5.2 第1课时 函数的表示方法-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦函数的表示方法这一核心知识点，从实际情境出发，系统梳理解析法、列表法、图象法的特点及应用，通过对比三种方法的优缺点搭建学习支架，并衔接函数解析式求法（待定系数法、换元法、方程组法），为后续分段函数学习奠定基础。 资料以京沪高铁路程、出生人口曲线等实例驱动，融合数学抽象与直观想象，通过题型分类及通性通法总结培养数学运算能力。课中助力教师问题引导与方法归纳，课后练习题分层设计，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

5.2　函数的表示方法 课标 要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用（数学抽象、直观想象）. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用（数学抽象、数学运算）. 第1课时　函数的表示方法 　　 　（1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数的解析式； （2）如图是我国近五年出生人口变化曲线： （3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 【问题】　根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的？ 　 知识点　函数的表示法 　 提醒：函数三种表示法的优缺点比较 1.已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为（　　） A.y＝ B.y＝－x C.y＝ D.y＝ 解析：C　设y＝，由题意得1＝，解得k＝2，所以y＝.故选C. 2.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知，下列说法中错误的是（　　） A.这天15时的温度最高 B.这天3时的温度最低 C.这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D.这天21时的温度是30 ℃ 解析：C　这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14（℃），故C错误. 3.（2026·淮安月考）已知函数f（x）＝3－2，则f（x2）＝　3－2　. 解析：因为函数f（x）＝3－2，所以f（x）是常数函数，所以函数f（x2）＝3－2. 4.已知函数f（x）由下表给出，则f（f（3））＝　1　. x 1 2 3 4 f（x） 3 2 4 1 解析：f（3）＝4，f（f（3））＝f（4）＝1. 　　 题型一　函数的三种表示方法 （链接教科书第113页例1）购买某种笔记本x本，需要y元.若每本2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出该函数的值域. 解：①解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}. ②列表法： x/本 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 ③图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6），（4，8）组成，如图所示. 函数的值域是{2，4，6，8}. 通性通法 1.函数的三种表示法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少. 2.用三种表示法表示函数时的注意点 （1）解析法必须注明函数的定义域； （2）列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； （3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 已知函数f（x）＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f（x）. 解：用图象法表示函数y＝f（x），如图所示. 用列表法表示函数y＝f（x），如表所示. x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 题型二　函数解析式的求法 角度1　用待定系数法求函数解析式 （1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，求f（x）的解析式； （2）已知f（x）为二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x，求f（x）的解析式. 解：（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0）， 则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25， ∴∴或 ∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋. （2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 则f（x＋1）＋f（x－1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 则得∴f（x）＝x2－2x－1. 通性通法 用待定系数法求函数解析式的步骤 （1）设出所求函数含有待定系数的解析式； （2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，得到待定系数的值； （4）将所求待定系数的值带回所设的解析式. 角度2　利用换元法（配凑法）求函数解析式 〔一题多解〕已知函数f（x）满足f（＋1）＝x＋2，求f（x）的解析式. 解：法一（换元法）　令t＝＋1，则x＝（t－1）2，t≥1， 所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）， 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 法二（配凑法）　f（＋1）＝x＋2＝x＋2＋1－1＝（＋1）2－1. 因为＋1≥1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 通性通法 换元法（配凑法）求函数解析式 　　已知f（g（x））＝h（x）求f（x），有两种方法： （1）换元法：即令t＝g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f（x）的解析式.利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f（x）的定义域； （2）配凑法：即从f（g（x））的解析式中配凑出g（x），用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可. 角度3　方程组法求函数解析式 已知函数f（x）满足f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x，求f（x）的解析式. 解：因为f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x， 将x换成－x，得f（－x）＋2f（x）＝x2－2x， 联立，得 将①、②两式消去f（－x）， 得3f（x）＝x2－6x， 所以f（x）＝x2－2x. 通性通法 方程组法求函数解析式 　　方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f（－x），f（x）的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f（－x），f（x）的方程，联立解出f（x）. （1）已知函数f（x）是一次函数，若f（f（x））＝4x＋8，求f（x）的解析式； （2）〔一题多解〕已知函数f（x）满足f（x－1）＝x2＋4x－5，求f（x）的解析式； （3）已知函数f（x）满足f（x）＋2f（）＝x（x≠0），求f（x）的解析式. 解：（1）设f（x）＝ax＋b（a≠0）， 则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b. 又f（f（x））＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即解得或 ∴f（x）＝2x＋或f（x）＝－2x－8. （2）法一（换元法）　令t＝x－1，则x＝t＋1，则f（t）＝（t＋1）2＋4（t＋1）－5＝t2＋6t， 所以f（x）的解析式是f（x）＝x2＋6x. 法二（配凑法）　因为f（x－1）＝x2＋4x－5＝（x－1）2＋6（x－1）， 所以f（x）的解析式是f（x）＝x2＋6x. （3）∵f（x）＋2f（）＝x， ① 用代替x得f（）＋2f（x）＝， ② 由2×②－①，消去f（）并整理得f（x）＝－（x≠0）， ∴函数f（x）的解析式为f（x）＝－（x≠0）. 1.下列各式为y关于x的函数解析式的是（　　） A.y＝（x≥0） B.y2＝x（x≥0） C.x2＋y2＝1 D.｜y｜＝x2＋1 解析：A　对于A，对任意的x≥0，按照对应关系y＝都有唯一确定的y与之对应，符合函数的定义，而B、C、D都不符合函数的定义，故选A. 2.（2026·淮安期中）已知函数f（x）＝ax3＋x－8，且f（－2）＝10，则f（2）＝（　　） A.－10 B.－26 C.26 D.18 解析：B　函数f（x）＝ax3＋x－8，由f（－2）＝10，得－8a－10＝10，解得8a＝－20，所以f（2）＝8a－6＝－26.故选B. 3.已知函数f（x），g（x）分别由下表给出. x 4 5 6 f（x） 1 3 1 x 1 2 3 g（x） 4 5 4 则g（f（5））＝　4　；f（g（2））＝　3　. 解析：由题表可知f（5）＝3，g（3）＝4，∴g（f（5））＝g（3）＝4.又g（2）＝5，f（5）＝3，∴f（g（2））＝f（5）＝3. 4.（1）用长为10 m的铁丝围成矩形，试将矩形面积S（单位：m2）表示为矩形一边长x（单位：m）的函数，并画出函数的图象； （2）用细铁丝围一个面积为1 m2的矩形，试将所用铁丝的长度l（单位：m）表示为矩形的某条边长x（单位：m）的函数. 解：（1）由题意知，矩形一边长为x，矩形另一边长为（10－2x）＝5－x， 由得0＜x＜5，则S＝x·（5－x）＝－x2＋5x（0＜x＜5）， 函数图象如图所示. （2）由题意知，矩形一边长为x，矩形的另一边长为， 则l＝2（x＋）（x＞0）. 　　 1.〔一题多解〕已知函数f（x＋1）＝x2，则f（－1）＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.4 解析：D　法一　由f（x＋1）＝x2，令x＋1＝－1，得x＝－2，所以f（－1）＝f（－2＋1）＝（－2）2＝4.故选D. 法二　令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f（t）＝（t－1）2，所以f（x）＝（x－1）2，f（－1）＝（－1－1）2＝4.故选D. 2.（2026·泰州中学期中）一次函数f（x）＝ax＋b（a＜0），且f（f（x））＝9x＋16，则（　　） A.f（x）＝3x－8 B.f（x）＝3x＋8 C.f（x）＝－3x＋8 D.f（x）＝－3x－8 解析：D　f（f（x））＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋16，故a2＝9且ab＋b＝16，结合a＜0，解得a＝－3，b＝－8，所以f（x）＝－3x－8.故选D. 3.已知函数y＝f（x）的对应关系如表所示，函数y＝g（x）的图象是如图所示的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f（g（2））＝（　　） x 1 2 3 f（x） 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 解析：B　由函数图象可知g（2）＝1，由表格可知f（1）＝2，故f（g（2））＝2. 4.〔一题多解〕（2026·扬州质检）已知函数f（x＋1）＝x2－x＋3，则f（x）＝（　　） A.x2－3x＋5 B.x2－x＋5 C.x2－3x＋3 D.x2＋x＋3 解析：A　法一（配凑法）　由于f（x＋1）＝（x＋1）2－3（x＋1）＋5，所以f（x）＝x2－3x＋5.故选A. 法二（换元法）　设t＝x＋1，则x＝t－1，则f（t）＝（t－1）2－（t－1）＋3＝t2－3t＋5，即f（x）＝x2－3x＋5.故选A. 5.〔多选〕已知函数f（x＋1）＝x2－3x，且f（a）＝－2，则a的值为（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：AB　由x2－3x＝－2得x＝1或x＝2，所以a＝1＋1＝2或a＝1＋2＝3. 6.〔多选〕已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（　　） A.f（－3）＝4 B.f（x）＝ C.f（x）＝x2 D.f（3）＝9 解析：AB　f（2x＋1）＝x2，令t＝2x＋1，则x＝，所以f（t）＝＝，则f（x）＝，故B正确，C错误；f（－3）＝＝4，故A正确；f（3）＝＝1，故D错误.故选A、B. 7.已知函数f（x）对任意实数x都有f（x）＋2f（－x）＝2x＋1，则f（x）＝　－2x＋　. 解析：由题意得，解得，f（x）＝－2x＋. 8.若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y（cm3）与长方体的宽x（cm）之间的表达式是y＝80x（x＋10），x∈（0，＋∞）. 解析：由题意知，长方体的长为（x＋10）cm，从而长方体的体积y＝80x（x＋10），x＞0. 9.已知定义在R上的函数f（x）满足f（1－x）＋2f（x）＝x2＋1，则f（1）＝　1 . 解析：当x＝0时，f（1）＋2f（0）＝1①，当x＝1时，f（0）＋2f（1）＝2②.由②×2－①得3f（1）＝3，解得f（1）＝1. 10.将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.试分别用解析法、列表法、图象法将两个正方形的面积之和S（单位：cm2）表示成其中一段铁丝长x（单位：cm，x∈N*）的函数关系. 解：其中一段铁丝长x，另一段铁丝长为10－x，由得0＜x＜10，又x∈N*， 所以函数的定义域为{x｜0＜x＜10，x∈N*}. （1）解析法：S＝（）2＋（）2，整理得S＝x2－x＋，x∈{x｜0＜x＜10，x∈N*}. （2）列表法： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S （3）图象法：函数图象如图所示 11.德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数f（x）由下表给出，则f＝（　　） x x≤1 1＜x＜2 x≥2 f（x） 1 2 3 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：D　∵∈（－∞，1]，∴f＝1，则10f＝10，∴f＝f（10）.又∵10∈[2，＋∞），∴f（10）＝3，故选D. 12.〔多选〕已知f（x）＝，则下列关系式中正确的是（　　） A.f（－x）＝－f（x） B.f（）＝－f（x） C.f（）＝f（x） D.f（－）＝－f（x） 解析：BD　f（－x）＝＝＝f（x），故选项A错误.f（）＝＝＝－f（x），故选项B正确，选项C错误.f（－）＝＝＝－f（x），故选项D正确.故选B、D. 13.已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（xy）＝f（x）＋f（y），且f（2）＝1，则f（1）＝　0　，f（）＝　－1　. 解析：∵f（2）＝f（2×1）＝f（2）＋f（1），∴f（1）＝0.又f（1）＝f（2×）＝f（2）＋f（）＝0，∴f（）＝－1. 14.已知函数f（x）＝（m∈R）的图象经过点（2，－1）. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求f[f（－1）]的值； （3）当f[f（x）]＝5时，求x的值. 解：（1）将点（2，－1）代入得－1＝， 解得m＝2， 则f（x）＝. （2）f（－1）＝＝－， 则f[f（－1）]＝f＝＝－. （3）令f（x）＝t， 则f（t）＝5，即＝5，解得t＝8， 则f（x）＝8，即＝8，解得x＝. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $