精品解析：重庆市渝北中学2026-2027学年九年级上学期第二次质量检测数学试卷

2026-2027学年上期第二次质量检测 数学试题 （全卷共三个大题25小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一、单选题 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.25 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对各个选项的图形进行逐一判断即可. 【详解】解：选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；. 3. 若，且与的相似比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：，相似比为， ． 4. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表： 选手 甲 乙 丙 丁 平均环数 9.2 9.7 9.4 9.7 方差 0.18 0.12 0.12 0.13 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】平均数大说明成绩好，方差小说明成绩稳定，选择平均数大、方差小的人即可． 【详解】解：通过观察平均数发现：乙与丁的平均数最大，而乙的方差比丁的方差小，故乙的成绩更稳定． 故选B 【点睛】本题考查了平均数与方差的意义，正确理解两者的含义是解题关键． 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 7和8之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】先化简二次根式运算，再估算结果的取值范围． 【详解】解： ． ∵， 又∵， ∴． 6. 下列都是由菱形按一定规律组成的，第①个图形共有4个菱形，第②个图形共有7个菱形，第③个图形共有10个菱形，第④个图形共有13个菱形，按此规律，第⑦个图形共有（ ）个菱形 A. 16 B. 19 C. 22 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】观察可知，每个图形的菱形个数等于其序号的3倍加1，据此规律可得答案． 【详解】解：第①个图形共有个菱形， 第②个图形共有个菱形， 第③个图形共有个菱形， 第④个图形共有个菱形， ……， 以此类推，可知，第⑦个图形共有个菱形． 7. 如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形周长求出边长，利用面积公式求出高，结合勾股定理确定点B的横坐标绝对值，根据图象所在象限确定点B坐标，代入反比例函数解析式求解. 【详解】解：过点B作轴于点， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， 在中，， 由图可知，点B在第二象限，A在轴负半轴，且点B在点A的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数（）经过点， ∴. 8. AI模型的推理成本与词卡消费密切相关．假设在某业务阶段，AI服务初始词卡消费量为100万张．业务规模经过两轮增长后，使最终词卡消费量达到144万张，求这两轮词卡消费的平均增长率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两次词卡消费的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次词卡消费后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次词卡消费的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次词卡消费的平均增长率为． 9. 如图，在正方形中，为中点，连接，将沿折叠，点落在正方形内部点处，连接，连接交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠得、、，从而是等腰三角形；作角平分线构造相似三角形求出与边长的关系，定出边长，再由等面积法求． 【详解】解：设正方形的边长为，则． 由折叠得：，，． ∴，即是等腰三角形． ， ∵、关于对称， ∴， ∴． ， ∵， ∴， ∴． 作的平分线交于点，则，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵、关于对称， ∴，且． ∵， 又，， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查折叠的性质与相似三角形的综合：折叠前后的对应边、对应角相等；利用等腰三角形“三线合一”作角平分线构造相似三角形求出与边长的关系，再用等面积法求出与的交线段，从而得． 10. 已知整式，其中为整数，与均为正整数，且，记，请选出正确的选项（ ） A. 若，则满足条件的多项式一共有8个 B. 当，且取最小值时，将全部符合条件的多项式相加，结果是单项式 C. 有两个实数根为，若，则的最小值为8 D. 以上选项均不正确 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题干给出的系数绝对值递增条件，结合整数性质，对每个选项逐一分析，分别计算验证，判断选项正误. 【详解】选项A：当时，为正整数， 时，满足条件的多项式共个； 时，满足且和为的绝对值组合共组，每组对应个多项式，共个； 时，最小系数绝对值和为， 不存在.总共有个满足条件的多项式，A错误. 选项B：当，取最小值时， 系数绝对值为从小到大排列的个最小正整数， 即， 仅最高次系数符号固定为正，其余系数每个都可取正负， 所有符合条件的多项式相加时，任意次数低于的项，系数正负个数相等，相加和为， 仅剩余最高次项，结果为单项式，B正确. 选项C：对于， 由， 整理得， 由， 得， 故， ∵判别式， 由得， 故，不存在两个实根，C错误. 选项D：∵B正确，故D错误. 二、填空题 11. 2026长安汽车重庆马拉松于1月18日8：30在南滨路、巴滨路开跑，来自全球各地的25000名跑友齐聚重庆，以赛阅城，用奔跑一览重庆的山水人文，数据25000用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【解析】 【详解】将用科学记数法表示，把小数点向左移动位，得到，满足，，因此． 12. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： 解得： 则外角为． 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 13. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得：，把代入代数式中即可求出结果． 【详解】解：， ， ． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的非负性可判断，则化简第二个式子可得，与第一个式子消元可得 ，分类讨论的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时， ∴； 当时， （舍）； ∴ 15. 我们规定：若一个两位数比它的各个数位上的数字之和的倍还多，则称这个两位数为“七三数”．例如：两位数，因为 ，所以是“七三数”．按照这个规定，最小的“七三数”是______；对于一个四位数，它的千位数字与十位数字组成的两位数，与它的百位数字与个位数字组成的两位数均为“七三数”，令．若能被整除，满足条件的四位数的最大值与最小值之差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设是“七三数”，则 ，化简整理得，当时，取得最小值，从而可得最小的“七三数”；由与均为“七三数”，则， ，整理得，，所以，又能被整除，所以是整数，则是的整数倍，由题意可知，，，，求出，再根据是的整数倍，可得，即有，则时，，则，，此时为；时，，则，，此时为，然后相减即可． 【详解】解：设是“七三数”， ∴，化简整理得，当时，取得最小值， ∴最小的“七三数”是， ∵与均为“七三数”， ∴，， ∴ ，， ∴ ， ∵能被整除， ∴是整数， ∴是的整数倍， 由题意可知，，，， ∴，， ∵是的整数倍， ∴若时，则， ∴，不符合题意， ∴， ∴，， ∴， ∵是的整数倍， ∴， ∴， 时，，则，，此时为； 时，，则，，此时为； ∴的最小值为，最大值为， ∴满足条件的四位数的最大值与最小值之差为． 16. 如图，、，分别在矩形边，上，将沿直线翻折到矩形所在的平面内得，将四边形沿直线翻折到矩形所在的平面内得四边形，点刚好与重合，且、、共线，、、共线，交于点，，连接．若，则的长度为_______，点到直线的距离为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】证明，得到，结合 求解；证明 ，设，在 中利用勾股定理求出，进而得到的长，最后利用面积法求解点到直线的距离 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，，，， ∵点与重合， ∴， ∵、、共线， ∴， ∴，即， 同理， 在 和 中， ∵  ∴， ∴， ， ∴， 根据折叠的性质，得，， ∴ ， ， ∴ ， 根据折叠的性质，得 ， ∵、、共线， ∴ ， ∴ ， ， 同理得， ∴， 设，则 ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 根据折叠的性质，得 ， ∴ ， ∴， 在 中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 在中，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 设点到直线的距离为，  ， ∴， ∴ 三、解答题 17. 解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解为 【解析】 【详解】解：由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式， ， ∴当时，原式. 19. 某校初二年级组为了了解学生体育情况，组织学生进行体育模拟测试．分别从男生，女生中各随机抽取20名学生测试成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：42，43，44，44，44，45，45，46，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用表示，整理后分成五组（A：；B：；C：；D：；E：）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，47，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数、下四分位数如表所示： 平均数 中位数 众数 下四分位数 男生 49 c d 女生 49 46 （1）根据上述信息可得：_______，_______，_______， _______； （2）根据以上数据，你认为男生的体育成绩更好还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生1200人，女生800人，请估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有多少人． 【答案】（1）15；48；50； （2）男生的体育成绩更好； 因为男生的体育成绩的中位数大于女生的体育成绩的中位数48．（答案不唯一） （3）人 【解析】 【分析】（1）计算扇形统计图中的百分比，女生成绩的中位数，男生成绩的众数，下四分位数d即可； （2）比较男女生成绩，通过中位数判断成绩好坏； （3）利用样本中49分及以上的比例，估计总体中相应的人数． 【小问1详解】 解：因为扇形统计图各部分百分比之和为， 所以， 女生抽取20人，中位数是第 、个数的平均数， 组有人，B组有人，组有人，D组有6人，那么前四组共有人，组有人， 所以第 、个数都在组的最后两个数，组成绩为， 所以第10个数是48，第11个数是48，则， 男生成绩中50出现的次数最多， 所以； 将男生成绩从小到大进行排序，排在第5的是44，第6的是45，因此下四分位数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：据题意得：（人）， ∴估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有1020人． 20. 综合与实践 在学习了菱形的判定方法后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在平行四边形中，．用尺规完成基本作图：作出对角线的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，连接、． 【问题提出】他们猜想：四边形是菱形． 【问题解决】任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你完成猜想的证明过程． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）按线段垂直平分线的尺规作图方法完成即可； （2）证明，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 21. 列方程解应用题： 国庆节期间，“新韵重庆”无人机灯光秀吸引了大批游客前来观看，小凤和小钟相约在无人机最佳观赏地长嘉汇摆摊卖气球．已知售卖2个水母气球和4个爱心气球共78元，售卖7个水母气球比8个爱心气球多9元． （1）求水母气球和爱心气球的单价分别是多少元？ （2）小凤和小钟两人国庆节当天去长嘉汇售卖，已知小凤平均每小时售卖的数量是小钟平均每小时售卖数量的1.5倍．若两人各卖168个气球，小凤比小钟少用2小时，求小凤、小钟两个人平均每小时各卖出多少个气球？ 【答案】（1）水母气球的单价为15元，爱心气球的单价为12元 （2）小凤、小钟两个人平均每小时各卖出42个、28个气球 【解析】 【分析】（1）设水母气球的单价为元，爱心气球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设小钟平均每小时卖出个气球，则小凤平均每小时卖出个气球，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设水母气球的单价为元，爱心气球的单价为元． 根据题意列二元一次方程组得，，解得． 答：水母气球的单价为15元，爱心气球的单价为12元； 【小问2详解】 解：设小钟平均每小时卖出个气球，则小凤平均每小时卖出个气球， 根据题意列分式方程得，，解得． 经检验是原方程的解， 当时，（个） 答：小凤、小钟两个人平均每小时各卖出42个、28个气球． 22. 如图，在中，，，．点以每秒的速度从点出发沿方向运动，点与点同时出发，以每秒的速度从点出发沿折线方向运动．设运动时间为秒（），点与点的距离为，的长度与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）解：根据题意，画图如下： 或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，，利用勾股定理，求得线段，根据要求，解答即可； （2）根据一次函数，反比例函数图象的画法，画图，利用函数解析式联立构造方程，解方程即可，注意验根． 【小问1详解】 解：当时，根据题意，得，， ，，， ，， ， ， 当时，根据题意得 故； 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：画图略； 根据题意，得当时，， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的根； ， ； 当时，得， 整理得，， 解得， 小于0， 故舍去； 故， 经检验，是原方程的根； ， ． 综上所述，符合要求的x的取值范围为：或． 23. 实践背景：2026年是红军长征胜利90周年，小明计划乘高铁前往遵义会议会址，重温长征精神，他乘坐G2869次“复兴号”动车组列车，由重庆西站前往遵义站， 任务一：信息分析与函数建模 材料一：小明通过列车屏幕上的信息发现，“重庆西——桐梓东”这一段列车行程时长为1小时，并且在出站后约6分钟加速到最高速度，在进站前约6分钟由，减速直至，在中间时间段近似以的速度匀速行驶． 材料二：在高铁运行的研究中，我们常用图（速度—时间图象）来直观分析速度的变化．对于“匀变速运动”（速度随时间均匀增加或均匀减少），我们可以这样理解： ①若物体从0匀加速至速度，用时，则其平均速度为，路程平均速度时间； ②若物体从速度匀减速至0，同理． 为研究重庆西站到桐梓东站区间的运行状态，作出如下假设：行程时长为1小时，出站后前从匀加速至最高速度；中间阶段以匀速行驶；进站前从匀减速至． 我们可以利用图象研究“重庆西—桐梓东”这一过程，如图． （1）以下A、B、C三个选项中，该假设条件下路程随时间变化的大致图象可能是（ ） A． B． C． （2）根据上述假设，请估算重庆西站到桐梓东站的全程路程． （3）任务二：模型检验与修正 任务一中，我们根据“加速—匀速—减速”的假设，估算出重庆西站到桐梓东站的路程．实际上，重庆西站到桐梓东站的铁路里程为，估算值与实际值有误差可能是对高铁列车运行状态的假定与实际不符．若保持行程时长为1小时，最高速度不变，仍按照“出站匀加速—中间匀速—进站匀减速”三段式运行，且加速和减速时间相等，请计算：实际状态下，出站后匀加速和进站前匀减速的时间各应为多少时间？ （4）任务三：符号化与一般化推广 将该问题一般化：假设高铁相邻两站之间的路程为，列车在这段路程的运行时间为，运行的起始和最后分别做匀变速运动（加速和减速时间相等），中间阶段以最高速度做匀速运动．请用、、表示相邻两站之间的路程，直接写出的代数表达式． 【答案】（1）C （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据先匀加速、再匀速、然后匀减速的运动过程分析函数图像即可解答； （2）根据题意列式，运用有理数的混合运算法则计算即可； （3）设匀加速和进站前匀减速的时间各应为，则中间匀速运动时间为，根据题意列关于t的一元一次方程求解即可； （4）由题意可得中间匀速运动时间为，起始和最后的匀变速运动速度为，然后根据路程、速度、时间的关系列式化简即可． 【小问1详解】 解：匀加速过程中，速度越来越大，路程s增大不断加快，函数图像是开口向上的二次函数的一部分； 匀速运动过程中，路程S匀速增加，对应图像是直线； 最后均减速过程中，速度越来越小，路程s增大不断减慢，函数图像是开口向下的二次函数的一部分； 综上，选项C符合题意； 【小问2详解】 解：由题意可知：匀加速、匀减速运动时间均为，速度为， 中间匀速运动时间为，速度为， ． 答：则重庆西站到桐梓东站的全程路程为． 【小问3详解】 解：设匀加速和进站前匀减速的时间各应为，则中间匀速运动时间为， 由题意可得：， 解得：． 答：匀加速和进站前匀减速的时间各应为． 【小问4详解】 解：设高铁相邻两站之间的路程为，列车在这段路程的运行时间为，运行的起始和最后分别做匀变速运动，中间阶段以最高速度做匀速运动，中间匀速运动时间为，起始和最后的匀变速运动速度为． 则： ，即． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； （3）如图2，将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点K，连接．M是平移后抛物线上一点，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2），取得最大值 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点和点代入计算即可； （2）先求出，得到，根据平行得到，设，过作于，即可得到，最后根据求出取最大值，此时；取点，连接，，，则垂直平分，得到，根据当，，三点共线时，取得最大值，； （3）先求出平移后的解析式，进而求出新抛物线与原抛物线交于点，过作于，交于，在线段上取一点，使，过作交于，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，则，结合，得到当点在下方时，在射线上，求出直线解析式与新抛物线求交点即可；证明，得到，同理得到当点在上方时，在射线上，求出直线解析式与新抛物线求交点． 【小问1详解】 解：把点和点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴当时，，解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵过点P作，交于点D， ∴， ∵P为线段上方抛物线上的一动点， ∴设，， 过作于， ∴， ∴，，， ∴ ， ∴当时，取最大值，此时，即； 取点，连接，，，则， ∴，即垂直平分， ∴， ∵中，即， ∴当，，三点共线时，取得最大值，； 【小问3详解】 解：将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，则新抛物线解析式为， 联立，解得， ∴新抛物线与原抛物线交于点， 过作于，交于，在线段上取一点，使，过作交于，在射线上取一点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为， 当时，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵M是平移后抛物线上一点，且， ∴当点在下方时，在射线上， 设直线解析式为，代入和得，解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得或， ∵， ∴此时； ∵， ∴当时，，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是平移后抛物线上一点，且， ∴当点在上方时，在射线上， 同理求出直线解析式为，与联立得到； 综上所述，所有符合条件的点M的坐标为或． 25. 如图，在中，，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明； （3）如图3，若，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）．理由如下： 过A作于M，交于N． ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵交于点E， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点分别是边的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先得，则．由等腰三角形的性质得，由勾股定理可得．可求的长度； （2）过A作于M，交于N，先证，再证，可得，再证，则； （3）作点E关于的对称点，连接，取的中点S，连接，作于P，先得出当取得最小值时，．过A作于M，得出与同底等高．设，则，设．建如图所示的平面直角坐标系：则，，，，，延长与y轴交于点Q，设直线为，解得，可得的值． 【小问1详解】 解∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点E关于的对称点，连接，，取的中点S，连接，作于P，如图， ∴，． ∵中，， ∴S、A、共线时，，此时最小，即取最小值． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴与同底等高． ∴， 设，则， 设．建如图所示的平面直角坐标系：则，，，，，延长与y轴交于点Q， 设直线解析式为， 将，分别代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵于F， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 对于， 当时，． 解得， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期第二次质量检测 数学试题 （全卷共三个大题25小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一、单选题 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.25 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，且与的相似比为，则为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表： 选手 甲 乙 丙 丁 平均环数 9.2 9.7 9.4 9.7 方差 0.18 0.12 0.12 0.13 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 7和8之间 D. 4和5之间 6. 下列都是由菱形按一定规律组成的，第①个图形共有4个菱形，第②个图形共有7个菱形，第③个图形共有10个菱形，第④个图形共有13个菱形，按此规律，第⑦个图形共有（ ）个菱形 A. 16 B. 19 C. 22 D. 25 7. 如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. AI模型的推理成本与词卡消费密切相关．假设在某业务阶段，AI服务初始词卡消费量为100万张．业务规模经过两轮增长后，使最终词卡消费量达到144万张，求这两轮词卡消费的平均增长率（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为中点，连接，将沿折叠，点落在正方形内部点处，连接，连接交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为整数，与均为正整数，且，记，请选出正确的选项（ ） A. 若，则满足条件的多项式一共有8个 B. 当，且取最小值时，将全部符合条件的多项式相加，结果是单项式 C. 有两个实数根为，若，则的最小值为8 D. 以上选项均不正确 二、填空题 11. 2026长安汽车重庆马拉松于1月18日8：30在南滨路、巴滨路开跑，来自全球各地的25000名跑友齐聚重庆，以赛阅城，用奔跑一览重庆的山水人文，数据25000用科学记数法可表示为___________． 12. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 13. 如果，那么________． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为___________． 15. 我们规定：若一个两位数比它的各个数位上的数字之和的倍还多，则称这个两位数为“七三数”．例如：两位数，因为 ，所以是“七三数”．按照这个规定，最小的“七三数”是______；对于一个四位数，它的千位数字与十位数字组成的两位数，与它的百位数字与个位数字组成的两位数均为“七三数”，令．若能被整除，满足条件的四位数的最大值与最小值之差为______． 16. 如图，、，分别在矩形边，上，将沿直线翻折到矩形所在的平面内得，将四边形沿直线翻折到矩形所在的平面内得四边形，点刚好与重合，且、、共线，、、共线，交于点，，连接．若，则的长度为_______，点到直线的距离为_______． 三、解答题 17. 解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校初二年级组为了了解学生体育情况，组织学生进行体育模拟测试．分别从男生，女生中各随机抽取20名学生测试成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：42，43，44，44，44，45，45，46，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用表示，整理后分成五组（A：；B：；C：；D：；E：）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，47，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数、下四分位数如表所示： 平均数 中位数 众数 下四分位数 男生 49 c d 女生 49 46 （1）根据上述信息可得：_______，_______，_______， _______； （2）根据以上数据，你认为男生的体育成绩更好还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生1200人，女生800人，请估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有多少人． 20. 综合与实践 在学习了菱形的判定方法后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在平行四边形中，．用尺规完成基本作图：作出对角线的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，连接、． 【问题提出】他们猜想：四边形是菱形． 【问题解决】任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你完成猜想的证明过程． 21. 列方程解应用题： 国庆节期间，“新韵重庆”无人机灯光秀吸引了大批游客前来观看，小凤和小钟相约在无人机最佳观赏地长嘉汇摆摊卖气球．已知售卖2个水母气球和4个爱心气球共78元，售卖7个水母气球比8个爱心气球多9元． （1）求水母气球和爱心气球的单价分别是多少元？ （2）小凤和小钟两人国庆节当天去长嘉汇售卖，已知小凤平均每小时售卖的数量是小钟平均每小时售卖数量的1.5倍．若两人各卖168个气球，小凤比小钟少用2小时，求小凤、小钟两个人平均每小时各卖出多少个气球？ 22. 如图，在中，，，．点以每秒的速度从点出发沿方向运动，点与点同时出发，以每秒的速度从点出发沿折线方向运动．设运动时间为秒（），点与点的距离为，的长度与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过）． 23. 实践背景：2026年是红军长征胜利90周年，小明计划乘高铁前往遵义会议会址，重温长征精神，他乘坐G2869次“复兴号”动车组列车，由重庆西站前往遵义站， 任务一：信息分析与函数建模 材料一：小明通过列车屏幕上的信息发现，“重庆西——桐梓东”这一段列车行程时长为1小时，并且在出站后约6分钟加速到最高速度，在进站前约6分钟由，减速直至，在中间时间段近似以的速度匀速行驶． 材料二：在高铁运行的研究中，我们常用图（速度—时间图象）来直观分析速度的变化．对于“匀变速运动”（速度随时间均匀增加或均匀减少），我们可以这样理解： ①若物体从0匀加速至速度，用时，则其平均速度为，路程平均速度时间； ②若物体从速度匀减速至0，同理． 为研究重庆西站到桐梓东站区间的运行状态，作出如下假设：行程时长为1小时，出站后前从匀加速至最高速度；中间阶段以匀速行驶；进站前从匀减速至． 我们可以利用图象研究“重庆西—桐梓东”这一过程，如图． （1）以下A、B、C三个选项中，该假设条件下路程随时间变化的大致图象可能是（ ） A． B． C． （2）根据上述假设，请估算重庆西站到桐梓东站的全程路程． （3）任务二：模型检验与修正 任务一中，我们根据“加速—匀速—减速”的假设，估算出重庆西站到桐梓东站的路程．实际上，重庆西站到桐梓东站的铁路里程为，估算值与实际值有误差可能是对高铁列车运行状态的假定与实际不符．若保持行程时长为1小时，最高速度不变，仍按照“出站匀加速—中间匀速—进站匀减速”三段式运行，且加速和减速时间相等，请计算：实际状态下，出站后匀加速和进站前匀减速的时间各应为多少时间？ （4）任务三：符号化与一般化推广 将该问题一般化：假设高铁相邻两站之间的路程为，列车在这段路程的运行时间为，运行的起始和最后分别做匀变速运动（加速和减速时间相等），中间阶段以最高速度做匀速运动．请用、、表示相邻两站之间的路程，直接写出的代数表达式． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； （3）如图2，将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点K，连接．M是平移后抛物线上一点，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明； （3）如图3，若，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $