2026-2027学年人教版数学九年级上册期中模拟试卷（2）

2026-2027学年初三上学期数学期中模拟试卷（2） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 2.若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 3.若函数是反比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．1 3．A 【分析】根据反比例函数的定义即可求出的值． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数就叫做反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题关键． 4.已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有实数根，则系数k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 4.D 【分析】建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有实数根， ∴， 解得：且k≠0， 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，若格点A，B在函数的图象上，则k的值为（     ） A． B． C． D． 5．A 【分析】利用网格图确定点A与点B的相对位置关系，设出点的坐标，利用反比例函数系数k的几何意义（即图象上任意一点的横纵坐标之积为定值k）建立方程求解． 【详解】解：根据图象可知，点A的横坐标为，点B的横坐标为， 设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点A，B在函数的图象上， ∴，，即， 解得， ∴点A的坐标为， ∴． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是将一般式化为顶点式求解． 将一般式化为顶点式即可求出顶点坐标． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：A． 7.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．C 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：， 、异号， 当，时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限； 当，时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限． ∴选项A、B、D中图象不符合题意，选项C中图象符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的图象位置与系数及常数项之间的关系是解答的关键． 8.如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO=OB，△ABC的面积为2，则此反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 8．C 【分析】连OA，由于CO=OB，根据三角形面积公式得到S△AOB=S△ABC=×2=1，再根据反比例函数（k≠0）的k的几何意义得到|k|=2S△AOB=2，然后利用反比例函数的性质得到k的值，从而确定反比例函数的性质． 【详解】连OA，如图， ∵CO=OB， ∴S△AOC=S△AOB， ∴S△AOB=S△ABC=×2=1， ∴|k|=2S△AOB=2， ∵反比例函数图象在第一、三象限， ∴k=2， ∴反比例函数的解析式为y=． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）的k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|． 9.某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 10.如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且），小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中结论正确的为（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定，这是解题的关键所在． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，故③错误； ④由图象可得，当时，， ∴， ∴，故④正确； ⑤当时，为最小值， 当（m为任意实数）时，， ∴ 整理得：，故⑤正确． 综上，正确的有②④⑤， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共计15分） 11. 一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 13.已知抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系是 .(用“＞”表示) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式性质（对称轴、开口方向与函数值的关系），解题的关键是利用开口向上时“点到对称轴距离越远，函数值越大”的规律比较大小． 先确定抛物线对称轴为直线且开口向上，再计算各点到对称轴的距离，根据距离越远，函数值越大，比较出的大小． 【详解】解：抛物线的解析式为，这是顶点式， 对称轴为直线； ，抛物线开口向上， 点到对称轴的距离越远，函数值越大． 点到直线的距离：； 点到直线的距离：； 点到直线的距离：． 距离从远到近为：，结合开口向上的性质， 函数值大小关系为：． 14.8．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … -5 -3 1 2 3 … y … -2.79 m -2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 . 【答案】 【分析】根据抛物线经过点，，得到对称轴为直线，推出点关于直线的对称点是，推出抛物线开口向上，根据抛物线的对称性，推出不等式的解集是，【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于直线的对称点是， ∴抛物线开口向上， ∴不等式的解集是， 故答案为：; 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握表格中的数字信息，待定系数法求二次函数的解析式，运用抛物线的对称性解一元二次不等式和一元二次方程． 15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为的面积是，则的值为______．    【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数的的值，求出点M的坐标为，点N的坐标为，根据进行计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵点的坐标为 ∴， 则点M的坐标为，点N的坐标为， ∴ 解得， 故答案为：2． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共21分．） 16.解方程：（1） （2） 【答案】（1） (2)， 【解析】 【分析】利用公式法求解即可 【详解】（1）解：∵a=2，b=-5，c=2， ∴△＝（-5）2-4×2×2=9＞0， ∴， ∴. （2）原方程化为， ， ， ，即， ，； 17.已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论实数取何值，方程总有实数根； (2)当取何值时，方程有两个相等的实数根？ (3)若，是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】证明：∵      ， ∴方程总有实数根， 即不论为何值，该方程总有实数根； (2) (3)或 【分析】（1）计算出根的判别式的值即可判断， （2）当方程有两个相等的实数根时，即判别式，从而得到关于的方程，解之便能够得到的值； （3）首先求出方程的两个根，进而得出，再利用已知条件得到关于的方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， 即当取何值时，方程有两个相等的实数根； （3）由， 可得， ，， ， 又是方程的两个实数根，且， ， 或， 的值为或． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式Δ与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键． 18.如图，在平面直角坐标系中，设函数（是常数，）与函数是常数，的图象交于点． (1)求的值，以及和的函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)；； (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求函数表达式，并结合函数图象确定不等式的解集． （1）利用待定系数法，先通过点求反比例函数的表达式，再求点的值，最后通过两点求一次函数的表达式； （2）结合函数图象的交点，直接观察图象在图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 所以． 把代入，得，即． 把代入，得方程组： 解得． 把代入，得，解得． 所以； （2）解：由函数图象可知，反比例函数与一次函数的交点为． 当的图象在的图象上方时，的取值范围是或． 四、解答题（二）（本大题共3 小题，每小题9分，共27分．） 19.如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． （1）求B，C，D三点的坐标； （2）当时，则函数y的取值范围是 （3）平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把、代入函数解析即可求出三点的坐标； （）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象解答即可求解； （）由平移前点A的坐标和顶点坐标得出抛物线的平移方式，结合抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，函数有最小值为；当时，的值随的增大而增大，当时，的值随的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵平移前，顶点坐标为， ∴原抛物线向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20.定义：在平面直角坐标系中，对于一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）二次函数图象顶点的“影差”为 ． （2）已知二次函数，探究该二次函数图象上是否存在“影差”为0的点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）若二次函数的图象上点的“影差”的最小值为，求b的值． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为和 （3）的值为或 【解析】 【小问1详解】 解：，顶点坐标为， ，， “影差”； 【小问2详解】 解：“影差”为0，即，则， 点在抛物线上：， 代入，则， 整理得， 解得，，对应点为和， 答：存在，点的坐标为和； 【小问3详解】 解：设图象上点为，则， “影差”为， 这是开口向上的二次函数，最小值在顶点处， ∴， 解得或． 21.“山东舰”是中国第一艘完全自主设计，自主建造的国产航空母舰，2019年12月正式服役．某航模商店购进了“山东舰”模型玩具，某学校利用星期天开展社会实践活动，调查某种规格的“山东舰”模型玩具销售情况．下表是“山东舰军迷”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． ××学校社会实践记录表 团队名称 “山东舰军迷”小组 活动时间 2025.10．28 团队成员 小明等10名同学 地点 航模商店 实践内容 调查“山东舰”模型玩具销售行情，利用二次函数知识，帮助商店解决销售利润问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 “山东舰”模型玩具的进价为40元/个． 当“山东舰”模型玩具售价为50元/个，每天可销售100个． 单价每涨价1元，每天少卖2个． 解决问题 问题1 设涨价元，一天卖“山东舰”模型玩具的利润为元，请写出与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 问题2 要使销售“山东舰”模型玩具的利润为1350元且让顾客得到实惠，求“山东舰”模型玩具单个售价． 【答案】问题1：；问题2：55元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： 问题1：根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； 问题2：令，解一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：问题1：由题意，； 问题2：由题意得， 解得，，． 帮助模型店解决销售问题的同时，为顾客谋实惠， 舍去． “山东舰”模型玩具单个售价为（元） 答：若想一天销售“山东舰”模型玩具的利润为1350元，且让顾客得到实惠，模型玩具单个售价为55元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22.如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，，， 矩形中，， 由勾股定理知， ， 解得，（舍）， 即时，的长度等于； （2）解：如图， 由题意知， ， 的面积等于， ， ， 解得（舍），， 即时，的面积等于． 23. 如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）的面积的最大值为8， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、， ， 解得 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． 【小问3详解】 解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年初三上学期数学期中模拟试卷（2） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A. B. C. D. 2.若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3.若函数是反比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．1 4.已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有实数根，则系数k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 5．如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，若格点A，B在函数的图象上，则k的值为（     ） A． B． C． D． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8.如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO=OB，△ABC的面积为2，则此反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 9.某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10.如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且），小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中结论正确的为（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ③④⑤ 二、填空题（每小题3分，共计15分） 11. 一元二次方程的解为_________． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13.已知抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系是 .(用“＞”表示) 14.设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … -5 -3 1 2 3 … y … -2.79 m -2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 . 15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为的面积是，则的值为______．   三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共21分．） 16.解方程：（1） （2） 17.已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论实数取何值，方程总有实数根； (2)当取何值时，方程有两个相等的实数根？ (3)若，是方程的两个实数根，且，求的值． 18.如图，在平面直角坐标系中，设函数（是常数，）与函数是常数，的图象交于点． (1)求的值，以及和的函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 四、解答题（二）（本大题共3 小题，每小题9分，共27分．） 19.如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． （1）求B，C，D三点的坐标； （2）当时，则函数y的取值范围是 （3）平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 20.定义：在平面直角坐标系中，对于一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）二次函数图象顶点的“影差”为 ． （2）已知二次函数，探究该二次函数图象上是否存在“影差”为0的点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）若二次函数的图象上点的“影差”的最小值为，求b的值． 21.“山东舰”是中国第一艘完全自主设计，自主建造的国产航空母舰，2019年12月正式服役．某航模商店购进了“山东舰”模型玩具，某学校利用星期天开展社会实践活动，调查某种规格的“山东舰”模型玩具销售情况．下表是“山东舰军迷”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． ××学校社会实践记录表 团队名称 “山东舰军迷”小组 活动时间 2025.10．28 团队成员 小明等10名同学 地点 航模商店 实践内容 调查“山东舰”模型玩具销售行情，利用二次函数知识，帮助商店解决销售利润问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 “山东舰”模型玩具的进价为40元/个． 当“山东舰”模型玩具售价为50元/个，每天可销售100个． 单价每涨价1元，每天少卖2个． 解决问题 问题1 设涨价元，一天卖“山东舰”模型玩具的利润为元，请写出与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 问题2 要使销售“山东舰”模型玩具的利润为1350元且让顾客得到实惠，求“山东舰”模型玩具单个售价． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22.如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $