，再构造函数转化为求解方程根的个数（或函数零点个数）即可. 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 29．（2026·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 30．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 31．（2026·河南·模拟预测）已知是函数的图象上一点，函数满足，则坐标原点到曲线在点处的切线的距离为__________. 【答案】 【分析】求出，根据及可求得，，继而可求在处的切线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】，因为， 所以，解得，故， 故在处的切线方程为， 故坐标原点到曲线在点处的切线的距离为. 故答案为：. 32．（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据和，求函数的解析式； （2）根据，在点处的切线与直线平行，转化为点到直线的距离. 【详解】（1）由，可得， ∴，∴， 又，故，， 可知函数的解析式为． （2）由（1）可知， 函数图象上的点到直线的距离的最小值，满足点到直线的距离， 可得． 题型九：切线平行、垂直、重合问题 33．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 34．（2026·云南·模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由列方程，从而求得的值. 【详解】因为，得，所以. 35．（26-27高三上·福建福州·开学考试）曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂直计算出切线斜率，再用斜率算切点坐标. 【详解】已知曲线切线与垂直，所以，即， 又因为，令，解得，所以切点坐标为， 所以切线方程为，即. 36．（25-26高三下·安徽蚌埠·阶段检测）已知的图象在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 由题意知在点处的切线斜率为， 所以，解得． 题型十：切线斜率或倾斜角的问题 37．（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）曲线在点 处的切线倾斜角的大小为_____. 【答案】/ 【详解】因，则， 设切线的倾斜角为，则，由可得. 38．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知点 P在曲线 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，结合基本不等式可得，得到答案 【详解】由题． 设，则， ，当且仅当即时等号成立，， ∵，∴． 39．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知曲线在处的切线的斜率为__________. 【答案】3 【详解】对 求导得. 代入 得 因此,切线的斜率为3. 40．（25-26高三上·陕西商洛·期末）曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 1．（25-26高三下·陕西榆林·期中）设是可导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由导数的定义可得，. 2．（25-26高三下·广东梅州·期末）“兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业．肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W（单位：g）与日龄t（单位：天）的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（    ） A．16g/天 B．18g/天 C．20g/天 D．22g/天 【答案】B 【详解】瞬时生长率为，代入得（g/天）． 3．（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入求解，进而得函数表达式，即可求导，根据点斜式求解切线方程. 【详解】，解得，则，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即。 4．（26-27高三上·重庆·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】已知曲线，求导： 将代入导函数，得到切线斜率： 切点为，由点斜方程得：，化简得. 曲线在点处的切线方程为. 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出两个切点坐标，求得两个曲线的导数，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得，代入其中一条曲线即可求得的值. 【详解】因为直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 所以这两个切点都在直线上． 设两个切点分别为，且，， 则，即． 由切点在各自曲线上，得， 将代入①得③， ③-②得，解得．由得， 代入①得， 解得． 6．（25-26高三下·全国·课后作业）若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到切线方程，然后联立，由代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 设过点的直线与曲线相切于点， 则在点处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 又点在切线上，所以，解得或， 当时，由直线与曲线相切可得方程有两个相等的实数根， 此时且，解得； 当时，由直线与曲线相切， 联立直线方程和抛物线方程并消去，得， 此时，解得． 综上所述，或. 7．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）过点可以作曲线的两条切线，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与极值、函数零点与方程解的对应关系，重点是过点的切线方程的构造，将切线条数问题转化为函数图像交点个数问题. 【详解】解：设切点坐标为对函数进行求导得， 因此在切点处的斜率为，切线方程为 因为切线过点，所以 令则与有两个交点. 令单调递减，令单调递增， 当时，有极大值，即最大值， 当时， 当时， 要使有两个不同的实数根，则所以选C. 8．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，先求切线的斜率，进而得垂线的斜率，再求垂线的方程，进而得点的坐标，利用两点的距离公式得，解出，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，又，所以切线的斜率为， 所以过点的切线垂线的斜率为， 所以垂线的方程为，令，解得， 所以，所以， 所以，即， 解得，解得， 所以，所以. 9．（25-26高三下·陕西咸阳·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若函数在上可导，且，则 D．若一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 【答案】AD 【分析】利用基本导数公式、导数定义与导数的物理意义，逐个计算各选项推导结果并判断正误. 【详解】对于A ：根据指数函数求导公式：，对于，可得，A正确； 对于B ：根据商的求导法则：，对，， B错误； 对于C ：根据导数定义：，，C错误； 对于D ：位移对时间的导数为瞬时速度，由，代入得，即瞬时速度为1，D正确. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列求导运算正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，故D正确. 11．（25-26高三下·江西景德镇·期末）（多选）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】AD 【分析】设切点为，求导，由得，再根据,求出即可求解. 【详解】设切点为，求导，由得， ， 所以或．当时，，得； 当时，，得，所以或． 12．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线与曲线和均相切，则______. 【答案】 【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式得到切线方程，通过斜率相等和截距相等求解. 【详解】设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 因为，所以，则， 则曲线在点处的切线方程为， ，即， 这条切线的斜率为，截距为， 因为，所以， 曲线在点处的切线的斜率为， 则此切线方程为 解得，即， 即， 这条切线的斜率为，截距为， 则， 的两边同时取自然对数，得到， 化简得到，即， 将， 代入， 得到，即， 解得，则，，解得，， 故曲线在处切线为，曲线在处切线为， 则. 13．（25-26高三下·上海宝山·期末）已知函数，则________. 【答案】 【详解】由于，，所以. 14．（25-26高三上·河北廊坊·期末）函数．在点处的切线与直线垂直，则=______. 【答案】 【分析】先求函数导数得到处切线的斜率，结合两直线垂直斜率乘积为列方程求解. 【详解】， ， 则函数在点处的切线斜率为， 将直线整理为斜截式，可知其斜率为， 由两直线垂直，得，即，解得. 15．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）（1）设曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）求得，得到，根据题意，列出方程，即可求解； （2）求得，得到，得出切线方程为，联立方程组，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】解：（1）由函数，可得，当时，， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得； （2）由函数，可得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线与曲线只有一个公共点， 联立方程组，整理得， 当时，可得，解得，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的值为或． 16．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数．设l是曲线在点处的切线，且点A是曲线的最低点． (1)求点A的坐标； (2)若点T与点A不重合，求证：存在这样的切线l，使得l经过点A； (3)是否存在过原点的直线l，请直接写出结果（存在或不存在）． 【答案】(1) (2)曲线在处的切线斜率为，切线方程为：， 将代入切线方程：，整理得：， 设，则， 当时，，对应点处的切线， 又，， 则存在，且，使得， 即存在与不重合时，切线经过点，得证． (3)不存在，理由如下： 由（2）知曲线在处的切线方程为：， 若过原点，则， 整理得， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，取得最小值； ，则恒成立， 即方程无解， 故不存在过原点的直线l． 【分析】（1）利用导数求出函数的最小值即可得到点A的坐标； （2）根据导数的几何意义得到切线的方程，再把点的坐标代入，得到关于的方程，再利用导数结合零点存在定理判断即可； （3）根据（2）中的切线方程，再代入原点得到关于的方程，令，然后利用导数可得恒成立，方程无解，故不存在过原点的直线l． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，取得最小值； ， 故点的坐标为； （2）略 （3）略 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $