专题04 统计（十二大题型）（高效培优期中专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题04 统计（十二大题型） 考点01 总体与样本 考点02 数据的获取 考点03 简单随机抽样 考点04 分层随机抽样 考点05 频率分布直方图 考点06 茎叶图 考点07 散点图 考点08 平均数众数中位数的计算 考点09 方差标准差的计算 考点10 百分位数的计算 考点11 数据变化对平均数，方差，中位数的影响 考点12 两组数据合并的方差计算 考点01 总体与样本 1．（25-26高二上·上海·期末）某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 人工智能 生物医药 集成电路 汽车制造 IT服务 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 人工智能 集成电路 生物医药 养老护理 游戏 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中招聘人数和应聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（    ） A．人工智能行业好于游戏行业 B．养老护理行业好于汽车制造行业 C．生物医药行业最紧张 D．集成电路行业比IT服务行业紧张 【答案】B 【分析】根据就业形势的好坏的衡量标准逐项分析即可求解． 【详解】人工智能行业的招聘人数和应聘人数的比值为：， 生物医药行业的招聘人数和应聘人数的比值为：， 集成电路行业的招聘人数和应聘人数的比值为：， A.人工智能的应聘人数大于招聘人数，但是游戏行业的应聘人数小于招聘人数，故错误 B.养老护理的应聘人数小于招聘人数，汽车制造的应聘人数大于招聘人数，故正确 C.生物医药的应聘人数小于招聘人数，就业形势不是最紧张，故错误 D.集成电路应聘人数大于招聘人数，IT服务行业招聘人数不确定，无法比较，故错误， 故选:B 2．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 【答案】B 【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确. 3．（25-26高二上·上海浦东新·期末）某学校教学管理人员希望调查该校学生平均每天用于体锻的时间，他抽样调查了150名同学，发现他们每天的平均体锻时间是.请问，在前面这个情境中本次调查的总体是__________. 【答案】该校所有学生的平均每天用于体锻的时间 【分析】根据给定条件，利用样本、总体的意义判断即得. 【详解】因为调查对象的总体为该校所有学生的平均每天用于体锻的时间， 因此总体应是：该校所有学生的平均每天用于体锻的时间. 故答案为：该校所有学生的平均每天用于体锻的时间 4．（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）在国际经合组织主持的国际学生评估项目（Program for International Student Assessment，简称PISA）研究中，上海15岁初中生多次获得全球第一.2024年上海近600所学校的约4000名学生代表全市各类中学约12.8万名15岁初中生参加测试，某研究人员想利用2024年PISA的数据库考察上海市15岁初中生的数学成绩.在该研究人员的研究中，总体是______________. 【答案】全市各类中学约12.8万名15岁初中生的数学成绩. 【分析】根据题意，结合研究对象，得到统计总体和样本即可. 【详解】由题意，此项研究中，统计总体为全市各类中学约12.8万名15岁初中生的数学成绩. 故答案为：全市各类中学约12.8万名15岁初中生的数学成绩. 5．（24-25高三上·上海·阶段检测）某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 【答案】B 【分析】根据样本的定义即可求解. 【详解】抽取的125名学生的体重是样本， 故选：B 考点02 数据的获取 6．（24-25高二上·上海长宁·期末）完成下列任务所获得的数据是观测数据还是实验数据_______. 某旅游公司为开发新的旅游产品，调查了5000名客户对于旅游目的地的偏好. 【答案】观测数据 【分析】根据观测数据和实验数据的定义结合题意分析判断即可 【详解】由题意可知是通过调查观测得到的数据，所以是观测数据. 故答案为：观测数据 7．（24-25高二上·上海·期末）在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 【答案】D 【分析】根据普查的概念判断即可； 【详解】A选项，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗重击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查； B选项，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不宜使用普查，应使用抽样调查； C选项，某城市居民数量非常多，不适合使用全面普查，应使用抽样调查； D选项，一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用普查； 故选：D 8．（24-25高二·上海·课堂例题）某医院从开始设计到建成完工后，记者要对部分参与人员采访．决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人． (1)求这些人中每个人被抽到采访的概率？ (2)求从工人中抽取的人数． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据随机抽样的性质分析求解； （2）根据分层抽样的性质分析求解. 【详解】（1）由题意可知：每个人被抽到采访的概率为. （2）由题意可知：从工人中抽取的人数为. 9．（24-25高二·上海·课堂例题）下面的调查是普查还是抽样调查？ (1)想知道一锅菜的咸淡，取一点尝尝； (2)为了解西瓜甜不甜，在西瓜的某个部位切一个三角口子取出一块尝尝； (3)为了记录某次下雨的降水量，学校气象小组用雨量计对雨水进行了收集和测量； (4)为了了解九年级一班学生课外健身所用的时间，老师给全班每位同学发放调查表进行调查． 【答案】(1)抽样调查 (2)抽样调查 (3)抽样调查； (4)普查 【分析】根据普查和抽样调查的概念，依次进行判断即可. 【详解】（1）想知道一锅菜的咸淡，取一点尝尝,因为是取部分的尝尝，所以是抽样调查； （2）为了解西瓜甜不甜，在西瓜的某个部位切一个三角口子取出一块尝尝，因为是取西瓜的某个部位尝尝，所以是抽样调查； （3）为了记录某次下雨的降水量，学校气象小组用雨量计对雨水进行了收集和测量，因为是收集部分雨水，所以是抽样调查； （4）为了了解九年级一班学生课外健身所用的时间，老师给全班每位同学发放调查表进行调查，因为是对每位同学发放调查表进行调查，所以是普查． 10．（24-25高二·上海·课堂例题）下列要研究的数据中一般通过试验获取的是（    ） A．某品牌电视机的市场占有率； B．某电视连续剧在全国的收视率； C．某校七年级一班的男女同学的比例； D．某型号炮弹的射程． 【答案】D 【分析】根据获取数据的基本途径逐一分析即可. 【详解】调查某品牌电视机的市场占有率，调查范围广，适合抽样调查，故通过抽样调查获取数据，故不符合题意； 调查某电视连续剧在全国的收视率，调查范围广，适合抽样调查，故通过抽样调查获取数据，故不符合题意； 调查某校七年级一班的男女同学的比例，适合普查，故不符合题意； 调查某型号炮弹的射程，一般通过试验获取数据，故符合题意. 故选：. 考点03 简单随机抽样 11．（24-25高二上·上海·期末）某工厂利用随机数表考查某种品牌的850颗种子的发芽率，先将850颗种子按进行编号，从中抽取50颗种子进行试验，下面提供随机数表的第1行和第2行： 若从表中第1行第2列开始向右依次读取数据，每次读出三位数，则得到的第4颗种子编号为（   ） A．428 B．114 C．572 D．042 【答案】C 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】根据随机数表法，抽取的前颗种子的编号依次为：， 所以第4颗种子编号为. 12．（25-26高二下·上海·期末）现从编号为01 ， 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________. 39832776    39918535    32591131    40469235    04982212    20671263 【答案】31 【详解】从随机数表第9个数字开始，两个数字一组，超过50的和与前面重复的舍弃， 即39，35，32，11，31，故抽取的第5支水笔的编号为31. 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第3个零件编号是______． 0647 4373 8686 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 【答案】26 【分析】按照随机数表抽样的规则，从指定位置开始逐次读取两位数字，筛选出到范围内不重复的编号，找到第三个有效编号即可。 【详解】首先明确有效编号范围为到。 读取规则为：从第一行第3列开始，从左到右依次读取两位数字，数值的编号舍去，重复出现的编号仅保留第一次读取的结果. 读取过程如下： 首次读取两位数字为47，大于39，舍去； 后续依次读取得到43、73、86、86、96、47，均大于39，全部舍去； 读取得到36，符合要求，为第1个有效编号； 后续依次读取得到61、46、98、63、71、62，均大于39，全部舍去； 读取得到33，符合要求，为第2个有效编号； 接下来读取得到26，符合要求，为第3个有效编号； 故所求第3个零件编号为26. 14．（25-26高二下·上海宝山·期中）某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】176 【详解】第1行第7列的数字开始，依次抽取175，068，331，047，447，176， 故第6个被抽到的同学的编号为176 15．（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 【答案】43 【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字， 读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)， 60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)， 26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个）， 故选出来的第5个个体的编号为43． 考点04 分层随机抽样 16．（25-26高二上·上海·期末）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝______. 【答案】13 【详解】由题意得，解得． 17．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为______． 【答案】 【分析】根据总人数和抽取的百分比直接计算即可. 【详解】样本量为. 故答案为：. 18．（24-25高二下·上海·期末）某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取__________个学生． 【答案】18 【分析】根据分层抽样定义列式得结果. 【详解】根据题意，高三年级在总体中所占的比例为， 所以应从高三年级抽取人. 故答案为：18. 19．（2025·上海浦东新·三模）浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取__________人. 【答案】45 【分析】由题意可先将参加登山的总人数求出，即可得到参加跑步的总人数，再根据可求出每个年级参加跑步的人数，最后根据分层抽样的原理，先求出应抽出的跑步的总人数，再根据高三年级参加跑步的人占所有参加跑步人数的比例求出应抽取多少高三参加跑步的学生人数. 【详解】由题意得，因为加登山的人数占总人数的， 所以参加登山的人数为人，参加跑步的人为1500人. 又由得，高三年级参加跑步的人数为人. 根据分层抽样的方法，应抽取的跑步总人数为人， 所以高三年级应抽取人. 故答案为：45. 20．（2023·上海闵行·一模）某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（    ） A．高二和高三年级获奖同学共80人 B．获奖同学中金奖所占比例一定最低 C．获奖同学中金奖所占比例可能最高 D．获金奖的同学可能都在高一年级 【答案】D 【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案. 【详解】对选项A：高二和高三年级获奖同学共，错误； 对选项B：不能确定银奖和铜奖的人数，错误； 对选项C：金奖人数为，银奖和铜奖的人数和为人， 故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，错误； 对选项D：高一年级人数为，金奖人数为，故获金奖的同学可能都在高一年级， 正确； 故选：D 考点05 频率分布直方图 21．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）从校高一年级学生中抽取若干名学生测量他们的身高，其中最大值为189cm，最小值为152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为151.5，则组数为________. 【答案】8 【详解】已知第一组下限为，组距为，最大值为. 计算最大值与第一组下限的差值为 组数需满足 因为组数必须为正整数，所以应向上取整，即. 22．（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【详解】对于D，根据频率分布直方图可知：，可得，所以D正确. 对于A，成绩在的频数为：，故A正确； 对于B，图中所有小矩形面积之和表示所有区间内的频率之和，为1. B正确； 对于C，设成绩的中位数为，     ， 易得中位数在区间内，故C错误. 23．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； 【答案】(1)，平均数是 (2) 【分析】（1）根据直方图中小长方形的面积和为1求解，然后由平均数的定义计算即可； （2）根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后根据列举法求解. 【详解】（1）由题知，，解得， 平均数为：； （2）和两组的频率之比为， 由于共抽取5人，根据分层抽样性质可知在和两组分别抽取2人，3人， 假设来自的2人编号为，来自的3人编号为， 这5人中抽取2人，所有的可能是共10种情形， 2人来自同一组共有4种情形如下， 根据古典概型的计算公式，两人来自同一组的概率是. 24．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： (1)估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； (2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【答案】(1)众数是，平均分是93 (2). 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得，结合众数和平均数的计算公式，即可求解； （2）利用列举法求得样本空间中样本点的总数及所求事件中所包含样本点的个数，利用古典概型的概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）由，可得． 即数学成绩在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在频率为. 数学成绩在内的最多，所以众数是， 平均分是. （2）由题意可知，数学成绩在内的人数为（人），在内的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生， 则需在内抽取2人，分别记为、；[70，90)内抽取3人，分别记为、、， 记事件为“抽取的这2名学生至少有1人成绩在内”， 则样本空间为，共包含10个样本点， 而事件，包含7个样本点， 故，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为. 25．（25-26高三上·上海·阶段检测）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图（如图）. 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 2 9 2 合计 100 (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a，b的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 【答案】(1)； (2)； (3)第四组. 【分析】（1）根据频率分布表求出一周课外阅读时间少于12小时的频数，再用频率和为1求出所求的频率； （2）根据小矩形的高，即可求、的值； （3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案． 【详解】（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有(名)， 所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是， 故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9； （2）课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人，频率为0.17，所以＝ ， 课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人，频率为0.25，所以＝ ； （3）同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，则平均数为： （小时）， 样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组. 考点06 茎叶图 26．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图求出分数在的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得班级参加测试的人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意的基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，分数在的频率为； 由茎叶图知，分数在之间的频数为2，所以班级参加测试的人数为. （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为. （3）将之间的5个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共21个， 其中，至少有一份分数在之间的基本事件有 共11个， 故至少有一份分数在之间的概率是. 27．（2025·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均数公式可求得结果. 【详解】由题意可知，抽取的株小麦的麦穗长度分别为：、、、、、、、 、、、、、，单位：， 用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为. 故选：B. 28．（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图求出的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得本次考试的总人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】（1）分数在的频率为， 由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为． （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为． （3）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共10个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在之间的概率是． 29．（24-25高二下·上海徐汇·阶段检测）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则_____    【答案】8 【分析】根据茎叶图中的数据，结合题意条件，建立方程组，求解得到的值即可. 【详解】由茎叶图可知，甲组数据从小到大顺序为：，其中位数为65， 平均值为； 乙组数据从小到大顺序为：，其中位数为， 平均值为. 依题意有：，解得，故. 故答案为：8. 30．（24-25高二下·上海·期中）已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所示．其中，．若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则________． 【答案】 【分析】根据给定的茎叶图，由中位数求出，由平均数求出即得. 【详解】由乙组数据的中位数为，则甲组数据的中位数为33，即， 由两组数据的平均数相等，得，解得， 所以. 故答案为：24 考点07 散点图 31．（24-25高三·上海·课堂例题）有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价： 品牌 A B C D E F G H I J 所含热量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味记录 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 (1)作出散点图； (2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？ (3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系； (4)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？ 【答案】(1)散点图如图所示； (2) 基本近似成线性相关关系 (3) 如上图； (4) 因为当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好. 【分析】对于（1），首先以两个变量分别为横轴和纵轴作平面直角坐标系，再在坐标系中描出各点坐标，即作出散点图； 对于(2)，由散点图中点的分布规律可判断两变量的相关性； 对于(3)，根据(1)的散点图，画一条直线近似地表示两个变量线性相关即可； 对于(4)，从口味分析. 【详解】（1）略 （2）从散点图上可以看出，食品所含热量的百分比与口味值之间总体趋势近似地成一条直线，也就是说他们之间是线性相关的； （3）略 （4）略 32．（24-25高三·上海·课堂例题）某公司近年来科研费用（单位：万元）与公司所获的利润（单位：万元）之间有如下的统计数据： 2 3 4 5 18 27 32 35 (1)请画出上表数据的散点图； (2)观察散点图，判断与是否具有线性相关关系. 【答案】(1)作出散点图如下： (2)与有线性相关关系 【分析】（1）结合题中所给数据，作出散点图即可； （2）根据散点图可以判断有没相关性. 【详解】（1）略 （2）由图知，所有数据点接近直线排列，因此认为与具有线性相关关系. 33．（24-25高二上·上海·随堂练习）某校高三（1）班的学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学平均成绩y（单位：分）之间有表格所示的数据． x/h 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图； (2)判断数学学习的时间与数学平均成绩的关系． 【答案】(1) 根据表中的数据画出散点图如图所示：    (2)数学平均成绩与数学学习时间呈现正相关关系． 【分析】（1）直接根据表中数据在坐标系中描点； （2）从点的分布趋势是左下到右上即可判断是正相关关系． 【详解】（1）略； （2）从散点图看，数学平均成绩与数学学习时间呈现正相关关系． 34．某研究人员随机抽取15棵某品种的栎树，测得树高（单位：m）和胸径（指地面以上1.3m处树干的直径，单位：cm）的数据，如下表所示. 胸径/cm 6 7.9 8.3 8.9 10.1 12.1 13.8 14.2 树高/m 4.7 5.3 6.1 7 7.5 8.5 7.8 8.1 胸径/cm 16.4 16.9 18.1 20.1 21.8 22.2 23.9 / 树高/m 9.1 9.8 10 10.3 11.3 11.8 12.7 / 绘制散点图，并观察随着高度的增加，栎树胸径的变化趋势. 【答案】散点图如下图所示： 随着树高度的增加，栎树胸径也变大 【分析】根据表格数据直接绘制散点图，然后根据散点图即可求得统计结论. 【详解】根据题目数据作出散点图，如下图所示， 由散点图知，随着树高度的增加，栎树胸径也变大. 35．（24-25高三·上海·课堂例题）某厂的生产原料耗费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应关系： 2 4 6 8 30 40 50 70 画出的散点图并判断它们是否相关. 【答案】 可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高 【分析】根据表中数据在直角坐标系中描点即可，由散点图可看出，图中的数据点接近直线排列，故可以判断有没相关性. 【详解】画出的散点图如图所示. 可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高. 考点08 平均数众数中位数的计算 36．（25-26高二下·上海静安·期末）一组数据10.22，10.24，10.25，10.35，10.35，10.50，10.53，10.80，10.90的中位数是___________． 【答案】10.35 【分析】由中位数的定义求解． 【详解】将数据从小到大排成一列： 10.22，10.24，10.25，10.35，10.35，10.50，10.53，10.80，10.90，共9个数据， 则中位数为第5个数据，为10.35 37．先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【分析】根据题意将符合要求的个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 38．（2026·上海普陀·二模）根据中国汽车工业协会发布的数据，年月至年月，我国新能源汽车月度销量（单位：万辆）为：，则这个月新能源汽车销量的中位数为______万辆. 【答案】 【分析】先将数据从小到大排列，再根据中位数的定义可得. 【详解】将年月至年月，我国新能源汽车月度销量按从小到大排列： 数据个数为，所以中位数是第个数，即万辆. 39．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 【答案】D 【详解】由中位数的意义，得中位数62分为发现统计有误前的成绩由小到大排列的第53个数， 假设加分的是原成绩排第1至53名的学生，且原成绩中第52名为61分，第54名为63分， 调整后，原第52名的成绩变为66分，原第53名变为67分，而原第54名的成绩63分不变， 排序后，新成绩序列的第53项为66分，即中位数为66分， 因此调整后学生成绩的中位数不一定是 62 或 67 分. 40．（25-26高二上·上海静安·期末）某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环，数据均为整数）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为___________． 【答案】97.1 【分析】由茎叶图得到全部数据，然后由平均数的定义求得结果. 【详解】这组数据为：83,91,95,97,97,98,100,101,102,107， 所以这组数据的平均数为， 故答案为：97.1 考点09 方差标准差的计算 41．（25-26高三上·上海·期末）某组样本数据由8个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（    ） A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的极差相同 C．两组样本数据的中位数相同 D．两组样本数据的方差相同 【答案】C 【分析】分别根据平均数、极差、中位数、方差的定义和计算方法，分析去掉最小数和最大数前后各统计量的变化情况，从而判断每个选项是否一定成立. 【详解】对于选项A：原数据和新数据平均数不一定相同，因为去掉最小数和最大数后，总和与数据个数都变了，平均数可能改变，所以选项A错误； 对于选项 B：极差是最大值减最小值，原数据极差是最大值减最小值，新数据去掉了这两个数，新极差是次最大值减次最小值，肯定小于原极差，所以选项B错误； 对于选项 C：两组样本数据的中位数相同：排序后，8个数的中位数是第4和第5个数的平均数；去掉最小值和最大值后剩下6个数，中位数是第3和第4个数的平均数，而原第4和第5个数就是新数据中的第3和第4个数（排序后），所以中位数不变，选项C正确； 对于选项D：方差反映数据波动程度，去掉最小和最大数后数据分布改变，方差一般会改变，所以选项D错误； 故选：C. 42．一组数的平均数为2，则这组数的方差为__________. 【答案】/ 【详解】由题意可知，解得， 则方差. 43．（25-26高三下·上海·阶段检测）若数据的均值和标准差分别为和，则___________． 【答案】 【分析】利用平均数和方差的公式，求得数据的平均数和方差，即可得到答案. 【详解】由均值的计算公式，可得数据的均值为， 标准差为， 所以. 44．（25-26高二上·上海长宁·期末）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______． 【答案】 【分析】利用中位数与平均数的概念先确定，再根据方差与标准差的算法计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 将已知数据排序有， 该组数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数， 所以第3个和第4个数据的和为262，不妨设， 则第3个和第4个数据应为，则，经验证符合题意， 则该组数据的方差为 ，所以标准差为. 故答案为： 45．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数公式可得出的值，利用方差公式可得出的值，结合平方关系可求得的值. 【详解】由平均数公式可得，可得， 由方差公式可得， 整理可得，即，所以， 因为，所以， 故. 故选：D. 考点10 百分位数的计算 46．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 【答案】166.5 【分析】直接利用百分位数计算公式即可； 【详解】由茎叶图可知共10个数据， ，是整数，第百分位数为第 6 项和第 7 项数据的平均值. 由茎叶图，可知第6项：166；第7项：167. 故第百分位数为. 47．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知一组数据为，则这组数据的第70百分位数是______． 【答案】9 【分析】根据70百分位数的定义计算即可得答案. 【详解】这组数据共有10个，且已按从小到大排列. 因为， 所以这组数据的第70百分位数是这组数据的第7个数与第8个数的平均值， 即为. 48．（25-26高三上·上海闵行·期末）某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用频率分布条形图可读出， ，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【详解】根据频率分布条形图可知， ，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即. 49．（25-26高二下·上海青浦·期末）某同学统计了从2000年到2024年中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，39，27，38，40，则这组数据的第75百分位数为________． 【答案】 【分析】先将数据从小到大排序，再依据第75百分位数的定义计算求解. 【详解】首先将这组数据从小到大排列：，可得样本容量. 根据百分位数的计算规则，计算索引值：. 由于不是整数，向上取整为，因此第75百分位数为排序后第6个数据，即. 50．（25-26高二下·上海·期末）某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示.    花费时间 （分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数. 【答案】(1)极差为 ，中位数为. (2) 人 (3)17； 【分析】（1）根据极差及中位数定义求解即可. （2）根据分层抽样方法及用频率估计概率求解即可. （3）根据百分位数的定义及求解步骤求解即可. 【详解】（1）极差为 ，中位数为 ， 故这10名女生上学路上花费时间的极差为37，中位数为29. （2）高二年级中男生共有 人，由茎叶图知，上学路上花费时间不超过40分钟的男生占， 所以可估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为 人. （3）因为 ，所以第25百分位数即为从小到大排列数中第3个数，即17. 因为 ，所以第50百分位数即为从小到大排列数中第5个与第6个的平均值，即 . 考点11 数据变化对平均数，方差，中位数的影响 51．（25-26高二上·上海奉贤·期末）某校高二年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取100份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、…、得到如图所示的频率分布直方图. (1)①求实数的值； ②为了进一步了解学生竞赛的成绩情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率； (2)王老师抽取了10名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、⋯、.已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的96和86这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】（1）①根据矩形的面积之和为1，列出方程，即可求解；②根据分层抽样的方法，得到成绩在的人数为3人，成绩在的人数为4人，求得2人成绩都在的概率，结合对立事件的概率公式，即可求解； （2）不妨设，，根据题意，求得原始数的方程，结合方差的公式，进而求得剩余8个分数的方差，得到答案. 【详解】（1）解：①在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1， 即，解得， ②由分层抽样，可得成绩在的人数为3人，成绩在的人数为4人， 从这7名学生中随机抽取2名学生，2人成绩都在的概率为， 则至少有1人成绩在的概率是. （2）解：不妨设，，根据题意可得， 故剩余8个分数的平均数为， 因为原数据的方差为， 所以， 故剩余8个分数的方差为. 52．（25-26高二上·上海·单元测试）冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，以下结论中能判定该公司没有发生群体性发热的个数为________． ①中位数为3，众数为2；    ②均值小于1，中位数为1； ③均值为3，众数为4；    ④均值为2，标准差为． 【答案】2 【分析】对于①，③，可以通过举反例进行判断；对于②，④，可以假设，即该公司发生了群体性发热，再由所给均值、中位数、标准差得出矛盾，即可判断. 【详解】将连续7天体温高于人数由小到大依次记为、、、、、、， 对于①，反例：设连续7天体温高于人数为2、2、2、3、3、4、6， 满足中位数为3，众数为2，与题意矛盾，故①不合乎要求； 对于②，假设，即该公司发生了群体性发热，因中位数为1， 则，平均数为，矛盾， 故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，故②合乎要求； 对于③，反例：设连续7天体温高于人数为0、1、2、4、4、4、6， 满足众数为4，均值为3，与题意矛盾，故③不合乎要求； 对于④，假设，即该公司发生群体性发热， 若均值为2，则方差为， 即，与④矛盾，故假设不成立， 即该公司没有发生群体性发热，故④合乎要求. 故答案为：2. 53．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（    ） A．甲：中位数为2，众数为3 B．乙：总体均值为3，中位数为4 C．丙：总体均值为2，总体方差为3 D．丁：总体均值为1，总体方差大于0 【答案】C 【分析】通过举反例排除ACD三个选项，根据方差的计算判断C选项正确. 【详解】A选项，数据可以为“”，不符合该标志； B选项，数据可以为“”，不符合该标志； C选项，总体均值是2时，只要出现超过7人时，方差就大于3，故C正确； D选项，数据可以为“”，不符合该标志； 故选：C. 54．歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与 11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（    ） A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】由极差、中位数、平均数和方差的概念和计算公式，即可得出答案. 【详解】设11位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分， 后剩余，中位数仍为，D正确． ②原始平均数， 后来平均数，平均数受极端值影响较大， 与不一定相同，A不正确； ③ ，由②易知，C不正确． ④原极差，后来极差，可能相等可能变小，B不正确． 故选：D. 55．甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为，方差为，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为，方差为2，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．与2的大小关系无法判断 【答案】C 【分析】根据题设知丢失的数据为，结合方差公式有，即可得答案. 【详解】由题意知，丢失的数据为，才可保证甲乙得到的均值相等， 结合方差公式，， 所以乙所得方差，即. 故选：C 考点12 两组数据合并的方差计算 56．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 【答案】(1)6 (2)平均数为62.4，方差约为39.9 【详解】（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为 1（频率和为 1），组距为 10， 所以 ，所以，解得， 因为：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， 四组总人数：， 抽样比为：因此 应抽取人数： 人； （2）因为与的频率之比为， 又因为落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2， 所以这两组学生成绩的平均数是， 这两组学生成绩的方差是 57．（25-26高一下·上海·期末）现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为_______ 【答案】 【分析】根据题意，混合数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】设甲、乙组平均数分别为，方差分别为， 设两组数据混合成一组的平均数为，方差为，则，，， 则， 故答案为：. 58．（2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【答案】(1) (2) (3)平均数为，方差为 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得. （2）由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 59．（24-25高二下·上海松江·阶段检测）某校在高二期末考试，从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中a的值，并估计该校高二学生期末等级考化学成绩的平均数及中位数；（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值） (2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取9人查看他们的答题情况，再从中选取3人进行个案分析，求这3人中恰有一人原始成绩在内的概率； (3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差s． 【答案】(1),, (2) (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征和平均数、中位数的计算公式计算即得； （2）根据古典概型的概率问题求解即可； （3）由题意，根据混合样本的平均数、方差和标准差的计算公式计算即得. 【详解】（1）由图可得：，解得； 则化学成绩的平均数为：， 中位数的估计值为，则,且,解得, （2）由原始分在和中的频率之比为， 故抽取的9人中，原始分在中的有3人，在中的有6人， 则从9人中抽取3人，恰有一人原始成绩在内的概率为. （3）依题意，化学成绩落在的有人，落在的有人. 故， . 60．（24-25高二上·上海黄浦·期末）某校有学生500人，其中男生320人，女生180人.某人想了解该校全体学生的身高（单位：cm）信息，从男生、女生中分别随机抽取人进行测量.如果已知男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03，但原始测量数据已丢失.设总体均值与方差分别为与，则下列说法正确的是（   ）． A．若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 B．若，无法算出总样本的均值与方差 C．若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 D．若，无法算出总样本的均值与方差 【答案】C 【分析】根据已知，分层抽样分析数据的前提及样本特征与总体特征的关系判断A、C、D；对于总体数据各层中的数据差异非常小的情况下也可分析总体特征判断B. 【详解】由于男生、女生总人数不相等，需要用分层抽样的方式估计出样本的均值和方差， 此时所得样本特征可作为总体特征的估计值，故不合适、合适，A、D错，C对； 在情况下，只有所有男生、女生身高都在各自身高均值附近波动且幅度很小时，可以算出总样本的均值与方差，B错； 故选：C. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 统计（十二大题型） 考点01 总体与样本 考点02 数据的获取 考点03 简单随机抽样 考点04 分层随机抽样 考点05 频率分布直方图 考点06 茎叶图 考点07 散点图 考点08 平均数众数中位数的计算 考点09 方差标准差的计算 考点10 百分位数的计算 考点11 数据变化对平均数，方差，中位数的影响 考点12 两组数据合并的方差计算 考点01 总体与样本 1．（25-26高二上·上海·期末）某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 人工智能 生物医药 集成电路 汽车制造 IT服务 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 人工智能 集成电路 生物医药 养老护理 游戏 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中招聘人数和应聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（    ） A．人工智能行业好于游戏行业 B．养老护理行业好于汽车制造行业 C．生物医药行业最紧张 D．集成电路行业比IT服务行业紧张 2．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 3．（25-26高二上·上海浦东新·期末）某学校教学管理人员希望调查该校学生平均每天用于体锻的时间，他抽样调查了150名同学，发现他们每天的平均体锻时间是.请问，在前面这个情境中本次调查的总体是__________. 4．（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）在国际经合组织主持的国际学生评估项目（Program for International Student Assessment，简称PISA）研究中，上海15岁初中生多次获得全球第一.2024年上海近600所学校的约4000名学生代表全市各类中学约12.8万名15岁初中生参加测试，某研究人员想利用2024年PISA的数据库考察上海市15岁初中生的数学成绩.在该研究人员的研究中，总体是______________. 5．（24-25高三上·上海·阶段检测）某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 考点02 数据的获取 6．（24-25高二上·上海长宁·期末）完成下列任务所获得的数据是观测数据还是实验数据_______. 某旅游公司为开发新的旅游产品，调查了5000名客户对于旅游目的地的偏好. 7．（24-25高二上·上海·期末）在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 8．（24-25高二·上海·课堂例题）某医院从开始设计到建成完工后，记者要对部分参与人员采访．决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人． (1)求这些人中每个人被抽到采访的概率？ (2)求从工人中抽取的人数． 9．（24-25高二·上海·课堂例题）下面的调查是普查还是抽样调查？ (1)想知道一锅菜的咸淡，取一点尝尝； (2)为了解西瓜甜不甜，在西瓜的某个部位切一个三角口子取出一块尝尝； (3)为了记录某次下雨的降水量，学校气象小组用雨量计对雨水进行了收集和测量； (4)为了了解九年级一班学生课外健身所用的时间，老师给全班每位同学发放调查表进行调查． 10．（24-25高二·上海·课堂例题）下列要研究的数据中一般通过试验获取的是（    ） A．某品牌电视机的市场占有率； B．某电视连续剧在全国的收视率； C．某校七年级一班的男女同学的比例； D．某型号炮弹的射程． 考点03 简单随机抽样 11．（24-25高二上·上海·期末）某工厂利用随机数表考查某种品牌的850颗种子的发芽率，先将850颗种子按进行编号，从中抽取50颗种子进行试验，下面提供随机数表的第1行和第2行： 若从表中第1行第2列开始向右依次读取数据，每次读出三位数，则得到的第4颗种子编号为（   ） A．428 B．114 C．572 D．042 12．（25-26高二下·上海·期末）现从编号为01 ， 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________. 39832776    39918535    32591131    40469235    04982212    20671263 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第3个零件编号是______． 0647 4373 8686 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 14．（25-26高二下·上海宝山·期中）某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 15．（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 考点04 分层随机抽样 16．（25-26高二上·上海·期末）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝______. 17．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为______． 18．（24-25高二下·上海·期末）某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取__________个学生． 19．（2025·上海浦东新·三模）浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取__________人. 20．（2023·上海闵行·一模）某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（    ） A．高二和高三年级获奖同学共80人 B．获奖同学中金奖所占比例一定最低 C．获奖同学中金奖所占比例可能最高 D．获金奖的同学可能都在高一年级 考点05 频率分布直方图 21．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）从校高一年级学生中抽取若干名学生测量他们的身高，其中最大值为189cm，最小值为152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为151.5，则组数为________. 22．（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 23．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； 24．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： (1)估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； (2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 25．（25-26高三上·上海·阶段检测）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图（如图）. 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 2 9 2 合计 100 (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a，b的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 考点06 茎叶图 26．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 27．（2025·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 29．（24-25高二下·上海徐汇·阶段检测）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则_____    30．（24-25高二下·上海·期中）已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所示．其中，．若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则________． 考点07 散点图 31．（24-25高三·上海·课堂例题）有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价： 品牌 A B C D E F G H I J 所含热量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味记录 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 (1)作出散点图； (2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？ (3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系； (4)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？ 32．（24-25高三·上海·课堂例题）某公司近年来科研费用（单位：万元）与公司所获的利润（单位：万元）之间有如下的统计数据： 2 3 4 5 18 27 32 35 (1)请画出上表数据的散点图； (2)观察散点图，判断与是否具有线性相关关系. 33．（24-25高二上·上海·随堂练习）某校高三（1）班的学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学平均成绩y（单位：分）之间有表格所示的数据． x/h 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图； (2)判断数学学习的时间与数学平均成绩的关系． 34．某研究人员随机抽取15棵某品种的栎树，测得树高（单位：m）和胸径（指地面以上1.3m处树干的直径，单位：cm）的数据，如下表所示. 胸径/cm 6 7.9 8.3 8.9 10.1 12.1 13.8 14.2 树高/m 4.7 5.3 6.1 7 7.5 8.5 7.8 8.1 胸径/cm 16.4 16.9 18.1 20.1 21.8 22.2 23.9 / 树高/m 9.1 9.8 10 10.3 11.3 11.8 12.7 / 绘制散点图，并观察随着高度的增加，栎树胸径的变化趋势. 35．（24-25高三·上海·课堂例题）某厂的生产原料耗费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应关系： 2 4 6 8 30 40 50 70 画出的散点图并判断它们是否相关. 考点08 平均数众数中位数的计算 36．（25-26高二下·上海静安·期末）一组数据10.22，10.24，10.25，10.35，10.35，10.50，10.53，10.80，10.90的中位数是___________． 37．先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 38．（2026·上海普陀·二模）根据中国汽车工业协会发布的数据，年月至年月，我国新能源汽车月度销量（单位：万辆）为：，则这个月新能源汽车销量的中位数为______万辆. 39．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 40．（25-26高二上·上海静安·期末）某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环，数据均为整数）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为___________． 考点09 方差标准差的计算 41．（25-26高三上·上海·期末）某组样本数据由8个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（    ） A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的极差相同 C．两组样本数据的中位数相同 D．两组样本数据的方差相同 42．一组数的平均数为2，则这组数的方差为__________. 43．（25-26高三下·上海·阶段检测）若数据的均值和标准差分别为和，则___________． 44．（25-26高二上·上海长宁·期末）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______． 45．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 考点10 百分位数的计算 46．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 47．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知一组数据为，则这组数据的第70百分位数是______． 48．（25-26高三上·上海闵行·期末）某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 49．（25-26高二下·上海青浦·期末）某同学统计了从2000年到2024年中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，39，27，38，40，则这组数据的第75百分位数为________． 50．（25-26高二下·上海·期末）某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示.    花费时间 （分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数. 考点11 数据变化对平均数，方差，中位数的影响 51．（25-26高二上·上海奉贤·期末）某校高二年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取100份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、…、得到如图所示的频率分布直方图. (1)①求实数的值； ②为了进一步了解学生竞赛的成绩情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率； (2)王老师抽取了10名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、⋯、.已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的96和86这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 52．（25-26高二上·上海·单元测试）冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，以下结论中能判定该公司没有发生群体性发热的个数为________． ①中位数为3，众数为2；    ②均值小于1，中位数为1； ③均值为3，众数为4；    ④均值为2，标准差为． 53．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（    ） A．甲：中位数为2，众数为3 B．乙：总体均值为3，中位数为4 C．丙：总体均值为2，总体方差为3 D．丁：总体均值为1，总体方差大于0 54．歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与 11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（    ） A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数 55．甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为，方差为，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为，方差为2，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．与2的大小关系无法判断 考点12 两组数据合并的方差计算 56．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 57．（25-26高一下·上海·期末）现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为_______ 58．（2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 59．（24-25高二下·上海松江·阶段检测）某校在高二期末考试，从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中a的值，并估计该校高二学生期末等级考化学成绩的平均数及中位数；（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值） (2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取9人查看他们的答题情况，再从中选取3人进行个案分析，求这3人中恰有一人原始成绩在内的概率； (3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差s． 60．（24-25高二上·上海黄浦·期末）某校有学生500人，其中男生320人，女生180人.某人想了解该校全体学生的身高（单位：cm）信息，从男生、女生中分别随机抽取人进行测量.如果已知男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03，但原始测量数据已丢失.设总体均值与方差分别为与，则下列说法正确的是（   ）． A．若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 B．若，无法算出总样本的均值与方差 C．若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 D．若，无法算出总样本的均值与方差 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $