专题2.8 函数与方程【知识概要+12大题型+巩固训练】讲义-2027届高三数学一轮复习

专题2.8 函数与方程 知识点1：函数的零点 1.函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）若是函数的零点，则________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. 知识点2：零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 特别提醒两个易错点： (1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根. (2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或 知识点3：二分法 1、对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【跟踪训练】 3．（26-27高三·山东·学业考试模拟）下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于B，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于C，因为，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 对于D，函数为开口向下的抛物线与轴有两个交点，可以用二分法求零点. 题型一：求函数的零点 题型二：函数零点所在区间 题型三：判断函数零点的个数 题型四：根据函数零点个数求参数 题型五：根据零点的范围求参数 题型六：根据零点所在的区间求参数范围 题型七：根据一次、二次函数零点的分布求参数的范围 题型八：根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型九：求零点的和 题型十：比较零点的大小关系 题型十一：二分法 题型十二：函数与方程的综合应用 题型一：求函数的零点 1．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 令，则，解得，可知函数的零点为，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 因为，可知函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数不为偶函数，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有零点，故D错误. 2．（26-27高三·全国·学业考试复习）已知函数的图象过点．求： (1)的值； (2)的零点． 【答案】(1) (2)3， 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据函数零点的定义，通过解一元二次方程进行求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以，即， 解得． （2）由（1）得，令， 即．解得，或， 所以函数的零点为3，． 3．（26-27高三上·全国·课后作业）设分别是关于的方程和的根，则________． 【答案】4 【分析】将方程问题转化为函数交点问题，借助于反函数的性质即可求出答案. 【详解】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 4．（25-26高三下·山东威海·期末）对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用零点与方程思想，结合二次函数分类讨论零点存在的区间，即可得到参数的取值范围. 【详解】设，，则 ， 由二次函数的判别式 ， 当时，，此时， 由于有两个零点，都满足， 所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意； 当 时，，， 此时由于，开口向上， 的两零点分别位于 和 ，都满足 ， 所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意； 当 时，，， 此时由于，开口向上，有一个零点在 ，另一个零点在 ， 所以的一个零点和在 的一个零点就是的两个零点，故满足题意； 当时，的零点为，由于有两个零点， 仍然满足只有两个零点，故满足题意； 当时，的零点为，由于有两个零点， 此时有三个零点和，故不满足题意； 当 时，，， 因为，所以设两个零点分别为，则， 可知，此时有四个零点和，此时不符合题意， 综上，的取值范围是 . 题型二：函数零点所在区间 5．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 6．（26-27高三上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可. 【详解】已知， ，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 7．（26-27高三·山东·学业考试模拟）若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 【答案】C 【详解】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确； 若且连续，则满足零点存在性定理的两个条件， 所以在区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确． 8．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）下列函数在区间上存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和端点值的大小逐项分析每个选项求解. 【详解】对于A， 函数， ， 时，，，故，函数单调递增， 当时，， 所以在区间上恒成立， 所以函数在区间上不存在零点； 对于B，函数，， 在上，，故，函数单调递减； 当时，， 所以在区间上恒成立， 所以函数在区间上不存在零点； 对于C， 函数，， 令，则， 易知在上单调递增，，， 所以，使得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以，使得， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以函数在区间上恒成立， 所以函数在区间上不存在零点； 对于D， 函数， 时，； ​时，， 当时，，易得， 所以，使得， 所以函数在区间上存在零点. 题型三：判断函数零点的个数 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】令，将原方程转化为，分和两种情况解方程求其解，将求得的代回，再分和两种情况，分别求解对应方程的实根个数，最后汇总所有实根的总数. 【详解】令，原方程转化为， 当时，，整理得，唯一解为； 当时，，即，解得或， 因此满足的共有个值，，，. 当时，， 若，则，解为 ，方程有个根； 若，则，解为 、，方程有个根； 方程 共有个实根； 当时，， 因为，所以， 若，，方程无解； 若，，左边绝对值非负，右边为负，该方程无解； 方程共个实根； 当时，，显然， 若，则，方程无解； 若，有个解，分别为，， 所以方程共个实根， 所以方程的实根个数为. 10．（26-27高三上·河北张家口·阶段检测）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．30 【答案】C 【分析】先求出时函数的零点，结合函数周期得到零点个数 【详解】时，，令得， 解得或2， 又，即的一个周期为3， 所以函数在区间上的零点个数为. 11．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 12．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）函数的零点个数是_________． 【答案】4 【分析】将函数零点转化为两函数和在同一坐标系下的交点个数，即可求得结果. 【详解】令，可得； 画出函数和在同一坐标系下的图象，如下图所示： 易知，当时，， 又因为为偶函数， 显然在轴左侧，因为，所以如上图所示在轴左侧两图象仅有一个交点， 在轴右侧，因为，因此在轴右侧两图象仅有三个交点， 因此两图象共有4个交点， 即函数的零点个数是4个. 题型四：根据函数零点个数求参数 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题研究分段函数与含参绝对值函数的图像交点个数问题，将图像交点问题转化为方程实数解的个数问题；对参数分类讨论，结合绝对值的定义拆分方程，利用一元二次方程判别式与根的分布，判断根的个数与根所在区间，进而求出参数的取值范围． 【详解】函数的图象与函数的图象有4个不同的交点等价于有个不同的实数解， 当时，对于，，解得或，对于，，解得（舍去），故有个不同的实数解，不满足题意； 当时， 对于，，则或化简为或，两个实数解不同且小于零，满足条件， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为， 又该一元二次方程，所以化简后的方程有两个不相等的实数解，且一个为正实数解，一个为负实数解（舍去）， 故有个不同的实数解； 当时， 对于，，即，解得或，均不满足，该区间无解， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为，即或， 一元二次方程的，其有两个不相等的实数解，取其中正实数解，该解落在区间符合条件，负实数解舍去， 欲使有个不同的实数解，则有两个不相等且大于的正实数解，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 14．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】令，由可得，令，数形结合可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】令，由可得，令， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，直线与函数图象的交点个数为； 当时，直线与函数图象的交点个数为. 因为函数有四个零点， 则函数有两个不等的零点、，且、， 由二次函数的零点分布可得，解得. 故实数的取值范围是. 15．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数是上的偶函数，当时，，若有且只有一个解，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合偶函数的性质可得方程无正实数解，再分离参数并构造函数，利用导数求解. 【详解】由，得，令， 由函数是上的偶函数，得， 则函数是上的偶函数，若是函数的零点，则， 即也是函数的零点，由有且只有一个解，得函数的仅有一个零点， 因此函数有唯一零点0，当时，方程无实数解， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， ，即当时，，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，，因此函数的值域为，， 所以实数的取值范围为. 16．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用导数判断函数的单调性，画出草图，令，解方程可得或，结合图象分析，列出不等式求解即可. 【详解】， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 有极小值， 当时，，所以， 当时，，所以， 令，则原方程变形为， 即，解得或， ，所以， 所以当且时，方程恰有4个根， 解得，所以的取值范围是. 题型五：根据零点所在的区间求参数范围 17．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先通过导数判断函数在区间上的单调性，再结合零点存在定理列不等式求解的取值范围. 【详解】对求导得：. 当时，且，故，因此在上单调递减. 因为在内有零点，结合单调函数的零点存在性质，可得： ， 计算端点函数值： ，， 代入不等式得： ，解得，即. 18．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 19．（25-26高三下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 20．（2026高三下·全国·专题练习）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于给出的是开区间，且是减函数，所以判断有且只有一个极大值点，所以在上有零点，由此列出不等式，求解可得实数的取值范围. 【详解】，在区间上单调递减，且. 若函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得. 题型六：根据一次、二次函数零点的分布求参数的范围 21．（2026·浙江·二模）函数至多有______个零点． 【答案】1 【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可. 【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 22．（25-26高三·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先考虑时，不成立；再考虑时，有，从而解不等式即可. 【详解】当时，，显然不成立； 当时，函数在内有零点，需， 即，即，解得或， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 23．（25-26高三·全国·一轮复习）若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】∵ 函数的二次项系数为， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线. ∵ 的两个零点分别位于区间与内， ∴ . 解得. 24．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 【答案】 【详解】因为函数有且只有一个零点，即关于的方程有且只有一个实数根. 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得或； 综上所述， 的取值集合为. 题型七：根据指对幂函数零点的分布求参数范围 25．（25-26高三上·江苏泰州·期末）设函数，若，则的取值集合为______． 【答案】/ 【分析】利用函数的单调性分析得出两函数的零点必须重合才能满足题意，于是即可求解. 【详解】由题可得函数定义域为 因为，所以需同号. 因为两个函数均单调增，且值域为， 所以的零点必须重合，设此时零点为， 所以，即，解得. 26．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】方法一：应用换元法结合二次方程的根列式计算求解，方法二：应用换元法结合对勾函数的单调性结合图象得出参数范围. 【详解】令，得，即， 方法一：令，则，即，， 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二：设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 27．（25-26高三下·安徽六安·期末）已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查分段函数的图像与性质，需要将复合函数分层转化，将条件转化为有6个实数根，结合函数图像分析解的个数. 【详解】令，则恰有6个零点，等价于有三个不同的解， 且对应有6个实数根，由函数的图像，如图所示 则，，，， 当时，二次函数最大值在时取得，即， 则, 则二次函数与直线各有两个交点， 所以要满足有6个实数根， 则需即，解得. 故的取值范围为. 28．（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知若，则__________. 【答案】2 【分析】利用同构思想构造方程，再根据函数的单调性求解方程. 【详解】由题意可得，所以，即， 对于函数，在其定义域内为增函数，所以， 即，所以. 题型八：求零点的和 29．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原方程可整理为，令，由条件得出的对称性和周期性，画出两个函数的图像，交点个数为4，再由交点的对称性即可得到方程根的和. 【详解】由是定义在上的奇函数得，结合可得： ，因此, 即4为函数的一个周期，且其图象关于对称． 原方程可整理为，令， 因 则关于中心对称，故关于中心对称， 当时，的值域为， 结合对称性和周期性可知的值域是， 当时，在时取最小值2，如图所示： 当时，与共有2个交点，结合函数对称性可知， 时，两函数也有2个交点，共4个交点，且交点关于对称， 即原方程有4个实数根，所有根之和为8． 【点睛】本题的核心是利用函数的奇偶性、对称性、周期性简化方程根的计算，不需要直接求解每个根，利用对称点的横坐标之和直接得到总根之和． 30．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，令， 根据对勾函数单调性，在上单调递增，所以， 所以 31．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示，    若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 32．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】画出函数图象，利用对数的运算以及正弦函数的对称性即可求解. 【详解】作出函数的图象如下： 由图知：， 由，可得， 即，其中， 则， ，在上单调递减，故， 即 当时，，对称轴， 故， 所以. 题型九：比较零点的大小关系 33．（26-27高三上·广东清远·阶段检测）已知a，b，c分别是函数，，的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想可求解. 【详解】由，得，所以， 所以函数的零点为函数和函数的交点的横坐标. 同理可得函数的零点为函数和函数的交点的横坐标. 由，得，解得，所以. 令，求导可得， 当时，恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，即， 同理，令，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以作出函数，，的图象如图所示， 由图象可得，所以. 34．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程与方程的实数解分别是， 令， 则函数与的交点横坐标为，函数与的交点横坐标为， 函数，，的图像如下图所示： 故. 35．（25-26高三下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 36．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 题型十：用二分法求近似值 37．（26-27高三上·全国·课堂例题）用二分法求方程在区间内的实根，由计算器可算得，，，求下一个有根区间． 【答案】 【详解】因为，，， 所以下一个有根区间为. 38．（26-27高三上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】计算区间两端点处函数值，根据二分法定义判断. 【详解】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. 39．（26-27高三上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求在区间的近似零点值(精确到0.1)． 【答案】 【分析】由零点存在定理，先确定上有解，然后不断将区间平分，使其每次在两个端点处的函数值异号，且区间长度不超过为止. 【详解】由， 用计算器作出如下对应值表： 0 1 2 观察上表，可知零点在内，取区间中点，且，从而零点在内； 再取区间中点，且，从而可知零点在内． 同理取区间中点，且，从而可知零点在内． 同理取区间中点，且，从而可知零点在内． 由于，此时区间内任一值精确到后都是1.3， 故原函数在区间内的近似零点为 40．（25-26高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 题型十一：用二分法求函数零点 41．（26-27高三上·全国·课后作业）已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 【答案】(1)，， 即.又， ，则，. 又，，. (2)由题意得在内选取二等分点，则. ，∴在区间和内至少各有一个零点. 又最多有两个零点，∴方程在上有两个实根. 【分析】（1）根据已知条件列出不等式，进而证明即可. （2）根据零点存在定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 42．（26-27高三上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求函数和的图像交点的横坐标(精确度0.1)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先在同一个坐标系中画出两个函数的图像，直观地观察图像只有一个交点，估算该交点的位置，再用二分法求相应函数零点的近似值． 【详解】在同一坐标系中作出和的大致图像，可知两函数图像只有一个交点， 令， ∵， ∴函数的零点． 取的中点，用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． ∵， ∴两个函数图像交点的横坐标， 所以函数和的图像交点的横坐标可取中任意值，可取． 43．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【答案】 【分析】根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. 【详解】每进行一次函数值计算，区间长度变为原来的，进行次计算后，区间长度为， 则， 得，得， 得， 则要进行二分操作的次数为． 44．（25-26高三上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 题型十二：函数与方程的综合应用 45．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若关于的方程有两个实数根，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值对数方程求出两根 关于参数的表达式，代入转化为可利用基本不等式的形式，再求最小值. 【详解】函数，方程有两个实根，则， 由，，则， 即 ，， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号，因此的最小值为. 46．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，，若恰有四个不同解，则实数的取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出和的取值范围，通过分类讨论求出实数的取值. 【详解】令， 要求有四个解，即求的解， 又， 所以是偶函数， 取，，设 则， 所以在单调递增，且， 所以在单调递增，， 由偶函数性质可得， 当时，有一个解，当时，无解， 当时，，即，且在上单调递增， 则有且仅有一个能表示，即有一个解，且时无解； 当时，， ， 令， ， 故在单调递减，且， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，有， 且当时，有，当时，有， 则当时，有两个解，当时，有一个解， 当时，无解， 当时，有两个解，设为， 若，此时无解，则要有四个解， 又因为当时，在上，有一个解， 且当时，当时，有一个解，故总共仅有两个解，不符合题意，舍去； 若，则， 时，同理可得有两个解，时，同理可得有两个解，则共有四个解，； 若， 对于，因为当时，在上，有一个解，且当时，当时，有两个解，总共有三个解； 对于，同理可得共有两个解，综上总共有五个解，不符题意，舍去； 若，则，同理可得共有两个解，不符题意，舍去； 若，此时无解，不符题意，舍去， 综上所述，实数的取值的集合表示为. 47．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数，则方程的所有实数根之和为________． 【答案】 【分析】令，得到，再令，先判断出为奇函数，再求，求出的单调区间，从而画出函数的大致图象，再将求方程所有实数根之和转化为求两函数图象交点的横坐标之和，进而结合奇函数的性质即可求解． 【详解】令，则，则， 令，且， 又的定义域为，关于原点对称，所以为奇函数， 又， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在处取得极大值，且极大值为； 在处取得极小值，且极小值为， 又时，；时，， 所以函数的大致图象如下， 又，则， 要求方程的所有实数根之和，等价于要求的所有实数根之和， 令，即等价于要求与图象交点的横坐标之和， 结合上图，显然与的图象有三个交点，不妨设交点的横坐标分别为，，， 又为奇函数，则， 又，，显然得到，，， 又，则，则，即， 结合上图，显然方程有三个实数根，不妨设为，，， 则，即， 同理方程和分别有三个实数根，且每个方程的实数根之和均为， 又方程的所有实数根由，，的所有实数根组成， 所以方程的所有实数根之和为． 48．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点是，的零点是 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，根据零点的定义计算即可判断；对于B，先将条件转化为与有四个交点，再根据数形结合即可判断；对于C，分和两种情况计算不等式即可判断；对于D，令，将条件转化为函数与函数图象交点个数，再分，和三种情况分析，利用数形结合讨论函数零点即可判断． 【详解】对于A，因为，令，解得，所以函数的零点为， 令，解得，或，所以的零点是，或，故A错误； 对于B，若有四个零点，则与有四个交点， 又，则与的大致图象如下： 数形结合可得，若与有四个交点，则的取值范围为，故B正确； 对于C，由， 若，则，不符合题意； 若，则，即， 解得，故C正确； 对于D，令， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 则函数与函数的大致图象如下： 又的对称轴为， 当时，函数与函数的图象有个交点，且交点横坐标大于， 即， 结合选项B的图象知函数与函数有个交点， 且个交点关于对称， 此时方程有两根，且两根和为，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有个交点， 且交点的横坐标分别为，， 当时，即，解得，或， 当时，即，解得，，， 即函数与函数的图象有个交点， 则方程有个根，且这个根的和为，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有个交点， 即函数与函数的图象有个交点， 且交点的横坐标分别为，， 当时，结合选项B的图象知函数与函数无交点，不符合题意； 当时，结合选项B的图象知函数与函数有个交点， 且关于对称，所以个交点横坐标之和为， 所以方程有个根，且这个根之和为，符合题意， 综上，实数的取值范围是，故D正确． 1．（2027高三·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】二分法求零点有两个条件：1.函数在区间上连续；2.区间两端函数值异号，即（图像穿过轴）.    对于，图像与轴相交但没有穿过轴，不满足，错误； 对于，零点处图像与轴相切，零点两侧函数值都大于等于，同号，错误； 对于，连续曲线，存在区间使得两端函数值一正一负，穿过轴，正确； 对于，函数在零点处不连续，不满足二分法前提，错误. 2．（26-27高三上·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 3．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 4．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）若函数的零点所在区间为，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为函数与函数均为增函数, 所以函数为增函数, 因为,, 所以函数的零点所在区间为, 所以. 5．（25-26高三上·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 【答案】B 【分析】根据分段函数分别讨论方程在与上的解的个数，由存在三个不同实根确定的范围，再表示并逐项判断． 【详解】当时，． 若在上有两个不同的解，则且，即． 当时，在上单调递增，且值域为，因此方程有唯一解． 于是存在使当且仅当，故A错误． 由，得，故B正确． 又，故C错误； 并且从而，其最大值不能取到，故D错误． 6．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用换元法，令，由得出，方程化为；恒有1根，只需让段恰有1根，解不等式得到a的取值范围． 【详解】令，方程化为， ， 若，由得， 若，，当时无解；当时有无穷多解，不符合题意． 故只有解，原方程等价于， 当时，，解得，始终有1个根； 当时，，则，，即， 解得， 要使该根满足，则，，， 故当时，方程有两个实根，和， 即实数的取值范围是． 7．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理得出的取值范围，并求出、的值，即可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，故， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，故， 由可得，即，故. 8．（25-26高三下·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可． 【详解】由，得， 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ，，，结合与的图象， 可知与的图象在内共有2个交点， 则与的图象共有5个交点，且关于点对称， 则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为． 9．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据分段函数单调性的性质、值域的性质、函数零点的性质，结合数形结合思想逐一判断即可. 【详解】A：当时，， 当时，，因为， 所以此时不等式的解集为. 当时，， 当时，，此时不等式的解集为， 所以原不等式的解集为，因此本选项说法不正确； B：因为函数是实数集上的增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当函数为上的增函数时，必有， 在同一直角坐标系内，函数和的图象如下图所示，显然两个函数都是实数集上的增函数，且，当时， 由数形结合思想可知：当时，，当时，， 所以不等式的解集为，因此本选项说法正确； C：函数在上的值域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，该函数的值域为， 当时，该函数的值域为. 若函数的值域为， 当时，则有，由选项B的解答可知该不等式的解集为， 当时，则有，解得该不等式的解集为， 综上所述：实数的取值范围是，所以本选项说法不正确； D：因为函数的零点为， 函数的零点为， 所以当函数恰有两个零点时，实数的取值范围是，因此本选项说法正确. 10．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（　） A． 是偶函数 B． 在 上单调递增 C． 有 个零点 D． 的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据偶函数定义判断A，应用二次函数单调性判断B，结合零点定义计算判断C，应用二次函数最值判断D. 【详解】，且定义域为R， 是偶函数，A 对； 时 ，在 上单调递减、 上单调递增，B 错； 令 得 ，即 ，共 3 个零点，C 对； ，当 时取等，D 对. 11．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，，所以， 所以B，C正确，A错误. 12．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将函数零点问题转化为方程的实根个数问题，通过求导分析函数单调性、极值与值域，结合判别式确定的取值范围. 【详解】函数有两个零点等价于方程有两个不同的实根， 由题可知函数的定义域为，求导得：， 令，解得临界点： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故函数极小值为，极大值为； ，当时，因此的值域为， 由，整理得：， 当时，方程为，仅有个实根，不符合“两个零点”； 当时，方程为一元二次方程，若要有两个不同实根， 需满足判别式：，解得，即， 且当时，方程仅有唯一实根或，不符合两个零点的要求； 故时，方程恰好存在两个不同的实根，即的两个零点， 综上实数的取值范围为. 13．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】先分析函数的图像，再把函数有6个零点转化为二次函数根的分布问题，最后列不等式求解即可. 【详解】函数有6个零点,即有6个解，令，原方程化简为， 草图如下 要想有6个解需满足有2个解， 且，令，是开口向上的二次函数，对称轴为， 如下图： 所以，即， 解得：，即. 14．（2026高三上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 【答案】7 【分析】画出时函数的图象，数形结合即可求出方程解的个数. 【详解】 如图，我们先绘制出时函数的图象，因为当时，， 故将时的函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩小为原来的，即可得到时函数图象， 再利用前述规则即可画出整个的函数图象（三条虚直线方程依次是，和）． 方程的解为或，由图可知的解有3个． 因为是奇函数，由对称性可知方程的解的个数与的解的个数相等，显然此方程有4个解． 综上，方程的所有实根个数为7． 15．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的方程，命题：方程有两个根且都大于1，命题：方程至少有一个正根． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数根的分布，联立、对称轴、三个条件求解即可. （2）先分三种情况求出当命题为真时的的取值范围，再结合（1）的结果求并集即可. 【详解】（1）设，若命题为真命题， 则 解得 取交集得 即实数的取值范围为. （2）若命题为真，分情况讨论： ①方程有两个正根，则 解得. ②方程有一个正根、一个负根，则 解得. ③方程有一个根为0，一个正根，则 ，解得， 此时方程根为0和8，符合要求. 综上，为真时. 由（1）可知，为真时, 则命题和命题至少有一个为真命题时， 实数的取值范围为. 16．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，其中． (1)若是偶函数，求的值； (2)当时，设函数，当时，求的最小值； (3)若有四个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的性质求解；（2）对自变量取值分类讨论去绝对值，分段求函数的最小值；（3）同样对自变量取值分类讨论去绝对值，每段都是二次函数，根据有四个不同零点的条件，用二次函数的判别式求参数的取值范围 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以对，有， 即， 化简得，对恒成立，则或； （2）当时，，则， 当时， 当时，，当时，， 当时，，当且仅当时，即当时，等号成立； 当时，，即函数在上单调递增，所以在时取最小值， 因为， 所以的最小值为； （3）令，则， 若，则，，则至多只有一个零点，与条件不符； 若，则方程只有一个解，故只有一个零点，与条件不符； 若， 当时，，当时，， 因为有四个不同零点，所以上述两个二次方程应分别有两个不同的实数根， 当时，，当时恒成立， 此时， 要使，即要，即要，显然此式恒成立，故， 因此当时，函数有两个不同的零点，； 当时，， 要使，则， 此时该方程的两个根为，， 当时，，，则，； 当时，，； 因此当时，若，函数有两个不同的零点，； 综上所述，要使有四个不同的零点，的取值范围为 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 函数与方程 知识点1：函数的零点 1.函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）若是函数的零点，则________. 知识点2：零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 特别提醒两个易错点： (1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根. (2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点3：二分法 1、对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【跟踪训练】 3．（26-27高三·山东·学业考试模拟）下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 题型一：求函数的零点 题型二：函数零点所在区间 题型三：判断函数零点的个数 题型四：根据函数零点个数求参数 题型五：根据零点的范围求参数 题型六：根据零点所在的区间求参数范围 题型七：根据一次、二次函数零点的分布求参数的范围 题型八：根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型九：求零点的和 题型十：比较零点的大小关系 题型十一：二分法 题型十二：函数与方程的综合应用 题型一：求函数的零点 1．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·学业考试复习）已知函数的图象过点．求： (1)的值； (2)的零点． 3．（26-27高三上·全国·课后作业）设分别是关于的方程和的根，则________． 4．（25-26高三下·山东威海·期末）对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________． 题型二：函数零点所在区间 5．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 7．（26-27高三·山东·学业考试模拟）若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 8．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）下列函数在区间上存在零点的是（   ） A． B． C． D． 题型三：判断函数零点的个数 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（26-27高三上·河北张家口·阶段检测）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．30 11．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 12．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）函数的零点个数是_________． 题型四：根据函数零点个数求参数 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 14．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围为______． 15．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数是上的偶函数，当时，，若有且只有一个解，则实数的取值范围为______． 16．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是________． 题型五：根据零点所在的区间求参数范围 17．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 18．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 19．（25-26高三下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 20．（2026高三下·全国·专题练习）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六：根据一次、二次函数零点的分布求参数的范围 21．（2026·浙江·二模）函数至多有______个零点． 22．（25-26高三·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 23．（25-26高三·全国·一轮复习）若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 24．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 题型七：根据指对幂函数零点的分布求参数范围 25．（25-26高三上·江苏泰州·期末）设函数，若，则的取值集合为______． 26．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 27．（25-26高三下·安徽六安·期末）已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知若，则__________. 题型八：求零点的和 29．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（    ） A． B． C． D． 30．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围是______. 题型九：比较零点的大小关系 33．（26-27高三上·广东清远·阶段检测）已知a，b，c分别是函数，，的零点，则（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高三下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 36．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 题型十：用二分法求近似值 37．（26-27高三上·全国·课堂例题）用二分法求方程在区间内的实根，由计算器可算得，，，求下一个有根区间． 38．（26-27高三上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．（26-27高三上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求在区间的近似零点值(精确到0.1)． 40．（25-26高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 题型十一：用二分法求函数零点 41．（26-27高三上·全国·课后作业）已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 42．（26-27高三上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求函数和的图像交点的横坐标(精确度0.1)． 43．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 44．（25-26高三上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 题型十二：函数与方程的综合应用 45．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若关于的方程有两个实数根，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，，若恰有四个不同解，则实数的取值的集合为（    ） A． B． C． D． 47．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数，则方程的所有实数根之和为________． 48．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点是，的零点是 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为，则实数的取值范围是 1．（2027高三·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（    ） A．B． C． D． 2．（26-27高三上·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）若函数的零点所在区间为，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高三上·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 6．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 9．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 10．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（　） A． 是偶函数 B． 在 上单调递增 C． 有 个零点 D． 的最小值为 11．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 12．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 13．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 14．（2026高三上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 15．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的方程，命题：方程有两个根且都大于1，命题：方程至少有一个正根． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 16．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，其中． (1)若是偶函数，求的值； (2)当时，设函数，当时，求的最小值； (3)若有四个不同的零点，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $