专题3.5 导数与函数的零点问题 讲义【知识概要+6大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题3.5 导数与函数的零点问题 知识点1：解函数零点问题的一般思路 (1)对函数求导． (2)分析函数的单调性，极值情况． (3)结合函数性质画函数的草图． (4)依据函数草图确定函数零点情况． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·河南郑州·期末）已知函数，，若有3个根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点2：利用函数零点的情况求参数范围的方法 (1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用零点的存在性定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 知识点3：解“隐零点”问题的一般思路 1.隐零点就是指一个函数 ，可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用他的存在去解答题目. 2.在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法． 【跟踪训练】 3．（25-26高三下·北京海淀·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则． 题型一：函数零点个数的判断与证明 题型二：根据函数零点的情况求参数取值范围 题型三：与零点相关的不等式证明问题 题型四：利用“隐零点”研究极值、最值问题 题型五：利用“隐零点”确定参数取值范围 题型六：利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 题型一：函数零点个数的判断与证明 1．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知函数． (1)若，，求函数在处的切线方程； (2)若，讨论函数的零点个数． 2．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，为的导函数，讨论的零点个数. 3．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）已知函数． (1)若的一个极值点为，求的极大值； (2)求的单调区间； (3)讨论的零点个数（直接写出结果）． 4．（25-26高三下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数，则方程的根的个数为 ______． 题型二：根据函数零点的情况求参数取值范围 5．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）函数，若方程恰有3个不等的实数根，则实数的取值范围是___________. 6．（25-26高三下·宁夏石嘴山·期末）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（多选）函数，关于的方程，下列说法正确的是（     ） A．函数的值域为 B．函数的单调减区间为， C．当时，则方程有6个不相等的实数根 D．若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 8．（25-26高三下·黑龙江·期中）（多选）已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 题型三：与零点相关的不等式证明问题 9．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，； (3)若有两个零点，求的取值范围． 10．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 11．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递减区间； (2)对，恒成立，求实数的取值范围； (3)若曲线上存在两个不同的点、，使得、关于直线对称，求证：． 12．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知，函数，. (1)证明：当时，对于任意，恒成立； (2)已知时，曲线和有公共点， （i）若，求的取值范围； （ii）证明：. 题型四：利用“隐零点”研究极值、最值问题 13．（2026·山东·模拟预测）已知函数，为的导数． (1)求在处的切线方程； (2)证明在区间存在唯一极大值点； (3)证明有且仅有2个零点． 14．（25-26高三下·四川遂宁·期末）已知函数在处的切线斜率为，，若在上恒成立，则能取到的最大正整数为_________ 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（25-26高三上·安徽·阶段检测）（多选）已知函数，若在区间上有零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 题型五：利用“隐零点”确定参数取值范围 17．（25-26高三下·四川成都·期中）设函数f（x）= ex－ax－3，a∈R，其导函数为． (1)求函数f（x）的单调区间； (2)若a = 1，k为整数，且当x＞0时，，求k的最大值． 18．（25-26高三上·河南·阶段检测）设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 19．（25-26高三下·广东广州·期末）已知函数，，其中a为实数，e是自然对数的底数. (1)若时，证明：，； (2)若在上有唯一的极值点，求实数a的取值范围. 20．（25-26高三上·山西忻州·阶段检测）已知函数. (1)若是的极值点，求的单调区间； (2)若关于的方程恰有一个解，求a的取值范围. 题型六：利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 21．（25-26高三下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 22．（25-26高三下·四川成都·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若恒成立，求整数的最大值. 23．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在内恒成立，求整数的最大值. 24．（25-26高三下·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 1．（25-26高三下·全国·期末）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）已知函数有唯一零点，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数，则（    ） A．没有零点 B．有一个零点，且该零点等于1 C．有两个零点，且两个零点之和大于 D．有两个零点，且两个零点之和小于 4．（26-27高三上·四川成都·开学考试）如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·河南·开学考试）已知实数，为方程的两个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26高三下·重庆江津·期中）已知关于的方程至多有两个不同实数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·广西南宁·一模）已知函数有4个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·四川南充·模拟预测）若函数，有两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·山东烟台·阶段检测）（多选）关于三次函数，下列说法正确的是（    ） A．的极大值为 B．的极小值为 C．有个不同零点 D．的图象关于点中心对称 10．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（    ） A．当 时，在上单调递增 B．存在，使得恰有三个不同的零点 C．当 a = 1 时， 对任意 恒成立 D．当 时，恰有两个零点 11．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．有且仅有一个零点 B．在区间单调递减，在区间单调递增 C．关于的方程有两个不同的实数解 D．曲线有两条经过点的切线 12．（25-26高三上·湖北·期末）已知方程有唯一实根，则实数的取值范围是__________. 13．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若方程恰有5个不等实根，则实数的取值范围是__________． 14．（26-27高三上·福建莆田·阶段检测）关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 15．（25-26高三下·山东济宁·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 16．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，设． (1)若，证明：当时，成立； (2)若，在上不恒成立，求a的取值范围； (3)若恰有三个不同的根，证明：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 导数与函数的零点问题 知识点1：解函数零点问题的一般思路 (1)对函数求导． (2)分析函数的单调性，极值情况． (3)结合函数性质画函数的草图． (4)依据函数草图确定函数零点情况． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·河南郑州·期末）已知函数，，若有3个根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以将问题分为和两部分来考虑，再将变量分离，对新得到的函数进行单调性分析，最后综合考虑求解. 【详解】当时，，令，得， 设，对求导，可得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减，在处取到最大值， 当，，则， 当，增长速度远慢于的增长速度，则； 当时，，令，得， 设，对求导，可得， 则在上单调递增， 当，增长速度远快于的增长速度，则， 当，增长速度远快于的增长速度，则； 因此我们大致可以得到以下图像： 因此我们把问题有3个根，转变成了与的图象共有三个交点， 观察图象知，当时上述条件成立. 知识点2：利用函数零点的情况求参数范围的方法 (1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用零点的存在性定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1) （或） (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求切点处的导数值得切线斜率，结合切点坐标写出切线方程； （2）将方程等价变形为，利用导数分析的单调性、极值与极限趋势，确定直线与有两个交点时的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 所以，，即切点坐标，切线斜率为， 由点斜式得切线方程为，整理得. （2）对变形，因恒成立，得， 则方程有两个不等实根等价于直线与曲线有2个不同交点. 令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故在处取极小值，极小值为， 又当时，；当时，且. 【点睛】综上，当时，直线与有两个交点，即的取值范围为. 知识点3：解“隐零点”问题的一般思路 1.隐零点就是指一个函数 ，可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用他的存在去解答题目. 2.在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法． 【跟踪训练】 3．（25-26高三下·北京海淀·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则． 【答案】(1) 时的递减区间为，递增区间为. (2) (3) 由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点； 时，在上递减，在上递增，且， 所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷， 所以，在上存在唯一，使， 要证，只需在上恒成立即可， 令，若，则， 令，则，即在上递增，故， 所以，即在上递增，故， 所以在上恒成立，得证； 故. 【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间； （2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围； （3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论. 【详解】（1）由题设， 当时，令，则， 若，则，在上递减； 若，则，在上递增； 综上，时的递减区间为，递增区间为. （2）由， 当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求； 当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而， 所以在上递减，在上递增，要使对恒成立， 所以，只需， 令且，则，即递减， 所以，故在上不存在； 综上，. （3）略 【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可. 题型一：函数零点个数的判断与证明 题型二：根据函数零点的情况求参数取值范围 题型三：与零点相关的不等式证明问题 题型四：利用“隐零点”研究极值、最值问题 题型五：利用“隐零点”确定参数取值范围 题型六：利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 题型一：函数零点个数的判断与证明 1．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知函数． (1)若，，求函数在处的切线方程； (2)若，讨论函数的零点个数． 【答案】(1). (2)若，则无零点；若，则有1个零点；若，则有2个零点. 【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得到其极值，讨论极值的正负，即可得到函数的零点个数． 【详解】（1）当，时，， ， 所以. 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）当时，， 定义域为. 所以， 令， 则， 所以函数是增函数. 当时，，且， 所以存在，使得，即. 因为， 所以当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为 由，得，， 所以. 当时，； 所以若，则，所以无零点； 若，则，所以有一个零点； 若，则， 当时，， 所以， 所以有两个零点. 综上所述，若，则无零点； 若，则有一个零点； 若，则有两个零点. 2．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，为的导函数，讨论的零点个数. 【答案】(1). (2)当时，无零点； 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点. 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）求出，令，可得，将的零点问题转化为直线与的图象的交点个数问题，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）因为，，所以， 令，则， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 又，当时，，当时，， 所以当时，无零点； 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点. 3．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）已知函数． (1)若的一个极值点为，求的极大值； (2)求的单调区间； (3)讨论的零点个数（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和. (3)当时，无零点， 当或时，有1个零点， 当时，有2个零点. 【分析】（1）利用极值点处导数为零求出参数，再通过分析导数正负确定极大值点为并代入原函数求出极大值. （2）将导数通分并因式分解出两个根和，通过比较与及的大小关系，分类讨论导数正负以确定单调区间. （3）令将参数分离出来，转化为水平直线与新函数图像的交点个数问题. 【详解】（1）由， 则， 由题意得，即， 此时，则， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则为极小值点，符合题意， 所以的极大值为. （2）由题意得，令，解得， 当，即时， 因为，所以恒成立， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为， 当，即时， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为和， 当，即时，在上恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间， 当，即时， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为和. （3）令，整理得， 设，则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以对于任意，恒有，则， 设， 则， 设，则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，因此在上恒成立， 由此可知的正负完全由决定， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，且时，，时，， 如图： 所以当时，与无交点，此时无零点， 当或时，与有1个交点，此时有1个零点， 当时，与有2个交点，此时有2个零点. 4．（25-26高三下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图象；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图象即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 题型二：根据函数零点的情况求参数取值范围 5．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）函数，若方程恰有3个不等的实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】确定函数的单调性，结合函数图象，即可求解. 【详解】当时，， 求导得：， 当时，，单调递增； ，当时，由指数函数的增长速度可判断，且 当时，，单调递减；此时， 当时，单调递增，且， 画出函数图象如下： 对于， 当时，的图象过二四象限，并经过坐标原点， 此时与只有一个交点， 即方程只有1个实数根，不符合题意； 当时，的图象过一三象限，并经过坐标原点， 下面计算与，相切时的取值， 设切点坐标为由， 可得，又， 联立解得，如上图，此时与有两个不同交点， 此时对的图象绕原点顺时针旋转，结合图象可知：当时，与有三个不同交点， 即方程恰有3个不等的实数根， 故实数的取值范围是. 6．（25-26高三下·宁夏石嘴山·期末）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将零点问题转化为与的交点问题，通过求导分析的单调性、极值与极限，即可确定的取值范围. 【详解】令，问题转化为与有2个交点时的取值范围. ，由于对任意恒成立， 因此当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 故的最小值为. 时，衰减速度远快于多项式增长速度，. 时，，且. 因此时，无交点，无零点， 时，仅1个交点，有1个零点， 时，有两个交点，有2个零点. 时，仅1个交点，有1个零点. 因此的取值范围是. 7．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（多选）函数，关于的方程，下列说法正确的是（     ） A．函数的值域为 B．函数的单调减区间为， C．当时，则方程有6个不相等的实数根 D．若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】先根据分段函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像，进而直接判断A和B；通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D. 【详解】当时，，则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. 当时，，. 当，，在单调递增； 当时，，在单调递减. 故，且恒有. 综上可知，，作出函数大致图象，如下图. 由图像可知函数的值域为，故A正确. 函数的单调递减区间由图可知为，，故B错误. 当时，则方程可化为或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由，有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确. 若关于的方程有3个不相等的实数根， 即与共有3个不相等的实数根. 又因为已有两个不相等的实数根0，， 则方程有且仅有一个根，且不为0，. 所以与有且仅有一个公共点， 由图象可知，满足题意，即的取值范围是，故D正确. 8．（25-26高三下·黑龙江·期中）（多选）已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】作出函数简图，根据方程有6个不同的实数解列出限制条件，进而可得答案. 【详解】当时，，. ，为增函数,，为减函数, 且. 其简图如下，    设，由图可知当时，方程有三个根， 因为方程恰好有6个不同的实数解， 所以在上有两个不等的实数根， 则，解得. 故选：CD 题型三：与零点相关的不等式证明问题 9．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)​ (2)为比较与，令，其中，则． 故在上单调递减，在上单调递增，所以，等号当且仅当时成立． 取，得，等号当且仅当时成立． 当时，，，且仅在时取等号，因此在上严格单调递增． 所以当时，，即所证结论成立． (3)​ 【分析】（1）求出切点坐标和该点处的导数，利用点斜式写出切线方程． （2）先利用对数函数的不等式得到，再由导数符号和证明结论． （3）注意恒为零点，按、、、分类．当时，将与的大小比较转化为研究的符号，确定的单调性，再结合连续性判断其余零点的个数． 【详解】（1）当时，，则，从而，， 故所求切线方程为，即． （2）略 （3）由题意，，． ①当时，由第（2）问证明中的（），得（），故只有零点，不符合题意． 当时，记，，为判断与的大小，令，定义域为． 则，所以在上单调递增，在上单调递减，且． 当从右侧趋近时，，当时，． 当时，，故，当时，由指数函数的单调性，、、分别等价于、、． ②当时，，由在上单调递减及知，结合连续性及上述单调性，在内有唯一零点，其另一零点为． 于是当且仅当，在定义域内其余非零点处，故在、上为正，在上为负． 因此在、上分别单调递增，在上单调递减． 又，当时，由连续性和单调性，在内恰有一个零点，在和上均为正，连同，恰有两个零点，符合题意． ③当时，由第（2）问证明可知在上严格单调递增，又，所以只有一个零点，不符合题意． ④当时，，由在上单调递增及知，结合连续性及（），在内有唯一零点，其另一零点为． 于是当且仅当，在定义域内其余非零点处，故在、上为正，在上为负． 因此在、上分别单调递增，在上单调递减． 又，当时，由连续性和单调性，在内恰有一个零点，在和上均为负，连同，恰有两个零点，符合题意． 综上，的取值范围为． 10．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1) (2) 当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2. (3)①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以.     ②当时，令，所以单调递增， 所以，即.又因为， 令， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以．所以，即． 综上可得，. 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性可得； （2）令，分离参数可得，构造函数，将的零点个数转化为与的图象交点的个数，利用导数分析函数的单调性及取值情况，即可得到的零点个数；将转化为，构造函数，利用导数分析的单调性，从而求得的极小值为，讨论其正负，即可得到的零点个数； （3）分和两种情况，构造新函数，利用导数分析新函数的单调性，即可证得. 【详解】（1）当时，函数，定义域为. 可得. 令，得到， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以函数在处取得最小值，最小值为， 所以恒成立，所以函数是增函数， 所以函数的单调递增区间为. （2）解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图，作出符合题意的图象， 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2.   解法二：因为， 设，当时，单调递减； 当时，单调递增；当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即，有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （3）略 11．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递减区间； (2)对，恒成立，求实数的取值范围； (3)若曲线上存在两个不同的点、，使得、关于直线对称，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解不等式，求解函数的单调递减区间； （2）利用分离参数法，转化为求解； （3）设,就、分类讨论后可得在在上存在变号零点，从而可证. 【详解】（1）时， ，的定义域是， 则，令得， ∴ 的单调减区间是 （2）∵时，恒成立， ∴恒成立  ∴恒成立， 令  ，则， ∴， 令  则， 得，得， ∴ 在 单调递增，在单调递减， ∴ ∴可知  恒成立， ∴在 单调递减. ∴， ∴实数 a 的取值范围是 ； （3）的定义域是，存在 ，使得， 令， 若，设，则， 故在上为增函数， 而时，，时，， 故在上存在唯一的零点， 且当时，；当时，， 故时，即，时，即， 当时，即， 不妨设，若，则即，与假设矛盾； 若，则，与矛盾； 若，则即，因此，故即， 矛盾； 故. 又，， 因为，故， 故存在，使得，且在的两侧附近异号， 故在上存在变号零点， 而，故在上存在变号零点，而， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，故即. 12．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知，函数，. (1)证明：当时，对于任意，恒成立； (2)已知时，曲线和有公共点， （i）若，求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) 当时，函数，， 令，， ，设，， 当时，，所以在单调递增， 又，所以时，，在单调递增， 又，所以时，，即， 所以对于任意，恒成立. (2) （i） （ii）方法1：柯西不等式 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 即， 由柯西不等式可知： 当且仅当时，等号成立， 又，所以， 当时，，所以， 设，，则， 因为，所以恒成立，在单调递增， 又，所以时，恒成立， 因为，所以，所以， 由(1)可知：，即，所以. 方法2：数形结合 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 即， 则点为直线上的动点， 又表示原点与点之间的距离， 所以大于等于原点到直线的距离， 即，所以， 设，，则， 因为，所以恒成立，在单调递增， 又，所以时，恒成立， 因为，所以，所以， 由（1）可知：，即，所以. 方法3：代入消元 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 因为，所以， 要证：，即证：， 即证：关于的不等式成立， 即证：根的判别式， ， 因为，所以即证：恒成立， 即证：对于恒成立， 由（1）可知：，又， 所以， 所以. 【分析】（1）构造新函数，利用二次求导法进行运算证明即可； （2）（i）利用转化法，通过构造函数，利用导数判断单调性进行求解即可； （ii）方法一：根据（1）的结论，结合构造函数法，结合导数的性质，利用柯西不等式进行运算证明即可； 方法二：根据（1）的结论，结合构造函数法，结合导数的性质，利用柯西不等式进行运算证明即可； 方法三：根据（1）的结论，结合构造函数法，结合导数的性质，利用代入消元法、一元二次方程根的判别式进行运算证明即可； 【详解】（1）略. （2）（i）时，令， 因为，所以，令，， 因为曲线和有公共点，所以直线与函数的图象有交点， 因为时，，所以在单调递增，， 当时，， 所以. （ii）略. 题型四：利用“隐零点”研究极值、最值问题 13．（2026·山东·模拟预测）已知函数，为的导数． (1)求在处的切线方程； (2)证明在区间存在唯一极大值点； (3)证明有且仅有2个零点． 【答案】(1) (2)由题意知定义域为且， 令，， ，， 在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递减， 又，， ，使得， 当时，；时，， 即在上单调递增；在上单调递减， 则为唯一的极大值点， 即在区间上存在唯一的极大值点． (3)，， ①当时，由（2）可知在上单调递增， 在上单调递减， 又， 为在上的唯一零点． ②当时，在上单调递增，在上单调递减 又， 在上单调递增，此时，不存在零点， 又， ，使得， 当，，当，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 在上恒成立，此时不存在零点. ③当时，单调递减，单调递减， 在上单调递减， 又，， 即，又在上单调递减， 在上存在唯一零点， ④当时，，， ， 即在上不存在零点. 综上所述有且仅有2个零点． 【分析】（1）对求导，求，，根据点斜式方程写出切线方程； （2）求二阶导数分析的单调性，分析上零点情况，判断零点个数； （3）分析在的单调性和零点，的单调性和零点，的单调性和零点， 的单调性和零点. 【详解】（1）， ，， 切线方程为． （2）略 （3）略 14．（25-26高三下·四川遂宁·期末）已知函数在处的切线斜率为，，若在上恒成立，则能取到的最大正整数为_________ 【答案】3 【分析】根据切线斜率可得，进而分离参数将问题转化为，构造函数，利用导数求解单调性，即可求解. 【详解】，， 由得， 故， 记， 由于，所以，有均为的单调递增函数， 所以为递增函数，， 故存在唯一的，使得，即， 故当因此单调递减，单调递增， 故， 由于，对勾函数在单调递减，故，所以， 所以能取到的最大正整数为3， 故答案为：3 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】设，，求出其导数后再次求导，就、可求满足条件的最小正整数. 【详解】设，， 则， 设， 则， 当时，，故， 而， 故当时，，故在为增函数， 故，故在为增函数， 所以即恒成立. 当时，， 故存在，使得任意，总有， 故在为减函数，故任意，总有， 所以任意，总有， 故在为减函数，故，这与题设矛盾， 故最小整数为0． 故选:A． 【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可以通构建新函数并结合导数的符号来确定新函数的最值，必要时需二次求导并结合局部保号性来处理. 16．（25-26高三上·安徽·阶段检测）（多选）已知函数，若在区间上有零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】由函数在区间上有零点，则，结合函数可知点在直线，由可以表示原点到点的距离，问题进行转化，然后构造新函数进行分析求出的值的范围. 【详解】设在区间上零点为，则， 所以点在直线上， 由，其中О为坐标原点． 又， 记函数，， 因为，所以在上单调递增 所以最小值为， 所以， 故选：BCD. 题型五：利用“隐零点”确定参数取值范围 17．（25-26高三下·四川成都·期中）设函数f（x）= ex－ax－3，a∈R，其导函数为． (1)求函数f（x）的单调区间； (2)若a = 1，k为整数，且当x＞0时，，求k的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)2 【分析】（1）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求出对应的单调区间；（2）参变分离得到在x＞0上恒成立，构造函数，求导得到其最小值的取值范围，从而求出k的最大值. 【详解】（1）f（x）的定义域为R，． 当时，则，f（x）在R上单调递增； 当a＞0时，则，解得：x = ln a． 当x变化时，，f（x）变化如下表： x ln a － 0 + f（x） 单调减 极小值 单调增 综上，当时，f（x）在R上单调递增； 当a＞0时，f（x）的单调减区间是（－∞，ln a），增区间是（ln a，+∞）． （2）由于a = 1，∴ ． 故当x＞0时， 等价于①， 令，则． 由（1）知，函数在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0， ∴ h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故在（0，+∞）存在唯一的零点． 设此零点为m，则． 当时，＜0；当时，＞0， ∴ g（x）在（0，+∞）的最小值为g（m）． 又由，可得：， ∴ ． 由于①式等价于，故整数k的最大值为2． 【点睛】对于求解参数的取值范围问题，参变分离是一种很重要的方法，适合于容易参变分离且分离后的函数容易求导，容易研究其单调性等性质. 18．（25-26高三上·河南·阶段检测）设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）最大值为2. 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间得解； （2）原题等价于，构造函数令，求出函数的最小值即得解. 【详解】（1）当时，，. 当时，；当时，；当时，； 故函数在上单调递增，在上单调递减. （2）， 因为，所以. 所以.所以. 令，则. ， 令，则. 则在上单调递增， 且，， 故在存在唯一的零点， 设此零点为，则且. 当时，，则，函数单调递减； 当时，，则，函数单调递增； 所以. 由，得， 所以. 而，所以的最大值为2. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求出函数的隐零点且，即.隐零点问题是导数中经常遇到的问题，要理解掌握并灵活运用. 19．（25-26高三下·广东广州·期末）已知函数，，其中a为实数，e是自然对数的底数. (1)若时，证明：，； (2)若在上有唯一的极值点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) 证明：因为若时，则，且， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以对，均有，当且仅当时，等号成立， 又因为对，均有，当且仅当时，等号成立， 所以对，. (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值，并结合正项函数的性质分析判断； （2）根据题意分析可得原题意等价于有唯一变号零点，参变分离，利用导数判断的单调性，结合图形分析求解. 【详解】（1）略 （2）因为，则， 原题意等价于有唯一变号零点， 令，整理得， 构建，则与有唯一交点， 因为， 且，则， 当，即时，则，可得； 当，即时，则，可得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 且， 可得，解得， 所以实数a的取值范围. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 20．（25-26高三上·山西忻州·阶段检测）已知函数. (1)若是的极值点，求的单调区间； (2)若关于的方程恰有一个解，求a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再利用导数求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明的单调性，由零点存在性定理可得存在使得，即可得到的单调性，从而求出的最小值，依题意可得，即可求出的值，从而得解. 【详解】（1）解：因为，所以， 因为是的极值点，所以，解得，经检验符合题意， 所以，，又与在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以当时，当时， 即的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）解：显然，又， 令，，则恒成立，所以在上单调递增， 且，， 所以存在使得， 当时，即，当时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时取得最小值， 由，可得，即，则， 因为关于的方程恰有一个解， 所以，即， 所以，当时等号成立， 由，可得，即的取值范围为； 【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 题型六：利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 21．（25-26高三下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 【答案】(1)； (2) 由（）可知为上的增函数． 因为，， 所以存在唯一的使． 从而有，． 因为时，；时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 所以， 所以． 【分析】（1）对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程； （2）由导数可知存在极小值点，即最小值，证明即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 且，， 因为，， 故所求的切线方程为， 即． （2）略 22．（25-26高三下·四川成都·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)1 【分析】（1）代入，求导分析导函数的正负区间即可； （2）参变分离可得，再构造函数求导可得，再构造，求导结合零点存在性定理可得，进而可得整数的最大值. 【详解】（1）当时，函数定义域为， . 由，解得；由，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意当时，，整理得. 令函数. 则. 令，则. 当时，恒成立. 在单调递增. 又，， ，使得，即. 时，；时，. 在单调递减，在单调递增， 则. 令函数.则. 在单调递增. . 又，而， . 又， . 整数的最大值为1. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数，结合零点存在性定理，进而确定函数在区间上最值的范围问题.需要根据题意参变分离，构造函数求导，设极值点，再确定零点所在区间，进而代入原函数可得极值范围.属于难题. 23．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在内恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求得函数的定义域为，求得，分别解不等式、可得出函数的单调递减区间和递增区间； （2）分析可知不等式在时恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，构造，利用导数研究其单调性，求得时，即可求得整数的最大值. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，， 令，解得：；令，解得：； 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由可得：， 记，， ①若，即，，则在上单调递增， 又时，，不合题意； ②若，即，令，则，令，则， 则在上单调递减，在上单调递增， ， 令， ， 则令，解得：，令，解得：； 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故整数的最大值为. 【点睛】方法点睛： 若证明恒成立，只要证明即可； 若证明恒成立，只要证明即可. 24．（25-26高三下·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. (3)4. 【分析】（1）当时，，求出其导函数，通过判断导函数的正负区间，得到函数的单调性，进而可求得其最小值； （2）将函数代入，得的解析式，求出其导函数，通过讨论得范围，求出函数的单调区间，进而可得其极值； （3）代入得值，将问题转化为对任意恒成立，令，即恒成立，通过求导，判断其单调性，求得得最小值即可. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 则， 令，即，解得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，即， 所以当时，的最小值为，此时. （2）由题意得，，其定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 所以不存在极值； ②当时，令，解得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，存在极大值，无极小值； 综上所述，当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. （3）由题意知，当时，不等式在上恒成立， 即，等价于在上恒成立， 设，即 则， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递增， 又，， 所以，使，即， 当，，即， 当，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 当，存在最小值，即， 由，得， ， 所以， 又，所以的最大值为4. 1．（25-26高三下·全国·期末）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，若 ， 在 上单调递增，不合题意； 若，讨论可知最小值， 有两个零点，最小值即可. 【详解】 若 ，则恒成立， 在 上单调递增，至多有一个零点，不合题意. 若 ，令 得. 当时 ， 当时， 所以 在 处取最小值 又当 时 （因为而） 当 时 ， 所以  有两个零点当且仅当最小值小于 0，即 因为 ，故，解得 . （端点检验：当 时最小值为 ， 只有一个零点 ，不合题意.故 . 2．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）已知函数有唯一零点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数配方换元，识别函数关于对称，函数仅有一个零点，根据对称性，零点只能落在对称轴处，代入直接解出参数． 【详解】， 设，则，， ， 所以为偶函数，即为偶函数， 所以的图象关于轴对称， 要使有唯一零点， 则只能，即， 解得． 3．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数，则（    ） A．没有零点 B．有一个零点，且该零点等于1 C．有两个零点，且两个零点之和大于 D．有两个零点，且两个零点之和小于 【答案】C 【分析】画出函数及的图像，判断出零点的个数，根据零点存在定理判断出零点的取值范围，进而求出两个零点之和. 【详解】令，得， 画出函数及的图像， 由图像可知函数和有两个交点， 所以函数有两个零点，且一个大于，一个小于， 又，所以为函数的一个零点， 又，，， 所以函数在上存在零点， 所以两个零点之和大于. 4．（26-27高三上·四川成都·开学考试）如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，求出切线方程，再将点代入，转化为和的图象有三个交点，利用导函数可求. 【详解】设切点为，因为，所以， 则切线方程为，即， 将代入得， 因为切线恰有三条，所以方程有三个根， 则和的图象有三个交点， 因为，所以当或时，单调递减； 当时，单调递增； 则，即， 则实数的取值范围为 5．（26-27高三上·河南·开学考试）已知实数，为方程的两个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用三次函数图象的对称性，设换元构造奇函数，结合函数的单调性计算即可． 【详解】令，设，则方程化为． 函数为奇函数且单调递增，则为偶函数， 所以的两个根关于对称， 即，关于对称，故，即，A正确． 6．（25-26高三下·重庆江津·期中）已知关于的方程至多有两个不同实数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为与至多有两个交点，令，利用导数法研究函数性质，利用数形结合即可求解. 【详解】方程至多有两个不同实数解，记， 则与至多有两个交点， 由可得， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为， 作出函数图象，如图， 由图可知，与至多有两个交点时，或， 所以实数的取值范围是. 7．（2026·广西南宁·一模）已知函数有4个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为偶函数，转化为时，方程有两个解，即和的图象在时有两个交点，令，利用导数求得函数单调性与最值，画出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 所以有4个零点，等价于当时，有2个零点， 当时，令，即， 若，则方程为，不符合题意，所以， 则方程可变形为，令， 则问题转化为和的图象在时有两个交点， 又由， 当时，，单调递增； 当时， ，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 当时，，所以； 当时，的增长速度远小于，所以， 当时，，解得， 即当时 ，；当时 ，， 画出函数的图象，如图所示， 要使得和的图象在时有两个交点， 结合图象，满足，解得，所以实数的取值范围为. 8．（2026·四川南充·模拟预测）若函数，有两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将条件转化为有两个实根，再构造函数，求导，判断的单调性，从而转化为函数与有两个交点，再构造函数，求导，判断的单调性，得到及的大致图象，进而数形结合即可得到的取值范围． 【详解】要使函数有两个零点， 即只需有两个实根， 即只需有两个实根， 设，则，所以在上单调递增， 又，则， 即只需有两个实根， 即只需函数与有两个交点， 令，（），则， 当时，；当时，， 则在上单调递增；则在上单调递减，所以， 又时，；时，， 所以函数与的大致图象如下： 数形结合，所以要使函数与有两个交点， 只需，解得，所以的取值范围是． 9．（26-27高三上·山东烟台·阶段检测）（多选）关于三次函数，下列说法正确的是（    ） A．的极大值为 B．的极小值为 C．有个不同零点 D．的图象关于点中心对称 【答案】ABCD 【分析】利用导数分析单调性求解极值，结合极值正负判断零点个数，利用可得中心对称. 【详解】由得， 令，得和. 当或时，；当时，. 所以函数在区间，上单调递增；在区间上单调递减. 对于选项A，当时，取得极大值，极大值为，故A正确； 对于选项B，当时，取得极小值，极小值为，故B正确； 对于选项C，由时，；时，；极大值；极小值，所以有3个不同零点，故C正确； 对于选项D，因为，所以的图象关于点中心对称，故D正确. 10．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（    ） A．当 时，在上单调递增 B．存在，使得恰有三个不同的零点 C．当 a = 1 时， 对任意 恒成立 D．当 时，恰有两个零点 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数单调性、极值与零点个数，结合指数函数性质，分类讨论参数，分析函数图象变化判断零点. 【详解】对函数求导得，逐一分析选项： 选项，当时，恒成立，故在上恒成立，因此 在上单调递增，正确； 选项，当时，令 得 . 时，单调递减；时 ，单调递增. 的图象先减后增，只有1个极小值点，函数最多有2个不同零点，不可能存在3个零点，错误； 选项，当 时，，极小值点为，极小值（也是最小值）为 ， 因此对任意恒成立，正确； 选项，当时，，的最小值为. 令，求导得，当时，，单调递减，得，即. 当时，，，故； 当时，指数函数增长速度远快于一次函数，故. 结合的单调性，可知在和上各有1个零点，共2个零点，正确. 11．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．有且仅有一个零点 B．在区间单调递减，在区间单调递增 C．关于的方程有两个不同的实数解 D．曲线有两条经过点的切线 【答案】ABD 【分析】先确定函数定义域为，求导得到，以此分析单调性、极值最值，再结合零点定义、切线方程逐一判断选项. 【详解】对于A，令，因为，所以，解得，是唯一零点，故A正确； 对于B，，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B正确； 对于C，由B知最小值为，故无实根，故C错误； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为，代入化简得. 设，， 在单调递减，在单调递增， 最小值，且，故有两个零点，即存在两条切线，故D正确. 12．（25-26高三上·湖北·期末）已知方程有唯一实根，则实数的取值范围是__________. 【答案】或 【分析】根据题意方程可化为，构造函数，则，根据函数在上递增，则，结合函数图象即可求解. 【详解】 令，则， 而在上递增， 结合函数和的图象易知， 当直线与相切时，或者直线的斜率时，符合题意. 若直线与相切，设切点， 又则切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 所以，故， 综上可知，实数的取值范围是或， 故答案为：或. 13．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若方程恰有5个不等实根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先得到不合要求，时，转化为有5个不等实根，构造函数，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】当时，，两者不相等，不是方程的实根， 当时，，令， 当时，，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 其中， 当时，， 画出的图象，如下： 要想方程恰有5个不等实根，需要满足 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是对原方程变形为，再利用导数和二次函数研究分段函数的图象，最后数形结合得到的范围. 14．（26-27高三上·福建莆田·阶段检测）关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】将方程化简变形为含参数的表达式，通过分离参数，转化为函数图象的交点问题，再由导数即可求解． 【详解】因为关于的方程有3个不同的实数根， 所以 ， 可得，解得，或，解得， 令，则， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得极小值，此时，因为原方程有3个不同实根，已知为1个根， 因此需要有2个不同实根，当时，，当时，， 因此当时，无实根；当时，有1个实根，不符合题意； 当时，在，上分别有1个实根， 共2个实根，均不等于0，则原方程总根数为3，符合题意； 当时，的根为，原方程总根数为2，不符合题意； 当且时，有1个实根，原方程总根数为2，不符合题意， 当时，有1个实根为，原方程总根数为1，不符合题意， 故实数的取值范围为. 15．（25-26高三下·山东济宁·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合极值点和极值可得，并根据函数单调性检验即可； （2）令，原题意等价于与有且仅有1个交点，利用导数判断的性质和图象，结合图象即可得结果. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 由题意可得：，解得， 则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极小值，即符合题意， 综上所述：. （2）对于方程，即为，可得， 令，原题意等价于与有且仅有1个交点， 因为， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 由图可知：或，所以实数的取值范围为. 16．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，设． (1)若，证明：当时，成立； (2)若，在上不恒成立，求a的取值范围； (3)若恰有三个不同的根，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）要证，只需要证明，构造函数利用导数处理单调性，继而求出最值，即可求解. （2），在上不恒成立, 等价于存在，使,构造函数，求导求最值，即可求解. （3）分情况讨论，当时，不可能有三个不同的根，故可知，进而可知，即可求解. 【详解】（1）若，则 设，令，，所以在时单调递增，且，故则 ，所以在上单调递增，故，故得证. （2）原命题等价于存在，使 ，即存在， 设，则，其中在上单调递增，且，所以在单调递增， 故，所以． （3）在定义域上单调递增， ①当时，，所以存在，使得，且为的极小值点．且，所以，故不可能有三个根． ②当时，同理，不符合要求． ③当时，，所以存在，使得，， 即，所以，所以，又因为，所以，所以，所以．得证． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $