专题01 空间直线与平面热点题型突破（十五大题型）（高效培优期中专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题01 空间直线与平面热点题型突破（十五大题型） 考点01 空间中四点共面问题 考点02 空间点共线和线共点问题 考点03 截面有关计算 考点04 斜二测画法有关计算 考点05 异面直线的判定与求异面直线的夹角 考点06 由异面直线求其他量 考点07 线面平行的证明与判定 考点08 线面平行的性质及有关计算 考点09 线面垂直的证明与判断 考点10 求点/直线到平面的距离 考点11 求线面角 考点12 面面平行的判定与性质 考点13 面面垂直的判定与性质 考点14 求二面角 考点15 线面角与二面角的最值与范围 考点01 空间中四点共面问题 1．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 2．（25-26高二上·上海·开学考试）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 4．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 5．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 考点02 空间点共线和线共点问题 6．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    7．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 8．（22-23高二上·上海虹口·阶段检测）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    10．（24-25高一下·上海·阶段检测）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 考点03 截面有关计算 11．（25-26高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，（，）.记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为______. 12．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 15．（23-24高二下·上海杨浦·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 _____（写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 考点04 斜二测画法有关计算 16．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则直线与直线所成的夹角大小是______． 17．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 18．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则平面四边形的周长为______．    19．（25-26高一下·上海·期末）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的周长为________． 20．（25-26高一下·上海·期末）如图，是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中，则△ABC的面积为________． 考点05 异面直线的判定与求异面直线的夹角 21．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）如图，已知E、F分别是正方体的棱、的中点．    (1)求证：A，E，F，C在同一个平面上； (2)求证：与是异面直线． 22．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点， (1)证明：直线与是异面直线； (2)求异面直线与所成角. 23．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，在正方体中，点，分别是，的中点． (1)求证：和共面： (2)求证：和是异面直线，并求和所成角的大小． 24．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（     ）． A． B． C． D． 25．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，在空间四边形中，，分别是棱，的中点，对角线，，求异面直线与所成角的大小． 考点06 由异面直线求其他量 26．（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 27．（23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 28．（25-26高二上·上海·阶段检测）空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 29．（24-25高二上·上海·阶段检测）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 30．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 考点07 线面平行的证明与判定 31．（26-27高二上·上海·阶段检测）已知m，n为空间中两条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，则是的________条件 32．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）（用空间向量方法解答不给分）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：平行于平面． 33．（25-26高二上·上海静安·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：平面． 34．（26-27高二上·上海·阶段检测）如图，点是矩形所在平面外的一点，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若是等边三角形，求异面直线与所成的角的大小． 35．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    考点08 线面平行的性质及有关计算 36．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在三棱柱中，点E是棱的中点，点D是棱上的一点，且平面，则_______． 37．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 38．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    39．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 40．（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 考点09 线面垂直的证明与判断 41．（26-27高二上·上海奉贤·阶段检测）如图，已知矩形所在的平面，分别为的中点，，，． (1)求直线与平面所成角大小； (2)求证：平面． 42．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）在正方形中，、分别是、的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折起，使、、三点重合，重合后的点记为，那么（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 43．（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面． 44．（25-26高二上·上海·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 45．（24-25高一下·上海·期末）如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 考点10 求点/直线到平面的距离 46．（25-26高一下·上海·期末）在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 47．（25-26高二上·上海·阶段检测）在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________． 48．（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 49．（25-26高二上·上海·期中）在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 50．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 考点11 求线面角 51．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)证明：； (2)求与面所成角的余弦值． 52．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 53．（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径. (1)若是弦的中点，且 平面，求的值； (2)若，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成角的大小. 54．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 55．（23-24高二下·上海·阶段检测）在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为__________. 考点12 面面平行的判定与性质 56．（25-26高二上·上海长宁·期末）在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（    ） A．； B．； C．； D．． 57．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： (1)直线与直线异面； (2)平面平面. 58．（26-27高二上·上海黄浦·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明： ； (2)求证： 平面； (3)直线上是否存在点，使得平面 平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 59．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知：，垂直平面，，，为中点． (1)求直线与平面所成的角； (2)如图若平面 平面，求证是的中点． 60．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 考点13 面面垂直的判定与性质 61．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，正方体，，E为上任一点，有四个结论： ①平面平面，②平面平面， ③，④平面平面． 其中正确结论的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 62．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图几何体中，底面为正方形，平面，，求证： (1)平面平面； (2)平面平面； 63．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）如图，底面是等腰梯形，，，，是平面外一点，是边长为的等边三角形． (1)在图中作出平面与平面的交线为（保留作图痕迹）； (2)若，求证：平面平面． 64．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知梯形 ；E为线段上一动点，过点E作交线段于点F，连接，将沿翻折． (1)当平面平面时，若，求：到平面的距离； (2)若三棱锥体积和 同时达到最大值，求：与平面所成角的大小． 65．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段的中点，求证：平面． 考点14 求二面角 66．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）在长方体中，，，，则二面角的大小为______． 67．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点P在平面外且平面． (1)求点到平面的距离； (2)求证：平面平面； (3)若，求二面角的余弦值． 68．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，． (1)证明：平面平面； (2)若，， （ⅰ）求的长； （ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 69．（26-27高二上·上海·阶段检测）如图1，正的边长为，是边上的高，，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折，使平面平面，如图2． (1)试判断翻折后直线与的位置关系，无需说明理由； (2)求二面角的大小； (3)若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 70．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点． (1)若D为中点，求异面直线BD与EF所成角的大小； (2)若求平面与平面DFE所成锐二面角的余弦值． 考点15 线面角与二面角的最值与范围 71．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 72．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且 平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（    ） A．的最小值为的最小值为 B．的最小值为的最大值为 C．的最小值大于的最小值大于 D．的最大值小于的最大值小于 73．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）如图1，某款文件边角夹是由两个全等的，直角边长为厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成，图2展示了该文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为_____（结果精确到） 74．（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，为过圆柱轴的截面，其中为下底面直径，为母线，为下底面圆周上两点（不与重合），且与的交点为. (1)求证：平面； (2)设为母线AD的中点，，当二面角为钝二面角时.求的取值范围及此时二面角的最大值. 75．（25-26高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间直线与平面热点题型突破（十五大题型） 考点01 空间中四点共面问题 考点02 空间点共线和线共点问题 考点03 截面有关计算 考点04 斜二测画法有关计算 考点05 异面直线的判定与求异面直线的夹角 考点06 由异面直线求其他量 考点07 线面平行的证明与判定 考点08 线面平行的性质及有关计算 考点09 线面垂直的证明与判断 考点10 求点/直线到平面的距离 考点11 求线面角 考点12 面面平行的判定与性质 考点13 面面垂直的判定与性质 考点14 求二面角 考点15 线面角与二面角的最值与范围 考点01 空间中四点共面问题 1．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 【答案】(1)如图，连接，. 因为点、分别是线段、的中点，所以，. 因为，所以，，所以. 因为两条平行线可以确定一个平面，所以、、、在同一个平面上，即、、、四点共面. (2)由（1）知，，，， 所以四边形为梯形，梯形两腰必相交. 设直线与直线交于点. 因为，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面. 因为平面平面，所以点一定在交线上，即. 所以、、交于同一点，即、、三线共点. 【分析】（1）根据中位线定理、平行线分线段成比例及两条平行线确定一个平面定理证明即可. （2）根据平面的基本性质：两平面相交，公共点都在交线上证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26高二上·上海·开学考试）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【答案】(1) 如图，连接，    因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； (2) 【分析】（1）连接，利用平行的传递性证明即可； （2）表示出、，利用余弦定理求出 ，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 4．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】 证明：连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】略 5．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明：如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴ . ∵四边形为平行四边形，∴ ， ∴ ， ∴四点共面，即和共面． (2)证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴ ，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 考点02 空间点共线和线共点问题 6．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      7．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1) 因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． (2) 在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． (3) 因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．（22-23高二上·上海虹口·阶段检测）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1) 证明：连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 (2) 证明： 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. (3) 证明：延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点 ，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面 ，则在交线上. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    【答案】 【分析】先证明直线与直线交于，再证明过点即可. 【详解】由题意与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面. ∵平面平面，，∴直线共点. 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海·阶段检测）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 【答案】(1) 证明： ， ∥ ∥ ∥，所以四点共面； (2) 证明：∥，且，， ， 四边形EFGH为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD , 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面， ， EH，FG，BD三线共点. 【分析】（1）由线段成比例证∥，∥即可； （2）先证四边形EFGH为梯形其腰交于一点，再证该点同属于面BDC和面ABD即可. 【详解】（1）略 （2）略 考点03 截面有关计算 11．（25-26高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，（，）.记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为______. 【答案】 【分析】先确定当取最小时，为的中点，然后根据三角形全等求出，然后确定过点的三棱柱的截面为梯形，最后根据梯形的面积公式求出面积即可. 【详解】将绕翻折到平面内，则的最小值为点到直线距离， 所以，因为， 所以. 所以当取最小时，为的中点，因为为等边三角形，为的中点， 所以为的重心，故， 在平面中，延长交于点， 因为， 所以，故. 取的中点，为的中点，则， 因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 又，，所以，所以， 故过点的三棱柱的截面为梯形， ， 如下图，过作，设， 因为，则， 所以，则梯形的面积为. 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面. 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明：平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. GSP (2) 如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. GSP 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）略 （2）略 15．（23-24高二下·上海杨浦·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 _____（写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 【答案】①②④ 【分析】根据题意作出图形，由相关知识对选项一一判断即可得出答案. 【详解】①如图当时，即为中点，此时可得， ， 故可得截面为等腰梯形，故①正确；    ②当时，如图， 延长至，使，连接交于，连接交于， 连接，可证，由， 可得，故可得，故②正确；    ③由②可知当时，只需点上移即可， 此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故③错误； ④当时，与重合，取的中点，连接， 可证，且， 可知截面为为菱形，故其面积为，故④正确．    故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的依据如下：（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质；（4）球的截面的性质． 考点04 斜二测画法有关计算 16．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则直线与直线所成的夹角大小是______． 【答案】 【详解】因为，所以设， 根据斜二测画法的规则，原图形中，，，，且． 如图建立平面直角坐标系， 设，， 设直线与直线所成的夹角为， 则， ，. 故直线与直线所成的夹角大小是 . 17．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 【答案】 【详解】由题意可知，直观图是一个矩形， 因为，， 所以直观图的面积 根据斜二测画法的性质，原平面图形的面积与直观图面积满足关系， 所以原图形的面积 则原图形面积为． 18．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则平面四边形的周长为______．    【答案】20 【分析】根据斜二测画法的规则，结合直观图中矩形的性质及边角关系，还原出原平面四边形的几何特征及各边长度，进而求得周长 【详解】由题意可知，直观图为矩形，且，． 由图可知，在轴上，在轴上． 因为四边形是矩形，所以，即轴． 在中，，， 所以，． 根据斜二测画法的规则可知原图形中， 点在轴上，、点在轴上，且． ， ， ． 直观图中且，还原后且． 直观图中且，还原后且． 在中，由勾股定理得：． 所以．又因为， 所以平面四边形的周长为． 19．（25-26高一下·上海·期末）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的周长为________． 【答案】 【详解】作出的图形如下图所示： 由题意可知，，且， 由勾股定理可得， 故的周长为. 20．（25-26高一下·上海·期末）如图，是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中，则△ABC的面积为________． 【答案】 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以△ABC的面积为. 考点05 异面直线的判定与求异面直线的夹角 21．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）如图，已知E、F分别是正方体的棱、的中点．    (1)求证：A，E，F，C在同一个平面上； (2)求证：与是异面直线． 【答案】(1) 连接，，， 因为E、F分别是棱、的中点， 所以是的中位线， 所以， 在正方体中，侧棱，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为两条平行直线确定一个平面，所以点A，E，F，C在同一个平面上. (2)取上底面所在的平面为平面， 因为，，所以直线与平面相交于点， 因为，，所以直线平面， 因为点是的中点， 是从的中点向顶点的连线，显然不过另一顶点， 所以根据异面直线的判定定理，与是异面直线. 【详解】（1）略. （2）略. 22．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点， (1)证明：直线与是异面直线； (2)求异面直线与所成角. 【答案】(1)由平面， 又平面，， 所以直线与是异面直线. (2) 【分析】（1）根据异面直线的判定定理即可得证； （2）取中点，可证明，从而异面直线与所成角即为直线与所成角，为，再通过余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接，，， 因为是中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，为. 由题意知，， 故在△ 中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角为. 23．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，在正方体中，点，分别是，的中点． (1)求证：和共面： (2)求证：和是异面直线，并求和所成角的大小． 【答案】(1)连接，，，如图， 因为为正方体，所以. 又，分别为，的中点，所以. 所以. 所以，，，四点共面，所以和共面. (2)因为平面，平面，，平面， 所以直线与是异面直线. 连接. 因为，所以为异面直线与所成的角. 在中，，所以， 所以，即异面直线与所成的角为. 【分析】（1）根据直线与的位置关系进行判断. （2）先利用异面直线的判定定理证明和异面，再构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求异面直线所成的角. 【详解】（1）略 （2）略 24．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，沿虚线折成四面体后，如图， 点与点重合，所以直线与相交，不是异面直线； 对B，沿虚线折成四面体后，如图， ，所以直线与不是异面直线； 对C，沿虚线折成四面体后，如图， 可得直线与异面； 对D，沿虚线折成四面体后，如图， 点与点重合，所以直线与相交，不是异面直线. 25．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，在空间四边形中，，分别是棱，的中点，对角线，，求异面直线与所成角的大小． 【答案】 【分析】取中点，连接，根据已知及异面直线所成角的定义，应用余弦定理求角的大小． 【详解】如图，取中点，连接，又分别是的中点， 所以，则异面直线与所成角为或其补角， 由， 则， 又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为． 考点06 由异面直线求其他量 26．（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 27．（23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 【答案】或 【分析】取中点，连接，，即可得到为异面直线与所成的角（或补角），再由余弦定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以或， 当时，由余弦定理， 所以； 当时，由余弦定理， 所以； 综上可得或. 故答案为：或 28．（25-26高二上·上海·阶段检测）空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 【答案】或. 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成角为或其补角，分、两种情况讨论，结合余弦定理可求得线段的长. 【详解】取线段的中点，连接、，    在四面体中，，，、分别为、的中点，为的中点， 所以，，，且，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为异面直线与所成角为，则或. 当时，由余弦定理可得 . 当时，由余弦定理可得 . 综上所述，或. 故答案为：或. 29．（24-25高二上·上海·阶段检测）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 30．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 考点07 线面平行的证明与判定 31．（26-27高二上·上海·阶段检测）已知m，n为空间中两条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，则是的________条件 【答案】充要 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理即可判断. 【详解】充分性：，，， 由 可得：； 必要性： 由可得：. 32．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）（用空间向量方法解答不给分）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：平行于平面． 【答案】(1)四边形MNPQ为菱形，理由如下： 在中，为中位线，所以平行且等于. 同理，在中，为中位线，所以平行且等于. 所以平行且等于，所以四边形为平行四边形. 同理平行且等于，因为，所以， 所以平行四边形为菱形. (2)由上可知，平行且等于， 因为平面，平面，， 所以平行于平面. 【详解】（1）略 （2）略 33．（25-26高二上·上海静安·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明： 连接，与交于点， 则为中点，又为中点， ∴，又平面，不在平面内， ∴平面． 【分析】（1）取中点，证明，从而得到异面直线与所成角的平面角，然后由余弦定理求得结果； （2）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行. 【详解】（1）取中点，连接， ∵是的中点，∴，∴就是异面直线与所成的角（或其补角）， 在△中，，，所以异面直线与所成的角的大小为； （2）略. 34．（26-27高二上·上海·阶段检测）如图，点是矩形所在平面外的一点，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若是等边三角形，求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点，则，且， 又因为是的中点，为矩形，则，且， 可得，且，可知为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）作辅助线，可证为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线与所成的角为（或的补角），进而可得结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，且， 可知异面直线与所成的角为（或的补角）， 又因为是等边三角形，为的中点，则， 所以异面直线与所成的角的大小为. 35．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    【答案】 由题意可知，对角面是正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【分析】由题意可知对角面是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】略 考点08 线面平行的性质及有关计算 36．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在三棱柱中，点E是棱的中点，点D是棱上的一点，且平面，则_______． 【答案】 【详解】连接，交于点，再连接， 如图所示，则， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以． 37．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【答案】 【分析】连接，连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的性质列式求解. 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 38．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，可得结论. 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以， 所以.    故答案为：. 39．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理可得，所以在中，再由正方体的棱长为2，代入数据即可求解. 【详解】如图所示，因为平面，平面，平面平面, 所以，所以在中，, 因为正方体的棱长为2，所以，， 因为，所以，所以. 故答案为： 40．（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 【答案】2 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，则，即. 故答案为：2. 考点09 线面垂直的证明与判断 41．（26-27高二上·上海奉贤·阶段检测）如图，已知矩形所在的平面，分别为的中点，，，． (1)求直线与平面所成角大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：如图，取的中点，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 由（1）知为等腰直角三角形，所以， 因为，平面，所以平面． 又因为，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面． 【详解】（1）因为平面，所以是在平面内的射影， 所以即为与平面所成角， 又因为平面，所以， 又，， 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角大小为； （2）略 42．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）在正方形中，、分别是、的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折起，使、、三点重合，重合后的点记为，那么（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】先根据折叠前垂直关系推出折叠后的垂直关系，再利用线面垂直判定定理证得选项D正确，找出矛盾可排除选项A、B、C. 【详解】折叠前，在正方形中，， ，折叠后重合为点， 垂直关系保留，如图，, 又，平面， ∴平面，选项D正确； 选项A，假设平面，则， 与已知矛盾，A错误； 选项B，∵平面，∴①， 假设平面，则，与条件① 矛盾，B错误； 选项C，同理，假设平面，则， 与条件①矛盾，C错误； 43．（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明： 平面，平面， ， 又，平面， 平面； 【分析】（1）连接，求出，利用线面垂直的性质得到，求出，再由异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求角即可； （2）又线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定证明即可． 【详解】（1）解：连接，    则， 平面，平面， ， ， ， 就是异面直线与所成角或其补角， ， 故异面直线与所成角的大小为； （2）略 44．（25-26高二上·上海·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 【答案】(1)证明如下： 因为，故， 又，，由直角梯形可得必定相交， 且平面，所以平面， 而平面，故. 由结合可得， 而平面，故平面， 而平面，故. (2)则梯形为四棱锥过点的截面， 【分析】（1）利用空间垂直关系的转化可得平面，故可证； （2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长. 【详解】（1）略 （2）取线段的中点，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段中点，所以， 所以，则梯形为四棱锥过点的截面， 则，，， 在中，，， 所以，则， 所以截面周长为. 45．（24-25高一下·上海·期末）如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由： 当点为的中点时，与平面平行． 在中，分别为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． (2)是，定值． 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可判断； （2）根据线面垂直的性质定理及判定定理可得，即可判断. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面， 所以，又， ，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，点是的中点， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面 所以． 即无论点在边的何处，与所成角都是定值． 考点10 求点/直线到平面的距离 46．（25-26高一下·上海·期末）在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据条件，易得平面，从而将线面距转化成点面距，过作于，根据条件可得平面，再根据条件，利用几何关系，即可求解. 【详解】由题意得，又平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离， 过作于， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又，，所以， 在中，，所以， 所以直线到平面的距离为. 47．（25-26高二上·上海·阶段检测）在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________． 【答案】 【分析】过点作，过点作，垂足为,可以证明 平面MBCN,然后在直角三角形中利用等面积转化计算即得. 【详解】 如图，过点作，分别交和于,连接,, 过点作，垂足为,∵，，∴， ∴平面与平面重合, ∵直棱柱，∴平面, 又平面,∴,又∵，且, ∴平面, ∵,∴,又∵,∴, 在三角形中，,. 故答案为：. 48．（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【答案】(1) 连接交于点，连接， 如图所示：    因为四边形为菱形，所以为的中点， 所以在中有，由分别是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以直线与直线没有公共点， 即直线与直线不相交. (2) 【分析】（1）先证明平面，然后分析直线与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，点为中点， 所以平面即平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形为菱形，且， 所以菱形为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为的高， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 49．（25-26高二上·上海·期中）在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 【答案】/ 【分析】利用等体积法来求点到面的距离即可求解. 【详解】    如图， 易知为的中位线，故平面，平面，所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以， 即， 设点到平面的距离为， 则根据， 解得， 所以直线与平面的距离为， 故答案为： 50．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时，使得点到平面的距离为 【分析】（1）首先证明平面得到，再由得到为异面直线与所成角，最后由锐角三角函数计算可得； （2）假设边上存在一点满足题设条件，作，即可得到平面，再由三角形相似求出，即可求出. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为底面是矩形，所以， 又，平面， 所以平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以， 所以为异面直线与所成的角， 又因为，, 所以， 在中，， 故异面直线与所成角的大小为； （2）假设边上存在一点满足题设条件，过点作于点，如图所示： 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，所以为点到平面的距离，即， 又，，， 所以， 所以，所以，即，所以， 所以， 故存在点，当时，使得点到平面的距离为； 考点11 求线面角 51．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)证明：； (2)求与面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：已知是直四棱柱， 则平面， 平面， ． ∵四边形是菱形， ， 又平面， 平面， 平面， ． (2) 【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证平面，即可得到线线垂直； （2）由（1）知平面，可得为与面所成的角，利用余弦定理以及勾股定理求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，平面， 为与面所成的角， 已知，， 由余弦定理可得， 所以，则． 在中，， 所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 则与面所成角的余弦值为． 52．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)设中点为，连接，.如图， 因为为中点，所以，平面，平面，所以平面. 又为中点，四边形为矩形，所以，平面，平面，所以平面. 又， 平面，，所以平面 平面. 又平面，平面，所以. 又，，平面，，所以平面. 所以平面，又面，所以. 又，， 在中，，，所以. 又为中点，所以. 又，平面，，所以平面. (2) 【分析】（1）先根据面面平行的判定定理证明平面 平面，再证平面，从而平面，再根据线面垂直的性质证明，再证，即可得线面垂直. （2）构造直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角即可. 【详解】（1）略 （2）连接，交于，连接，. 则为中点，所以. 又平面，所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中，，，， 所以，所以. 即直线与平面所成的角为. 53．（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径. (1)若是弦的中点，且 平面，求的值； (2)若，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1) (2)（或）. 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得，从而得解； （2）根据题意，是在平面上的射影，从而，且，作圆柱的母线，则连接，则或其补角为异面直线与所成的角，余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 平面平面， 所以，又是弦的中点， 所以为的中点，； （2）依题意，在中，， 所以， 因为平面 是在平面上的射影，从而， 则， 作圆柱的母线，则连接，则四边形是矩形， 或其补角为异面直线与所成的角， 在中，， 异面直线与所成的角为（或）. 54．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 【答案】3 【分析】利用四面体的几何性质，结合等边、等腰三角形的性质，利用勾股定理计算相关边长，进而求解． 【详解】作的中点，连接，，是等边三角形， ，即为与平面所成角， 作为在平面内的投影，则在上，，， ，， ， ， 在直角中，， ． 故答案为：3． 55．（23-24高二下·上海·阶段检测）在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为__________. 【答案】 【分析】根据线面角的定义得即为直线与平面所成的角，在中由可得结果. 【详解】连接，因为在正四棱柱 中，所以平面， 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角，即 设正四棱柱的高为h，又，在中，， 解得， 故答案为：. 考点12 面面平行的判定与性质 56．（25-26高二上·上海长宁·期末）在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】利用面面平行判定定理结合已知条件求出的轨迹，再求出点的轨迹长度． 【详解】 、、分别是棱、、的中点， ，平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面， 平面平面， 直线与平面无交点，等价于平面， 平面，且平面平面， 平面时，平面， 是正方体表面的点， 轨迹为平面与正方体表面的交线，即的三边， 正方体边长为2， ，，， 点的轨迹长度为，故D正确． 故选：D． 57．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： (1)直线与直线异面； (2)平面平面. 【答案】(1)由直线平面， 又平面， 所以直线与直线异面； (2)由，得，在正方体中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【分析】（1）利用异面直线的判定定理即可得证； （2）利用面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 58．（26-27高二上·上海黄浦·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明： ； (2)求证： 平面； (3)直线上是否存在点，使得平面 平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为 平面平面， 所以 平面， 又平面平面平面，所以 . (2)取中点，连接， 则在中， ， 又在中， ， 则 ， 即四边形为平行四边形，所以 ， 又平面平面，所以 平面. (3)存在，为中点；当为中点时，平面 平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中， ， 又平面平面，则 平面， 同理可证， 平面， 又平面 ， 所以平面 平面. 【分析】（1）先证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过构造辅助线，在平面找到与平行的线，利用线面平行的判定定理可证明. （3）构造中点，面面平行的判定定理证明平面 平面，可确定的位置. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 59．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知：，垂直平面，，，为中点． (1)求直线与平面所成的角； (2)如图若平面 平面，求证是的中点． 【答案】(1) (2)证明： ∵平面 平面，平面 平面，平面 平面，∴， ∵在中，为中点，，∴为中点， ∵平面 平面，平面 平面，平面 平面，∴， ∵在中，为中点，，∴为中点. 【分析】（1）连接，根据线面角定义可知是直线与平面所成的角，再由已知条件计算即可； （2）根据面面平行的性质定理证得，，再根据三角形中位线定理即可证明. 【详解】（1）连接，∵垂直平面，∴是直线与平面所成的角， ∵垂直平面，平面，∴， ∵，，，∴， 又为的中点，∴， 在直角中，，∴； （2）略 60．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】(1) 证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 (2) 证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 (3) 线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； （3）作出点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 考点13 面面垂直的判定与性质 61．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，正方体，，E为上任一点，有四个结论： ①平面平面，②平面平面， ③，④平面平面． 其中正确结论的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】逐个分析四个结论： ①平面平面 在正方体中，因为，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以平面. 平面，平面，，所以平面平面，正确. ②平面平面 在正方体中，因为，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面，正确. ③ 在正方体中，，，平面，， 所以平面，平面，所以，正确. ④平面平面 在正方体中，因为，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 是平面和平面的交线，，平面， 所以平面， 平面，所以平面平面，正确. 综上，①②③④4个结论均正确. 62．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图几何体中，底面为正方形，平面，，求证： (1)平面平面； (2)平面平面； 【答案】(1)由四边形为正方形，所以， 又平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； (2)由四边形为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 63．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）如图，底面是等腰梯形，，，，是平面外一点，是边长为的等边三角形． (1)在图中作出平面与平面的交线为（保留作图痕迹）； (2)若，求证：平面平面． 【答案】(1)延长，交于点，连接，直线即为所求交线． (2) 在平面内，过点作于，，，所以， 在中，，，， 在中，， 所以， 因为，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【分析】（1）利用平面基本性质，找两平面的两个公共点，连线就是交线； （2）在底面等腰梯形中，计算边长，用勾股逆定理证，结合已知证得平面，再由面面垂直判定定理完成证明． 【详解】（1）延长，交于点，连接，直线即为所求交线． 是两平面一个公共点， 因为平面，平面， 所以是两平面另一个公共点， 因此直线为平面与平面的交线． （2）略 64．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知梯形 ；E为线段上一动点，过点E作交线段于点F，连接，将沿翻折． (1)当平面平面时，若，求：到平面的距离； (2)若三棱锥体积和 同时达到最大值，求：与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，过点作，根据平面知识求出梯形各边长，再利用面面垂直可证明出平面，即可证明平面平面，从而可得平面，再利用比例关系即可求解到平面的距离； （2）利用三棱锥的体积在平面平面时取得，再利用面积计算公式，结合平行线分线段成比例来求面积比值的最大值，即可得为三角形的中位线，从而可证明平面，即可得线面角的大小. 【详解】（1） 过点作，垂足为，由，可知为中点. 因为，所以可设， 因为为中点，所以，即， 又因为所以，即， 所以，即， 所以. 又因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面， 又因为平面平面，在平面内，过点作， 所以平面. 在直角三角形中，， 即点到平面的距离为 又因为，所以， 则点到平面的距离等于点到平面的距离的倍，即， 因为，所以到平面的距离为. （2）要使得三棱锥体积达到最大值，则满足平面平面， 由平面平面，，平面， 所以平面. 由， 因为，所以可设， 则， 即当时，取到最大值，此时与重合，为三角形的中位线， 此时平面， 故与平面所成角的大小为. 65．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段的中点，求证：平面． 【答案】(1)矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，即平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，且平面，所以， 因为，所以， 又是上异于，的点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)由是的中点，连接交于点，连接，如图所示： 由中位线定理得；又平面，平面， 所以平面． 【分析】（1）通过证明平面，再证明平面平面； （2）利用中位线定理和直线与平面平行的判定定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 考点14 求二面角 66．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）在长方体中，，，，则二面角的大小为______． 【答案】/ 【分析】先连接，过点作于，连接，再根据线面垂直的判定和性质证明，从而得到二面角的平面角，进而根据三角形的面积公式，勾股定理，及三角函数的定义即可求解． 【详解】连接，过点作于，连接， 在长方体中，有平面， 由平面，则， 又，，且平面，所以平面， 又平面，则， 所以是二面角的平面角． 在中，有，，则， 所以，即， 在中，有，所以， 所以二面角的大小为． 67．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点P在平面外且平面． (1)求点到平面的距离； (2)求证：平面平面； (3)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2)，， 即有，故， 由平面，且平面，故， 又，且、平面，故平面， 又平面，故平面平面； (3) 【分析】（1）借助线面垂直性质定理与线面垂直判定定理可得平面，即的长度即为点到平面的距离，即可得解； （2）借助勾股定理的逆定理可得，再利用线面垂直性质定理与线面垂直判定定理可得平面，即可得证； （3）借助二面角定义可得即为二面角的平面角，再利用三角函数计算即可得. 【详解】（1）由平面，且平面，故， 又，且，、平面， 故平面，故的长度即为点到平面的距离， 即点到平面的距离为； （2）略 （3）由（2）知平面，， 又平面，故， 又平面平面， 故即为二面角的平面角， 由平面，且平面，故， 故， 即二面角的余弦值为. 68．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，． (1)证明：平面平面； (2)若，， （ⅰ）求的长； （ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：连接交于，连接． 因为四边形是正方形，所以． 在和中， ，，． 是的中点，． 因为四边形是正方形，且是其对角线交点， ，，且平面， 平面， 又平面，∴平面平面． (2) （ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）连接交于，连接．根据正方形的性质可证得， 从而有，进而得到平面，最后证得平面平面； （2）（ⅰ）先由余弦定理得到的长，再使用勾股定理求出的长，最后在和中，由余弦定理求出的长； （ⅱ）由勾股定理逆定理可知，结合（1）可得平面平面，可得到线面垂直，进而得到，再利用线线平行证得 平面，同理可得 平面，可知平面与平面的交线为，又，那么为平面与平面夹角，通过解三角形即可求解． 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）已知，，， 结合余弦定理可得， 又， 由（1）知， 则在中，． 在和中，根据余弦定理可得： ， 在正方形中，，， 则，解得． （ⅱ）因为，，， 所以，故， 由（1）可得平面平面， 又平面平面，平面， 可得平面， 因为平面，可得， 因为,平面，平面，所以 平面， 同理可得 平面， 设平面平面，由 平面，平面， 可得， 同理可得， 又因为，所以， 故为平面与平面所成的锐二面角为， 所以. 69．（26-27高二上·上海·阶段检测）如图1，正的边长为，是边上的高，，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折，使平面平面，如图2． (1)试判断翻折后直线与的位置关系，无需说明理由； (2)求二面角的大小； (3)若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由线段比例关系，根据平行线分线段成比例定理，可得； （2）利用面面垂直的性质定理证明平面，作出二面角的平面角，在直角三角形中计算该角的正切值，从而得到二面角大小； （3）由，得到（或其补角）为异面直线与所成角，利用余弦定理求出的表达式，代入异面直线夹角的余弦公式建立关于的方程，解方程求得的值. 【详解】（1），理由如下： 在中，， 故翻折后，直线与的位置关系为； （2）过D点作于点G，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的大小为； （3）因为，所以（或其补角）是异面直线与所成的角， 因为，所以， 又，， 所以 ， 所以．即， 解得. 70．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点． (1)若D为中点，求异面直线BD与EF所成角的大小； (2)若求平面与平面DFE所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）根据直三棱柱且底面为直角三角形，即可取三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，通过线线角，二面角与向量角之间的关系即可借助空间向量计算． 【详解】（1）三棱柱为直三棱柱，底面； 又， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系； ，且侧面为正方形， ； E，F分别为AC和的中点，D为中点， ； ，； 设异面直线BD与EF所成角为， 则； 故异面直线BD与EF所成角的大小为； （2） ， ；则； 取为平面法向量； 设平面的法向量， ，；解得； 令，则； ； 平面与平面DFE所成锐二面角的余弦值为． 考点15 线面角与二面角的最值与范围 71．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 72．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且 平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（    ） A．的最小值为的最小值为 B．的最小值为的最大值为 C．的最小值大于的最小值大于 D．的最大值小于的最大值小于 【答案】A 【分析】根据题意作图，首先找到点的轨迹，构造出，再分析极端位置的情况，分别求出后，找到进行比较即可得到结果. 【详解】 如图，取的中点，连接； 设正方体的棱长为， 因为，且平面，平面， 平面； 同理 平面，且； ∴平面 平面，∴; ∵面，所以与平面所成的角为； 又， 所以与所成的角为（或其补角）； ； 当为中点时，此时最小，则最大，最大值为，此时的最大值为； 当与或重合时，此时最大，则最小，最小值为2，此时的最小值为； ，； 对于，当为中点时，； 当与或重合时，最小，又， ， ， ，，故A正确，BC错误， 又，，所以D选项错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先分析出点轨迹，再根据线线角和线面角的定义在图中找到该角，分析极端情况即可得到其角度范围. 73．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）如图1，某款文件边角夹是由两个全等的，直角边长为厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成，图2展示了该文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为_____（结果精确到） 【答案】 【分析】由题知直角顶点到中位线的距离为 ，再结合纸张的厚度与二面角的平面角的关系求解即可. 【详解】因为等腰直角三角形的直角边长为，所以斜边上的高为， 因为中位线平行于斜边， 所以直角顶点到中位线的距离为， 设边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角为， 则纸张的厚度为 ，即 ， 因为边角夹按压后能够夹起总厚度为厘米的一沓纸张， 所以 ，解得 ， 所以，所求二面角的平面角至少为. 74．（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，为过圆柱轴的截面，其中为下底面直径，为母线，为下底面圆周上两点（不与重合），且与的交点为. (1)求证：平面； (2)设为母线AD的中点，，当二面角为钝二面角时.求的取值范围及此时二面角的最大值. 【答案】(1) 由题意可知底面， 又底面，所以， 因为平面， 所以平面； (2)， 【分析】（1）利用圆柱的特征及线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）利用二面角的定义先确定其一个平面角，再根据勾股定理及余弦定理计算夹角，得出参数范围，将二面角的平面角化为其补角的正切，利用正切的和角公式及基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）略 （2）连接，易知M为的中点，平面， 由上可知， 则即二面角的一个平面角，显然， 设，易知， 由余弦定理可知， 即，解不等式可得， 易知， 当二面角为钝二面角时，， 所以 ， 当且仅当，即时取得等号， 则，所以. 75．（25-26高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 【答案】(1) 如图，因为，所以，连接， 因，，则为等边三角形， 又点为棱的中点，故，因平面， 故平面，因面，故. (2) (3) 【分析】（1）根据题设先证明和，由线线垂直推出平面，再由线面垂直的性质即可得证； （2）由（1）易得即为二面角的平面角，先证明平面，得到，在中，利用三角函数的定义和反三角函数即可求得； （3）根据（1）、（2）两题结论，易得，设，有，可得.过点作的垂线，垂足为，证明平面得到，借助于直角三角形求出，将上述结论代入中，整理成关于的正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其最大值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得：，， 则即为二面角的平面角， 因为边长为2的等边三角形，则， 由，可得， 又，平面，故平面， 因平面，则， 在中，因， 则. 所以二面角的大小为. （3）由（1）、（2）得：，因平面， 则得平面，又平面 则可得，且，设，则， 过点作的垂线，垂足为，因平面 平面则， 因平面，故平面，所以， 在中，，在中，， 在中，， 在中，， 所以 （其中是锐角，满足）， 由题意，是线段上的一动点，且， 在中，，则 因，则，即， 故当时，即时， 取得最大值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $