1.5 全称量词与存在量词 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5 全称量词与存在量词 复习导入 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此他们不是命题.但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题.我们把这样的短语称为量词. 本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确的对含有一个量词的命题进行否定. 新知探索 思考1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (2)是整数； (3)对所有的； (4)对任意一个是整数. 语句命题(1)(2)中含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题. 语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量进行限定。语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 新知探索 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并且用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 例如，命题“对任意的是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题. 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. 一般形式：通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示.那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 结构特点：集合中的任意一个元素，都满足条件. 例析 例1.判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)； (3)对任意一个无理数，也是无理数. 解：(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)，总有，因而.所以，全称量词命题“”是真命题. (3)是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对任意一个无理数，也是无理数”是假命题. 提示：如果一个大于1 的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数. 新知探索 要判定全称量词命题是真命题，需要对集合中每个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 这个方法就是举反例. 新知探索 思考2：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (2)能被2和3整除； (3)存在一个，使； (4)至少有一个能被2和3整除. (1)(2)不是命题. 语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的陈述句，因此语句(3)(4)是命题. 新知探索 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题. 常见的全称量词还有“有些”“有一个”“有的”等. 一般形式：存在量词命题“存在中任意一个，成立”可用符号简记为 结构特点：集合中至少存在一个元素，满足条件. 例析 例2.判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数，使； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 解：(1)由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数，使”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 练习 练习 练习 方法技巧： 1.判断全称量词命题真假的思维过程 2.判断存在量词命题真假的思维过程 全称量词命题 经证明为真或与性质、定理等真命题相符 可举出反例 真命题 假命题 存在量词命题 可找到，使成立 找不到，使成立 真命题 假命题 问题导入 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. “56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”， “空集是集合的真子集”的否定为“空集不是集合的真子集”. 下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定. 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 新知探索 思考1：写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)， 上面三个命题都是全称量词命题，即具有“”的形式. 命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题(3)的否定是“并非所有的，”，也就是说，，. 新知探索 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可. 假定全称量词命题为“”，则它的否定为“并非”，也就是“不成立”.通常，用符号“”表示“不成立”. 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面结论： 全称量词命题：， 它的否定：. 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 改为 否定结论 例析 例3.写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意，的个位数字不等于3. 解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上. (3)该命题的否定：，的个位数字等于3. 新知探索 思考2：写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)， 它们与原命题在形式上有什么变化？ 这三个命题都是存在量词命题，即具有“”的形式. 命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在，”，也就是说，，. 新知探索 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可. 假定存在量词命题为“”，则它的否定为“不存在使成立”，也就是“不成立”. 对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面结论： 存在量词命题：， 它的否定：. 也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 改为 否定结论 例析 例4.写出下列存在量词命题的否定： (1)； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数. 解：(1)该命题的否定：. (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形. (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 例析 例5.写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任意两个等边三角形都相似； (2). 解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似. 因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题. (2)该命题的否定：. 因为对任意，所以这是一个真命题. 练习 方法技巧： 全称量词命题的否定形式与判断真假的方法 (1)全称量词命题的形式是“”，其否定形式为“”，所以全称量词命题的否定是存在量词命题. (2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题. 练习 方法技巧： 存在量词命题的否定形式与判断真假的方法 (1)存在量词命题的形式是“”，其否定形式为“”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题. (2)存在量词命题的否定真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可. 练习 练习 练习 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）“对每一个无理数, 也是无理数”是全称量词命题,也是真命题.( ) × [解析] 是无理数,但 是有理数，该命题是假命题. （2）“至少存在一个， 能被2和3整除”是存在量词命题且是真命题.( ) √ [解析] 时， ，6能被2和3整除，且命题中含有存在量词“至少存在一 个”， 该命题是存在量词命题且是真命题. （3）“任给, 为奇数”是全称量词命题且是真命题.( ) √ [解析] 任给，是偶数， 是奇数，又命题中含有全称量词“任 给”， 该命题是全称量词命题且是真命题. （4）“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”是存在量词命题且是假命题. ( ) × [解析] 菱形是四边形且对角线互相垂直，且命题中含有存在量词“存在一 个”， 该命题是存在量词命题且是真命题. 课 前 预 习 26 探究点一 全称量词命题与存在量词命题的判断 例1 判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题. （1）凸多边形的外角和等于 ; 解：该语句可以改为“所有的凸多边形的外角和等于 ”,含有全称量词“所有 的”，故为全称量词命题. （2）有的三角形没有中线; 解：含有存在量词“有的”,故为存在量词命题. （3）三个连续整数的乘积是6的倍数; 解：该语句可以改为“任意三个连续整数的乘积都是6的倍数”,含有全称量词“任 意”,故为全称量词命题. （4）存在一个二次函数的图象与 轴无交点. 解：含有存在量词“存在一个”,故为存在量词命题. 课 中 探 究 27 变式 将下列命题用“ ”或“ ”表示. （1）实数的平方是非负数; 解：, . （2）方程 至少存在一个负根. 解：, . 课 中 探 究 28 探究点二 全称量词命题与存在量词命题真假的判断 例2 判断下列全称量词命题的真假. （1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点 . 解：由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，“在平面直角坐标系 中，任意有序实数对都对应一点 ”是真命题. （2）, . 解：因为，所以恒成立，所以“, ”是真命题. （3）所有二次函数图象的开口都向上. 解：当二次函数的二次项系数小于零时，其图象开口向下,所以“所有二次函数图 象的开口都向上”是假命题. 课 中 探 究 29 变式 判断下列存在量词命题的真假. （1）有的集合中不含有任何元素. 解：空集中不含有任何元素,因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题. （2）有的平行四边形的四个角都相等. 解：矩形的四个角都是直角，即都相等，因此“有的平行四边形的四个角都相等” 为真命题. （3）存在一个实数，使 . 解：因为，所以方程无实数根，因此“存在一个实数 ， 使 ”为假命题. （4）有些整数只有两个正因数. 解：因为整数3只有正因数1和3,所以“有些整数只有两个正因数”为真命题. 课 中 探 究 30 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）“所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”. ( ) √ [解析] “所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个（或有些）菱形不是平 行四边形”. （2）“任意奇数的平方还是奇数”的否定是“所有奇数的平方都不是奇数”.( ) × [解析] “任意奇数的平方还是奇数”的否定是“有些（或存在一个）奇数的平方不 是奇数”. （3）“有些实数的绝对值是正数”的否定是“, ”.( ) √ [解析] 由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,而命题 的否定只否定结论. （4）从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“ ”同时否定.( ) × [解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“ ”进行否定,而将“存在 量词”变成“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”. 课 前 预 习 31 探究点一 全称量词命题的否定 例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假. （1）所有自然数的平方都是正数； 解：该命题的否定是“有的自然数的平方不是正数”，为真命题． （2）, ; 解：该命题的否定是“, ”,为真命题. （3）等腰梯形的对角线相等. 解：该命题的否定是“有的等腰梯形的对角线不相等”,为假命题. 课 中 探 究 32 变式 写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假. （1）任何一个平行四边形的对边都平行； 解：该命题的否定是“存在一个平行四边形，它的对边不都平行”，为假命题. （2）， ； 解：该命题的否定是“， ”，为真命题. （3）任意一个实数乘 都等于它的相反数. 解：该命题的否定是“存在一个实数乘 不等于它的相反数”，为假命题. 课 中 探 究 33 探究点二 存在量词命题的否定 例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假. （1）有些三角形的三个顶点不在同一个圆上; 解：该命题的否定:所有三角形的三个顶点都在同一个圆上.真命题. （2）有一个奇数不能被3整除； 解：该命题的否定：每一个奇数都能被3整除.假命题. （3）存在，使函数随 的增大而减小. 解：该命题的否定: 对任意，函数不随 的增大而减小，假命题. 课 中 探 究 34 变式 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假. （1）存在一个实数，它的绝对值不是正数; 解：该命题的否定: 任意实数的绝对值都是正数.假命题. （2）有些三角形是等边三角形； 解：该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.假命题. （3）有些无理数不是实数. 解：该命题的否定:所有的无理数都是实数.真命题. 课 中 探 究 35 探究点三 利用全称量词命题与存在量词命题求参数的范围 例3 已知集合， ， （1）若，是真命题，求 的取值范围； 解：因为，是真命题，所以 . ①当 时，，解得 ； ②当 时，可得解得 . 故的取值范围为 . 课 中 探 究 36 （2）若，是真命题，求 的取值范围． 解：因为，是真命题，所以 ，所以 ，即 ，即，则， 故只需满足 即可，即， 故，故的取值范围为 . 课 中 探 究 37 练习 方法技巧： 求解含有量词命题中参数范围的策略 已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查，解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. 解决此类问题的关键是根据合理量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制. 变式 若命题“,”为真命题，则实数 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. [解析] 命题“,”为真命题， 关于 的方程 有实数根，则，解得 ，故选A. 课 中 探 究 39 探究点三 全称量词命题、存在量词命题的应用 例3 [2024·海南华中师大琼中附中高一月考]若“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 由题意可知，“， ”是真命题，则 解得，所以实数 的取值范围是 .故选A. 课 中 探 究 40 变式 已知命题，，则的否定是____________________， 若 的否定是假命题，则实数 的取值范围为__________. [解析] 全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“ ， ”. 因为的否定是假命题，所以是真命题，令 ， 因为的最小值为，所以 . 课 中 探 究 41 $