浙江省金华市外国语学校2026～2027学年高一上学期十月素养测试数学试卷

2026年金外高一年级十月素养测试数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分为 150 分。考试用时 120 分钟。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．若非空且互不相等的集合 ，， 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 6．已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．，，，则 ，，， 由大到小的顺序是（　　） A． B． C． D． 8．设函数 ，若 是 的最小值，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题均有多个选项符合题目要求。） 9．下列选项的两个函数为同一函数的有（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 10．已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． B．若 ，则 的值是 或 C． 的值域为 D． 的解集为 11．已知正实数 ，， 满足 ，则下列结论正确的有（　　） A． 的最小值为 B． 的最大值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．“”是“”的______条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 13．若 ，，且 ，则 的最小值为______． 14．已知函数 ，若对于任意的 ，，且 ，都有 成立，则实数 的取值范围是______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13 分）已知集合 ，，全集 ． (1)求 ，； (2)求 ． 16．（15 分）已知函数 ． (1)判断函数 在 上的单调性并用定义证明； (2)若函数 满足不等式 ，求实数 的取值范围． 17．（15 分）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为 2300 万元，每生产 万件，需另投入可变成本 万元，且，已知当年产量为 10 万件时，需另投入可变成本为 16600 万元．由市场调研知，该组件每件的售价为 2000 元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润 （万元）与年产量 （万件）的关系式（利润销售收入成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18．（17 分）设函数 ． (1)若命题 ：， 是假命题，求 的取值范围； (2)若命题 ：， 是真命题，求 的取值范围； (3)若命题 、 至多有一个为真命题，求实数 的取值范围． 19．（17 分）已知 ，，函数 ，． (1)讨论 的单调性； (2)设 ，若 的最大值为 ，求 . 的取值范围． 数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年金外高一十月素养测试 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A C D A D D BCD ACD BCD 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】全称量词命题的否定：改量词（）、否结论． 【解答】“，”的否定是“，”，选 D． 2．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解两个集合，再求交集． 【解答】由 得 或 ，所以 ； 由 得 ，即 ，又 ，所以 ， 所以 ，选 B． 3．若非空且互不相等的集合 ，， 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把两个条件都“翻译”成包含关系． 【解答】由 得 ；由 得 ， 所以 ，故 ，选 A． 4．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】偶次根式的被开方数非负，且分母不为零． 【解答】由 得 ；又 ， 所以定义域为 ，选 C． 5．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求定义域，再用复合函数“同增异减”判断． 【解答】由 得 ，即定义域为 ； 令 ，它在 上递增、在 上递减，而 递增， 所以 的单调递减区间为 ，选 D． 6．已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 即 中没有负数；注意 也符合，再按判别式讨论． 【解答】设方程的两根为 ，，则 ，，． 当 ，即 时，，符合题意； 当 时，要使 中没有负数，需 且 ，即 且 ，所以 ，结合 得 ， 综上 ，选 A． 7．，，，则 ，，， 由大到小的顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“真分数加正数后变大”与不等式性质比较四个式子． 【解答】因为 ，，所以 ，且 ，即 ； 又 ，，所以 ； 而 ，所以 ，选 D． 8．设函数 ，若 是 的最小值，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 是最小值需同时满足：右支的最小值不小于 ，左支也处处不小于 ． 【解答】． 当 时，，所以需 ，即 ，解得 ； 当 时， 恒成立，即 对一切 成立，需 ，即 ， 综上 ，选 D． 9．下列选项的两个函数为同一函数的有（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】BCD 【分析】同一函数要求定义域与对应关系都相同，逐项检验． 【解答】A：，与 的对应关系不同； B：（），（），定义域与对应关系都相同； C：，与 相同； D：自变量字母不同不影响函数，二者相同．故选 BCD． 10．已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． B．若 ，则 的值是 或 C． 的值域为 D． 的解集为 【答案】ACD 【分析】逐项计算：求值、解方程、求值域、解不等式． 【解答】A：，，所以 ，正确； B：当 时 得 ，不满足 ；当 时 得 ，所以 只能是 ，错误； C： 时 ； 时 ，所以值域为 ，正确； D： 时 得 ； 时 得 ，解集为 ，正确．故选 ACD． 11．已知正实数 ，， 满足 ，则下列结论正确的有（　　） A． 的最小值为 B． 的最大值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 【答案】BCD 【分析】逐项用基本不等式或消元求最值． 【解答】A：，最小值不是 ，错误； B：，而 、，消元得 （ 时取等号），正确； C：设 ，则 ，，，正确； D：设 ，，则 ，原式 ，当 （即 ）时取到最小值 ，正确．故选 BCD． 12．“”是“”的______条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】由 与 的推出关系判断． 【解答】若 ，则 ，此时 成立，充分性成立； 若 ，则 或 ，不一定有 ，必要性不成立， 所以是充分不必要条件． 13．若 ，，且 ，则 的最小值为______． 【答案】 【分析】换元：令 ，，把条件化为 ，再用 表示 ． 【解答】令 ，，由条件 得 ， 而 ，令 ， 则 ， 当且仅当 ，即 、 时取等号，所以最小值为 ． 14．已知函数 ，若对于任意的 ，，且 ，都有 成立，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【分析】把条件变形为 在 上单调递增． 【解答】条件即 ，因为 ，所以 ，即 在 上单调递增． 当 时，，需对称轴 ，即 ； 当 时，，需 ，即 ； 又分界处需 ：，即 ， 综上 ． 15．（13 分）已知集合 ，，全集 ． (1)求 ，； (2)求 ． 【答案】(1)，；(2) 【分析】先化简 ，再求交、并、补． 【解答】由 得 ，又 ． (1)，． (2)，， 所以 ． 16．（15 分）已知函数 ． (1)判断函数 在 上的单调性并用定义证明； (2)若函数 满足不等式 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 在 上单调递增（证明见解答）；(2) 或 【分析】(1)用单调性定义作差；(2)先算出 ，再用单调性把不等式化为 ． 【解答】(1)设 ，则 ， 因为 ，所以 ，，故 ， 所以 在 上单调递增． (2)，，因为 ，由单调性知 ， 解得 或 ． 17．（15 分）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为 2300 万元，每生产 万件，需另投入可变成本 万元，且，已知当年产量为 10 万件时，需另投入可变成本为 16600 万元．由市场调研知，该组件每件的售价为 2000 元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润 （万元）与年产量 （万件）的关系式（利润销售收入成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)；(2)年产量为 万件时利润最大，最大年利润为 万元 【分析】先由“产量 10 万件时可变成本 16600 万元”求 ，再分段写出利润并分别求最大值． 【解答】(1)由 时 得 ； 销售收入为 万元，成本为 万元， 所以 ． (2)当 时，，所以 时 取最大值 ； 当 时，，令 ， 则 ， 当且仅当 ，即 、 时取等号， 因为 ，所以年产量为 万件时利润最大，最大年利润为 万元． 18．（17 分）设函数 ． (1)若命题 ：， 是假命题，求 的取值范围； (2)若命题 ：， 是真命题，求 的取值范围； (3)若命题 、 至多有一个为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】(1)p 为假即 恒成立；(2)把不等式化为 在 上恒成立；(3)比较两个取值范围的交集． 【解答】(1)p 为假命题，即对任意实数 都有 ． 当 时， 恒成立；当 时，只需最大值 ，即 ；当 时不可能， 所以 ． (2)由 得 对 恒成立， 该二次函数开口向上，最大值在端点取得，故需 且 ，即 且 ， 所以 ． (3)p 为真的 的集合是 ，q 为真的 的集合是 ，两者没有公共元素， 所以不存在使命题 、 同时为真的 ，即对任意实数 ，、 至多有一个为真， 所以 ． 19．（17 分）已知 ，，函数 ，． (1)讨论 的单调性； (2)设 ，若 的最大值为 ，求 的取值范围． 【答案】(1)当 时 在 上单调递减；当 时 在 上单调递增，在 上单调递减；(2) 【分析】(1)按 、 讨论对称轴与区间的位置关系；(2)先说明 、，再比较顶点值，由最大值为 求解． 【解答】(1)当 时， 在 上单调递减； 当 时，，对称轴为 ， 若 ，即 ，则 在 上递减；若 ，即 ，则 在 上递增，在 上递减． (2)注意 ，，因为 ，所以 ． 当 时， 递减，故 的最大值为 ，得 ，此时 ； 当 时， 的最大值为 ， 若 ，得 ，由 得 ，即 ，结合 得 ， 此时 在 上递增，取值范围为 . ； 综上 ． 数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $