第13讲 函数的表示方法（1大知识点+9大题型）讲义-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版）

第13讲 函数的表示方法 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：函数的表示法 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：待定系数法求解析式 4 题型 2：换元法求解析式 6 题型 3：抽象函数求解析式 8 题型 4：解析式参数求解 11 题型 5：方程组法求解析式 12 题型 6：分段函数求值与解析式 15 题型 7：分段函数性质应用 19 题型 8：分段函数不等式求解 21 题型 9：分段函数值求参 24 04 过关测试 27 知识点一：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 【方法技巧与总结】 函数解析式的求解策略有： （1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式； （3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式； （4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式； （5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式． 题型 1：待定系数法求解析式 例1．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 【答案】B 【解析】设，则，解得， 所以，. 故选：B. 例2．（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 例3．二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，设二次函数解析式为， 将代入解析式，可得，故二次函数的解析式为， 故可以为，其他均不合要求. 故选：B 变式1．（2026·高三·全国·中职高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 变式2．（2026·高二·陕西西安·期末）已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【解析】根据题意设，则， 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 变式3．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知二次函数满足，则（　　） A．1 B．7 C．8 D．16 【答案】B 【解析】设， 因为， 所以， 化简可得：， 所以，所以，所以， 所以，所以， 故选：B. 题型 2：换元法求解析式 例4．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为，所以， 由， 可得， 所以． 例5．（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 例6．（2026·高一·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【解析】由题意知，， 所以，则. 故选：A 变式4．（2026·高一·安徽滁州·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，所以， 所以，所以， 故选：B. 变式5．（2026·高一·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 变式6．（2026·高一·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且， 所以． 故选：B． 题型 3：抽象函数求解析式 例7．（2026·高一·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【解析】先假设为一次函数，设， 则. 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 例8．设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 【答案】 【解析】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即，整理得 故. 故答案为：. 例9．设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为_______. 【答案】 【解析】  是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即， 故答案为：. 变式7．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由，取，得， 令，此时， 且，，符合题意， 所以满足条件的一个函数表达式为. 故答案为： 变式8．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 _____. 【答案】 【解析】令， 可得：，又， 所以， 令，得， 所以，， 由， 令， 则， 两式相加可得： 所以， 当时，满足； 所以， 故答案为： 变式9．（2026·高一·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【答案】 【解析】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 故答案为：. 变式10．（2026·高一·福建莆田·期中）函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为_____________或_____________． 【答案】 【解析】令可得， 再令，可得， 解得或， 若，可得，可得， 若，可得，可得. 经检验，、均满足题意. 故答案为：；. 题型 4：解析式参数求解 例10．（2026·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数________． 【答案】1 【解析】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 例11．（2026·高一·上海·阶段检测）已知对任意恒成立，则________． 【答案】 【解析】 ， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 例12．函数满足，则常数____________． 【答案】 【解析】恒成立，即恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 变式11．（2026·高一·海南海口·期中）已知函数，且，则______． 【答案】/0.5 【解析】令 . 故答案为：. 变式12．（2026·高一·安徽滁州·阶段检测）已知，，若，则a＝_____． 【答案】1 【解析】∵，， ∴， 又， ∴， 解得． 故答案为：1． 题型 5：方程组法求解析式 例13．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【答案】 【解析】， ， 解方程组得． 故答案为：． 例14．（2026·高一·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【解析】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 例15．（2026·高一·河南安阳·期中）函数 _____ _____ 【答案】 【解析】由于①， 则，整理得②， 则，整理得③， 得， 设，则，则④， 则，即⑤， 得，则，即. ，，有意义可得， 则定义域为. 故答案为：；. 变式13．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足，则的解析式为_______________． 【答案】. 【解析】因为， 所以，所以， 则的解析式为. 故答案为：. 变式14．（2026·高一·河南郑州·期中）已知函数满足，则__________. 【答案】 【解析】因为， 所以， 即，解得. 故答案为： 变式15．（2026·高一·上海·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则_____. 【答案】 【解析】用代替，得， 与联立得，. 故答案为： 题型 6：分段函数求值与解析式 例16．（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【解析】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 例17．（2026·高一·四川自贡·期中）已知函数 (1)求，； (2)若，求实数的值； (3)在所给的坐标系中作出函数在区间内的图像． 【解析】（1）易知， （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 例18．（2026·高一·天津红桥·期中）已知函数，且. (1)写出函数的解析式； (2)求的值； (3)若，求实数的值. 【解析】（1）由于，故，解得， 所以. （2）由（1）得，，. （3）当时，，解得，舍去. 当时，，解得或，其中不符合题意，舍去. 综上，. 变式16．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知函数，其中，. (1)求函数的解析式； (2)已知方程的解集. 【解析】（1）因为，则， 所以，，解得， ，可得，故. （2）因为. 当时，由，可得，舍去； 当时，由，可得； 当时，由，可得. 综上所述，方程的解集为. 变式17．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的解析式． (1)若，求的值； (2)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）． 【解析】（1）若解得， 若解得（舍）， 若解得， 综上的值或3. （2）作图如下， 由图可得，当时，函数有最大值为6， 所以值域为. 题型 7：分段函数性质应用 例19．（2026·高一·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 例20．（2026·高一·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【解析】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 例21．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知： 当时，水温公式为， 令，解得； 当时，水温公式为， 令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为． 故选：D. 变式18．（2026·高一·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．8小时 C．16小时 D．18小时 【答案】D 【解析】由AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动， 得当小于或等于200时，可开展户外活动，即， 因为 所以当时，，解得， 当时，，解得． 综上，可开展户外活动的时长至多为小时． 故选:D. 题型 8：分段函数不等式求解 例22．（2026·高一·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 【答案】3，或. 【解析】因为，所以. 当时，可化为，解得， 又，所以； 当时，可化为，即解得或， 又，所以； 综上，若，的取值范围是或. 故答案为：3，或 例23．（2026·高一·河北保定·期中）设函数，若，则实数的取值范围是__________，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为，所以函数的图象如下图所示： 由可得或，解得或， 即时实数的取值范围是（或由，结合图象可得）； 又，， 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以时实数的取值范围为. 故答案为：； 例24．（2026·高一·辽宁沈阳·期中）设函数则不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】由可得， 当时，由可得，解得，则得； 当时，由可得，解得，则得. 故原不等式的解集为. 故答案为：. 变式19．（2026·四川绵阳·一模）已知函数则使不等式成立的的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 当时，，不符合题意； 当时，； 当时，，即， 综上的取值范围是. 故答案为：. 变式20．（2026·高一·浙江·阶段检测）给定函数，用表示中的较大者，记为.例如，当时，，则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】由，即，解得或；由，得， 因此， 不等式，化为或，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 变式21．（2026·高一·四川绵阳·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 变式22．不等式的解集为________． 【答案】 【解析】令， 当时，； 当时，，得，所以； 当时，不成立． 故原不等式的解集为. 题型 9：分段函数值求参 例25．（2026·高一·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 【答案】C 【解析】因为函数， 若，则，解得， 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得或（舍去）； 当时，， 若，则，此时无解， 综上，实数或， 当时，，当时，， 所以或. 故选：C 例26．（2026·高一·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】当时，由，解得（舍去）， 当时，由，可得，解得（舍去）或， 当时，由，可得（舍去）， 综上所述，. 故选：A. 例27．（2026·高一·辽宁丹东·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当时，，得到，满足条件； 当时，，得到或，因为，所以； 综上所述，或. 故选：C. 变式23．（2026·高一·贵州·期中）已知函数若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，解得或（舍）， 当时，，解得（舍）. 故选：A. 变式24．（2026·高一·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 1．（2026·高二·江西赣州·阶段检测）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，当时，， 又函数的值域是， 当时，有解，此时，所以，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则，所以，此时，符合题意； ②若，则，所以，要使， 只须，即； 综上，. 故选：B. 2．（2026·高一·安徽·期末）已知函数，则（   ） A．10 B． C．e D． 【答案】D 【解析】由题意得， 所以． 故选：D． 3．（2026·高一·全国·期末）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以． 故选：D 4．设函数，记，，…，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ，， ，， ，， 观察前几项可得， ，，故A正确． 故选：A． 5．（2026·高一·江西南昌·期中）已知函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出的图象，如图， 已知， 当时，且，即时，； 当，且时，即时，恒成立； 当，且时，即时，恒成立. 综上，. 故选：B 6．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）如图①，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计读数，容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间t之间的关系大致可以用图②、图③中的图象来描述，那么对图②、图③的解读正确的是（   ） A．图②表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象 B．图②表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象 C．图②表示水面高度和时间的函数图象 D．图③表示铁块受到的浮力和时间的函数图象 【答案】A 【解析】根据题意，铁块露出水面以前，，浮力不变， 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为0； 故图③表示铁块受到的浮力和时间的函数图象不准确； 弹簧测力计读数变化情况为： 铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的读数不变， 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故图②表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象． 对于B选项，在未出水之前，由于水面高度未变，液体密度未变，所以容器底部受到的液体压强随时间的变化压强不变；出水面之后，液体高度逐渐下降，压强会减小，故图②不符合； 对于C选项，水面高度和时间的函数图象，应该是在铁块露出水面以前，高度不变，当铁块慢慢露出水面开始，高度下降，当铁块完全露出水面后，水面高度不变，图②不符合； 故选：A 7．（2026·高三·湖北黄冈·阶段检测）已知定义域为的函数满足，则（   ） A．102 B．101 C．100 D．99 【答案】B 【解析】中，令得， 解得或1， 令得，若，上式整理得， 但不一定等于0，故不成立， 若，则， 此时， ，满足，满足要求， 故. 故选：B 8．（2026·高一·全国·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【解析】函数， ，， ，故A正确． 故选：A． 9．（多选题）（2026·高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【解析】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 10．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）下列各选项给出的命题中，正确的有（   ） A．的解集为 B．已知的定义域为，则的定义域为 C．化简结果为 D．若为一次函数，满足，则 【答案】BC 【解析】选项A,分式不等式等价于， 解得,故A错误； 选项B，已知定义域为，则满足，解得，故B正确； 选项C，由二次根式有意义得，即， 因此： ，故C正确。 选项D，设一次函数， 则， 可得方程组： ，解得或， 即或，故D错误. 11．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）若对任意实数成立，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为对任意实数成立， 令，则，所以，A正确； 对于B，举反例，若，则，而根据题意应该为0，所以B错误； 令，则，所以，C正确； 令，则；令，则； 令，则有，依此类推有，D正确. 故选：ACD. 12．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）若函数，则的值是__________； 【答案】3 【解析】令，则， 令，则，即， 整理得，即，所以. 13．（2026·高一·重庆·阶段检测）函数，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】当时，，图象对称轴为， 当时，取最小值0，当时，取最大值1， 所以；当或时，， 综上，，则函数的值域为. 故答案为：. 14．已知且，求函数的解析式． 【解析】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 15．（2026·高一·四川宜宾·期中）蜀南竹海位于宜宾市长宁县，是一个以竹景为主的风景名胜区，也是融自然景观和文物古迹为一体的避暑地.区内500多座峰峦竹林密布，碧浪连天.蜀南竹海内有竹海博物馆､花溪十三桥､海中海等自然景观和古刹等人文景观.某开发商计划2024年在蜀南竹海景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）由题意可得， 即. （2）当时，， 则； 当时，， 因，当且仅当，即时取等， 此时，. 综上，游客为40万人时利润最大，最大利润为370万元. 16．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)画出函数的简图并求出该函数的值域． 【解析】（1）由题意，设， 则， 整理得，即， 则，解得， 又，所以. （2）由（1）得，定义域为R， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以， 综上，的值域为， 的图象如图， 17．（2026·高一·浙江杭州·期中）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【解析】（1）， 则不动点满足，即， 整理得， 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，无解， 所以的不动点为. （2）（i）， 当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当，即时，，解得或， 时，，在上只有一个零点1， 时，，在上只有一个零点1， 所以的取值范围为. （ii）令，整理得， 则 ，解得， ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的表示方法 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：函数的表示法 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：待定系数法求解析式 4 题型 2：换元法求解析式 4 题型 3：抽象函数求解析式 5 题型 4：解析式参数求解 6 题型 5：方程组法求解析式 6 题型 6：分段函数求值与解析式 7 题型 7：分段函数性质应用 9 题型 8：分段函数不等式求解 10 题型 9：分段函数值求参 11 04 过关测试 12 知识点一：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 【方法技巧与总结】 函数解析式的求解策略有： （1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式； （3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式； （4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式； （5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式． 题型 1：待定系数法求解析式 例1．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 例2．（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 例3．二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(    ) A． B． C． D． 变式1．（2026·高三·全国·中职高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高二·陕西西安·期末）已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 变式3．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知二次函数满足，则（　　） A．1 B．7 C．8 D．16 题型 2：换元法求解析式 例4．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 例5．（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·高一·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 变式4．（2026·高一·安徽滁州·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高一·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 变式6．（2026·高一·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 题型 3：抽象函数求解析式 例7．（2026·高一·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 例8．设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 例9．设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为_______. 变式7．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式_____． 变式8．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 _____. 变式9．（2026·高一·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 变式10．（2026·高一·福建莆田·期中）函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为_____________或_____________． 题型 4：解析式参数求解 例10．（2026·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数________． 例11．（2026·高一·上海·阶段检测）已知对任意恒成立，则________． 例12．函数满足，则常数____________． 变式11．（2026·高一·海南海口·期中）已知函数，且，则______． 变式12．（2026·高一·安徽滁州·阶段检测）已知，，若，则a＝_____． 题型 5：方程组法求解析式 例13．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 例14．（2026·高一·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 例15．（2026·高一·河南安阳·期中）函数 _____ _____ 变式13．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足，则的解析式为_______________． 变式14．（2026·高一·河南郑州·期中）已知函数满足，则__________. 变式15．（2026·高一·上海·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则_____. 题型 6：分段函数求值与解析式 例16．（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 例17．（2026·高一·四川自贡·期中）已知函数 (1)求，； (2)若，求实数的值； (3)在所给的坐标系中作出函数在区间内的图像． 例18．（2026·高一·天津红桥·期中）已知函数，且. (1)写出函数的解析式； (2)求的值； (3)若，求实数的值. 变式16．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知函数，其中，. (1)求函数的解析式； (2)已知方程的解集. 变式17．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的解析式． (1)若，求的值； (2)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）． 题型 7：分段函数性质应用 例19．（2026·高一·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 例20．（2026·高一·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 例21．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A． B． C． D． 变式18．（2026·高一·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．8小时 C．16小时 D．18小时 题型 8：分段函数不等式求解 例22．（2026·高一·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 例23．（2026·高一·河北保定·期中）设函数，若，则实数的取值范围是__________，若，则实数的取值范围是__________. 例24．（2026·高一·辽宁沈阳·期中）设函数则不等式的解集是___________ 变式19．（2026·四川绵阳·一模）已知函数则使不等式成立的的取值范围是__________. 变式20．（2026·高一·浙江·阶段检测）给定函数，用表示中的较大者，记为.例如，当时，，则不等式的解集为_________. 变式21．（2026·高一·四川绵阳·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为____________. 变式22．不等式的解集为________． 题型 9：分段函数值求参 例25．（2026·高一·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 例26．（2026·高一·四川凉山·期末）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 例27．（2026·高一·辽宁丹东·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 变式23．（2026·高一·贵州·期中）已知函数若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 变式24．（2026·高一·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（2026·高二·江西赣州·阶段检测）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·安徽·期末）已知函数，则（   ） A．10 B． C．e D． 3．（2026·高一·全国·期末）若函数，则（    ） A． B． C． D． 4．设函数，记，，…，，则（ ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·江西南昌·期中）已知函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）如图①，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计读数，容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间t之间的关系大致可以用图②、图③中的图象来描述，那么对图②、图③的解读正确的是（   ） A．图②表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象 B．图②表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象 C．图②表示水面高度和时间的函数图象 D．图③表示铁块受到的浮力和时间的函数图象 7．（2026·高三·湖北黄冈·阶段检测）已知定义域为的函数满足，则（   ） A．102 B．101 C．100 D．99 8．（2026·高一·全国·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C．4 D．6 9．（多选题）（2026·高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 10．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）下列各选项给出的命题中，正确的有（   ） A．的解集为 B．已知的定义域为，则的定义域为 C．化简结果为 D．若为一次函数，满足，则 11．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）若对任意实数成立，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）若函数，则的值是__________； 13．（2026·高一·重庆·阶段检测）函数，则函数的值域为__________. 14．已知且，求函数的解析式． 15．（2026·高一·四川宜宾·期中）蜀南竹海位于宜宾市长宁县，是一个以竹景为主的风景名胜区，也是融自然景观和文物古迹为一体的避暑地.区内500多座峰峦竹林密布，碧浪连天.蜀南竹海内有竹海博物馆､花溪十三桥､海中海等自然景观和古刹等人文景观.某开发商计划2024年在蜀南竹海景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 16．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)画出函数的简图并求出该函数的值域． 17．（2026·高一·浙江杭州·期中）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $