1.5 全称量词与存在量词课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词、存在量词及其命题的否定，通过问题对比非命题与含量词命题导入，构建从具体到抽象的学习支架，衔接集合与常用逻辑用语基础。 其亮点在于以问题探究生成新知，通过素数是否为奇数等实例判断培养数学思维的推理能力，符号化表达（如∀x∈M,p(x)）强化数学语言，方法总结助力教师教学，提升学生逻辑推理与问题解决能力。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词 1 探究1 全称量词命题和存在量词命题 问题1 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1) x>3； (2) 2x＋1是整数； (3) 对所有的x∈R，x>3； (4) 对任意一个x∈Z，2x＋1是整数． 不是 不是 是 是 全称量词 (3)(4) 全称量词命题 返回至目录 2 新知生成 1.全称量词和全称量词命题 （1） 全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作___________，并用符号“____”表示． 全称量词 <m></m> （2） 全称量词命题 含有___________的命题叫作全称量词命题，通常将含有变量 的语句用 ， ， ， 表示，变量 的取值范围用 表示，那么全称量词命题“对 中任意一个 ， 成立”可用符号简记为_________________． 全称量词 <m></m> ， <m></m> 常见的全称量词有:“所有的”,“任意一个”,“一切”,“每一个”,“任给”, “凡是”等. 思考1：全称量词命题中是否一定含有全称量词？ 返回至目录 3 例1 判断下列全称量词命题的真假． (1)所有的素数都是奇数； ( ) (2)∀x∈R，|x|+1≥1； ( ) (3)对每一个无理数x，x2也是无理数． ( ) 假 真 假 追问: 如何判定一个全称量词命题的真假？ (1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立； (2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例) 返回至目录 4 练习1. 判断下列全称量词命题的真假．（p28） (1)每个四边形的内角和都是360o； ( ) (2)任何实数都有算术平方根； ( ) (3)∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数． ( ) 假 真 假 返回至目录 5 问题2 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除. 不是 不是 是 存在量词 (3)(4) 存在量词命题 是 返回至目录 6 新知生成 1.存在量词和存在量词命题 （1）存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作___________，并用符号“____”表示 （2）存在量词命题 含有___________的命题叫作存在量词命题，那么存在量词命题“存在 中的元素 ， 成立”可用符号简记为_________________． 存在量词 <m></m> ， <m></m> 常见的存在量词有:“有些”，“有一个”，“存在一个”，“对某些”，“有的”等 . 存在量词 <m></m> 返回至目录 7 例2 判断下列存在量词命题的真假． (1)有一个实数x，使x2＋2x＋3=0； ( ) (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； ( ) (3)有些平行四边形是菱形． ( ) 假 真 假 追问: 如何判定一个存在量词命题的真假？ (1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例) (2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立． 返回至目录 8 练习2. 判断下列存在量词命题的真假．（p28） (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； ( ) (2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数； ( ) (3) ∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数． ( ) 假 真 真 返回至目录 9 一、全称量词命题与存在量词命题的判定 例1 下列命题中，是全称量词命题的有________，是存在量词命题的有________. （填序号） ①正方形是菱形；②有两个角是 的三角形是等腰直角三角形；③有的实数是无限 不循环小数；④有些正整数是偶数；⑤能被6整除的数也能被3整除；⑥存在 ， ． ①②⑤ ③④⑥ 返回至目录 10 [解析] 根据全称量词命题和存在量词命题的概念可知， ①是全称量词命题； ②是全称量词命题； ③是存在量词命题； ④是存在量词命题； ⑤是全称量词命题； ⑥是存在量词命题. 所以是全称量词命题的有①②⑤，是存在量词命题的有③④⑥． 返回至目录 11 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假： （1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对 <m></m> 都对应一点 <m></m> ； （2）每一条线段的长度都能用正有理数来表示； （3）至少有一个直角三角形不是等腰三角形； （4） <m></m> ， <m></m> ； （5） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ． [解析] （1）是真命题． （2）是假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为 ，就不能用正有理数表示． （3）是真命题，如有一个内角为 的直角三角形就不是等腰三角形． （4）是真命题，或都能使 成立． （5）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立． 返回至目录 12 巩固训练1 （多选题）下列命题是真命题的是( ) . CD A.， B.， C.， D.， [解析] 当时，，所以命题“， ”为假命题，故A错误； 由，可得，所以命题“， ”为假命题，故B错误； 因为，所以命题“， ”为真命题， 故C正确； 当时，方程成立，所以命题“， ”为真命题，故D正确． 返回至目录 13 巩固训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假. （1） <m></m> ， <m></m> ； （2）每一个三角形的内角和都是 <m></m> ； （3）钝角三角形的高有的在三角形外部； （4）对任意的 <m></m> ， <m></m> ，都有 <m></m> ． [解析] （1）存在量词命题.由于使成立的实数只有 ，且它们都不是有理数, 因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题． （2）全称量词命题.由三角形内角和定理可知，该命题是真命题． （3）存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题． （4）全称量词命题.因为 ，所以该命 题是假命题. 返回至目录 14 探究2 含有一个量词命题的否定 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. 问题1：我们如何对一个命题进行否定呢？一个命题和它的否定之间是什么关系呢？ 否定 空集不是集合A={1,2,3}的真子集 56是7的倍数 否定 56不是7的倍数 空集是集合A={1,2,3}的真子集 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 返回至目录 15 探究2 含有一个量词命题的否定 思考1：写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3） ， . 存在一个矩形不是平行四边形 存在一个素数不是奇数 ， 问题2：这三个命题是什么类型的命题？ 它们的否定是什么类型的命题？ 全称量词命题 存在量词命题 返回至目录 16 新知生成 全称量词命题： ， ，它的否定：__________________； <m></m> ， <m></m> 【注意】全称量词命题的否定是存在量词命题， 进行否定时，将改为，再对结论进行否定即可。 注：通常，用符号“”表示“”不成立 返回至目录 17 原词 否定词 原词 否定词 等于 不等于 至多一个 至少两个 大于 不大于（小于等于） 至少一个 一个也没有 小于 不小于（大于等于） 任意 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 或 且 常见的否定词 返回至目录 18 例3.写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意，的个位数字不等于3. 返回至目录 19 思考2：写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)， ， 问题2：这三个命题是什么类型的命题？ 它们的否定是什么类型的命题？ 全称量词命题 存在量词命题 每一个平行四边形都不是菱形 所有实数的绝对值都不是正数 返回至目录 20 新知生成 存在量词命题： ， ，它的否定：__________________； <m></m> ， <m></m> 【注意】存在量词命题的否定是全称量词命题， 进行否定时，将改为，再对结论进行否定即可。 返回至目录 21 例4. 写出下列存在量词命题的否定： (1)； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数. 返回至目录 22 例5. 写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任意两个等边三角形都相似； (2). 返回至目录 23 全称量词命题与存在量词命题的否定 命题 命题的否定 全称量词命题 存在量词命题 存在量词命题 全称量词命题 总结 写出下列命题的否定，并判断真假. (1)任意两个等边三角形都相似； (2)∃x∈R，x2－x+1=0； 命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似. 命题的否定：∀x∈R，x2-x+1≠0. 真 假 真 假 一个命题和它的否定只能一真一假． 拓展 新知运用 一、全称量词命题与存在量词命题的否定 例3 写出下列命题的否定并判断其真假： （1） <m></m> ， <m></m> ； （2） <m></m> 所有的正方形都是矩形； （3） <m></m> ， <m></m> ； （4） <m></m> 至少有一个实数 <m></m> ，使 <m></m> ． 返回至目录 26 先判断是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出含有量词的命题的否定 并判断真假. [解析] （1）， ，假命题． （2） 至少存在一个正方形不是矩形，假命题． （3）， ，真命题． （4）， ，假命题． 返回至目录 27 1.（多选题）下列命题是真命题的是( @39@ ). A. ， B. ， C. ， D. ， CD 返回至目录 28 2.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定. （1） <m></m> ， <m></m> ； （2） <m></m> { <m></m> 是无理数}， <m></m> 是无理数. [解析] （1）真命题.因为 ， ，所以 ， 恒成立，所以这是一个真命题．该命题的否定为 ， . （2）真命题.该命题的否定为 { 是无理数}， 是有理数． 返回至目录 29 二、由含量词命题的真假求参数的范围 例4 （1）已知集合 ，若命题“ ，一次函数 的图象在 轴上方”是真命题，则实数 的取值范围是___________________． （2）若命题“ <m></m> ，使得方程 <m></m> 成立”是真命题，求实数 <m></m> 的取值范围． <m></m> [解析] （1）当时，，因为一次函数 的图 象在轴上方，所以，即，所以实数的取值范围是 ． （2）由题意得，关于的方程有实数根，当 时，方程为 ，显然有实数根，满足题意；当时，，解得 且 ． 综上所述，实数的取值范围是 ． 返回至目录 30 【变式探究】 本例（2）中的方程改为“ <m></m> ”，求实数 <m></m> 的取值范围． [解析] 依题意，因为方程 有实数解，所以 ，解得，故实数的取值范围是 ． 返回至目录 31 方法总结 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 （1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式（如 <m></m> ），确定参数的取值范围； （2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决. 返回至目录 32 例5已知命题p: （1）若p为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题p和命题q至少有一个真命题，求实数的取值范围. 返回至目录 33 若“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是____________． <m></m> [解析] 当时，“， ”是真命题． 返回至目录 34 1.命题“存在实数 ，使 ”的否定是( @47@ ). A.对任意实数 ，都有 B.不存在实数 ，使 C.对任意实数 ，都有 D.存在实数 ，使 C 返回至目录 35 2.（多选题）下列命题是假命题的是( @49@ ). A. ， B. ， C. ， D. ， ABC 3.对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是___________． <m></m> 返回至目录 36 4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假． （1） <m></m> ， <m></m> ； （2）存在一个实数，使等式 <m></m> 成立； （3）每个二次函数的图象都与 <m></m> 轴相交． [解析] （1）存在量词命题． ，， ， 不存在，使 .故该命题为假命题． （2）存在量词命题． ， 该命题为假命题． （3）全称量词命题． 存在二次函数的图象与 轴不相交，故该命题为假命题． 返回至目录 37 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.( ) √ （2） 命题“三角形的内角和是 ”是全称量词命题.( ) √ （3） 命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题.( ) × （4） “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( ) × 返回至目录 38 2.以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是( @10@ ). A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数 ，使 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数 ，使 B 返回至目录 39 3.将命题“ ”改写成全称量词命题为___________________________________________． 对任意 <m></m> ， <m></m> ，都有 <m></m> 成立 4.若对任意 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是___________． <m></m> 返回至目录 40 $