第十三章 三角形 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十三章三角形（单元测试）-2026-2027学年八年级上册数学（人教版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一把直尺与含的直角三角板如图所示放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法：①等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形全等；④三角形的角平分线是射线．其中正确的说法为（   ） A．①② B．①②③ C．② D．①②④ 3．三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 4．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　） A．32° B．36° C．40° D．128° 5．如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．一个衣架的示意图如图所示，若，则衣架底部横杆的长可能为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是斜边上的高，于点，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 9．如图，中，，，若，则的度数为________．    10．已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是______． 11．在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 _____． 12．等腰三角形的三条边分别为2，4，x，则第三边长x的值是__________． 13．如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 14．已知的两条边的长度分别为，，若的周长为偶数，则第三条边的长度是__． 15．如图，中，，为的中点，连接并延长交于点，为上一点，且于点．下列判断，其中正确的有_________个． ①是中边上的中线；②既是中的平分线，也是中的平分线；③既是中边上的高，也是中边上的高． 三、作图题 16．说出如图所示图形中和的度数： 四、解答题 17．如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F． (1)求的度数； (2)求的度数． 18．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 19．一个缺角的三角形残片如图所示． (1)不恢复这个缺角，你能画出边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？ (2)小明分别画出和的平分线，两线交于点，又找到边的中点，画直线，小明说他画出了第三个角的角平分线所在的直线．你认为他说的对吗？为什么？ 20．如图，小明想用浅色灯带与深色灯带分别装饰三角形圣诞树的顶部和底部． (1)你知道小明所用的哪条灯带更长吗？说明理由； (2)小明共用了长的灯带，且已知三角形三边长为三个连续的自然数，你能帮小明求出三角形每条边的长度吗？ 21．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东方向，船以25海里时的速度继续航行4小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？ 22．如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处． (1)求的度数． (2)甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？ 23．实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 24．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． (1)当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ (2)轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ (3)根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 25．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章三角形（单元测试）-2026-2027学年八年级上册数学（人教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B A C A D A 1．A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理的应用是解题的关键． 由得到，根据三角板可得，再由三角形内角和定理得到，据此即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴ ∴， 故选：A． 2．C 【分析】根据全等三角形的、对称轴和角平分线的概念判断即可． 【详解】①对称轴是直线，等腰三角形顶角的平分线是线段，原说法不正确； ②全等三角形的对应边相等、对应角相等，原说法正确； ③面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误； ④三角形的角平分线是的线段，原说法不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了对称轴，全等三角形，三角形的角平分线的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 3．B 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可． 【详解】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义是解题关键． 4．A 【分析】直接根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ，且∠A＝20°，∠B＝4∠C， ∴ ∴ ∴∠C=32° 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用以及解一元一次方程，运用方程思想解答此类试题是常用的思想方法． 5．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，连接，根据三角形内角和定理可知，因为，可得：，即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 在中，， ， 知，，， ， ， ． 故选： C． 6．A 【详解】解：由三角形三边关系得：，即， ∴衣架底部横杆的长可能为 ． 7．D 【分析】根据直角三角形两锐角互余，利用同角的余角相等进行等量代换即可求解． 【详解】解：，是斜边上的高， ，， ， ， ， ， 又， ， 综上所述，图中与（除外）相等的角有和，共个． 8．A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 9．/36度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线性质，根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，再根据两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：，， , ， 故答案为：． 10．7或9/9或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系和三角形的周长，根据三角形的三边关系得到，由第三边长是偶数得到或4，即可求出这个三角形的周长． 【详解】解：设第三边长为， 则，即． 又为偶数，因此或4， 故这个三角形的周长是：或． 故答案为：7或9． 11． 【分析】本题考查三角形面积计算， 三角形中线的性质，解题关键是同高三角形面积比等于底的比，三角形中线分得的两个三角形面积相等． 根据高相等的三角形，面积比等于底的比得到，再根据三角形中线分得的三角形面积相等得到，，从而得到，两式相减，得到，由，、上的高相等，所以，从而即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分类讨论后利用三角形的三边关系检验是解题关键． 【详解】解：若，则等腰三角形的三边长分别为4、2、2， ∵，不能构成三角形，不符合题意； 若，则等腰三角形的三边长分别为4、4、2，此时能构成三角形，故第三条边长为4， 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．5 【分析】可根据三角形三边关系先求出第三边的取值范围，再根据的周长为偶数，得出第三边的长即可． 【详解】解：设第三边长为， 则，即， 又∵周长为偶数， ∴x为奇数， ∴， 即第三条边的长度是． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系和特殊解，注意：偶数加偶数为偶数，奇数加奇数为偶数，难度适中． 15．3 【分析】根据三角形高，中线，三角形角平分线的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴是中边上的中线，故①正确； ∵， ∴既是中的平分线，也是中的平分线，故②正确； ∵， ∴既是中边上的高，也是中边上的高，故③正确； 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了三角形高，中线，三角形角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键． 16．， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，根据三角形内角和可求出的度数，根据三角形外角性质可求出的度数． 【详解】解：， ． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答；掌握三角形内角和定理是解题的关键； （2）先根据垂直的定义和直角三角形的性质可得，再结合可得，最后根据直角三角形的性质即可解答；掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． 18． 【分析】根据三角形的内角和等于求出，然后根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，根据角的和差再求解即可． 本题主要考查了三角形内角和，三角形的角平分线，三角形的高线，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，是解题的关键． 【详解】∵在中，，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴． ∴在中， ， ∴． 19．(1)能画出边上的高所在的直线， 如图所示： ①分别过点、点作三角形的高线、，与相交于点， ②过点作，垂足为， ③即为边上的高所在的直线． 理由：、是三角形的高线，三角形的三条高线（或其延长线）相交于一点（垂心）， 点在边的高线上， 过点有且只有一条直线与垂直， 为边上的高所在的直线； (2)他说得不对，三角形的角平分线不一定经过该角对边的中点． 【分析】（1）分别过点和点作出三角形的两条高线，然后两条高线的交点作的垂线，该直线即为边上的高所在的直线； （2）三角形的角平分线不一定经过该角对边的中点． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1) 解：浅色灯带长． 理由：浅色灯带装饰三角形的两条边，深色灯带装饰第三条边． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边． 根据三角形两边之和大于第三边，可得浅色灯带长． (2)三角形每条边的长度分别为，， 【分析】本题考查了三角形三边关系和一元一次方程的应用，解题的关键是（1）利用“三角形两边之和大于第三边”比较灯带长度；（2）设出连续自然数表示的三边长，根据周长列方程求解． （1）根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，判断浅色灯带与深色灯带的长度关系； （2）设中间边长为，用含的式子表示另外两边，根据周长为列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设中间的边长为 ，由题意得， ，解得， ，， 故三角形每条边的长度分别为80，81，82． 21．船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形外角的性质等等，过点A作于D，利用三角形外角的性质得到，则海里，再根据含30度角的直角三角形的性质可得海里． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 根据题意得，， ， ． （海里）， （海里）， 在直角中，，， ∴， （海里）， ∴船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近． 22．(1) (2)甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据，得到，所以，在中，根据三角形内角和定理求解即可． （2）设甲车速度为，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：处在处北偏西方向，处在处北偏东方向，处在处南偏东方向， ，，， ， ， ， 在中，． （2）设甲车速度为，根据题意得， 解得：， 答：甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市． 23．(1)2 (2)购买铁条共需元 【分析】本题考查三角形三边关系，有理数加法的实际应用． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 共有2种制作方案； （2）解：当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需（元）， 答：购买铁条共需元． 24．(1) (2)当轮船行驶到点C的正南方时距离灯塔最近，因为垂线段最短 (3)当轮船行驶到距离灯塔最近的位置时，的度数是多少？（答案不唯一） 【分析】（1）根据三角形外角的性质计算即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）再提出一个问题即可． 【详解】（1）解： ， ∴当轮船从点行驶到点时，的度数是． （2）略 （3）略 25．(1)海岛到灯塔的距离为20海里 (2)还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解； （2）如图，过点作于点，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，据此求出的长度和需要的时间即可． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）． 答：海岛到灯塔的距离为20海里； （2）解：如图，过点作于点， 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， （小时）． 答：还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $