专题2.9 函数模型及其应用【知识概要+8大题型+巩固训练】讲义-2027届高三数学一轮复习

专题2.9 函数模型及其应用 知识点1：常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0). (2)反比例函数模型：y＝(k≠0). (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0). (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0). (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0). 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）某科技园引入“光伏+储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为（单位：），该系统每天的“综合调度成本”（单位：元）由两部分组成：一是容量配置与维护成本，与成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与成反比，比例系数为800000.若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量应设计为__________. 知识点2：指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【跟踪训练】 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 知识点3：解答函数应用题的一般步骤 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 【跟踪训练】 3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 题型一：利用二次函数模型解决实际问题 题型二：分段函数模型的应用 题型三：分式型函数模型的应用 题型四：指数函数模型的应用 题型五：对数函数模型的应用 题型六：幂函数模型的应用 题型七：利用给定函数模型解决实际问题 题型八：建立拟合函数模型解决实际问题 题型一：利用二次函数模型解决实际问题 1．（26-27高三上·江西·阶段检测）某工厂生产一种产品，年产量为万件（），总成本（单位：万元），若每件产品售价为9元，且产品生产出来就可以卖出，则当年利润最大时，年产量为（    ） A．3万件 B．3.5万件 C．4万件 D．4.5万件 2．（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）某工厂生产一种产品，固定成本为万元，每生产一百件产品，成本增加万元．已知销售总收入（万元）与产量（百件）的关系为 (1)请将该产品的利润（万元）表示成产量（百件）的函数（利润总收入总成本） (2)若要求利润不低于万元，求产量的取值范围 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）某公园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心处达到最高，最高高度为.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，求这个装饰物的高度. 题型二：分段函数模型的应用 5．（26-27高三上·全国·课堂例题）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间t（min）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知：. (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 6．（25-26高三下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 7．（25-26高三下·山东潍坊·期中）某公司生产新型电子产品，年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为（万元），已知当年产量不超过10万台时，；当年产量超过10万台时，. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式 (2)求年产量为多少万台时，能使该公司年利润达到最大.（注：利润=销售收入-成本） 8．（25-26高三上·福建厦门·期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 题型三：分式型函数模型的应用 9．（26-27高三上·辽宁·期中）为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）. (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值. 10．（25-26高三下·江苏常州·阶段检测）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为600元，侧面的造价为400元．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价（单位：元）表示为水池底面边长（单位：m）的函数； (2)若（的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 11．（25-26高三上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 12．（25-26高三上·湖南郴州·期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 题型四：指数函数模型的应用 13．（26-27高三上·四川·期中）放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里. 14．（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（    ）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，） A．228 B．230 C．232 D．234 15．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）碳的半衰期约为年（即碳大约每过年衰减为原来的一半），经过年后，碳的含量 （为常数），从亿年到亿年，碳含量占比由变为 ，则（     ） A． B． C． D． 16．（26-27高三上·江西·开学考试）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 题型五：对数函数模型的应用 17．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过6万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过6万元时，若超过多出的部分为A万元，则多出的部分按万元进行奖励．已知业务员小雨获得了2.9万元的奖金，那么他的销售利润是（    ） A．13万元 B．15万元 C．18万元 D．20万元 18．（25-26高三下·山东·学业考试真题）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（    ） A．6 B．30 C．60 D．120 19．（26-27高三上·北京房山·开学考试）图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 20．（2026·贵州黔南·模拟预测）在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 题型六：幂函数模型的应用 21．（25-26高三·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 22．（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 23．（25-26高三下·上海闵行·阶段检测）某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元． (1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数； (2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？ 24．（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型七：利用给定函数模型解决实际问题 25．（25-26高三·全国·一轮复习）某无人机执行巡航任务，其电池能耗率R（单位：W）与飞行高度h（单位：）、飞行速度v（单位：）满足关系式：，若该无人机巡航时以匀速飞行，记，，则当高度由提升到时，提升前与提升后能耗率的比值为（    ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）汽车在行驶过程中，遇到特别情况需要刹车，从刹车（刹死车轮）到停止汽车所走过的路程称为刹车距离．已知某汽车的刹车距离s（单位：m）与速度v（单位：m/s）之间的关系可近似表示为．若该汽车在某路段行驶过程中，前方48 m处可能会突然出现障碍物，驾驶员从发现障碍物到刹车需经过1 s的反应时间，为了安全，汽车必须在障碍物的8 m处停住．则这辆汽车在该路段最大限制速度是（     ） A．15 B．16 C．20 D．24 27．（26-27高三上·江西·阶段检测）某共享储能电站参与电网调频调峰服务，其核心PCS储能变流器的年运维总成本由固定折旧成本和可变损耗成本构成，其中年度固定折旧成本为1万元．经测算，可变损耗成本（单位：万元）与年启停次数（单位：次，）满足函数关系．已知当年启停次数为2时，年运维总成本为6万元；若将视为区间上的连续变量，则当时，年运维总成本取得最小值． (1)求，的值； (2)受区域电网调度能力限制，该变流器年启停次数最多为5次． （i）求年运维总成本的最小值及对应的启停次数； （ii）若恒成立，求实数的最小值． 28．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）杨梅的保鲜时间很短，技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间（单位：小时）与失去的新鲜度满足函数关系其中，为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证杨梅销售时的新鲜度不低于85%，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）不能超过（     ） （参考数据：） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 题型八：建立拟合函数模型解决实际问题 29．（25-26高三上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 30．（25-26高三上·广东汕头·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 31．（25-26高三上·陕西渭南·期末）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 32．（25-26高三上·福建漳州·期末）近年来，漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题，聚焦漳州土楼，闽南古厝，漳州小吃等内容.从2025年初上线后会员人数逐月增加，下表是平台上线第个月的会员人数统计： 平台上线第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请恰当选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”，请问至少第几个月才能开启该专场直播. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知某省的人口总数约为，该省省会人口总数约为，则下列与的值最接近的数是（   ）（参考数据：，，） A．14 B．10 C．9 D．7 2．（26-27高三上·河南·阶段检测）工程师调试一个精密温控系统，该系统的偏差值与温度T（）的函数关系式为，若存在一个“平衡温度”，使得系统偏差值为0，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏镇江·模拟预测）某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 4．（2027高三·全国·专题练习）在某个物理实验中，测量得变量和变量的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.01 0.98 2.00 则对，最适合的拟合函数是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏淮安·一模）在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 6．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 7．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 8．（26-27高三上·辽宁·开学考试）一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（   ）（附：） A．6.3小时 B．7.9小时 C．9.3小时 D．10.5小时 9．（26-27高三上·湖南·期中）（多选）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（    ） A． B． C．采用方案①效率更高 D．无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 10．（25-26高三下·安徽宿州·期末）（多选）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积均为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是（　　） A． B． C．若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多10 D．假设科学家将菌的个数控制为5万，则此时（注：） 11．（2026·河南·三模）（多选）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 12．（2027高三·全国·专题练习）某厂生产某产品（万件）的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为_________万件时总利润最大． 13．（26-27高三上·浙江·开学考试）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 14．（25-26高三·全国·一轮复习）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，为种群数量的年增长率，为预测的年数，则下列说法正确的是______________ ①．当，则这期间种群数呈下降趋势 ②．当，则这期间种群数呈下降趋势 ③．若初始数量，年增长率为，则年后预测种群数量约为 ④．若初始数量，年增长率为，则年后预测种群数量约为 15．（25-26高三·全国·一轮复习）某工厂生产配件，一次性固定投入12万元；每生产1万件配件，原材料、人工等可变成本增加3万元（可变成本随产量成正比例变化）．经市场调研：单件售价（万元/万件）与产量（万件）满足一次函数关系式（其中），若产量4万件，售价14万元/万件，产量8万件，售价10万元/万件．政府为扶持生产，向工厂发放生产补贴：每生产1万件，补贴工厂万元（产量不足万件的部分按同比例进行补贴）．假定工厂生产的产品可以全部销售完． （总利润＝总销售额＋政府补贴－固定成本－可变成本） (1)求售价关于的函数关系式和自变量的取值范围； (2)求总利润关于的二次函数关系式； (3)若存在产量，使得工厂总利润不少于69万元，求的取值范围． 16．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱.龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性.某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点.通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完. (1)求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.9 函数模型及其应用 知识点1：常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0). (2)反比例函数模型：y＝(k≠0). (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0). (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0). (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0). 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）某科技园引入“光伏+储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为（单位：），该系统每天的“综合调度成本”（单位：元）由两部分组成：一是容量配置与维护成本，与成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与成反比，比例系数为800000.若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量应设计为__________. 【答案】2000 【详解】由题意可知，容量配置与维护成本为0.2x元，容量不足风险成本为元， 因此每天的综合调度成本. 又， 当且仅当时，等号成立. 故每天的综合调度成本最低时，储能电池的额定容量应设计为. 知识点2：指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【跟踪训练】 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的函数关系，先通过前2小时的过滤比例求出，再计算前4小时的剩余污染物比例，进而得到过滤掉的污染物占比. 【详解】由题意知，，因为前2小时过滤掉了污染物的， 则剩余污染物为，即，得， 则前4小时的剩余污染物量：， 即剩余污染物是，则前4小时过滤掉的污染物比例为. 知识点3：解答函数应用题的一般步骤 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 【跟踪训练】 3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ； (2)约6.5分钟。 【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程组求解； （2）根据（1）的结果，解方程. 【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 题型一：利用二次函数模型解决实际问题 题型二：分段函数模型的应用 题型三：分式型函数模型的应用 题型四：指数函数模型的应用 题型五：对数函数模型的应用 题型六：幂函数模型的应用 题型七：利用给定函数模型解决实际问题 题型八：建立拟合函数模型解决实际问题 题型一：利用二次函数模型解决实际问题 1．（26-27高三上·江西·阶段检测）某工厂生产一种产品，年产量为万件（），总成本（单位：万元），若每件产品售价为9元，且产品生产出来就可以卖出，则当年利润最大时，年产量为（    ） A．3万件 B．3.5万件 C．4万件 D．4.5万件 【答案】B 【详解】设总利润为， 则， 由二次函数的性质可得当时，总利润最大， 所以年产量为3.5万件. 2．（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由可得矩形的高，进而可得矩形的面积，再结合面积的范围可得边的范围. 【详解】如图，过作于，交于，则. 因为，所以，因此，即， 得，，所以矩形花园的面积， 又因为矩形的面积不小于，所以， 即，，解得. 因此的取值范围为． 3．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）某工厂生产一种产品，固定成本为万元，每生产一百件产品，成本增加万元．已知销售总收入（万元）与产量（百件）的关系为 (1)请将该产品的利润（万元）表示成产量（百件）的函数（利润总收入总成本） (2)若要求利润不低于万元，求产量的取值范围 【答案】(1)， (2) 【分析】根据利润总收入总成本求出利润的解析式. 【详解】（1）总成本=固定成本+可变成本=（万元）． 利润总成本：， 所以，. （2）令，即，解得或． 结合，得，即产量应在400件到1000件之间． 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）某公园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心处达到最高，最高高度为.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，求这个装饰物的高度. 【答案】 【详解】以圆形水池的圆心为原点，一条直径所在直线为轴，垂直于水面建立平面直角坐标系，如图所示， 依题意，水柱高度与之间的函数关系式可设为： 或， 由，可得；由，可得， 于是，所求函数解析式为 或， 当时，，所以装饰物的高度为. 题型二：分段函数模型的应用 5．（26-27高三上·全国·课堂例题）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间t（min）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知：. (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 【答案】(1)讲课开始10到20 min，学生的注意力最集中，能持续10 min (2)讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中 (3)老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目 【分析】（1）对分段函数讨论，当，,时，分析函数的单调性，求得最大值即可； （2）求出的值比较即可； （3）当与时，分别令，解得对应的值，求差即可得到结论． 【详解】（1）当时，是增函数， 当时，是减函数，且， 所以讲课开始10到20 min，学生的注意力最集中，能持续10 min. （2）因为， 所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中． （3）当时，令，得， 当时，令，得， 又， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目. 6．（25-26高三下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 【答案】(1) ，， (2) 小时 【分析】（1）根据及待定系数法求解析式中的参数值； （2）应用分类讨论研究时对应的自变量范围，即可得. 【详解】（1）由， 由图象知， 联立得，得，则， 由， 综上，； （2）由（1）知， 当时，，则， 所以，因此第一段满足条件的范围是， 当时，，则， 所以，因此第二段满足条件的范围是， 综上，总有效时长为小时. 7．（25-26高三下·山东潍坊·期中）某公司生产新型电子产品，年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为（万元），已知当年产量不超过10万台时，；当年产量超过10万台时，. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式 (2)求年产量为多少万台时，能使该公司年利润达到最大.（注：利润=销售收入-成本） 【答案】(1) (2)19万台 【分析】（1）根据利润=销售收入-成本写出年利润关于年产量的函数解析式. （2）分类讨论在和这两个区间上的最大值，然后比较大小，得出公司年利润的最大值. 【详解】（1）. （2）当时，，当时，. 当时， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 又，故年产量为万台时，公司年利润最大，最大利润为万元. 8．（25-26高三上·福建厦门·期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 【答案】(1) (2)每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30 000元． 【分析】（1）根据利润＝总收入－总成本分段代入求解即可. （2）结合二次函数及一次函数的最值求解即可. 【详解】（1）因为月产量为台，则总成本为， 所以当时，， 当时，， 综上，. （2）当时，. 所以当时，取得最大值，最大值为30000； 当时，是减函数， 所以. 综上，当时，的最大值为30000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30000元． 题型三：分式型函数模型的应用 9．（26-27高三上·辽宁·期中）为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）. (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值. 【答案】(1) (2)时，最小，最小值为 万元 【分析】（1）先由时求出，再结合建造费用和20年垃圾处理费用，构建关于的函数即可； （2）利用均值不等式即可求出的最小值及此时的值. 【详解】（1）因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理， 即时，，所以，即， 由题意，建造垃圾回收处理站的费用为， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此. （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 所以时，最小，最小值为万元. 10．（25-26高三下·江苏常州·阶段检测）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为600元，侧面的造价为400元．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价（单位：元）表示为水池底面边长（单位：m）的函数； (2)若（的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 【答案】(1)水池的造价，其中（单位：元） (2)时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 【分析】（1）根据已知确定底面积、侧面积，进而写出水池的造价，注意自变量的范围； （2）利用导数求函数的最值，并确定对应自变量即可. 【详解】（1）由题意，得水池的底面积为，侧面积为（单位：）， 所以水池的造价，其中（单位：元）； （2）对函数求导，得， 令，解得， 由，解得，故在区间上单调递减， 由，解得，故在区间上单调递增, 所以，时，取得最小值元， 时，取得最小值元， 因此，时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 11．（25-26高三上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 12．（25-26高三上·湖南郴州·期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据利润、成本、售价之间的关系进行求解即可； （2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知： . 当时， ； 当时， ， 所以2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式： （2）当时， ， 当时，函数有最大值； 当时， ， 当且仅当时取等号，即有， 所以当时，函数有最大值， 综上所述：2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 题型四：指数函数模型的应用 13．（26-27高三上·四川·期中）放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里. 【答案】 【分析】由题意建立方程解得，得到的解析式，即可求出. 【详解】由题意可知，，即， 代入得：，故. 14．（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（    ）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，） A．228 B．230 C．232 D．234 【答案】B 【详解】设“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过天，则， 即：，两边取对数得：，所以 而，， 代入得：. 15．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）碳的半衰期约为年（即碳大约每过年衰减为原来的一半），经过年后，碳的含量 （为常数），从亿年到亿年，碳含量占比由变为 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设经过亿年后，碳的含量为，经过亿年后，碳的含量为，由条件确定，，再判断结论. 【详解】设经过亿年后，碳的含量为，经过亿年后，碳的含量为， 由已知 ，， 所以，， 所以. 16．（26-27高三上·江西·开学考试）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 题型五：对数函数模型的应用 17．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过6万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过6万元时，若超过多出的部分为A万元，则多出的部分按万元进行奖励．已知业务员小雨获得了2.9万元的奖金，那么他的销售利润是（    ） A．13万元 B．15万元 C．18万元 D．20万元 【答案】C 【分析】先判断利润是否超过6万元，列出总奖金的等量关系，再根据对数的运算性质求出，即可求出销售利润. 【详解】由题可知，当销售利润为6万元时，奖金为万元，又小雨获得了2.9万元的奖金，大于0.9万元， 则利润超过6万元，超出的部分为A万元，所以，即， 所以，解得，因此，销售利润为万元. 18．（25-26高三下·山东·学业考试真题）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（    ） A．6 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】将已知声强代入声强级计算公式，结合对数运算性质求解即可. 【详解】由声强级公式， 将代入公式，得； 即. 19．（26-27高三上·北京房山·开学考试）图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 【答案】 【分析】应用新定义结合对数运算律计算求解. 【详解】由，可得， 即，解得. 20．（2026·贵州黔南·模拟预测）在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 【答案】A 【分析】先根据系列的声强级求得的值，再利用对数运算性质计算系列的声强级，结合参考数据估算结果. 【详解】对系列高铁，已知其声强级，代入声强级公式，可得 ，化简得, 由题意可知系列高铁的声强，代入公式计算B系列的声强级： , 根据对数加法运算性质，上式可拆分为： , 因此， 故. 题型六：幂函数模型的应用 21．（25-26高三·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 22．（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 23．（25-26高三下·上海闵行·阶段检测）某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元． (1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数； (2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？ 【答案】(1)，其中 (2)，元 【分析】（1）设每小时的可变成本为，根据可变部分成本与航行速度的立方成正比可求，从而可求每小时的运输成本； （2）该轮船每千米的运输成本，利用导数求其单调性即可. 【详解】（1）设该轮船航行速度为时，其每小时的可变成本为（单位：元）， 则，其中． 由题意，得，解得，故． 所以每小时的运输成本，其中． （2）该轮船每千米的运输成本，其中， 求导，得， 令，解得． 由，解得；故在区间上单调递增； 由，解得；故在区间上单调递减． 所以当时，取得最小值． 故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本最低，且为元． 24．（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】设甲与乙的工人工作效率为，，工作年限为，，劳累程度为，，劳动动机为，， 对于①，，，，， 所以，， 则， 所以，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， 所以，， 则， 所以，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， 所以， ，， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， 所以， ，所以， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对题意的理解以及相关性质的运用. 题型七：利用给定函数模型解决实际问题 25．（25-26高三·全国·一轮复习）某无人机执行巡航任务，其电池能耗率R（单位：W）与飞行高度h（单位：）、飞行速度v（单位：）满足关系式：，若该无人机巡航时以匀速飞行，记，，则当高度由提升到时，提升前与提升后能耗率的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由飞行速度，代入： ， 因此能耗率公式简化为： 当： ， 当： ， 对化简： ， 对化简： ， 因此能耗率的比值为： . 26．（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）汽车在行驶过程中，遇到特别情况需要刹车，从刹车（刹死车轮）到停止汽车所走过的路程称为刹车距离．已知某汽车的刹车距离s（单位：m）与速度v（单位：m/s）之间的关系可近似表示为．若该汽车在某路段行驶过程中，前方48 m处可能会突然出现障碍物，驾驶员从发现障碍物到刹车需经过1 s的反应时间，为了安全，汽车必须在障碍物的8 m处停住．则这辆汽车在该路段最大限制速度是（     ） A．15 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据题意可得，解得即可得出答案. 【详解】由题意可知， 即，解得， 故该路段最大限制速度为. 27．（26-27高三上·江西·阶段检测）某共享储能电站参与电网调频调峰服务，其核心PCS储能变流器的年运维总成本由固定折旧成本和可变损耗成本构成，其中年度固定折旧成本为1万元．经测算，可变损耗成本（单位：万元）与年启停次数（单位：次，）满足函数关系．已知当年启停次数为2时，年运维总成本为6万元；若将视为区间上的连续变量，则当时，年运维总成本取得最小值． (1)求，的值； (2)受区域电网调度能力限制，该变流器年启停次数最多为5次． （i）求年运维总成本的最小值及对应的启停次数； （ii）若恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2)（i）年运维总成本最小值为6万元，对应启停次数为次或次；（ii）8 【分析】（1）利用对勾函数最小值点的横坐标公式建立与的等量关系，结合时的总成本列方程，联立求解参数； （2）（i）结合对勾函数的单调性，在限定的正整数范围内计算关键点的函数值，比较得到总成本的最小值；（ii）将恒成立不等式分离参数，构造函数并分析单调性，其最大值即为的最小值. 【详解】（1）年运维总成本为固定成本加可变损耗成本，即， 对于对勾函数，由基本不等式可知，当即时，函数取得最小值， 由题知最小值点为，因此， 又当时，年运维总成本为6万元，代入得， 将代入上式得，得，因此， 所以，； （2）（i）由（1）得总成本函数为， 由题意，启停次数且，即， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，因此只需比较和处的函数值， ， ， 所以年运维总成本最小值为万元，对应启停次数为次或次； （ii）由得，对恒成立， 令，则， 则， 该二次函数开口向上，对称轴为， 因此时单调递增，所以时取得最大值为， 故，即实数的最小值为. 28．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）杨梅的保鲜时间很短，技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间（单位：小时）与失去的新鲜度满足函数关系其中，为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证杨梅销售时的新鲜度不低于85%，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）不能超过（     ） （参考数据：） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 【答案】C 【分析】根据题设条件，求出的值，根据新鲜度不低于85%列出不等式求解即可. 【详解】由题可知， 解得， 因为新鲜度不低于85%， 所以， 所以， 所以， 所以. 题型八：建立拟合函数模型解决实际问题 29．（25-26高三上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】(1)选择模型②， (2) ，当时，取得最小值 【分析】（1）由函数的单调性选择模型②，再代入点的坐标求出相应的函数关系式； （2）结合（1）的结论可得的解析式，再根据其单调性求得最小值及对应的. 【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量的增大，函数值在变小， 又函数模型①是单调递增的指数型函数，模型②为单调递减的反比型函数，故选择模型②. 观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度， 可选择中间两组数据代入②，即， 解得，所以. 可检验与原数据完全吻合， 所以. （2）由（1）可得 , 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取到最小值， 当时，单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又，所以当时取得最小值，最小值为. 30．（25-26高三上·广东汕头·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)选择模型，其解析式为 (2)在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为，最少为 【分析】（1）根据特值代入验证和函数的单调性，结合表格即可判断； （2）根据国道路段和高速路段所用时间列式，利用函数单调性分别求出最小值再相加即得. 【详解】（1）对于,因不合题意，舍去； 对于为递减函数，这与表格中不符，舍去； 故选择. 根据提供的数据，有解得 所以当时，. （2）国道路段长为50km，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为100km，所用时间为， 所耗电量为 下证函数在单调递减. 任取，且， , ,故, 即,,故在单调递减, ，此时，, 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 31．（25-26高三上·陕西渭南·期末）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【答案】(1) (2)模型②最符合题意， (3)在第8天最低，最低为5000元 【分析】（1）由题意分别求出舰艇模型第天的销售单价和销售量，根据销售收入列出方程，求解可得的值； （2）根据销售量的增长速度可知函数模型②更适合，选取和代入模型②，求出函数解析式，并利用和检验，确定函数解析式； （3）利用（1）和（2）的结果，列出销售收入对应的函数解析式，并利用基本不等式求得其最小值. 【详解】（1）由题意得，舰艇模型第天的销售单价； 第天的销售量，依题意，解得. （2）模型②最符合题意，理由如下： 因为每增长10，需要的天数越来越多，可知不是匀速增长，而是增长速度越来越慢，故排除模型①，选择模型②. 将，分别代入函数模型②，可得，解得. 所以， 经验证，，均满足该函数解析式. 故函数解析式为. （3）由（1）知，由（2）知， 则 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以日销售收入在第8天最低，最低收入为5000元. 32．（25-26高三上·福建漳州·期末）近年来，漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题，聚焦漳州土楼，闽南古厝，漳州小吃等内容.从2025年初上线后会员人数逐月增加，下表是平台上线第个月的会员人数统计： 平台上线第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请恰当选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”，请问至少第几个月才能开启该专场直播. 【答案】(1)①，理由如下： 由给定数表知，函数定义域为，会员人数增长速度随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数的增长速度随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，当时，会员人数的增长速度随增大而减缓，符合题意. 所以最符合实际的函数模型是模型①. (2)，至少第11个月 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将两组数据组代入模型，求出，即可求得解析式，再求出时的最小正整数解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，选择模型①， 将数据组代入，得，解得. 因此. 函数在定义域上单调递增. 令，则，所以. 因为，且，所以. 所以所求函数模型的解析式为，预测至少第11个月会员人数达到12万. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知某省的人口总数约为，该省省会人口总数约为，则下列与的值最接近的数是（   ）（参考数据：，，） A．14 B．10 C．9 D．7 【答案】A 【分析】先设比值，根据两边取常用对数，然后利用对数运算性质展开代入已知数据，求得的值，接下来分别算出四个选项的对数值，将它们与对比，发现和计算结果最为接近，由此确定的接近数即可. 【详解】解：令， 则 ∵ 则：与几乎相等， ∴最接近. 2．（26-27高三上·河南·阶段检测）工程师调试一个精密温控系统，该系统的偏差值与温度T（）的函数关系式为，若存在一个“平衡温度”，使得系统偏差值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则在上单调递减，而，， 可得，由零点存在性定理可得，故B正确. 3．（2026·江苏镇江·模拟预测）某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半衰期的定义推导参数关系，再代入剩余质量为原质量的条件求解对应时间. 【详解】由半衰期定义，当时，剩余质量， 即，则. 当剩余质量为原质量的时，则， 所以. 由于指数函数为单调函数， 所以，则. 4．（2027高三·全国·专题练习）在某个物理实验中，测量得变量和变量的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.01 0.98 2.00 则对，最适合的拟合函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由表可画散点图如图所示， 的增长速率趋缓，对比各选项，拟合函数为对数函数， 则符合条件，所以对，最适合的拟合函数是. 5．（2026·江苏淮安·一模）在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 【答案】C 【详解】由题意可得， 两式相除可得， 所以， 所以， 所以对应地形为浅丘林地. 6．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【答案】B 【详解】设训练个单位数据的时间为，训练个单位数据的时间为， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：， 即前者所需时间是后者的3倍. 7．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 【答案】B 【分析】根据已知的两组温度与对应保鲜时间列出方程组，求解得到与的值，整体代入计算时的保鲜时间即可. 【详解】依题意，将已知条件代入函数可得： 当时，， 当时，，将代入，解得， 当时，，将、代入得： . 8．（26-27高三上·辽宁·开学考试）一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（   ）（附：） A．6.3小时 B．7.9小时 C．9.3小时 D．10.5小时 【答案】C 【详解】当时，，得，因，消去后得，对等式两边取自然对数，得，解得， 当时，代入公式得，消去得，取自然对数得， 将代入，得， 根据对数换底公式，得，因此小时. 9．（26-27高三上·湖南·期中）（多选）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（    ） A． B． C．采用方案①效率更高 D．无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 【答案】ACD 【分析】根据方案① 可得出关于的等式，求出其值，可判断A选项；根据方案② 求出，可判断B选项；比较、的大小，可判断C选项；求出两个方案的平均生产速度，比较大小可判断D选项. 【详解】由方案① ， ，解得 ，故A正确； ，故B错误； 因为，所以采用方案① 效率更高，故C正确； 方案① 的平均生产速度为 个每小时，方案② 设总零件数为， 所以两部分的时间分别为，， 平均生产速度为 个每小时， 故方案② 平均速度低于方案① ，所以无论生产零件总数为多少，效率更高的都是方案① ，故D正确. 10．（25-26高三下·安徽宿州·期末）（多选）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积均为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是（　　） A． B． C．若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多10 D．假设科学家将菌的个数控制为5万，则此时（注：） 【答案】BD 【分析】运用对数的运算性质，逐个对选项进行判断. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，，，所以，则，故B正确； 对于选项C，设昨天的菌个数为，今天的菌个数为，则，所以，故C错误； 对于选项D，当时，，所以，故D正确. 11．（2026·河南·三模）（多选）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 【答案】ABD 【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断. 【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，， 所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，， ，即， 所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 12．（2027高三·全国·专题练习）某厂生产某产品（万件）的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为_________万件时总利润最大． 【答案】25 【分析】根据产品单价的平方与产品件数成反比，可得单价关于的关系式，再由利润＝售价－成本，列出关系式即得函数，求导，根据导数的符号即可分析函数的单调性，进而即可求解． 【详解】设单价为，由题意知（为比例系数）， 且，则， 所以，即， 所以总利润为， 则，令，得， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以当时，取极大值，且为最大值， 所以产量定为万件时总利润最大． 13．（26-27高三上·浙江·开学考试）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 【答案】 14 【分析】代入已知条件求出参数，注意后段降温要更新初始温度，再借助对数运算求解时间. 【详解】由题，当时，， 则，当从50℃再下降到40℃时， . 14．（25-26高三·全国·一轮复习）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，为种群数量的年增长率，为预测的年数，则下列说法正确的是______________ ①．当，则这期间种群数呈下降趋势 ②．当，则这期间种群数呈下降趋势 ③．若初始数量，年增长率为，则年后预测种群数量约为 ④．若初始数量，年增长率为，则年后预测种群数量约为 【答案】①③ 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于①，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，①正确； 对于②，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，②错误； 对于③，，即年后预测种群数量约为，③正确； 对于④，，即年后预测种群数量约为，④错误. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）某工厂生产配件，一次性固定投入12万元；每生产1万件配件，原材料、人工等可变成本增加3万元（可变成本随产量成正比例变化）．经市场调研：单件售价（万元/万件）与产量（万件）满足一次函数关系式（其中），若产量4万件，售价14万元/万件，产量8万件，售价10万元/万件．政府为扶持生产，向工厂发放生产补贴：每生产1万件，补贴工厂万元（产量不足万件的部分按同比例进行补贴）．假定工厂生产的产品可以全部销售完． （总利润＝总销售额＋政府补贴－固定成本－可变成本） (1)求售价关于的函数关系式和自变量的取值范围； (2)求总利润关于的二次函数关系式； (3)若存在产量，使得工厂总利润不少于69万元，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）设，利用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润的公式代入计算即可； （3）由题可得，再分对称轴和两种情况，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设，则所以 故，． （2）由题已知， 所以，，． （3）由题意，存在，使得，即． 二次函数对称轴为， （ⅰ）当，即时，， 故． （ⅱ）当，即时， 在取到恒成立； 综上，． 16．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱.龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性.某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点.通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完. (1)求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1)， (2)当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为485万元 【分析】（1）将三点代入，即可求出，进而根据题意求解； （2）根据二次函数、基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）将三点代入， 得，解得， 则， 依题意，. （2）由（1）知， 当时，， 则时，取得最大值10； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 则时，取得最大值485. 综上所述，当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为485万元. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $