精品解析：广东深圳实验学校高中园2026-2027学年度第一学期第一阶段考试高一数学试卷

深圳实验学校高中园2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：权记红 审题人：袁伟铭 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若集合，，则集合的子集的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集得运算求出，然后根据中元素得个数即可得出答案. 【详解】解：因为，，所以， 所以集合中元素的个数为，则集合的子集的个数为． 故选：C. 2. 设集合，，则使成立的的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合A，B，以及B⊆A即可得出，从而求出a＝﹣1． 【详解】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{a，a2}，且B⊆A； ∴ ∴a＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义，属于基础题． 3. 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ） A. a>b B. a<b C. a≥b D. a≤b 【答案】C 【解析】 【分析】作差比较可得答案. 【详解】a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 所以a≥b. 故选：C. 4. 已知命题；命题，则以下为真命题的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题为真命题，结合选项，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以命题为假命题，则为真命题， 又由，解得或或，所以命题为真命题，则为假命题， 故选：B. 5. 已知，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，A,C,D不成立，所以选B. 6. 下列各组函数是同一函数的是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等函数的定义即可一一去判断各选项. 【详解】对于A，函数和定义域均为， 但与的对应关系不同， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，定义域为， 两函数和定义域不同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，解得，所以函数定义域为， 令得，所以函数定义域为， 函数和定义域相同， 又，，所以函数和对应关系同， 所以两函数和是同一函数，故C正确； 对于D，函数定义域为，定义域为， 两函数和定义域不同，故不是同一函数，故D错误. 故选：C. 7. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知-1,2是方程的两实数根，根据韦达定理求出a，c的值，再将a，c的值代入待求不等式，解不等式即可. 【详解】因为的解集是， 所以-1,2是方程的两实数根，且， 由韦达定理，得，所以， 所以不等式， 即，解得. 故选：A 8. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论，当时，不等式无解，舍去；当时，满足题意的两个整数只能为，，从而得到的取值范围；当时，满足题意的两个整数只能为，，从而得到的取值范围；即可. 【详解】当时，不等式的解集为，不满足题意，舍去. 当时，不等式的解集为； 若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为，，则需. 当时，不等式的解集为； 若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为，，则需. 综上所述，实数的取值范围为 故选D. 【点睛】本题考查根的分布问题，值能取得与是本题的易错点.属于中档题. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选得0分. 9. 已知：，则成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】解出一元二次不等式，再根据充分不必要条件的判定即可. 【详解】由，解得，设：， 成立的一个充分不必要条件为集合，则且， 所以和都是的充分不必要条件. 故选：BD. 10. 若，，且，则下列不等式恒成立的（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】因为，，且，则， 当且仅当时，等号成立，所以，，A对； ， 当且仅当时，等号成立，B对； ，当且仅当时，等号成立，C错； 因为，则，故， 当且仅当时，等号成立，D对. 故选：ABD. 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取m=3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n=7.则下列命题正确的有（ ） A. 若n=2，则m只能是4； B. 当m=17时，n=12； C. 随着m的增大，n也增大； D. 若n=7，则m的取值集合为{3，20,21,128}. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”逐一验证各选项的对错. 【详解】若，则数经过第一,步变换的结果必须为2，所以，A正确， 当时，变换过程为， 所以，B正确， 当时，变换过程为，此时， 当时，变换过程为，此时，C错误， 由已知可得当时，第7次变换为，第6次变换为，第五次变换为，第四次变换为，第三次变换为或，由此可得下列情况； 由可得， 由可得 由可得， 由可得，D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式，即，解得. 13. 某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 【答案】5 【解析】 【详解】设同时参加数学和化学竞赛的有人， 由Venn图可知：只参加数学竞赛的有人，只参加化学竞赛的有人， 可得，解得， 所以同时参加数学和化学竞赛的有5人. 14. 高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用高斯函数的定义，结合给定的和列出不等式组求解. 【详解】由，得，又， 则，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义域的求法可求得集合；解一元二次不等式可求得集合，由补集和交集定义可求得结果； （2）分别在和的情况下，根据包含关系构造不等式求得结果. 【小问1详解】 由得：，即，； 由得：，即，. 【小问2详解】 由（1）知：； 当时，，解得：，此时满足； 当时，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 16. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或. 【解析】 【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围； （2）命题， 一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案. 【小问1详解】 命题为真命题：对任意实数都有恒成立， 当时，恒成立，当时，则，即，解得， 综上的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题，则，解得或， 若真假，则，则， 若假真，则，则或， 综上，或或. 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 【解析】 【分析】(1)设二次函数的解析式为()，根据题意利用待定系数法求出a、b、c即可； (2)将原不等式化为，分类讨论，结合一元二次不等式的解法求出不等式当、、时的解集即可. 【小问1详解】 设， 由，得 又 ，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由已知，即， 即， ①当时，原不等式即为：，解得； ②当时，解得； ③当时，解得 综上，当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 18. 某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）. （2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本再减去年固定成本即可求解； （2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大 【小问1详解】 解：由题意可得：时，， 当时， 所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为： ， 【小问2详解】 解：由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为， 此时时，万元， 当时，， 当且仅当即时等号成立，（万元）， 综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元. 19. 对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． （1）对于、、、，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 【答案】（1）是的“下位序列，理由如下： 因为， 所以是的“下位序列”. （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“下位序列”的定义即可判断； （2）根据“下位序列”的定义可得，作差即可判断； （3）由“下位序列”的定义可得，即，根据不等式的性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的“下位序列”， 所以. 因为均为正数， 所以，所以. 又，故. 综上所述，. 【小问3详解】 由已知得, 因为均为正整数，所以， 所以， 所以. 由题意可得对集合内的每一个都成立， 所以， 所以正整数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中园2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：权记红 审题人：袁伟铭 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若集合，，则集合的子集的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则使成立的的值是（ ） A. B. C. D. 或 3. 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ） A. a>b B. a<b C. a≥b D. a≤b 4. 已知命题；命题，则以下为真命题的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 已知，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 6. 下列各组函数是同一函数的是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选得0分. 9. 已知：，则成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，且，则下列不等式恒成立的（ ） A. B. C. D. 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取m=3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n=7.则下列命题正确的有（ ） A. 若n=2，则m只能是4； B. 当m=17时，n=12； C. 随着m的增大，n也增大； D. 若n=7，则m的取值集合为{3，20,21,128}. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 不等式的解集为_________． 13. 某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 14. 高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 18. 某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）. （2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润． 19. 对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． （1）对于、、、，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $