精品解析：福建泉州市实验中学2026-2027学年九年级上学期 数学10月适应性考试

2027届初三上第二次阶段考 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】只需要判断最短的线段与最长的线段的乘积是否等于剩余两条线段的乘积即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 2. 如图，，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；通过计算一元二次方程的判别式Δ，判断根的情况即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 4. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：D． 5. 把方程配方，化成的形式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，解题的关键步骤是添加一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：B． 6. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．由点A与点B对称，求得对称轴为直线，再根据点C与点D对称，即可求解． 【详解】解：∵和对称， ∴对称轴直线为：， ∵与点D关于对称， ∴， 故选：A． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 某品牌新能源汽车的月销售量由七月份的万辆增加到九月份的万辆，设该汽车七月至九月销售量平均每月增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】七月至九月共经历两次月平均增长，结合九月份的销售量列等式． 【详解】解：∵七月份销售量为6万辆，月平均增长率为x，则八月份销售量为万辆，九月份销售量为万辆，根据题意，得 ． 9. 如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出的值． 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． 10. 如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，连接，点为的重心，连接、，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转法构造全等三角形，求出的长及的面积，再根据三角形重心的性质求解． 【详解】解：四边形是正方形，边长为， ，． ， ，． 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ． ， ，即 、、 在同一条直线上． ， ． ． 在和中， ， 设， 则， 在中， ， 解得 连接并延长，交于点， ∵点为的重心， ∴， 故 设，则 ∴． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：化为一般式得，， ∴因式分解得，， ∴， 故答案为：． 12. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知m与n的比值，可通过设公共比例参数表示m、n，代入待求代数式约去参数计算即可 【详解】解：∵ ， ∴ 设，（，保证分式有意义） 则． 13. 如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 14. 如图，位于的方格纸中，则____． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，取格点D， 观察图形可知，． 15. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 16. 如图，在中，，，D是上一点（不与端点B，C重合），连接，以为斜边，在的左侧作等腰直角三角形，与相交于点F，则长度的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为1，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点作于， 在中，，， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∵当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为， 故答案为：1． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可； 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解：， 直接开平方得： 或 ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：，． 19. 在阳光下某一时刻，长的标杆的影子长为．同时一棵大树的影子一部分落在墙上，如图所示．已知，，求大树的高度． 【答案】大树的高度是米 【解析】 【分析】过点C作，将分为和两部分，同一时刻下，太阳光下物体的实际高度与影长成固定比例，可求出的长，矩形的对边相等，得到的值，，代入求值即可． 【详解】解：连接，过点C作交于点F，则，如下图所示， 由题意可知，， 四边形是矩形， ，， 同一时刻下，太阳光下物体的实际高度与影长成比例， ， 即， 解得：， ， 答：大树的高度是米． 20. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，的值为________． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，且与的相似比为，分别在第四象限内找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据位似图形的周长比等于相似比，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得与的相似比为 ∴的值为． 21. 如图，在中，，平分，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数先求出的值，再根据勾股定理求出的长； （2）过点D作，根据角平分线的性质得到，用证明，根据全等的性质和勾股定理求出的值，代入求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：过点D作交于点E，则，如下图所示， 平分，，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ， 整理得：， 解得：， ． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根，满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于m的一元二次方程，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，． 又∵在（1）中求出， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记当时，方程有实数根；（2）根据，，结合，得到关于m的一元二次方程． 23. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米； （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长； （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）24 （2）10米 （3）不能， 理由如下：设CD＝y（0＜y≤15）米， 则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米， 依题意得：y（48﹣3y）＝210， 整理得：y2﹣16y+70＝0． ∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到210平方米． 【解析】 【分析】（1）直接根据图形计算即可；（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【小问1详解】 解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）． 故答案为：24． 【小问2详解】 设CD＝x（0＜x≤15）米， 则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米， 依题意得：x（48﹣3x）＝180， 整理得：x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝6，x2＝10． 当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米）， 30＞27，不合题意，舍去； 当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意． 答：边CD的长为10米． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 线段比例与高次方程研究 环节一：探索延伸发现问题 小敏在学习了“一元二次方程与黄金分割数”内容后，展开进一步思考：将线段比例关系复杂化（例如加减、平方关系），是否会生成更复杂的方程？ 在线段上取一点C，其中，现延长至点D，使，且满足，这样的C点是否存在？为简单起见，设，． （1）线段____．（用x的代数式表示） （2）由关系可列方程____________________． 环节二：收集资料分析问题 现有知识无法解上述方程，因此小敏学习了一种新的因式分解法——试根法 ①以为例，观察发现，时，说明是方程的一个解．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，因为最高次为二次且其系数为7，另一个因式只能是一次式系数为7，故设另一个因式是． ③于是．根据对应项系数相等，得，则．所以． （3）运用上述方法因式分解：，其中______；______． 环节三：学以致用解决问题 （4）请仿照上述步骤，用试根法求解第（2）问所列的方程 （5）已知满足，请用无刻度的直尺和圆规在边上作出满足题目要求的点C． 【答案】（1） （2） （3）， （4） （5） 【解析】 【分析】（1）题中所给条件，可推导出，再将，代入即可． （2）将第一问所得条件代入到中即可． （3）由题意可按照试根法，取代入后计算是否得，再将展开后与原方程左侧各次项系数对应，建立方程组求解系数即可． （4）按照试根法，取代入中验算是否得，验算得后再将分解为，展开后对照原式求得，，对部分求解，最后结合第二问条件分析即可． （5）先连接，由勾股定理求得的长度，再分别以为圆心、为半径画弧与线段相交，为圆心、长为半径画弧与相交，两交点分别与点距离相等即可找到点． 【小问1详解】 解：， ， 又，， ． 【小问2详解】 解：将，，代入中， 得， 整理得． 【小问3详解】 解：， 由题意可按照试根法，取代入， 得， 为原方程的一个根，因式含有， 将展开，得 ， 与原多项式各次项系数对应，建立方程组： ， 解得，． 验证一次项：，符合原式一次项系数， ，． 【小问4详解】 解：方程，将代入， 得， 故是方程的一个根，多项式含有因式， 设， 展开得， 对比的系数，可列方程组为 ， 解得，； 或， 解得，， ，，， ， 又时点与点重合，不满足题意，舍去，不满足题意，舍去， ，且，符合条件， 方程符合题意的解为． 【小问5详解】 解：中，，，， 尺规作图方法如下： ①由勾股定理得； ②以为圆心，为半径画弧，交线段于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点； 此时，，点即为所求点，图略． 25. 如图，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； （3）如图，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，求线段的值． 【答案】（1）证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接，取的中点，连接， 由（1）得：， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ，，， ， ， ， ， ∴ ． ， ，，， ，即， ，即， ， 点N是的中点， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）因为为等边三角形，所以，，又，即可判定，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质解答即可； （2）延长至，使，连接，取的中点N，连接，可证得是等边三角形，得出，，再证得，推出，，证得，推出，结合点N是的中点，得出，是等边三角形，进而可得，，推出，即； （3）延长 至 使 ，取 的中点 ，连接 ，先证 ，把 用 表示；再由 与 推出点 是 的中点，从而得 是 的中位线；最后证 ，把所求线段之比转化为已知线段的比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至M，使，连接，取的中点K，连接， 由（2）知：，，． ， ． 又 ， ． ． ， ，即 ． ， ． 点 在 上，， ． ， ． 又 ， ． ． 又 ， ，即点 是 的中点． 点 是 的中点， 是 的中位线，． ． ， ． ． ，点 在 上， ． ． 又 ， ． ． ， ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届初三上第二次阶段考 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 如图，，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 4. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 5. 把方程配方，化成的形式可以为（ ） A. B. C. D. 6. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 某品牌新能源汽车的月销售量由七月份的万辆增加到九月份的万辆，设该汽车七月至九月销售量平均每月增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，连接，点为的重心，连接、，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 方程的解是_____． 12. 若，则的值为________． 13. 如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 14. 如图，位于的方格纸中，则____． 15. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 16. 如图，在中，，，D是上一点（不与端点B，C重合），连接，以为斜边，在的左侧作等腰直角三角形，与相交于点F，则长度的最大值为______． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 在阳光下某一时刻，长的标杆的影子长为．同时一棵大树的影子一部分落在墙上，如图所示．已知，，求大树的高度． 20. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，的值为________． 21. 如图，在中，，平分，，． （1）求的长； （2）求的值． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根，满足，求m的值． 23. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米； （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长； （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 线段比例与高次方程研究 环节一：探索延伸发现问题 小敏在学习了“一元二次方程与黄金分割数”内容后，展开进一步思考：将线段比例关系复杂化（例如加减、平方关系），是否会生成更复杂的方程？ 在线段上取一点C，其中，现延长至点D，使，且满足，这样的C点是否存在？为简单起见，设，． （1）线段____．（用x的代数式表示） （2）由关系可列方程____________________． 环节二：收集资料分析问题 现有知识无法解上述方程，因此小敏学习了一种新的因式分解法——试根法 ①以为例，观察发现，时，说明是方程的一个解．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，因为最高次为二次且其系数为7，另一个因式只能是一次式系数为7，故设另一个因式是． ③于是．根据对应项系数相等，得，则．所以． （3）运用上述方法因式分解：，其中______；______． 环节三：学以致用解决问题 （4）请仿照上述步骤，用试根法求解第（2）问所列的方程 （5）已知满足，请用无刻度的直尺和圆规在边上作出满足题目要求的点C． 25. 如图，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，若，判断与的位置关系并说明理由； （3）如图，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，求线段的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $