精品解析：浙江省湖州市第二中学2026～2027学年高一上学期十月考试数学试卷

湖州二中2026学年第一学期十月考试 高一数学试卷 命题老师：金可峰 审卷老师：陆丽 总分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合，按交集的概念求交集. 【详解】，又，所以. 故选：C 2. 命题：， 的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词，否结论.所以原命题的否定是， 3. 下列结论中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【详解】逐项利用不等式性质进行判断，注意反例和 的情形. 【解答】A 项，取 ，，则 ，但 ，错误； B 项，当 时不成立，错误； C 项，取 ，，则 ，错误； D 项，由 知 ，两边同除以 得 ，正确. 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式确定的范围，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由得． 若，则成立，故“”是“”的必要条件； 若，则不一定成立，故“”不是“”的充分条件． 故选：B． 5. 下列各组函数是相等函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】相等函数要求定义域和对应关系都相同，逐项比较. 【解答】对于A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，且 ，两函数相等，故A正确； 对于B，，，对应关系不同，不相等，故B错误； 对于C， 的定义域不含 ， 的定义域为 ，不相等，故C错误； 对于D，，与 对应关系不同，不相等，故D错误. 6. 设，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】对变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 7. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】按 、、 三种情况去绝对值解不等式. 【解答】当 时，，得 ； 当 时， 不成立； 当 时，，即 .因为 ，两边同除以 得 ，即 ； 综上，解集为 ，故B正确. 8. 已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出维恩图，再根据维恩图分析判断得解. 【详解】、B、I满足，先画出维恩图，如下图： 根据维恩图可判断出A、C、D都是正确的； 而，故B错误； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平. 10. 已知且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以选项B正确； 对于选项C，当时，满足，此时，所以选项C错误； 对于选项D，因为， 当且仅当，即时取等号，所以选项D错误. 故选：AB. 11. 若关于的不等式的解集为，则的值不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分析可知等式的解集为，且，根据定理可得出，，代入可求得的取值范围，然后根据不等式的基本性质可求得的取值范围，即可得解. 【详解】因为，则二次函数的图象开口向上， 且关于的不等式的解集为， 所以，不等式的解集为，且， 所以，关于的二次方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，则， 则，又因为，所以，， 所以，， 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数定义域为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若集合，，且，则实数的值是_________. 【答案】或0 【解析】 【分析】分、和分别计算即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 故答案为：或. 14. 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，代入题中不等式显然不成立 当时，令， ，都过定点 考查函数，令，则 与轴的交点为 时，均有 也过点 解得或（舍去）， 故 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合 ，.若 是 的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】先解分式不等式确定集合，再将 “必要不充分条件” 等价转化为集合的真包含关系（是 的真子集），最后根据区间端点的开闭与大小关系列不等式组，求解参数的取值范围. 【详解】解分式不等式 ，等价于, 解得，即 , 是 的必要不充分条件等价于 , 集合 ，若要包含非空集合 ，首先 必须非空， 即 , 又因为 ，区间端点需满足，解得， 结合 取交集，所以， 当时，，,满足 ，故满足； 故实数的取值范围是. 16. 已知集合，非空集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，直接按补集和并集的运算法则计算即可； （2）根据交集的运算法则确定集合A、B端点值的条件，列不等式求解即可. 【小问1详解】 ， 则或， 当时，， 则或. 【小问2详解】 ， 因为， 所以，解得， 即的取值范围为. 17. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值. 【答案】（1）16米； （2）长为，宽为米时整个绿化面积最小；最小值为平方米. 【解析】 【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可； （2）由题可表示出整个绿化面积，然后利用均值不等式，即得最小值. 【小问1详解】 设草坪的宽为x米，长为y米， 由面积均为400平方米，得， 因为矩形草坪的长比宽至少大9米， 所以，所以， 解得， 又，所以， 所以宽的最大值为16米； 【小问2详解】 记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得 （平方米） 当且仅当米时，等号成立，此时米， 所以当草坪为长为米，宽为米的矩形时，整个绿化面积的最小，最小值为平方米. 18. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】（1）当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. （2）①，②36 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 19. 设 是正整数， 是 的非空子集（至少有两个元素），如果对于 中的任意两个元素 ，，都有 ，则称 具有性质 . （1）试判断集合 和 是否具有性质 ？并说明理由. （2）若 .请问： 是否具有性质 ？请说明理由. （3）若 且 具有性质 和 ，求 中元素个数的最大值. 【答案】（1）不具有性质,具有性质. 因为都是中的元素,且,所以不具有性质. 中任意两个不同元素之差的绝对值只可能是,都不等于,所以具有性质. （2）不具有性质. 把分成组:,,,,,,,,,每组中两个数之差都是,还剩下两个数. 若具有性质,则上述每组中的两个数不能同时属于,于是中至多有个元素,这与中含有个元素矛盾. 所以中一定存在两个元素之差为,即不具有性质. （3） 【解析】 【分析】（1）要判断集合是否具有性质,只需逐一检验集合中任意两个不同元素之差的绝对值是否等于. （2）若具有性质,则差为的两个数不能同时属于,据此把到配成个差为的数对,再算上剩余的两个数,可得,与矛盾. （3）先证明任意连续个整数中至多有个属于,由此得到;再按除以的余数取类数构造出含个元素的集合,说明上界可以取到. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ,把每个连续整数分为一组,共组,剩下的共个数. 任意连续个整数中至多有个属于,理由如下. 设这个数为,把它们按的顺序排成一圈. 这一圈中相邻两数(包括首尾两数)之差的绝对值都是或,由性质和知,相邻两数不能同时属于. 若圈上有个数属于,则这个数两两不相邻,每两个相邻的入选数之间至少有一个数不属于,共至少需要个不属于的数,但圈上只有个这样的数,矛盾. 故任意连续个整数中至多有个属于,于是前组中属于的数至多有个. 余下的个数中至多有个属于.把这个数按的顺序排成一列,相邻两数之差的绝对值都是或. 若列中有个数属于,同理这个数之间至少有个空位,但列中只有个不属于的数,矛盾,故这个数中至多有个属于. 于是. 下面构造取到个元素的集合:取为所有不超过且除以的余数为的正整数组成的集合. 中任意两数之差的绝对值只能是;对中任意两个不同元素,设它们除以的余数分别为,则只能取中的数. 若或,则或,于是与或模同余. 由于,与或模同余的数只能是之一,它们都不在的取值范围内,矛盾. 所以中任意两数之差的绝对值不等于和,即具有性质和. 由于,且都不超过,故在到中,除以余的数各有个. 所以. 故中元素个数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖州二中2026学年第一学期十月考试 高一数学试卷 命题老师：金可峰 审卷老师：陆丽 总分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：， 的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列结论中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列各组函数是相等函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 设，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 若关于的不等式的解集为，则的值不可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数定义域为_____________． 13. 若集合，，且，则实数的值是_________. 14. 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合 ，.若 是 的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知集合，非空集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值. 18. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 19. 设 是正整数， 是 的非空子集（至少有两个元素），如果对于 中的任意两个元素 ，，都有 ，则称 具有性质 . （1）试判断集合 和 是否具有性质 ？并说明理由. （2）若 .请问： 是否具有性质 ？请说明理由. （3）若 且 具有性质 和 ，求 中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $