专题2.4 幂函数与二次函数 【知识概要+10大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题2.4 幂函数与二次函数 知识点1：幂函数 1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知幂函数，且在定义域上不单调． (1)证明：是奇函数； (2)若，求实数的取值范围． 知识点2：二次函数 1、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 3、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 【跟踪训练】 2．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知函数（），且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在区间上单调，求实数的取值范围； 【常用结论】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 题型一：幂函数的概念 题型二：幂函数的图象 题型三：幂函数的性质及其求参 题型四：由幂函数的单调性比较大小 题型五：由幂函数的单调性解不等式 题型六：二次函数的解析式 题型七：二次函数的图象、单调性与最值 题型八：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 题型九：二次方程实根的分布及条件 题型十：二次函数最大值的最小值问题 题型一：幂函数的概念 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高三上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 3．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 4．（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 题型二：幂函数的图象 5．（25-26高三上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 7．（25-26高三上·上海·期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 8．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 题型三：幂函数的性质及其求参 9．（2027高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 10．（25-26高三上·山西朔州·期末）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 11．（25-26高三上·上海金山·期末）已知幂函数在上为严格增函数，则解析式为________． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 题型四：由幂函数的单调性比较大小 13．（26-27高三上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 15．（25-26高三上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型五：由幂函数的单调性解不等式 17．（26-27高三上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 18．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的解集为_____. 19．（25-26高三上·广西河池·阶段检测）已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 题型六：二次函数的解析式 21．（25-26高三上·福建厦门·期中）（1）已知集合，，求、； （2）已知二次函数的最小值为1，且，求的解析式. 22．（25-26高三下·全国·期末）（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． 23．（25-26高三上·广西河池·期中）若函数，且. (1)求的值； (2)求的值. 24．（25-26高三上·福建福州·期末）已知函数图象的对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 题型七：二次函数的图象、单调性与最值 25．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知二次函数的大致图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 27．（26-27高三上·天津·期中）若函数是偶函数，则的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 28．（26-27高三·山东·学业考试模拟）设，当时，对应值的集合为． (1)求的值． (2)若，求该函数的最值． 题型八：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 29．（26-27高三上·全国·期中）已知二次函数满足，且图象经过点. (1)求的解析式； (2)若函数在上最小值为，求实数的值. 30．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 31．（25-26高三上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 32．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求关于的不等式的解集； (2)当，时，函数在上的最小值为6，求实数的值. 题型九：二次方程实根的分布及条件 33．（25-26高三上·山西晋中·期中）已知函数. （1）为何值时，有两个根且均比大； （2）求在上的最大值. 34．（25-26高三上·甘肃张掖·阶段检测）已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围． (1)两根均大于1； (2)一个根大于1，一个根小于1． 35．（25-26高三上·甘肃庆阳·期中）已知函数. (1)若的一根大于，另一根小于，求实数的取值范围； (2)若在内恒大于，求实数的取值范围. 36．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数（m，n都为整数）在区间上有两个不相等的实根，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型十：二次函数最大值的最小值问题 37．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数满足以下条件：①图象过点；②时的函数值与时的函数值相等；③函数的最小值为. (1)求该二次函数的解析式； (2)解不等式; (3)当时，该二次函数的最小值为0，求实数的值. 38．（26-27高三上·天津南开·开学考试）已知点是二次函数图象上的点. (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. 39．（26-27高三上·江西九江·开学考试）设函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，若时，的最大值为10，求的值. 40．（25-26高三上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 1．（25-26高三上·湖南郴州·期末）已知幂函数在上单调递增，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知幂函数过点，则（     ） A．0 B．2 C．1 D．3 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 5．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 6．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·江苏苏州·期中）不等式的解为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·天津西青·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）已知二次函数，若关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．的增区间为 10．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 11．（25-26高三上·贵州遵义·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 12．（26-27高三上·全国·课后作业）已知函数在上的值域为，则的取值范围是________. 13．（26-27高三上·全国·课后作业）若在上是增函数，则的取值范围是________，若在 上是减函数，则的范围是________. 14．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 15．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求函数的解析式； (2) （i）判断并证明在上的单调性； （ii）“，”是真命题，求的取值范围． 16．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 幂函数与二次函数 知识点1：幂函数 1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知幂函数，且在定义域上不单调． (1)证明：是奇函数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)根据幂函数的定义：幂函数的系数必须为1，即， 整理得，解得或， 若，则，根据幂函数的性质可知： 在和上都单调递减， 但在整个定义域上不单调，符合条件， 若，则，定义域为， 在定义域上单调递增，不符合“不单调”的条件，舍去， 因此，定义域为， 关于原点对称，且对任意定义域内的，有： ，故是奇函数 (2) 【分析】（1）先根据幂函数定义求出的可能值，再结合不单调条件确定，最后验证证明奇函数. （2）利用奇函数性质将不等式转化，再根据函数单调性分情况讨论求解的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 又因为是奇函数，所以， 由（1）可知，，根据幂函数的性质可得： 在和上单调递减， 所以不等式成立的条件是两个自变量同属一个单调区间， 且自变量的绝对值满足，同时自变量不能为0，即： 1）两个自变量都大于，，即，解得， 2）两个自变量都小于，，即，无解， 3）且，则，即，解得， 4）且，则，即，解得， 此时正数函数值小于负数函数值，不成立，舍去， 综上所述：的取值范围是. 知识点2：二次函数 1、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 3、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 【跟踪训练】 2．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知函数（），且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在区间上单调，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）一元二次不等式解集的端点对应一元二次方程的两根，利用韦达定理列方程组求解参数得到函数解析式； （2）对二次函数配方，找到顶点，结合开口方向确定值域； （3）先求出二次函数对称轴；函数在开区间上单调，说明整个区间落在对称轴的同一侧，据此列出不等式求解范围． 【详解】（1）因为的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，解得，，所以． （2）配方：， 因为抛物线开口向上，最小值为，所以值域为． （3）由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或，即． 【常用结论】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 题型一：幂函数的概念 题型二：幂函数的图象 题型三：幂函数的性质及其求参 题型四：由幂函数的单调性比较大小 题型五：由幂函数的单调性解不等式 题型六：二次函数的解析式 题型七：二次函数的图象、单调性与最值 题型八：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 题型九：二次方程实根的分布及条件 题型十：二次函数最大值的最小值问题 题型一：幂函数的概念 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 2．（25-26高三上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 3．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 4．（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 题型二：幂函数的图象 5．（25-26高三上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 【答案】 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增； 当时，幂函数在上单调递减； 且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大. 因为，所以与对应的曲线为. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和单调性确定结果即可. 【详解】因为幂函数的定义域为， 而选项B中的图象取不到，所以B错误； 因为幂函数为偶函数，而D选项的图象关于原点对称，所以D错误； 因为，根据幂函数的单调性和变化幅度可知选项A符合，C错误. 故选：A. 7．（25-26高三上·上海·期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②⑥ 【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增，可得，再结合奇函数定义即可判断． 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故③④不满足题意， 因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数， 根据奇函数的性质， 因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意； 因为的定义域为，且，故②满足题意； 因为的定义域为，但，故⑤不满足题意； 因为的定义域为，但，故⑥满足题意． 故答案为：②⑥． 8．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 题型三：幂函数的性质及其求参 9．（2027高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 10．（25-26高三上·山西朔州·期末）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 11．（25-26高三上·上海金山·期末）已知幂函数在上为严格增函数，则解析式为________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义与幂函数的单调性可得出关于的等式与不等式，解之即可. 【详解】由题意得，，解得，则. 故答案为：. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 【答案】0或2． 【分析】结合幂函数的性质，即可求解． 【详解】幂函数在区间上是严格增函数， 则，即，解得， 因为，所以 ，1，2， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 当时，，不满足函数的图像关于原点中心对称，故舍去， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 综上所述，或2． 题型四：由幂函数的单调性比较大小 13．（26-27高三上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 14．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 15．（25-26高三上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 16．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 题型五：由幂函数的单调性解不等式 17．（26-27高三上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 18．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的解集为_____. 【答案】 【分析】设幂函数，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再分析函数的单调性与奇偶性，利用单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】依题意设幂函数，因为已知幂函数的图象过点， 所以，解得，所以， 显然是偶函数，且在上单调递增， 所以， 即有，解得或， 所以的解集为. 故答案为：. 19．（25-26高三上·广西河池·阶段检测）已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2)． 【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果； （2）利用函数的奇偶性与单调性可得，求解即可. 【详解】（1）函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上是减函数，不满足，舍去； 当时，，满足， 所以； （2）由（1）知，定义域为， 因为，所以为偶函数， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又，则， 可得，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为． 20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由幂函数的定义及单调性得出的值； （2）根据的单调性解不等式即可； （3）利用基本不等式求解. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或． 当时，，当时，，不符合题意； 当时，，当时，，符合题意． ∴． （2），即， ∵函数在R上单调递增， ∴，解得． ∴a的取值范围为． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为2． 题型六：二次函数的解析式 21．（25-26高三上·福建厦门·期中）（1）已知集合，，求、； （2）已知二次函数的最小值为1，且，求的解析式. 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）根据集合的交集、并集、补集求解即可. （2）由题意可得的对称轴为，可设二次函数，代入求解即可. 【详解】（1），，所以. 因为，所以，所以. （2）因为为二次函数，，所以的对称轴为， 设二次函数,， 因为，所以，解得， 所以. 22．（25-26高三下·全国·期末）（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． 【答案】 【详解】（1）设，则，， 代入原式可得， 故． （2）设， 由题意得，解得， 因此二次函数的解析式为． 23．（25-26高三上·广西河池·期中）若函数，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知 解得 （2）由题可得函数 24．（25-26高三上·福建福州·期末）已知函数图象的对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象的对称轴为，且列方程即可求得，，即可得到的解析式； （2）列出一元二次不等式，解出即可. 【详解】（1）因为图象的对称轴为， 所以，解得， 由，解得，所以； （2）因为，所以，即， 所以，解得，所以原不等式的解集是． 题型七：二次函数的图象、单调性与最值 25．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知二次函数的大致图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据开口方向判断的正负，利用对称轴得到与的关系，根据图象对称轴判断与的大小． 【详解】因为抛物线的开口向上，所以，故A正确． 由，得，故B错误． 因为，所以，则，即，故C正确． 因为当时，，所以．又，所以，故D正确． 26．（26-27高三上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由二次函数的图象的性质可得的取值范围． 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 27．（26-27高三上·天津·期中）若函数是偶函数，则的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是偶函数， 则， 即， 解得，此时， 因为的图象是开口向下对称轴为轴的抛物线， 所以的单调递增区间是. 28．（26-27高三·山东·学业考试模拟）设，当时，对应值的集合为． (1)求的值． (2)若，求该函数的最值． 【答案】(1) (2)，． 【详解】（1）由题意知，即，则为其两根， 由根与系数的关系知：，得， ，得． （2）由（1）知：， 因为，所以当时，， 又因为， 所以当时，． 题型八：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 29．（26-27高三上·全国·期中）已知二次函数满足，且图象经过点. (1)求的解析式； (2)若函数在上最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）用待定系数法，设，由过得，再展开，与比较系数，得方程组，解出、的值，即可得出函数的解析式； （2）由，开口向上，对称轴，按对称轴在区间左侧、内部、右侧分类，分别求最小值并列方程，得的取值. 【详解】（1）设 因为的图象过点，所以，故， ， 又， 由得， 消去，整理得， 该式对任意成立，所以，解得，故 （2）已知， 这是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： ①当时，即当时， 此时在上单调递增，则，解得，符合题意； ②当时，即当时，则， 解得或，均不符合题意，舍去； ③当时，即当时， 此时在上单调递减，则，解得，符合题意. 综上，或. 30．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2），对称轴是，根据二次函数在区间上的不同单调性求出最小值，继而即可求解； （3）由题意得，当时，不等式恒成立；当时，利用分离参数法得在上恒成立，结合换元法与对勾函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 31．（25-26高三上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）代入解不等式组可得答案； （2）由题意，结合最大值为0最小值是分、数形结合可得答案. 【详解】（1）当时，不等式， 即为， 即，所以， 所以或， 所以原不等式的解集为． （2）， 由题意或，这时解得， 若，则，所以； 若，即， 所以，则， 综上，或． 32．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求关于的不等式的解集； (2)当，时，函数在上的最小值为6，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系，可得韦达定理，即可将不等式变形为求解； （2）先由对称轴结合最值得出或，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数的值． 【详解】（1）由于的解集为或，故和是一元二次方程的两个根，故，解得， 故变形为， 解得， 故不等式的解为 （2）当，时，，则对称轴方程为，由于，故或，即或， 当时，最小值，解得， 当时，最小值，解得， 综上：或3． 题型九：二次方程实根的分布及条件 33．（25-26高三上·山西晋中·期中）已知函数. （1）为何值时，有两个根且均比大； （2）求在上的最大值. 【答案】（1）（2） 【分析】(1)由题意可知，从而可求出的取值范围. (2)求出函数的对称轴，通过讨论对称轴和区间中点1的大小关系，结合二次函数图像的性质，可求出. 【详解】解：（1）若有两个大于的零点，则， 即，解得， ∴的取值范围是. （2）的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，， 当，即时，， ∴. 【点睛】本题考查了二次函数根的分布，考查了二次函数在区间上最值的求解，本题考查了分类的数学思想. 34．（25-26高三上·甘肃张掖·阶段检测）已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围． (1)两根均大于1； (2)一个根大于1，一个根小于1． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）结合二次函数图象，对称轴大于1，，判别式大于等于0，解得的范围即可； （2）结合二次函数图象，只需即可求解 【详解】（1）因为方程的两根均大于1， 所以，解得， 即的取值范围为； （2）由可得， 因为方程的一个根大于1，一个根小于1， 所以，解得．即的取值范围为． 35．（25-26高三上·甘肃庆阳·期中）已知函数. (1)若的一根大于，另一根小于，求实数的取值范围； (2)若在内恒大于，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）确定二次函数开口向上，只需满足即可，计算得到答案. （2）化简得到，函数最值在端点处，代入计算得到答案. 【详解】（1）开口向上，的一根大于，另一根小于 只需满足：即可，即 （2），看作为变量的函数，恒大于，即最小值大于0. 最值在端点处取得，则 解得 【点睛】本题考查了根据函数的零点求参数，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键. 36．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数（m，n都为整数）在区间上有两个不相等的实根，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】由条件结合二次函数的图象与性质列不等式组可得关系，再分和两种情况讨论，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为函数在区间上有两个不相等的实根， 所以，则， 当，即时， ， 当时，函数在上取得最大值为， 又且m，n都为整数， 所以当时，的最大值为， 当，即时， ， 当时，函数在上取得最大值为， 又且m，n都为整数， 所以当时，的最大值为， 综上所述，的最大值为. 故选：A. 题型十：二次函数最大值的最小值问题 37．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数满足以下条件：①图象过点；②时的函数值与时的函数值相等；③函数的最小值为. (1)求该二次函数的解析式； (2)解不等式; (3)当时，该二次函数的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)由两点函数值相等，直接求出对称轴，结合最小值优先用顶点式求二次函数； (2)解一元二次不等式，先移项整理，因式分解，结合开口方向写出解集； (3)闭区间上二次函数求最值，核心是比较对称轴和区间的位置关系，分对称轴在区间内、区间左、区间右三类讨论. 【详解】（1）由和函数值相等，得对称轴为， 因为二次函数的最小值为， 所以设二次函数的顶点式为，又图象过点， 所以，得，故， 故该二次函数的解析式； （2）不等式，即为，所以， 即，得， 故不等式的解集是； （3）对称轴为，开口向上，分三类讨论： 当，即，此时最小值在，，舍去， 当，即，函数在上单调递增， 所以二次函数在取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得； 当，即，函数在单调递减， 所以二次函数在 取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得. 综上， 或 38．（26-27高三上·天津南开·开学考试）已知点是二次函数图象上的点. (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) (3) 或 【分析】（3）属于定轴动区间问题，对进行分类讨论. 【详解】（1）代入点，，解得. 二次函数的解析式为，所以顶点坐标为. （2）因为抛物线开口向上，结合图像可知， 时，单调递减；时，单调递增. 所以时，函数取最小值为， 时，；时，，所以函数在时取最大值为， 函数的最大值与最小值的差为. （3）情况一：当，即时，在上单调递减， 时，；时，， 所以，解得（舍）. 情况二：当时，在上单调递减， 在上单调递增，所以时，， 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍）. 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍） 情况三：当时，在上单调递增， 时，；时，， 此时，解得（舍）. 综上所述，或. 39．（26-27高三上·江西九江·开学考试）设函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，若时，的最大值为10，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可. （2）根据二次函数的性质，结合区间定轴动问题求解方法求解即可. （3）根据二次函数在固定区间的最值求解即可. 【详解】（1）函数开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增，所以. 故实数的取值范围为. （2）当时，恒成立，等价于当时，. 当时，在上单调递增，所以， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，， 所以，即，此时无解，不符合题意； 当时，在上单调递减，所以. 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由，令，则，即. 令，函数开口向上，对称轴为. 因为在上的最大值只能在区间端点处取得，而，， 当时，，所以，解得，满足题意； 当，，所以，解得，与矛盾，不满足题意. 综上所述，. 40．（25-26高三上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值； （2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 1．（25-26高三上·湖南郴州·期末）已知幂函数在上单调递增，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以， 当时，，该函数在上单调递增，符合题意； 当时，，该函数在上单调递减，不符合题意， 所以. 故选：C 2．（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知幂函数过点，则（     ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，结合过点，即可求解. 【详解】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，，此时不过点，舍去； 当时，，此时过点，所以. 故选：C. 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 4．（26-27高三上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 5．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 6．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】适当构造函数，根据函数单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，求导得， 当时，单调递增，因此，即. 令，得，即. ，对同时取次方得 ， . 因为幂函数在单调递增，，，故. 综上. 7．（25-26高三上·江苏苏州·期中）不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，单调性，且当上，恒成立，当上，恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集. 【详解】定义域为，且在与上均为减函数， 且当上，恒成立，当上，恒成立， 故①或②或③， 解①得：， 解②得：， 解③得：， 综上：不等式的解为. 故选：D 8．（25-26高三上·天津西青·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数的单调区间，结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D 9．（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）已知二次函数，若关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．的增区间为 【答案】BC 【分析】利用三个二次间的关系，结合韦达定理，得到的关系，再分析求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是或 所以和是方程的两个根，且 ，选项A错误; 所以 ，所以 ，选项B正确; 不等式 可化为，解得，选项C正确； 因为二次函数中开口朝下，对称轴为，的增区间为，选项D错误. 故选：BC 10．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义求解解析式，进而判断出ABC，再根据偶函数的定义即可判断D． 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确． 11．（25-26高三上·贵州遵义·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 12．（26-27高三上·全国·课后作业）已知函数在上的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， 在上的值域为， 又因为，由图可知． 13．（26-27高三上·全国·课后作业）若在上是增函数，则的取值范围是________，若在 上是减函数，则的范围是________. 【答案】 【详解】当，即时，在 上是增函数； 开口向下的二次函数无法在上递增，故，即， 对称轴方程为， 要使函数在 上是增函数，则， 解得.又，所以. 综上的取值范围是. 开口向上的二次函数无法在上递减， 则，即时，二次函数的图象开口向下， 要使在 上是减函数，则，解得， 所以的取值范围是. 14．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【分析】先得到，进而由幂函数定义得到，代入求解 【详解】中，令得，此时， 所以，又A在幂函数上， 所以，解得，所以， 故，解得. 15．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求函数的解析式； (2) （i）判断并证明在上的单调性； （ii）“，”是真命题，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）单调递增，证明如下： 设，则 ， ，，且，则， ，即在上单调递增； （ii） 【分析】（1）利用幂函数定义及函数图象关于原点对称的条件，求函数的解析式； （2）（i）利用函数单调性定义证明函数单调性；（ii）利用函数单调性及已知命题求的取值范围． 【详解】（1）由幂函数定义可知，则，解得 或， 当时，，是奇函数，图象关于原点对称，符合题意； 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意，舍去； ． （2）， （i）在上单调递增，证明略； （ii）已知“，”是真命题，则， 在上单调递增， ， ，解得， 的取值范围为． 16．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $