专题3.3 导数与函数的极值、最值 讲义【知识概要+8大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题3.3 导数与函数的极值、最值 知识点1：函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． （4）求极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． （5）是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 【跟踪训练】 1．（2026·广东广州·模拟预测）（多选）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．定义域为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．极小值为 知识点2：函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【跟踪训练】 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知是函数的一个极值点． (1)求的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 题型一：函数(导函数)图像与极值点的关系 题型二：求函数的极值或极值点 题型三：根据极值、极值点求参数或取值范围 题型四：已知函数求极值点的个数 题型五：求函数的最值（不含参） 题型六：求函数的极值、最值（含参） 题型七：根据函数的最值求参数的值 题型八：函数单调性、极值、最值的综合应用 题型一：函数(导函数)图像与极值点的关系 1．（25-26高三下·四川乐山·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．有3个零点 B．是的极小值点 C．函数在区间上单调递减 D．的最大值是 2．（25-26高三下·上海静安·期末）已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 3．（25-26高三下·福建福州·期中）如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（   ） A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数 C．当时，取得极大值 D．当时，取得极小值 4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（   ） A．函数有极大值，无极小值 B．函数有极小值，无极大值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 题型二：求函数的极值或极值点 5．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 6．（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 7．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，则在内的极大值点为（ ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数，则的极值点为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型三：根据极值、极值点求参数或取值范围 9．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数在处取得极值，则（     ） A．或 B．或 C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值. 11．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）（多选）若函数无极值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型四：已知函数求极值点的个数 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的极值点个数. 14．（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．（2026高三·全国·专题练习）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. 16．（2026·江西·模拟预测）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．675 B．676 C．2027 D．2028 题型五：求函数的最值（不含参） 17．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值与最小值. 18．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知函数在处取得极小值. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值。 20．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数的一个极值点是． (1)求的值； (2)求在上的最值． 题型六：求函数的极值、最值（含参） 21．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 22．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求实数的取值范围． 23．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 24．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数并求出相应的极大和极小值点． 题型七：根据函数的最值求参数的值 25．（2026·河南·一模）已知函数的最大值为2，则（   ） A． B．1 C． D．2 26．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）若函数在上的最大值是3，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 27．（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数存在极小值，且极小值不小于，则实数的最小值为__________． 28．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若，求函数的极值； (3)若函数的最小值为0，求的值． 题型八：函数单调性、极值、最值的综合应用 29．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，，，求整数的最大值． 30．（26-27高三上·贵州黔西南·阶段检测）（多选）函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（   ） A．在上有三个零点 B．有最大值 C．在处取得极小值 D．既没有最大值也没有最小值 31．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 32．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，，求的取值范围． 1．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）函数 的导函数 的图象如图所示，则（    ） A．是函数 的极大值点 B． 在 处切线的斜率小于零 C．是函数 的最小值点 D． 在区间 上单调递增 2．（26-27高三上·江西·阶段检测）“”是“函数存在极值”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知函数有且只有一个零点，则k的值为（        ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）若是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若函数在其定义域的子区间内有极值点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若函数有两个不同的极值点，则a的范围（     ） A． B． C． D． 7．（2026·山东·模拟预测）已知函数的最大值为1，则实数（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（26-27高三上·江西·阶段检测）若时，，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·吉林长春·模拟预测）（多选）设函数，则（   ） A． B．是的极大值点 C．当时， D．函数有2个零点 10．（2027·辽宁鞍山·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．有两个零点 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 11．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）（多选）已知函数 ，下列选项中正确的是（    ） A．若在上存在单调递增区间，则 B．当时，在处的瞬时变化率为 C．当时，若在区间上有最大值，则 D．函数图象与直线相切，且满足条件的值有且只有3个，则 12．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）若函数在处有极值，则的极大值为________． 13．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________________. 14．（26-27高三上·江苏·开学考试）已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是_________ 15．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)判断函数的单调性; (2)求函数的极值； (3)方程在区间内有三个实数解，求的取值范围. 16．（2027·江西·模拟预测）已知函数（）． (1)若0为的极值点，求a的值； (2)若，求在上的最值； (3)当时，证明：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 导数与函数的极值、最值 知识点1：函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． （4）求极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． （5）是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 【跟踪训练】 1．（2026·广东广州·模拟预测）（多选）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．定义域为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．极小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，求出函数的定义域即可判断，对于B，利用奇偶性的定义即可判断；对于C，利用导数求出单调区间即可以判断；对于D，利用导数求出单调区间，再求出极值即可. 【详解】对于A，要使函数有意义，则即， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，由于函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，在上时，，， 令，得 解得 ； 令，得 解得 . 所以在上单调递减，上单调递增，故C错误； 对于D，由选项C，可知在上单调递减，上单调递增， 根据选项B可知函数为奇函数， 故在上单调递增，上单调递减， 处取得极大值，处取得极小值， 所以极小值为，故D正确. 知识点2：函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【跟踪训练】 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知是函数的一个极值点． (1)求的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为． 【详解】（1）函数，定义域为． 求导得：， 因为是的一个极值点，所以， 代入得：，解得， 将代入导函数：， 令，解得或． 当时，，单调递减；当时，，单调递增；故是极小值点，所以． （2）由（1）可知：当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在处取得上最大值，即． 又，， ， 即，所以在上最小值为． 综上：函数在上最大值为，最小值为． 题型一：函数(导函数)图像与极值点的关系 题型二：求函数的极值或极值点 题型三：根据极值、极值点求参数或取值范围 题型四：已知函数求极值点的个数 题型五：求函数的最值（不含参） 题型六：求函数的极值、最值（含参） 题型七：根据函数的最值求参数的值 题型八：函数单调性、极值、最值的综合应用 题型一：函数(导函数)图像与极值点的关系 1．（25-26高三下·四川乐山·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．有3个零点 B．是的极小值点 C．函数在区间上单调递减 D．的最大值是 【答案】C 【分析】从导函数图象得到函数单调性，并由零点，极值点，最值的定义出发进行判断 【详解】从图象可知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，C正确； 故不是的极值点，B错误； 是的极大值，不是最大值，D错误； 的零点个数不确定，A错误. 2．（25-26高三下·上海静安·期末）已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【答案】C 【详解】由导函数的图像可知，在区间内： 驻点为的点，由图像可得的点有4个，故A错误； 分析各零点处的符号变化： 第一个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 第二个零点：左侧，右侧，为的极小值点； 处：左右两侧均为正，符号不变，不是极值点； 第三个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 因此在内有2个极大值点，1个极小值点，共3个极值点，故B、D错误，C正确. 3．（25-26高三下·福建福州·期中）如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（   ） A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数 C．当时，取得极大值 D．当时，取得极小值 【答案】D 【详解】由图知，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，A、B错， 所以或时取得极小值，时取得极大值，C错，D对. 4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（   ） A．函数有极大值，无极小值 B．函数有极小值，无极大值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【答案】C 【分析】先根据图像分析出导函数的增减区间，进而分析出极值即可选出答案. 【详解】由函数的图象可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数有极大值，和极小值，C正确. 题型二：求函数的极值或极值点 5．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值． (2) 【分析】（1）函数求导得，研究函数单调性以及极值即可； （2）对原函数求导，条件可转化为恒成立，分离参数后求解的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则的极大值为，无极小值． （2）由， 得． 因为在上单调递增，所以， 即在上恒成立． 又，所以． 因为，所以． 故的取值范围为． 6．（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1)， (2)增区间是，减区间是和，极大值为，极小值为 【详解】（1）对求导，可得． 而切线方程的斜率为， 则，即， 又点在切线上，则， 所以，即， 解方程组，可得，． （2）由（1）知， 则． 令，得，故的增区间是， 令，得，故的减区间是和， 故的极大值为，的极小值为． 7．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，则在内的极大值点为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求导后令,可求出并得到的解析式;再解方程,由导数符号的变化确定极大值点. 【详解】由,得. 令,得,解得. 所以,. 令,得. 在内解得或. 当时,,,单调递增. 当时,,,单调递减. 当时,,,单调递增. 于是是的极大值点,是的极小值点. 即在内的极大值点为. 8．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数，则的极值点为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先求确定，再令得可能极值点，最后由单调性确定极值点. 【详解】 对函数求导得：， 则，化简可得：， 求解得：，所以， 因为定义域为，所以令，解得， 当 ，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以是函数的极值点. 题型三：根据极值、极值点求参数或取值范围 9．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数在处取得极值，则（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据极值和极值点处的导函数值为0列式求解，并代入检验即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得或， 若，则， 可知函数在定义域内单调递增，不存在极值，不符合题意； 若，则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极值，符合题意； 综上所述：，. 10．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义求得在处的切线的斜率，根据直线的点斜式方程可得； （2）通过讨论导函数的零点，并结合的极小值为，可确定的值. 【详解】（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为， 整理得. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. 11．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）（多选）若函数无极值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先对函数求导，再令，将有无变号零点转化为方程的根问题，用导数判断函数的性质可得. 【详解】由函数，定义域为，. 令，求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得极小值也是最小值为​， 且当时，当时，的值域为. 若无极值，则无变号零点， 若：方程无解，恒成立，单调递增，无极值； 若：方程仅有唯一解，且在左右不变号， 恒成立，是的零点，但不是变号零点，函数单调递增，无极值. 若：方程有两个解，且这两个解是的变号零点，函数有两个极值； 若：方程有一个解，且这一个解是的变号零点，函数有一个极值； 因此当时，函数无极值. 显然，，，所以ABD正确，C错误. 12．（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用函数在处有极值10，求出的值，再代入验证，即可求解. 【详解】函数定义域为R，. 因为函数在处有极值10， 所以，解得：或. 当时，. 令，得或；令，得. 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以函数在处有极值，符合题意. 当时，恒成立. 所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意. 综上所述：. 题型四：已知函数求极值点的个数 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的极值点个数. 【答案】(1) (2)当时，的极值点个数为1；当时，的极值点个数为0 【分析】（1）可将代入原函数和其导函数，分别求出和，然后利用点斜式方程书写即可； （2）通过对函数求导，得到，要求的是极值点的个数，我们可以转化为，两个函数图像的交点问题，通过对求导并判断单调区间，从而确定两函数图像的交点个数. 【详解】（1）当时，函数，则， 所以，又， 所以切线方程为，即； （2）因为，则， 因为，所以，所以的极值点满足， 当时，，所以无极值点， 当时，的极值点满足， 令，则， 当时，，则单调递增，所以， 当时，则与恰有一个交点， 当时，则与没有一个交点， 综上，当时，的极值点个数为1，当时，的极值点个数为0. 14．（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 故选：A. 15．（2026高三·全国·专题练习）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. 【答案】(1)； (2)当时，没有极值点；当时，有两个极值点． 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为， 即； （2）由，得，， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调递增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． 16．（2026·江西·模拟预测）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．675 B．676 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据极值点的定义，将问题等价转化为函数求零点，根据零点的定义，结合图象，可得变号零点存在的区间，结合题意，可得答案. 【详解】由题意可得． 当时，显然，于是， 易知符合条件的解为的变号零点，即的极值点， 于是的极值点均可视作的图象与直线交点的横坐标， 由可知交点必在第四象限． 当时，由图象可知的解集为． 故的图象与直线在每一个区间上有且仅有一个交点． 由解得，故满足条件的区间共676个， 于是的图象与直线在区间上共有676个交点， 即在区间（0，2028）上共有676个极值点． 故选：B． 题型五：求函数的最值（不含参） 17．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) 的单调递增区间为和，单调递减区间为. (2) 最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导后，利用导数的符号可得函数的单调区间； （2）根据单调性可得最大最小值. 【详解】（1）由，求导得，令，解得，， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 又因，，， 则可得在上的最大值为，最小值为. 18．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过周期定义、并求导分析函数的单调性进行求解. 【详解】因为的周期为，的周期为，故的周期为， 下面只要研究函数在的单调性， 由题意得， 因为， 令，解得或， 由，得或； 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， ， ， 所以． 19．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知函数在处取得极小值. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值。 【答案】(1)，单调递增区间为和 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）利用函数导数与极值求出参数，再结合函数导数与单调性求出单调区间即可； （2）利用函数导数与函数单调性，函数导数与函数极值（最值），分析求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为函数在处取得极值，则，即， 此时， 又，解得：， 所以，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，单调递增区间为和． （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，． 所以函数的最大值为4，最小值为． 20．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数的一个极值点是． (1)求的值； (2)求在上的最值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为． 【分析】（1）直接根据函数的极值点是可得，然后检验判断可得； （2）由（1）知，再用导数求函数在闭区间上的最值可得. 【详解】（1）由题意函数，函数的定义域为， 对函数求导得， 因为函数的一个极值点是， 令，解得. 经检验，当时，， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此是函数的一个极小值点，符合题意． 综上，. （2）由（1）可知, 所以，，且．      令，解得（舍去），      当时，，单调递减； 当时，，单调递增，      当时，取得极小值，也是最小值．      又，， 显然，所以是函数在上的最大值. 故在上的最大值为，最小值为． 题型六：求函数的极值、最值（含参） 21．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 【答案】(1) (2)当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值 【详解】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，故． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，令，得；令，得； 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为， 无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． 22．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求实数的取值范围． 【答案】(1)时，的增区间为，无减区间；时，的增区间为，减区间为. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，就分类讨论可得函数的单调性； （2）由（1）结果可得及，再根据题设条件构建新函数，利用导数判断其单调性后可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 若，则恒成立，故的增区间为，无减区间； 若，令，则， 当时，，当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上，时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. （2）因为有最大值，结合（1）的讨论可得， 且， 由题设有即， 设，则，故为上的增函数， 而，故的解为. 23．（25-26高三下·全国·课后作业）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减 (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【分析】（1）先对函数求导，再讨论、及即可； （2）结合函数单调性，讨论及即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，解得或， 当时，恒成立， 所以函数在上单调递增； 当时，解得或， 解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，解得或， 解得 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减， 在上单调递增，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 当时，， 函数在区间上的最大值为； 当时， 函数在区间上的最大值为； 综上所述，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 24．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数并求出相应的极大和极小值点． 【答案】(1) (2)当时，函数无极值点；当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为；当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为；当时，函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求出切线方程； （2）求导，分，，，四种情况分类讨论，根据导数研究函数的单调性，进而求出极值点. 【详解】（1）,, , 所以函数在处的切线方程为，即； （2）， 当时，恒成立，函数在上单调递增， 所以函数无极值点； 当时，令，解得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，令，解得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，恒成立，令，解得， 当时， ，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 综上，当时，函数无极值点； 当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 题型七：根据函数的最值求参数的值 25．（2026·河南·一模）已知函数的最大值为2，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】设，x＞0， 则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 显然当时，没有最大值， 当时，，故． 26．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）若函数在上的最大值是3，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将问题转化为函数在上的最大值是3，求实数的值，利用导数求极值，找到函数在上的最大值点，从而建立方程求解即可. 【详解】设，则， 所以， 将问题转化为函数在上的最大值是3，求实数的值， 因为， 令，得， 令， 则， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以， 所以当时，方程有两个解，设为 则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在处取极大值，也是最大值， 所以， 即， 又因为，即， 所以， 解得或(舍), 所以，所以， 所以， 所以. 27．（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数存在极小值，且极小值不小于，则实数的最小值为__________． 【答案】2 【分析】先求出函数的导数，再根据导数分析函数的单调性，进而确定极小值点，最后根据极小值不小于求出的取值范围. 【详解】已知，其定义域为， 根据求导公式可得：， 因为函数存在极小值，所以在上有解， 即在上有解，当时，，解得， 不在定义域内，舍去，当时，是一元二次方程， 根据一元二次方程求根公式可得：， 因为，所以，解得， 设的两根为，（）， 由韦达定理可知：，所以，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，将代入可得极小值， ，因为，所以， 则，又因为， 令，则， 已知极小值不小于，即，也就是， 移项可得，令， 则，所以在上单调递减， 又因为，所以的解为， 即，解不等式，因为， 所以，移项可得， 两边同时平方得，移项化简可得： ，即，因式分解得： ，解得或（舍去）， 综上所述：实数的最小值为. 28．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若，求函数的极值； (3)若函数的最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2)有极小值，无极大值； (3) 【分析】（1）求出函数导数可得，即可求解； （2）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 故. （2）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 题型八：函数单调性、极值、最值的综合应用 29．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，，，求整数的最大值． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2). 【分析】（1）对函数求导，从而确定导数的正负及单调区间； （2）由（1）先求左式最小值。再将其转化为关于的不等式恒成立问题，构造新函数求最值以确定的范围. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得；令，得．     所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，， 因为，，， 所以， 即，恒成立． 令，则， 令，则， 所以，即在上单调递增， 又，，所以存在唯一的，使得，即，     当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，     所以， 所以整数的最大值为． 30．（26-27高三上·贵州黔西南·阶段检测）（多选）函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（   ） A．在上有三个零点 B．有最大值 C．在处取得极小值 D．既没有最大值也没有最小值 【答案】BC 【详解】，零点为、，只有两个，A错误. 令得. 在小于0、大于0、小于0， 故为极小值点，为极大值点，C正确； 且当时，从而为最大值，B正确； 函数有最大值而无最小值，D错误. 31．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 在处取得最小值，最小值为． 令．由（1），． 因为，所以，从而，证明完毕． 【详解】（1）（1）定义域为．． 若，对所有都有，故在上单调递增． 若，则时，时． 所以在递增，在递减，最大值为． （2）略. 32．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)的取值范围为 【分析】（1）代入参数求导，根据导函数正负直接判定单调区间； （2）分离参数转化为恒成立问题，构造新函数求最小值，进而得到参数的取值范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得；令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）对，恒成立， 所以对于恒成立， 设，， 令，得；令，得；令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 所以当时，取最小值，且， 所以，即的取值范围为． 1．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）函数 的导函数 的图象如图所示，则（    ） A．是函数 的极大值点 B． 在 处切线的斜率小于零 C．是函数 的最小值点 D． 在区间 上单调递增 【答案】D 【分析】根据导函数的图象与单调性的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】由导函数 的图象可知：当时，，当时，， 对于AC，是函数 的极小值点，无极大值点，故AC错误， 对于B，由导数图象可知，故 在 处切线的斜率大于0，B错误， 对于D, 由于时，，故 在区间 上单调递增,D正确. 2．（26-27高三上·江西·阶段检测）“”是“函数存在极值”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据可导函数存在极值的充要条件：导函数存在两个不相等的实零点，求解函数存在极值时的取值范围，再结合充分必要条件的定义判断即可． 【详解】，， 必要性判断：∵函数存在极值， 有两个不相等的实数根，， 解得，可推出，必要性成立； 充分性判断：当时，恒成立， 则在上单调递增，不存在极值，充分性不成立． 因此“”是“函数存在极值”的必要不充分条件． 3．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知函数有且只有一个零点，则k的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将零点问题转化为直线与函数图像的交点问题，求导找到函数极小值点，计算函数最小值即为对应k值． 【详解】函数有且只有一个零点， 等价于方程，即在区间内有唯一实数解， 令，问题转化为直线与有唯一交点； 求导得，令得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，且当时，；当时，， 故． 4．（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）若是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，根据条件得，从而可求出，即可求解. 【详解】因为函数, 所以， 又是函数的极值点， 所以，解得， 所以， 当时，，当时，，当时，， 所以满足题意，故， 所以. 5．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若函数在其定义域的子区间内有极值点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式，求解即可. 【详解】函数定义域为， 由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得. 6．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若函数有两个不同的极值点，则a的范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，根据题意可得有两个不等的正根，进而得有两个不等的正根，令，求导，作出函数的图象与有两个不同的交点，可求得a的范围. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 由函数有两个不同的极值点，可得有两个不等的正根， 即有两个不等的正根，所以有两个不等的正根， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 作出函数的示意图如图所示， 要使有两个不等的正根，则与有两个不同的交点， 所以，所以，所以a的范围. 7．（2026·山东·模拟预测）已知函数的最大值为1，则实数（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题设可得，通过研究函数可得，随后分，两种情况讨论的最大值可得答案. 【详解】由题意，故可得：， 令，则， ， 得在单调递减，在上单调递增，从而. 当时，. 令，则在上单调递减. 注意到，则，使. 则，. 则在上单调递增，在上单调递减. 则，则时不满足题意. 当时，，令， 则在上单调递减，又， 则，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，满足题意. 综上可得：. 8．（26-27高三上·江西·阶段检测）若时，，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同构思想，并换元，将原不等式转化为，对恒成立，再利用分离参数的思想求参数范围，注意新元素的范围，需要分类讨论. 【详解】原不等式转化为，， 因为， 所以， 令，， 因为函数在上单调递增， 且时，；时，， 所以， 所以原不等式转化为，恒成立； 当时，， 令，则恒成立， 所以在上单调递减， 当时，， 所以此时， 所以，即； 当时，恒成立； 当时，， 令，则， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数取得极小值， 所以， 所以，即， 综上：， 所以的最大值为. 9．（2026·吉林长春·模拟预测）（多选）设函数，则（   ） A． B．是的极大值点 C．当时， D．函数有2个零点 【答案】AD 【分析】A选项，直接计算可得A正确；B选项，求导，得到是的极小值点，B错误；C选项，在B基础上得到函数单调性，求出函数值域；D选项，方程法求解函数零点. 【详解】A选项，， ，A正确； B选项，，令得，解得或2， 令得或，令得， 所以是的极小值点，B错误； C选项，由B知，在上单调递增，在上单调递减， 其中， 故当时，，C错误； D选项，令得，即，解得或3， 函数有2个零点，D正确 10．（2027·辽宁鞍山·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．有两个零点 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】对于A，对函数求导，结合函数极值点的定义，即可求解；对于B，比较出与的大小，并结合A中求得的函数的单调性，即可判断；对于C，由A中求得的函数的单调性，并求出极值，结合函数零点存在定理，即可求解；对于D，由A分析得极值点情况，可知极大值即为最大值，结合求得的的单调性，构造关于的不等式，即可求解． 【详解】对于A，对求导， 可得． 令，解得或． 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增. 因此，为极大值点，为极小值点，共2个极值点，故A正确； 对于B，当时，， 即，且，因此． 因为在上单调递增，所以，B错误； 对于C，由函数的解析式， 可得，． 当时，，且在上单调递增， 因此在上有1个零点，加上处的零点，共2个零点，故C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若在区间上有最大值，则最大值只能为极大值， 故需满足①极大值点在区间内， 即，解得； ②区间右端点对应的函数值不大于，即． 由C分析，可得． ． 因此等价于，解得， 结合，得的取值范围为，故D错误. 11．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）（多选）已知函数 ，下列选项中正确的是（    ） A．若在上存在单调递增区间，则 B．当时，在处的瞬时变化率为 C．当时，若在区间上有最大值，则 D．函数图象与直线相切，且满足条件的值有且只有3个，则 【答案】BCD 【分析】在上存在单调增区间等价于在上有解，求出参数范围可判断A；利用导数的几何意义可判断B；利用导数求出函数的单调性以及极值和最值可判断C；设切点坐标为，求出函数过某点的切线方程，结合直线过定点可得，分离参数得，构造函数，通过函数图象数形结合即可判断D. 【详解】对于A:在上存在单调增区间等价于在上有解， 在上有解， 则，得， 即，错误； 对于B:时，，， 则在处的瞬时变化率为，正确； 对于C:时，，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 要使在开区间上有最大值， 等价于在该区间内有极大值，且， 令，即，， ，即，解得或， 所以，正确； 对于D:设切点坐标为，对函数求导得， 所以曲线在处的切线方程为， 因为直线过定点， 将点的坐标代入切线方程 得， 由题意可知，关于的方程有三个解， 显然不满足方程，则， 令，则，列表如下： + − 0 + 单调递增 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的极小值为，且，如下图所示： 由题意可知，当时，直线与曲线有三个交点，正确． 12．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）若函数在处有极值，则的极大值为________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用极值点求出参数，进而求出极大值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数在处有极值，得，解得， 则，， 当或时，；当时，， 因此函数在处取得极大值，在取得极小值， 所以函数的极大值为. 13．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________________. 【答案】 【分析】求出函数的导数，由导函数在内有两个变号零点列式求出范围. 【详解】函数的定义域为， 求导得，由函数有两个极值点， 得在内有两个变号零点，则方程有两个不等的正根， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 14．（26-27高三上·江苏·开学考试）已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立，结合局部保号性可求参数的取值范围. 【详解】由于函数在上的最小值为1，结合在上恒成立， 因此可知，故对任意的恒成立，故， 因为，故只需在上恒成立即可， 故只需在上恒成立即可，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故，故需在上恒成立， 设，则， 因为在上为增函数， 故当即时有在上恒成立， 且不恒为零点，故在上为增函数，故， 即在上恒成立， 若，则，故存在，使得，总有， 即在上为减函数，此时即，这样题设矛盾； 综上可得. 15．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)判断函数的单调性; (2)求函数的极值； (3)方程在区间内有三个实数解，求的取值范围. 【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减 (2)极大值为，极小值为 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断原函数的单调性； （2）根据（1）中的单调性分析极值即可； （3）分析可知与在区间内有三个实数解，结合函数的图象即可得结果. 【详解】（1）因为的定义域为，则， 令，解得或；令，解得； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知：函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为. （3）若方程在区间内有三个实数解， 等价于与在区间内有三个实数解， 因为，可知函数在，上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 由图可知：，所以实数的取值范围为. 16．（2027·江西·模拟预测）已知函数（）． (1)若0为的极值点，求a的值； (2)若，求在上的最值； (3)当时，证明：． 【答案】(1). (2)在上的最大值为；最小值为. (3)要证，即证，即证,函数的定义域为， 构造函数（）， 求导得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，当且仅当取等号. 令，得：, 因为，所以, 构造函数, 求导得, 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以, 由于上述不等式链中，等号不能同时成立，理由如下： 若，则；此时，而，要取等号需； 若，此时，故第一个不等号 严格成立， 所以严格成立， 所以得证. 【分析】（1）利用极值点导数为零建立方程求出，并利用导数符号变化验证其为极值点； （2）代入值后，判断导函数在给定区间上的符号，得出函数单调性，进而求得最值； （3）通过将不等式转化为证明，巧妙利用常见切线不等式和 进行放缩，并说明等号不能同时成立完成证明. 【详解】（1）由题意知，函数的定义域为， 求导得， 因为为的极值点，所以，即，解得. 检验：当时，，设，， 故在 上单调递减， 又，所以当时，；当时，，此时为极大值点，符合题意. 所以的值为. （2）当时，，其定义域为， 求导得， 当时，，所以； 又，所以， 所以在区间上单调递减， 所以在上的最大值为； 最小值为. （3）略. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $