精品解析：上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

上海财经大学附属北郊高级中学2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分） 1. 双曲线的两条渐近线的方程为______. 2. 若与的两边分别平行，且，则__________. 3. 若与平行，则为__________． 4. 已知抛物线上一点，则点到抛物线焦点的距离等于______________． 5. 圆的半径等于______. 6. 如图，是水平放置的的直观图，且，，则的周长为______． 7. 已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为________. 8. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________. 9. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 10. 已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则的最大值为______. 11. 若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________. 12. 已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 二、选择题（共4题，13、14题每题3分，15、16题每题4分，满分14分） 13. 已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 96 15. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． （1）以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 18. 如图，已知、分别是正方体的棱、的中点． （1）求证：、、、在同一个平面上； （2）求证：与是异面直线并求出异面直线与所成角的大小． 19. 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 （1）若直线恒过定点，求出点坐标； （2）求弦中点的轨迹方程； （3）相交弦长度的最小值及相应的的值． 20. 已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． （1）求点到直线的距离； （2）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （3）若直线的斜率为，且，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海财经大学附属北郊高级中学2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分） 1. 双曲线的两条渐近线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，直接求解. 【详解】由条件可知，， 则双曲线的渐近线方程. 故答案为： 2. 若与的两边分别平行，且，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】两角的两边分别平行时，两角相等或互补 【详解】 当两角的两边分别平行时，两角相等或互补，如图所示，角B为或 故答案为：或 3. 若与平行，则为__________． 【答案】 0 【解析】 【详解】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 4. 已知抛物线上一点，则点到抛物线焦点的距离等于______________． 【答案】4. 【解析】 【详解】分析：把点代入抛物线方程，解得．利用抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离． 详解：把点代入抛物线方程可得：，解得 ． ∴点到抛物线焦点的距离 ． 故答案为4． 点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5. 圆的半径等于______. 【答案】 【解析】 【分析】化简圆的方程为标准方程，即可求得圆的半径. 【详解】由圆，可化为 所以圆的半径为. 故答案为：. 6. 如图，是水平放置的的直观图，且，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出的图形，计算出该三角形各边边长，即可得出该三角形的周长. 【详解】作出的图形如下图所示： 由图可知，为直角三角形，且，，， 由勾股定理可得， 所以，的周长为. 故答案为：, 7. 已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程求解作答. 【详解】依题意，直线的斜率，因为，因此直线的斜率为，直线过点， 所以直线的方程为. 故答案为： 8. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】 分直线过原点不不过原点两种情况，当直线过原点时，设直线方程是，当直线不过原点时，这直线. 【详解】当直线过于原点时，设直线，代入点，得， 所以直线方程是，即， 当直线不过原点时，设直线方程，代入点，得，解得， 所以直线方程是. 故答案为：或 9. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆与双曲线焦点相同建立方程求出参数即可. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴上， 设半焦距为，由双曲线性质得：， 因为椭圆与双曲线焦点相同，故椭圆的焦点也在轴上，即， 由椭圆的性质得：， 所以，即，由，解得：. 10. 已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则的最大值为______. 【答案】15 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和.因此连接，根据椭圆的定义得.再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在延长线上时，达到最大值，从而得到本题答案. 【详解】∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和 连接，根据椭圆的定义，得，可得 因此 当且仅当点P在延长线上时，等号成立 综上所述，可得的最大值为15 故答案为：15 【点睛】本题考查了椭圆相关距离的最值，变换得到是解题的关键. 11. 若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意求出抛物线的准线方程为，分别讨论和时曲线所表示的图形，即可求解. 【详解】抛物线的准线为， 当时，表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点 所以， 若与曲线只有一个交点， 则，解得， 当时，表示双曲线的在轴上方部分即上支， 此时， 此时满足与曲线只有一个交点，所以， 综上所述：实数满足的条件是或， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是分和两种情况讨论，得到曲线是我们熟悉的椭圆与双曲线的一部分，数形结合可得的范围. 12. 已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 二、选择题（共4题，13、14题每题3分，15、16题每题4分，满分14分） 13. 已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立． 【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上， 因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立； “这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立， 所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】结合椭圆的定义与直角三角形的勾股定理，求出两条焦半径的乘积，进而计算焦点三角形的面积. 【详解】对于椭圆，得，， 因此，，故, 设，,根据椭圆的定义，得，所以, 由，为直角三角形，根据勾股定理得, 即 ，解得, 因此的面积. 15. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 16. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． （1）以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）根据抛物线顶点在原点且开口向下设出标准方程，利用隧道截面尺寸确定抛物线上一点的坐标，代入求解即可； （2）根据行车道宽度确定车辆边缘的横坐标，代入抛物线方程求出隧道顶部对应点的纵坐标，结合安全高度差即可计算车辆限制高度. 【小问1详解】 由题意知，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且开口向下，故设抛物线的方程为， 由图可知，隧道截面总宽度为米，总高度为米，长方形部分高度为米，则抛物线部分的高度为米. 因为抛物线关于轴对称，所以点的横坐标为， 又因为点在轴下方米处，所以点的纵坐标为，即. 将点代入方程，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 又因为隧道宽度为米，所以的取值范围是， 故该抛物线的方程为. 【小问2详解】 因为行车道总宽度为米，且关于轴对称， 所以车辆最外侧边缘的横坐标为或. 不妨取，代入抛物线方程，得，解得. 此时，隧道顶部在处距离地面的高度为米. 设通过隧道的车辆限制高度为米， 根据题意， 要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米， 即，即，解得. 故通过隧道的车辆限制高度为米. 18. 如图，已知、分别是正方体的棱、的中点． （1）求证：、、、在同一个平面上； （2）求证：与是异面直线并求出异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）连接、，因为是中点，所以是中位线，所以， 正方体中，，由平行传递性，得， 与是两条平行直线，两平行直线确定唯一平面，所以四点在同一个平面上； （2） 假设直线与不是异面直线，则直线与共面， 因为直线和这条直线外的一点能确定一个平面，即为平面， 因为与共面，所以点在平面上， 但是，在正方体中，点不在平面上，矛盾，故假设不成立， 因此与是异面直线； 异面直线与所成的角的大小为. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方体的棱长为2,如图，取的中点，连接、, 因为是棱的中点，是棱的中点，所以 ，， 故就是异面直线与所成的角或其补角, 在中，，, , ，， 由余弦定理，得, 于是, 因此异面直线与所成的角的大小为. 19. 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 （1）若直线恒过定点，求出点坐标； （2）求弦中点的轨迹方程； （3）相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】（1） 定点的坐标为； （2） 弦中点的轨迹方程为（圆内部的部分）； （3） 弦长度的最小值为，对应的。 【解析】 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【小问1详解】  对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. 【小问2详解】 设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ，  展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. 【小问3详解】 设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 20. 已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． （1）求点到直线的距离； （2）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （3）若直线的斜率为，且，求实数的值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据椭圆方程求得焦点、上顶点坐标，写出直线的一般式，再用点到直线距离公式计算； （2） 设出点坐标，将向量数量积转化为坐标表达式，结合椭圆方程消元后根据的取值范围求最值； （3） 设直线的方程与椭圆联立，利用韦达定理结合向量垂直的坐标条件列方程求解，并验证判别式保证有两个交点。 【小问1详解】 由题可知， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为； 【小问2详解】 设，其中，， ， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值； 【小问3详解】 设直线的方程为， 联立，消去整理可得， 则，解得， 且， 因为，所以， 因为， 即， 整理可得， 即， 即，即， 解得或，都符合， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $