专题2.5 指数与指数函数 【知识概要+10大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题2.5 指数与指数函数 知识点1：根式和分数指数幂 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 2.根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质： ①()n＝a. ②＝ 3.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 【跟踪训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）计算； 知识点2：指数函数图像与性质 1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·全国·课堂例题）设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图象如图所示，判断的大小关系. 题型一：根式、指数幂的化简与求值 题型二：根式、指数幂的条件求值 题型三：指数函数的解析式、求值 题型四：指数函数过定点问题 题型五：指数函数的图象及应用 题型六：比较指数式的大小 题型七：指数函数的最值与值域问题 题型八：由指数函数的单调性解不等式 题型九：指数函数中的恒成立问题 题型十：指数函数的综合问题 题型一：根式、指数幂的化简与求值 1．（2027高三·全国·专题练习）求值与化简． (1)； (2)． 2．（26-27高三上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 3．（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 4．（26-27高三上·浙江·期中）计算： 题型二：根式、指数幂的条件求值 5．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 6．（26-27高三上·全国·课后作业）已知,求的值. 7．（26-27高三上·全国·课后作业）正实数满足,若,,求的值. 8．（26-27高三上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 题型三：指数函数的解析式、求值 9．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则______． 10．（26-27高三上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 11．（26-27高三上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 12．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数．求的表达式. 题型四：指数函数过定点问题 13．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 15．（25-26高三上·四川成都·期末）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 16．（25-26高三下·河北衡水·开学考试）函数（，且）的图象恒过定点_______. 题型五：指数函数的图象及应用 17．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 18．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·山西·阶段检测）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 题型六：比较指数式的大小 21．（26-27高三上·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 22．（2027高三·全国·专题练习）（多选）若，，，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高三上·山东·学业考试真题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 24．（26-27高三上·全国·课后作业）比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. 题型七：指数函数的最值与值域问题 25．（2026高三下·北京·竞赛）设，则的最小值为_____． 26．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 27．（26-27高三上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 28．（25-26高三上·陕西渭南·期末）对于函数，若在定义域内方程有解，则称为“倒戈函数”. (1)若函数，试判断是否为倒戈函数，并说明理由. (2)已知. （i）若，试证明: ; （ii）若，且是定义在上的倒戈函数，求实数的取值范围. 题型八：由指数函数的单调性解不等式 29．（26-27高三上·安徽·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 30．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 31．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 32．（2027高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为_______． 题型九：指数函数中的恒成立问题 33．（25-26高三下·广东深圳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 35．（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数（）. (1)求a的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围. 36．（25-26高三上·宁夏固原·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 题型十：指数函数的综合问题 37．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 38．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 39．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数a的值； （2）若不等式在有解，求实数m取值范围. 40．（25-26高三上·浙江衢州·期中）已知函数是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若函数是上的增函数，求解方程； (3)若函数是上的减函数，且关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 1．（2026·江苏淮安·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 2．（26-27高三上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三上·全国·专题练习）方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）函数 的值域是，则定义域为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 10．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 11．（25-26高三下·湖南长沙·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 12．（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 13．（25-26高三下·北京延庆·期末）函数的值域为__________． 14．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 15．（25-26高三上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16．（25-26高三下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 指数与指数函数 知识点1：根式和分数指数幂 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 2.根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质： ①()n＝a. ②＝ 3.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 【跟踪训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）计算； 【答案】 【分析】由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案． 【详解】 ； 知识点2：指数函数图像与性质 1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·全国·课堂例题）设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图象如图所示，判断的大小关系. 【答案】 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与1的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于1，，小于1， 由图知： ，即， ，即 ， 所以. 题型一：根式、指数幂的化简与求值 题型二：根式、指数幂的条件求值 题型三：指数函数的解析式、求值 题型四：指数函数过定点问题 题型五：指数函数的图象及应用 题型六：比较指数式的大小 题型七：指数函数的最值与值域问题 题型八：由指数函数的单调性解不等式 题型九：指数函数中的恒成立问题 题型十：指数函数的综合问题 题型一：根式、指数幂的化简与求值 1．（2027高三·全国·专题练习）求值与化简． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将小数化为分数，利用分数指数幂和负整数指数幂的运算法则逐项化简，再合并计算即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 2．（26-27高三上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式. 3．（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2) 【分析】（1）将带分数化为假分数，利用分数指数幂与负整数指数幂的运算法则逐项化简，最后合并同类项即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则计算，最终将结果写回根式形式． 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 4．（26-27高三上·浙江·期中）计算： 【答案】 【详解】. 题型二：根式、指数幂的条件求值 5．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【答案】（1）；（2）①7；②47；③18. 【详解】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 6．（26-27高三上·全国·课后作业）已知,求的值. 【答案】 【详解】， ， . 7．（26-27高三上·全国·课后作业）正实数满足,若,,求的值. 【答案】8 【分析】利用最小幂换元，设,将转化为关于的表达式， 再借助于立方和和立方差公式提取公因式化简，代入已知条件即可求值. 【详解】最小幂换元，设,则条件化为, ,, 所以原式 . 8．（26-27高三上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1），. （2）原式， 当时，原式， 当时，原式， 所以，原式＝. 题型三：指数函数的解析式、求值 9．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则______． 【答案】 / 【分析】先设出指数函数的标准解析式，代入已知点坐标求出底数，再将代入解析式计算结果. 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 10．（26-27高三上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 【答案】1 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数， 则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是1．故答案为1． 11．（26-27高三上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 12．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数．求的表达式. 【答案】 【详解】函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， 题型四：指数函数过定点问题 13．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 14．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点可得. 【详解】因为且，， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 15．（25-26高三上·四川成都·期末）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的图象恒过点可求出点A的坐标，代入直线方程可得到的关系式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解. 【详解】因为函数的图象恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 16．（25-26高三下·河北衡水·开学考试）函数（，且）的图象恒过定点_______. 【答案】 【详解】因为时，，所以图象恒过定点. 题型五：指数函数的图象及应用 17．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 18．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 19．（25-26高三上·山西·阶段检测）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与的符号，可得出的取值范围. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 20．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 题型六：比较指数式的大小 21．（26-27高三上·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】由，得， ． ． 22．（2027高三·全国·专题练习）（多选）若，，，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数的单调性得到，结合不等式的性质及作差法判断即可. 【详解】因为，所以，． 对于A，若，则不等式不成立； 对于B，因为，所以成立； 对于C，若，，则不等式不成立； 对于D，因为，所以，不等式成立． 23．（25-26高三上·山东·学业考试真题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 24．（26-27高三上·全国·课后作业）比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （2）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （3）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得. 【详解】（1）因为，所以，因为幂函数在上单调递增， 所以，即. （2）因为幂函数在上单调递增，且， 所以，即. （3）因为幂函数在上单调递减，且， 所以，即. 题型七：指数函数的最值与值域问题 25．（2026高三下·北京·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 26．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 【答案】(1)是奇函数，证明： 因为，函数的定义域为，关于原点对称， 对于定义域内任意，， 故函数是奇函数． (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，判断函数的奇偶性； （2）先求，再采用换元法转化为二次函数，最后在给定区间求值域． 【详解】（1）略 （2）已知，则，即，解得（舍去）或， 故，， 令，令， 已知，且函数在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 时，； 时，； 故的取值范围是， 开口向上，对称轴为， 在区间内，最小值为， ；， 综上可得，． 27．（26-27高三上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 28．（25-26高三上·陕西渭南·期末）对于函数，若在定义域内方程有解，则称为“倒戈函数”. (1)若函数，试判断是否为倒戈函数，并说明理由. (2)已知. （i）若，试证明: ; （ii）若，且是定义在上的倒戈函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) 是“倒戈函数”. 理由如下： 函数的定义域为， 由方程， 解得，即在定义域内方程有解 所以为“倒戈函数”. (2) （i）因， 则， 即. （ii） 【分析】（1）根据“倒戈函数”的定义列式计算即可判断； （2）（i）依题意求出和，利用幂的运算即可证得；（ii）依题意可得，方程在上有解，进而推得在上有解，利用基本不等式求出函数的值域，即得参数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）因为是定义在上的“倒戈函数”， 所以在上有解， 即在上有解， 方程可化为，即， 对，，故要使方程有解，需使， 即，又，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为． 题型八：由指数函数的单调性解不等式 29．（26-27高三上·安徽·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知 ，解得，所以的定义域为. 30．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． 因为，所以在上单调递增， 由，可得，即． 因为在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 31．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定分段函数和的定义域分界点，根据每一个的分段区间，代入对应的和的表达式，得到该区间内不等式的解集，再将所有分段区间得到的解集取并集，即为不等式的解集. 【详解】，. ①当时，，解得； 由得，，符合题意，即不等式的解集为； ②当时，，解得； 由得，，符合题意， 即不等式的解集为； ③当时，，符合题意， 即不等式的解集为； ④当时，，即， 整理得，解得，不等式的解集为； ⑤当时，， 整理得，即， 解得或；不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 32．（2027高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为_______． 【答案】 【分析】设，根据求出的值，可确定函数的解析式，再令，分析该函数的单调性，再结合求解即可. 【详解】根据题意，设，则，解得，故， 令，该函数的定义域为， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，由可得，故， 故满足的的最大值与最小值分别为、， 故满足的的最大值与最小值的差为. 题型九：指数函数中的恒成立问题 33．（25-26高三下·广东深圳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，； (2). 【分析】（1）根据函数是奇函数应用计算求参，再代入验证，根据指数函数单调性判断函数单调性，再应用单调性解不等式即可； （2）根据解析式及不等式化简，得出恒成立，再结合指数函数及二次函数最值计算求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，所以， 所以， ，所以符合函数是奇函数，所以； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增， 因为，所以， 所以，所以，解集为：. （2），，所以， 所以， 令，所以，， 当时，， 所以，即. 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 35．（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数（）. (1)求a的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据奇函数性质求得，然后利用奇函数定义判定即可得解. （2）结合（1）根据指数函数单调性判断是上的单调递增且奇函数，然后将题干恒成立问题转化为恒成立，分离常数令，则对恒成立，然后结合不等式的性质利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 又是奇函数，所以，解得，此时， 故， 所以是定义域为的奇函数，所以. （2）因为在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又是上的奇函数， 所以等价于， 即，所以， 即，因为恒成立， 所以， 故， 令，因为，所以， 所以对于一切恒成立， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号，即m的取值范围为. 36．（25-26高三上·宁夏固原·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数在R上为增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数定义计算求参，再结合指数函数单调性得出单调性即可； （2）先根据函数单调性得出在时恒成立，再结合基本不等式计算求解； （3）先根据题意把存在及恒成立转化为，再分，，分别讨论列式计算求参. 【详解】（1）若为奇函数，则， 即， ，则， ，解得：． 又函数在R上是增函数，函数在R上是减函数， 因此函数在R上为增函数． （2）由题意得在时恒成立， 因为是R上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即在时恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 即，故，即． （3）由题意，使得，所以， 因为，由（1）可得， 因为的对称轴为直线 ①当时，在区间上单调递增，所以 由，得，所以； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，所以； ③当时，在区间上单调递减，所以， 由，得，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为． 题型十：指数函数的综合问题 37．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由参变量分离可得，令，则，结合二次函数的基本性质求解即可； （2）令，可得，求得，令，化简得出，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出的最小值的表达式，即为所求. 【详解】（1）若存在，使得，可得， 令，则， 令，其中， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，故实数的取值范围是. （2）， 令，则， 故， 因为函数、在上均为增函数， 故在上为增函数， 当时，， 设，其中， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增，此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时. 综上，. 38．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . （2）由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 39．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数a的值； （2）若不等式在有解，求实数m取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）函数是上的奇函数，利用，注意检验求出的是否满足题意；（2）由（1）得，把不等式在有解转化为在有解，构造函数，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由为上的奇函数， 所以， 则，检验如下： 当，， ， 则函数为上的奇函数. 所以实数a的值. （2）由（1）知， 则， 由得：， 因为， 等价于在有解， 则， 令， 设 ， 当且仅当或（舍）取等号； 则， 所以实数m取值范围. 【点睛】关键点睛：把不等式在有解转化为在有解，构造函数出是解决本题的关键. 40．（25-26高三上·浙江衢州·期中）已知函数是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若函数是上的增函数，求解方程； (3)若函数是上的减函数，且关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) (3) 【分析】（1）方法一利用特值求出，再验证是奇函数，方法二利用奇函数的定义式进行求解即可； （2）利用单调性求出，解含有指数的方程即可； （3）根据单调性确定的值，结合不等式有解，分离参数可得答案. 【详解】（1）解法1：因为函数是上的奇函数． 所以，得到， 即， 解得或， 当时，， 对于成立； 当时，， 对于成立 综上，实数的值等于1或 解法2：因为函数是上的奇函数． 所以对于， 即 化简得， 即， 得， 解得或． （2）当时，， 由于是上的增函数， 所以是上的减函数，不合题意； 当时，， 由于是上的增函数， 所以是上的增函数. 解方程，即， 得，解得. （3）由（2）知当时，函数是上的减函数． 在上有解， 即在上有解， 令，上式化简得在上有解， 即在上有解，令，设， 则只需，， 所以，所以实数的取值范围是. 1．（2026·江苏淮安·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立. 2．（26-27高三上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 3．（2026高三上·全国·专题练习）方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 【答案】C 【分析】根据题意，转化为，设与，画出两个函数的图象，结合图象的交点个数，即可得到答案. 【详解】由方程，得，设函数与， 画出与的图象有两个交点， 故方程的实数解的个数为2个. 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）的图象过定点. 5．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）函数 的值域是，则定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，， 函数均单调递增，则单调递增， 故，解得， 即函数 的定义域为． 6．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数在上单调递增，可得两段函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 7．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过平方、同取指数的方式将含根号、对数的表达式转化为便于比较的形式，结合e的取值范围和函数单调性推导三个数的大小关系. 【详解】首先比较和的大小：已知，，将两数分别平方得：，故. 接下来比较和大小：，， 所以，，因为，所以， 又函数在定义域上为严格增函数，所以，即， 综上三者关系. 8．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断得函数是定义在上的奇函数，所以对恒成立等价于对恒成立，化简可得对恒成立，令，，由基本不等式化简计算即可求解. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以函数是定义在上的奇函数， 所以对恒成立等价于对恒成立， 即，化简可得， 令，， 因为，所以， 当且仅当，时，等号成立，即， 同理可得， 要使不等式对恒成立， 则，即， 所以实数的取值范围为. 9．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】BD 【分析】根据幂函数解析式，代入点坐标，求出n值，即可判断A的正误；根据指数函数恒过定点的求法，可判断B的正误；根据指数型复合函数单调性的求法，可判断C的正误；根据条件，代入化简，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：设幂函数，由于过点，代入可得， 解得，则，故A错误； 选项B：令，解得，此时， 所以图象必过定点，故B正确； 选项C：令，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，在R上单调递减， 由复合函数单调性”同增异减”的原则，可得的单调增区间是，故C错误； 选项D：由题意， 则， 所以，即，故D正确. 10．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 【答案】ACD 【分析】对于A，利用奇偶性定义判断即可； 对于B，利用基本函数单调性判断即可； 对于C，利用奇偶性和单调性解不等式； 对于D，利用单调性和特值法求零点. 【详解】对于A，因为，所以是奇函数，A正确. 对于B，因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，B错误. 对于C，由A可知是奇函数， 则即为， 由B可知在上单调递增，则，解得，C正确. 对于D，因为单调且，则由可得， 即，故的零点为1，D正确. 11．（25-26高三下·湖南长沙·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 12．（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 13．（25-26高三下·北京延庆·期末）函数的值域为__________． 【答案】 【详解】当 时， . 由于底数 ， 该函数在 上单调递增. 最小值为 ，最大值为 . 故此段值域为 . 当 时， . 幂指数 ， 该函数在 上单调递增. 当 时， ，最大值为 时， . 故此段值域为 . 综上， 函数的值域为 . 14．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数， 是增函数， 因为 ， ，即， 是单调递增函数， ，解得． 所以的取值范围是. 15．（25-26高三上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以. 16．（25-26高三下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $