第9讲：函数的概念和图像 、表示方法【十二大题型+知识归纳+高分精练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

第9讲： 函数的概念和图像 、表示方法 题型一：函数定义的判断 3 题型二：具体函数的定义域 4 题型三：抽象函数的定义域 5 题型四：常见函数的值域 5 题型五：复杂（根式、分式）函数的值域 7 题型六：判断是否为同一函数 9 题型七：已知函数类型求解析式 10 题型八：换元法求函数解析式 11 题型九：方程组法求函数解析式 12 题型十：求分段函数的解析式或函数值 13 题型十一：分段函数解不等式 15 题型十二：函数概念与表示的综合问题 16 知识点一：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二：同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 知识点三：区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四：函数的表示方法 知识点五：分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 题型一：函数定义的判断 【例1】．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）下列对应关系中是到的函数的是（   ） A．，，： B．，，： C．，，： D．，，： 【答案】D 【详解】集合不是数集，所以A错误；对于集合中的实数，在集合中没有元素与它对应，所以B错误； 对于，没有意义，所以C错误；对于，都有与对应，所以D正确. 【变式1】．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设集合，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的定义，要想表示从集合P到集合Q的函数， 则集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应. 对于A，集合P中的元素未对应完，比如在集合Q中没有元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数； 对于B，由于集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应， 因此，能表示从集合P到集合Q的函数； 对于C，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数； 对于D，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数. 【变式2】．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 题型二：具体函数的定义域 【例2】．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得，解得且，则函数的定义域是. 【变式1】．（26-27高一上·重庆·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义， 则，即且， 故函数的定义域为. 【变式2】．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B．，或 C． D．，或，或 【答案】D 【详解】要使函数有意义当且仅当，解得或或，即函数的定义域为，或，或． 题型三：抽象函数的定义域 【例3】．（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得且.所以定义域为. 【变式1】．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为， 由，解得，从而函数的定义域为， 又有，得， 综上得到函数的定义域为. 【变式2】．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为，所以函数的定义域满足，得，所以函数的定义域为. 题型四：常见函数的值域 【例4】．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1），且，则．所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得，所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为，当时，，所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 【变式1】．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 【变式2】．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 题型五：复杂（根式、分式）函数的值域 【例5】．（第一章函数的基本概念和性质专题四函数的值域微点1函数的值域与最值（一）【培优版】）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴，即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为，， 即，∴，即函数的值域为； （4）由，得，∴所求函数的值域为． 【变式1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为，又，所以， ∴函数的值域为． 【变式2】．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 题型六：判断是否为同一函数 【例6】．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）下列选项中，是同一个函数的是（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】C 【详解】两个函数相同需定义域与对应法则都相同，逐项检验． 对于A，的对应法则是直接输出自变量本身，值域为全体实数，而，对应法则是输出自变量的绝对值，值域为非负实数，对应法则不同，故A错误； 对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，与相同，故C正确； 对于D， 的定义域为 ，与 的定义域不同，故D错误． 【变式1】．（26-27高一上·河北·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】选项A：的定义域为，，二者对应关系不同，不是同一函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数； 选项D：对，由可得定义域为，化简被开方数得； 对，由解得定义域为，二者定义域相同，对应关系也完全一致，是同一函数. 【变式2】．（26-27高一上·浙江湖州·阶段检测）下列各组函数是相等函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】相等函数要求定义域和对应关系都相同，逐项比较. 【解答】对于A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，且 ，两函数相等，故A正确； 对于B，，，对应关系不同，不相等，故B错误； 对于C， 的定义域不含 ， 的定义域为 ，不相等，故C错误； 对于D，，与 对应关系不同，不相等，故D错误. 题型七：已知函数类型求解析式 【例7】．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，即为，所以. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】设，则由，得， 即，则,得， 则，所以． 故选：B 题型八：换元法求函数解析式 【例8】．（26-27高一上·全国·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，所以，，所以. 【变式1】．（新高一数学人教A版）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法求解即可. 【详解】令，，则，.. 【变式2】．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 题型九：方程组法求函数解析式 【例9】．（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【详解】由，可知，联立解得， 所以，则. 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得： ， 两式联立可得：，所以，，因为， 所以， 所以的值域为， 故选：A 【变式2】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，以替代，可得， 联立，消去，得. 故选：A. 题型十：求分段函数的解析式或函数值 【例10】．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 所以或. 【变式1】．（25-26高一上·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】当时，由，解得（舍去）， 当时，由，可得，解得（舍去）或， 当时，由，可得（舍去），综上所述，.故选：A. 【变式2】．（24-25高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【详解】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 题型十一：分段函数解不等式 【例11】．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 【变式1】．（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 【变式2】．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 题型十二：函数概念与表示的综合问题 【例12】．（26-27高一上·贵州黔西南·阶段检测）求下列函数的值域. (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），对称轴为，则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值，故值域为； （2），定义域为，由，得，所以，故值域为； （3）定义域为，令，则，则，所以当时，取得最大值，无下界，故函数的值域为. 【变式1】．（26-27高一上·四川绵阳·阶段检测）已知 是二次函数，满足 且 ． (1)求 的解析式； (2)解关于 的不等式 （其中 ）． 【答案】(1)； (2)当时解集为；当时解集为；当时解集为 【详解】（1）设 ，由 得 ． 又 ， 所以 且 ，解得 ，， 故 ． （2）原不等式即 ， 整理得 ，即 ， 当 时，，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ． 【变式2】．（26-27高一上·重庆九龙坡·阶段检测）一次函数满足 ． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，， 则，得，故； （2）， 若， 则 对称轴且,故， 若， 同理， 故在区间上的值域为 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数的定义域指的是自变量的取值范围，先由此求出中的范围，再求的定义域. 【详解】由的定义域为，由，可得， 对于函数,令，得， 所以函数的定义域为. 2．（26-27高一上·四川达州·阶段检测）函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得，由，解得． 而两条件同时成立，得，即定义域为，故A正确． 3．（26-27高一上·广东清远·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，函数定义域为，函数定义域为， 定义域不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，，， 对应关系不一致，不是同一函数，故B错误； 对于C，函数定义域为，函数定义域为， 定义域不相同，不是同一函数，故C错误； 对于D，因为， 此时函数与函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D正确. 4．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断内层自变量落在哪一段，再算外层函数值． 【详解】因为，所以． 因为，所以． 5．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知，则 D．已知，则 【答案】C 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，由题可得，又， 则，则，故C正确； 对于D，因，则， 从而，则，故D错误. 6．（26-27高一上·山东日照·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】D 【详解】选项A：函数，则，解得且，所以函数的定义域是，故A错误. 选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，故B错误. 选项C：函数，因为，所以，解得，所以函数的值域为，故C错误. 选项D：由题意可知，定义在上的函数满足①， 用替换得，②， 对于①两边分别乘以2得③， 然后②+③得，所以，故D正确. 二、多选题 7．（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．函数，则 B．与是同一个函数 C．函数的定义域是 D．函数的值域是 【答案】AD 【详解】对于A，函数， 则，故A正确； 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两函数定义域不相同，不是同一函数，故B错误； 对于C，函数有意义， 则，解得且， 所以函数的定义域是，故C错误； 对于D，由， 所以函数的值域为，故D正确. 8．（26-27高一上·重庆·阶段检测）已知函数，则以下正确的有（    ） A． B． C．若，则或 D．不等式的解集为或, 【答案】ACD 【详解】对于A, ,A正确， 对于B,,B错误， 对于C，若，则，满足题意，若，则（负值舍去，）因此时，或，C正确， 对于D,当时，，则，当时，，则，因此不等式的解集为或,D正确. 9．（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A． B．函数 与 （）是同一个函数 C．函数 的定义域是 D．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 【答案】BCD 【分析】先用换元法求 的解析式与定义域，再逐项判断定义域、对应关系与恒成立问题． 【详解】令 ，则 ，， 所以 ，即 （）． A项：解析式 ，，A错误； B项：（）与 （）定义域相同、对应关系相同，是同一个函数，B正确； C项：由 且 得 且 ，定义域为 ，C正确； D项：需 恒成立．当 时 恒成立； 当 时需 ，即 ； 当 时开口向下，不可能恒成立．故 ，D正确． 10．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】首先根据题意得到，再画出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，若函数， 所以， 如图所示：实线部分为函数的图象，，. 在区间上的值域为， 令，解得，即， ，解得或（舍去），即， 令，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 因为， 所以的长度的最小值为，的长度最大值为， 故AB正确，CD错误. 三、填空题 11．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数，则________． 【答案】 【分析】直接计算即可. 【详解】由， 则， 所以. 12．（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）已知函数 ，若，则______． 【答案】 或 【详解】当时，由 得，即，符合； 当时，由 得，即，结合得． 综上，或． 13．（26-27高一上·江苏·阶段检测）已知函数的值域为，写出该函数一个定义域________________（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】令，解得：， 令，解得：， 函数一个定义域应在和中各选一个， 故该函数一个定义域为（答案不唯一）. 14．（26-27高一上·四川眉山·阶段检测）已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】设得，，因为表示不超过的最大整数，所以， 故，得，得，得， 故原不等式的解集为. 15．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知符号函数，若函数，则不等式的解集为__________． 【答案】或或 【详解】当时，则， 即，解得或，又，所以； 当时，，符合题意； 当时，则， 即，解得或，又，所以； 综上所述，不等式的解集为或或. 四、解答题 16．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）已知函数，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 【答案】（1）.（2），. （3）. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接代入计算即可； （2）令，利用换元法即可求解； （3）设，根据已知条件列方程组求解即可. 【详解】（1），故. （2）令，则，， 因为，所以， 所以，. （3）设所求二次函数为， 因为，所以，则， 又， 所以，即， 所以，即， 所以. 17．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知，，求： (1)函数的定义域； (2)的值； (3)的解析式． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由，得且，故的定义域为； （2）； （3）由得， 则. 18．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 【答案】(1)， (2)或或 【详解】（1）因为函数， 所以，，， 因此，. （2）因为，分三种情况： ①若：则，解得，满足，是有效解； ②若：则，解得，满足，是有效解； ③若：令，解得，满足，是有效解. 因此或或. (3)当时：函数图象是反比例函数​在第三象限的分支； 当时：函数图象是一次函数的一段，是一段线段； 当时：函数图象是一次函数的一部分，是一条射线. 作出函数图象如下： 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲： 函数的概念和图像 、表示方法 题型一：函数定义的判断 3 题型二：具体函数的定义域 3 题型三：抽象函数的定义域 4 题型四：常见函数的值域 4 题型五：复杂（根式、分式）函数的值域 5 题型六：判断是否为同一函数 6 题型七：已知函数类型求解析式 6 题型八：换元法求函数解析式 7 题型九：方程组法求函数解析式 7 题型十：求分段函数的解析式或函数值 8 题型十一：分段函数解不等式 8 题型十二：函数概念与表示的综合问题 9 知识点一：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二：同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 知识点三：区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四：函数的表示方法 知识点五：分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 题型一：函数定义的判断 【例1】．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）下列对应关系中是到的函数的是（   ） A．，，： B．，，： C．，，： D．，，： 【变式1】．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设集合，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 题型二：具体函数的定义域 【例2】．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高一上·重庆·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B．，或 C． D．，或，或 题型三：抽象函数的定义域 【例3】．（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型四：常见函数的值域 【例4】．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【变式1】．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 题型五：复杂（根式、分式）函数的值域 【例5】．（第一章函数的基本概念和性质专题四函数的值域微点1函数的值域与最值（一）【培优版】）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【变式2】．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 题型六：判断是否为同一函数 【例6】．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）下列选项中，是同一个函数的是（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【变式1】．（26-27高一上·河北·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】．（26-27高一上·浙江湖州·阶段检测）下列各组函数是相等函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型七：已知函数类型求解析式 【例7】．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 题型八：换元法求函数解析式 【例8】．（26-27高一上·全国·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（新高一数学人教A版）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型九：方程组法求函数解析式 【例9】．（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 【变式1】．（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型十：求分段函数的解析式或函数值 【例10】．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】．（24-25高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 题型十一：分段函数解不等式 【例11】．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十二：函数概念与表示的综合问题 【例12】．（26-27高一上·贵州黔西南·阶段检测）求下列函数的值域. (1)； (2)； (3)； 【变式1】．（26-27高一上·四川绵阳·阶段检测）已知 是二次函数，满足 且 ． (1)求 的解析式； (2)解关于 的不等式 （其中 ）． 【变式2】．（26-27高一上·重庆九龙坡·阶段检测）一次函数满足 ． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·四川达州·阶段检测）函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·广东清远·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知，则 D．已知，则 6．（26-27高一上·山东日照·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 二、多选题 7．（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．函数，则 B．与是同一个函数 C．函数的定义域是 D．函数的值域是 8．（26-27高一上·重庆·阶段检测）已知函数，则以下正确的有（    ） A． B． C．若，则或 D．不等式的解集为或, 9．（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A． B．函数 与 （）是同一个函数 C．函数 的定义域是 D．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 10．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（     ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数，则________． 12．（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）已知函数 ，若，则______． 13．（26-27高一上·江苏·阶段检测）已知函数的值域为，写出该函数一个定义域________________（答案不唯一）． 14．（26-27高一上·四川眉山·阶段检测）已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的不等式的解集为_________． 15．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知符号函数，若函数，则不等式的解集为__________． 四、解答题 16．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）已知函数，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 17．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知，，求： (1)函数的定义域； (2)的值； (3)的解析式． 18．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 2 学科网（北京）股份有限公司 $