专题3.4 导数与不等式讲义 【知识概要+6大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题3.4 导数与不等式 知识点1：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理． ： 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）设 (1)解不等式： (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 知识点2：利用导数证明、解不等式问题 无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝. 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数，的最小值为，求的值； (3)证明：当时，． 【常用结论】 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 题型一：具体函数不等式求解 题型二：含导数抽象函数不等式求解问题 题型三：比较函数值大小 题型四：利用导数研究不等式恒成立问题 题型五：利用导数研究不等式有解问题 题型六：利用导数证明不等式 题型一：具体函数不等式求解 1．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州遵义·期末）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州黔东南·期末）已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型二：含导数抽象函数不等式求解问题 5．（25-26高三下·天津西青·期中）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·福建福州·期中）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，当时，且则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数．当时，，且，则不等式的解集是__________． 8．（25-26高三下·贵州毕节·阶段检测）（多选）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 题型三：比较函数值大小 9．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 12．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：不等式能成立或有解问题 13．（26-27高三上·江苏·期中）已知函数，，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在时恒成立，求k的取值范围； (3)若在时恒成立，求k的最大值． 15．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线斜率； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【提示：令】 16．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； 题型五：不等式恒成立、有解求参数 17．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是_________. 19．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）若对任意，存在使得，则的取值范围是______． 20．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）若存在实数，使不等式对一切都成立，则的最大值为（     ）． A． B．3 C． D． 题型六：利用导数证明不等式 21．（26-27高三上·天津蓟州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)当时，证明：． 22．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知函数． (1)已知，当对任意恒成立时，求的范围； (2)求证：． 23．（2027·江西·模拟预测）已知函数（）． (1)若0为的极值点，求a的值； (2)若，求在上的最值； (3)当时，证明：． 24．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； (3)当时，设，证明：． 1．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·全国·期中）已知函数，则使成立的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·全国·课后作业）已知则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏·模拟预测）已知定义在上的可导函数满足，且当时，．若，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若对任意 ，则实数的值可以是（    ）． A．2 B． C． D． 8．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·广西河池·阶段检测）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（   ） A． B．5 C．3 D． 10．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）以下不等式成立的有（     ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）（多选）若，使得成立，则a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 12．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知，，，若存在，使得，则m的最小值为_______． 13．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知在区间上恒成立，则的最小值为______. 14．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________． 15．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知函数，． (1)若有两个不同零点，，证明（为自然对数的底数）； (2)若恒成立，求的取值范围． 16．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)令，若恒成立，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 导数与不等式 知识点1：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理． ： 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）设 (1)解不等式： (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查对数不等式求解，对等价变形可解； （2）本题考查恒成立求参数范围：先将原式化为 ，参数全分离后构造函数 ，由导数符号表得其在 处取最大值 ，从而 . 【详解】（1）解不等式 ，即 ，即，变形可得，等价于 即：，即，即不等式解集为. （2）若恒成立，即 对恒成立， 因为， 即：恒成立 令 ，则 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，即 【点睛】本题考查对数不等式与恒成立问题的参数范围，重点考查定义域优先意识、参数分离与构造差函数求最值的能力。 知识点2：利用导数证明、解不等式问题 无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝. 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数，的最小值为，求的值； (3)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2) (3)证明：当时，， 要证，即证， 记函数，定义域为， 可得，令，， 由，可得在上单调递增， 因为，且， 所以存在，使得，令，则且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；所以， 将代入得，其中， 故，所以， 故当时，． 【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，求得函数的单调区间； （2）由函数，得到，当时，得到区间上单调递增，此时；当时，分和，两种情况讨论，分别求得函数的最小值，进而求得的值； （3）令，求得，令，得到在为单调增函数，结合零点的存在性定理，得到存在，使得，将代入得到，进而证得． 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，可得， ①当时，若，恒成立，恒成立， 可得，所以在内单调递减； ②当时，令，，可得；令得：， 所以在内单调递减，在内单调递增， 综上所述，当时，在内单调递减； 当时，在内单调递减，在内单调递增． （2）由函数，，可得， ①当时，，在区间上恒成立， 在区间上单调递增， 所以（舍去）； ②当时，令，可得， （ⅰ）当时，即， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 令函数，，可得， 所以函数为单调函数，所以，解得， 故关于的方程的解为； （ⅱ）当时，即，在区间上单调递减， 所以，解得（舍去）； 综上所述，实数的值为． （3）略 【常用结论】 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 题型一：具体函数不等式求解 题型二：含导数抽象函数不等式求解问题 题型三：比较函数值大小 题型四：利用导数研究不等式恒成立问题 题型五：利用导数研究不等式有解问题 题型六：利用导数证明不等式 题型一：具体函数不等式求解 1．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，使得与分离，再转化为关于的函数的最值，进而求出的范围. 【详解】当时，由得， 当时，恒成立， 因为 令，则，令，则， 所以在上递减，所以， 即的最小值为2， 所以此时， 当时,由得成立; 当时，恒成立， 因为，当且仅当时取等， 所以， （2）当时，由得恒成立， 令，则， 由得，由得， 所以函数在上递减，在上递增， 所以时，，所以， 综上所述：. 故选：B 2．（25-26高三上·贵州遵义·期末）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的定义域为，利用对数的运算对函数进行化简，证明函数关于直线对称，利用复合函数的单调性说明函数在上单调递增，利用函数的对称性和单调性解不等式即可求出答案. 【详解】函数的定义域为， ， ， 则函数关于直线对称， 当时，令，函数在上单调递增，， 对勾函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得在上单调递增， 又为增函数， 根据复合函数的单调性可得在上单调递增， 因为， 所以，即 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 3．（25-26高三上·贵州黔东南·期末）已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为关于轴对称，则关于对称， 又函数在是增函数，所以在是减函数， 由可得， 由函数的单调性以及对称性可得， 即，化简可得，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：D. 4．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 题型二：含导数抽象函数不等式求解问题 5．（25-26高三下·天津西青·期中）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，根据已知及奇偶性定义判断奇偶性，再对其求导判断上的单调性，结合对称性确定单调区间，进而判断区间符号，即可得. 【详解】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即为奇函数， 当，有，所以在上单调递减， 由奇函数的性质，在上单调递减，且， 由，则，即， 综上，上，上， 所以不等式的解集是. 故选：A 6．（25-26高三下·福建福州·期中）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，当时，且则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得：函数是奇函数，且在上递增，在上递增，由可得：，结合的单调性即可得解． 【详解】记. 因为， 当时，，所以在上递增， 又分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以是奇函数. 在上递增. 又，，， 由的单调性可得：当时，，即：， 当时，，不满足. 当时，，即：. 当时，，不满足. 综上所述：等式的解集是：. 故选D 【点睛】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性应用，还考查了导数公式，考查了分类思想，属于中档题． 7．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数．当时，，且，则不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由，构造函数，再结合偶函数把不等式化为，利用单侧单调性脱去即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数，,, 设，定义域是， 因为是偶函数，所以，所以也是偶函数， ， 已知时，即分子，又分母，故，故在上单调递增； 由偶函数对称性，在上单调递减，， 于是不等式等价于，偶函数满足，故，在上单调递增， 所以，结合定义域，得且， 则不等式的解集是. 8．（25-26高三下·贵州毕节·阶段检测）（多选）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】研究题中所给函数的性质，利用导数除法法则求出，由题得推出在单调递减，再根据自变量大小比较、、的大小，代入余弦值化简整理，进而判断选项正误. 【详解】已知，根据商的求导法则求导得： . 由题知，因此在上单调递减. 因为，结合单调递减性得： . 由，即， 整理得. 由，即， 整理得. 综上，选项A、B错误，选项C、D正确. 题型三：比较函数值大小 9．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，利用导数求出的单调性，即可求解. 【详解】观察可知：，，， 构造函数，， 求导， 故在单调递减， 所以，即. 10．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，研究其单调性，结合题设可得答案. 【详解】构造函数. ，则在上单调递减， 从而时，. 则， 又，则； ，从而在上单调递减， 从而时，. 则，又注意到， 则，综上可得. 【点睛】本题涉及常用不等式：当时，及时，.此外我们还可掌握以下不等式： ，；时，；时，. 11．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，根据单调性判断即可. 【详解】根据所给三个数的形式构造函数， 求导得， 令，则， 所以在上单调递增，故，即， 所以当时，，即在单调递减. 因为，所以，即. 12．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式范围计算化简比较大小，构造函数应用导函数得出函数单调性得出大小. 【详解】设，则，所以， 所以，所以，所以，所以； 设，又因为， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， ，， 所以，所以， 即，所以，即； 所以. 题型四：不等式能成立或有解问题 13．（26-27高三上·江苏·期中）已知函数，，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将函数不等式化成，指对同构令，再构造函数，利用导数分析单调性和最值可得． 【详解】由，得，即，即， 因为，令，，则，所以． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则． 14．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在时恒成立，求k的取值范围； (3)若在时恒成立，求k的最大值． 【答案】(1)时在R上单调递增，时在上单调递减，在上单调递增． (2) (3) 【分析】（1）求导，讨论参数，然后根据参数在不同范围内的情况判断函数的单调性. （2）由恒成立问题可知，，结合（1）中单调性判断. （3）将整理得，结合（1）中结论对进行讨论， 再结合恒成立问题求k的最大值. 【详解】（1）， ①时，，在R上单调递增； ②时，当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，时在R上单调递增，时在上单调递减，在上单调递增． （2）易知，由（1）易得当时或即时，在上单调递增 此时，成立； 当 即时，在上单调递减，因此，矛盾． 综上所述，k的取值范围为． （3）即， 即即，即， 由（1）得时在上单调递减，在上单调递增，此时，即， 因此有， ①当即时，成立； ②当，有，此时若即可证明矛盾， 若则有，令，则有，， 因此在上存在使， 此时， 即与矛盾， 综上，，即k的最大值为． 15．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线斜率； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【提示：令】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，对函数求导，求出，即为切线斜率； （2）令，把从不等式中分离出来，构造新函数，对新函数进行求导，利用函数的单调性，即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以， 故曲线在点处的切线斜率为. （2）令，则恒成立等价于， 即恒成立， 记，则， 再令，则， 于是在上单调递增，又， 所以有唯一零点， 当时，，单调递减；当，，单调递增，而满足，即， 令，则满足，其中， 又，所以时，，单调递增， 因此，即， 于是，即. 16．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求切点，再求导得到切线斜率，由点斜式求出切线方程； （2）先求导，根据导函数符号确定单调区间，再判断并计算函数极值； （3）采用分离参数法，转化为求函数的最大值，利用导数求出新函数的最值，进而得到参数的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以. ，所以切线的斜率. 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）若，则，定义域为，所以. 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）若对任意的恒成立，即在恒成立，变形可得. 令，所以 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故，所以，即的取值范围是. 题型五：不等式恒成立、有解求参数 17．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分离参数得到，构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系，结合有且只有一个负整数满足条件，列不等式组求解即可. 【详解】令，即. 因为，所以. 令，， 则. 令，则或（舍去，不满足）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又，为负整数，所以. 若唯一满足条件的是，则，无解. 若唯一满足条件的是，则，所以. 若唯一满足条件的是，即，此时，不满足唯一解. 同理，当时，不满足唯一解. 综上，的取值范围是. 18．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】令，利用导函数研究其单调性，最后根据即可求解. 【详解】若，则由得， 令，得， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 因为关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数， 所以，，得， 故的取值范围是 19．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）若对任意，存在使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，利用导数求得函数的最小值，再利用导数求解的最大值即可得答案； 【详解】设，， 令，得, 当，即时，，在单调递增，； 当，即时，在上递减，在上递增，； 当，即时，，在上单调递减，. 因为对任意，存在使得， 所以，，即，则， 令，当，，， 故在上单调递减，此时， 当，在上单调递减，此时， 所以对任意，恒有，所以在上的最大值为， 所以，要使得对任意，都有，则， 所以，的取值范围是. 20．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）若存在实数，使不等式对一切都成立，则的最大值为（     ）． A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为存在，使得对成立，令，利用导数求出的最小值，进一步转化为存在，使得，令，利用导数求出的最大值，得解. 【详解】存在，使得不等式对成立，即， 令，则，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以存在，使得， 令，，则， 令得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故即可，即的最大值为. 题型六：利用导数证明不等式 21．（26-27高三上·天津蓟州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)当时，证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，增区间为，，极大值为，极小值为， (2)由（1）知， 则， 设，则，且在单调递增，所以， 又因为， 所以在单调递减， 所以，所以. 【分析】（1）求导并讨论导函数正负，即得解； （2）先化简不等式为，构造，求导分析其在上的最小值不小于0即可完成证明 【详解】（1）函数定义域为，因为， 当单调递增；当单调递减； 当单调递增； 所以，的极大值为，的极小值为， 综上，单调递减区间为，增区间为，，极大值为，极小值为， （2）略 22．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知函数． (1)已知，当对任意恒成立时，求的范围； (2)求证：． 【答案】(1) (2)由题意即证， 即证， 令，则，， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增， ，故，，即得证. 【分析】（1）令，根据题意求导判断单调性求出其最小值即可； （2）将不等式化为，令，求导判断单调性即可证明. 【详解】（1）由对任意恒成立，得， ，对任意恒成立， 令，则， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增， ，故. （2）略. 23．（2027·江西·模拟预测）已知函数（）． (1)若0为的极值点，求a的值； (2)若，求在上的最值； (3)当时，证明：． 【答案】(1). (2)在上的最大值为；最小值为. (3)要证，即证，即证,函数的定义域为， 构造函数（）， 求导得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，当且仅当取等号. 令，得：, 因为，所以, 构造函数, 求导得, 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以, 由于上述不等式链中，等号不能同时成立，理由如下： 若，则；此时，而，要取等号需； 若，此时，故第一个不等号 严格成立， 所以严格成立， 所以得证. 【分析】（1）利用极值点导数为零建立方程求出，并利用导数符号变化验证其为极值点； （2）代入值后，判断导函数在给定区间上的符号，得出函数单调性，进而求得最值； （3）通过将不等式转化为证明，巧妙利用常见切线不等式和 进行放缩，并说明等号不能同时成立完成证明. 【详解】（1）由题意知，函数的定义域为， 求导得， 因为为的极值点，所以，即，解得. 检验：当时，，设，， 故在 上单调递减， 又，所以当时，；当时，，此时为极大值点，符合题意. 所以的值为. （2）当时，，其定义域为， 求导得， 当时，，所以； 又，所以， 所以在区间上单调递减， 所以在上的最大值为； 最小值为. （3）略. 24．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； (3)当时，设，证明：． 【答案】(1) (2) (3)当时，， 要证，即证， 即证， 设，，即证， 而， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以，得证， 故. 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与的图象在上有交点，利用导数分析函数的单调性，进而得出的图象，数形结合，即可求解； （3）根据条件，设，，将问题转化成求证，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以 ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）已知函数（），定义域为，且， 令，得到， 已知在其定义域上存在极值点，即在上有变号零点， 则与图象在上有交点， 而， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又时，，，时，，其图象如图所示， 由图可知，要使与图象在上有交点， 则（时，仅有一个零点，但不变号），即，所以的取值范围为. （3）略 1．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数奇偶性以及单调性，将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，只需要即可，并考虑函数定义域即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增， 且在上单调递增， 所以在上单调递增， 又定义域为， 且，所以是偶函数， 因为，所以， 又，所以，所以化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递减， 所以时，最小，且为， 所以，， 又时，，不符合题意， 所以或， 即的取值范围是. 2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数的运算法则及导数研究单调性，结合奇偶性解不等式，即可得. 【详解】令，则，结合题设， 当时，，即在上单调递减， 因为为定义在上的奇函数， 则， 所以在上为偶函数，且，则在上单调递增， 由，即，即， 故， 综上，不等式的解集为. 3．（26-27高三上·全国·期中）已知函数，则使成立的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，再由奇偶性和单调性将不等式化为，两边平方并整理求解即可． 【详解】由的定义域为且， 所以是偶函数，则等价于， 由于在上单调递增，而在上单调递增， 则在上单调递增， 故在上单调递增， 可得，两边平方并整理得 ，解得, 故使成立的取值范围为. 4．（25-26高三下·全国·课后作业）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，通过求导判断函数的单调性，利用单调性即可比较三个值的大小. 【详解】因，不妨设函数，则， 令，得，令，得， 因此在上单调递增，在上单调递减. 又，则，即． 5．（2026·江苏·模拟预测）已知定义在上的可导函数满足，且当时，．若，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，对函数求导并利用导函数符号以及函数奇偶性得出函数的单调性，将不等式变形利用其单调性解不等式即可. 【详解】可知函数为奇函数， 令，则， 当时，，即，也即； 可知函数在时单调递减， 且满足，因此可得为奇函数， 根据奇函数性质可知在上单调递减， 由可得， 即，因此，解得； 因此的取值范围是. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察的结构，构造，先判断奇偶性，再求在上的单调性，把抽象不等式转化为自变量大小关系求解. 【详解】构造函数，其中，则，所以为上的奇函数， 当时，，所以函数在上为增函数， 由是偶函数的导函数，在上处处可导，则在上处处连续，所以函数在上连续，所以奇函数在上为增函数， 因为，则， 由得，可得，解得，即的取值范围为． 7．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若对任意 ，则实数的值可以是（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】分别算出和的最值，根据即可判断的范围，得出答案. 【详解】设，则， 故时，，单调递减； 时，，单调递增， 故有最小值． 设，则， 故时，，单调递增； 时，，单调递减， 故有最大值， 当时，有，， 则，符合题意， 又2在取值范围内，故的值可以是2. 8．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导判断函数的单调性,再计算正整数点的函数值,满足有且只有两个正整数解，根据正整数解的个数推导a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 求导：， 所以当时，，故，函数在上单调递增， 当时，，故，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值， . 因为时单调递减，所以所有正整数点的函数值满足： ， 代入计算得： ，，， 因为有且只有两个正整数解,结合时单调递减， 可知这两个正整数解只能是和，因此需要满足： ， 所以. 9．（25-26高三下·广西河池·阶段检测）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】BD 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以函数为奇函数， ， 因为当时，，即， 所以函数在上单调递减， 又函数为奇函数，则在上单调递减， 又，所以，所以， 当时，令，则， 当时，令，则， 所以的解集为， 所以选项BD符合题意. 10．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）以下不等式成立的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A根据幂函数的单调性判断可得；对B根据指数函数的单调性判断可得；对C构造函数，并用导数判断单调性，进而可判断大小；对D先将不等式变形为，再构造函数，并求导判断函数单调性进而可判断大小. 【详解】选项A：由幂函数，幂指数，因此该函数在上单调递增， 因为，所以，A成立. 选项B：考察指数函数，底数，因此该函数在上单调递减， 因为，所以，B不成立. 选项C：构造函数，求导得， 当时，，单调递增， 因此，即，整理得，C成立. 选项D：要证，只需证，即证. 构造函数，求导得​， 当时，，单调递增， 因为，所以，即， 所以原不等式成立，D成立. 11．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）（多选）若，使得成立，则a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】AC 【分析】由条件，使得成立，等价于，利用导数求出在上的最小值即可判断a的值. 【详解】设，由题意知，使得成立，等价于， 由，令，则， 又，知，所以两边同时平方，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因，则当时，，故，因此选项只有A和C符合. 12．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知，，，若存在，使得，则m的最小值为_______． 【答案】 【分析】将问题转化为存在，使得，构造函数，结合导函数研究其最小值. 【详解】因为存在，使得， 即存在，使得， 所以存在，使得， 令，则， 则， 令，则， 则在上单调递增， 因为，， 所以存在使得， 则当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为，所以m的最小值为 13．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知在区间上恒成立，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将问题等价于恒成立，即，求导后分和两种情况分析单调性和最值可得. 【详解】设， 题目等价于恒成立，即， ①时，，不合题意； ②时，在单调递减，在单调递增． ，即，解得， 所以a的最小值是． 14．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________． 【答案】 【分析】令，利用导数求出的取值范围，原不等式恒成立可化为恒成立，分类讨论后分离参数，构造函数，利用导数求其最值即可得解. 【详解】因为 ， 所以恒成立， 设 ，则 为增函数， 由 可得， 所以时， ，时， ， 函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，且时， ， 所以，令 ，则， 即恒成立， 当时， ，对任意 成立， 当 时，令， 则，当时， ，函数在上单调递减，， 当时，由原不等式可得恒成立，所以； 当时，令 ，解得 ， 所以时，，时，，所以在单调递减，在上单调递增，故， 当 时，由原不等式可得恒成立，所以， 综上，不等式恒成立需满足，即. 15．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知函数，． (1)若有两个不同零点，，证明（为自然对数的底数）； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)设的两个不同零点为，设， ， ， 故欲证，即，只需证， 即，即证， 设，上式转化为， 设， ， 在上单调递增， ， ，即． (2) 【分析】（1）设出两个零点，代入函数表达式，将要证明的不等式转化为证明，构造函数，利用导数求得的最小值大于零，由此证得原不等式成立. （2）问题转化为恒成立，设，利用导数求其最大值，即可得解. 【详解】（1）略. （2）由恒成立，得恒成立， 即恒成立， 设，则， 设，则， 所以在上单调递减， 又，， 所以存在唯一实数，使得，即， 两边取对数得， 移项得， 设，则， 所以函数在单调递增，所以，则， 由时，时， 可得时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 所以. 16．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)令，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值． (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减． (3) 【分析】（1）当时，求导，利用导数分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分、、三种情况讨论，利用分离参数法可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，且， 令得，列表如下： 减 极小值 增 当时，取极小值，无极大值． （2）． ①当时，则，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令得，令得或， 故在、上单调递增，在上单调递减； ③当时，（仅处取等），故在上单调递增； ④当时，令得，令得或， 故在、上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减． （3）， ①当时，对任意的恒成立，符合题意； ②当时，由，可得，即， 令，其中，则， 求导得， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，无最小值，此时不合乎题意； ③当时，由，可得，即， 所以，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $