第4章 数列（11大知识点+6大易错点+易错训练）（知识清单）数学苏教版选择性必修第一册

第4章 数列 知识点一、数列及其有关概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 知识点二、数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三、数列的两种常用的表示方法 1、如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2、通项公式：数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 3、递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示． 知识点四、等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点五、等差数列公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点六、等差数列性质 1、由等差数列生成新的等差数列 （1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． （2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数． （3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数） {c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数） {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列（p，q为常数） 2、若，则． （1）若，则； （2）若，则． （3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和： 3、若，则． 知识点七、等比数列有关的概念 1、等比数列的概念 （1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）． （2）递推公式形式的定义：（且）（，）． 2、等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． 注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实数同号，即时，实数存在等比中项．对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解． ②是、、成等比数列的必要不充分条件． 知识点八、等比数列的公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 知识点九、等比数列的性质 1、数列仍是公比为的等比数列； 2、数列（为常数）为等比数列；特别地，当时，即是公比为的等比数列； 3、若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列； 4、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 5、对称性：若，则；若，则． 6、前n项和的常用性质 ①． ②，…构成公比为的等比数列（）． 7、与的性质 等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． （1）若共有项，则；（2）若共有项，． 知识点十、数列通项公式的常用方法 1、累加法 累加法适用于邻项差结构 利用，将问题转化为基本数列求和， 从而得到所求数列的通项．以下①②③为三种累加后可裂项相消求和的题型： ①若是关于的分式函数，； ②若是关于的对数函数，； ③若是关于的无理式函数，． ④若是关于的一次函数，，累加后可转化为等差数列求和； ⑤若是关于的二次函数，，累加后可分组求和； ⑥若是关于的指数函数，，累加后可转化为等比数列求和； 2、累乘法 累乘法适用于邻项商结构， 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 3、构造法 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 知识点十一、数列求和常用方法 1、公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． 2、几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 易错点1 概念混淆 错误：看到递推公式就想套用等差或者等比的公式． 注意：结合概念观察数列或者式子的结构，先判别后构造． 【对点训练】 1．数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 易错点2 忽略定义域的限制 错误：已知条件或后续求解中，n的范围忽略． 注意：n∈N或n≥2明确范围，要注意分开讨论． 【对点训练】 2．已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________． 易错点3 等差数列求和公式的应用 错误：随意选取求和公式混用，记忆混乱． 注意：结合所知条件选择最优公式，看基本量的需求． 【对点训练】 3．记等差数列的前项和为．若，，则__________，__________． 易错点4 公比q是否等于1的讨论 错误：含参数时忽略对公比是否等于1的讨论； 纠正：运用公式求通项或求和时，注意讨论q是否为1，进行分类总结． 【对点训练】 4．已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 易错点5 裂项相消法求和不彻底 错误：裂项相消不彻底． 注意： 正确裂项，注意间距． 【对点训练】 5．已知数列{an}的前n项和为，． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 易错点6 错位相减对不齐 错误：错位相减法上下不错项． 注意：严格对齐x幂指数次项，错位后相减运算． 【对点训练】 6．设数列的前n项和为，已知．若． （1）计算，，的值，并猜想数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为，求． 1．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的通项公式为，则下列选项正确的是（    ） A．是等差数列且公差为 B．前10项和为 C．前项的和中最大时 D．是等比数列 2．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列为等差数列，若，且它的前n项和有最大值，则使成立的n的最大值为（   ） A．40 B．39 C．21 D．20 3．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）若等比数列满足，则（   ） A．40 B．60 C．80 D．100 5．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．256 B．255 C．129 D．127 6．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知为等差数列的前项和，公差为．若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 8．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，，，则=（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前n项和，则（   ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 10．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）记数列的前n项和为，若，，则下列选项正确的有（   ） A．数列为等差数列 B． C．的最大值是2 D． 11．（多选题）（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（    ） A．数列 为等差数列 B．数列 为等差数列 C． D． 12．（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 13．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是______． 14．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则____． 15．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前n项和为且． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求； （3）对于第（2）题中，若对任意的恒成立，求的取值范围． 16．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，满足，且对任意，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）现要在与之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列．数列中是否存在三个互不相同的项，，，使得m，k，p成等差数列的同时，，，也成等比数列？若存在，写出所有解，若不存在，请说明理由． 17．（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）在等比数列 中，，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为 的等差数列，记数列的前项和为，求． 18．（2026·高二·甘肃白银·阶段检测）数列的前n项和（）． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和． （3）令，求数列的前n项和及的最小值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 数列 知识点一、数列及其有关概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 知识点二、数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三、数列的两种常用的表示方法 1、如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2、通项公式：数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 3、递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示． 知识点四、等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点五、等差数列公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点六、等差数列性质 1、由等差数列生成新的等差数列 （1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． （2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数． （3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数） {c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数） {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列（p，q为常数） 2、若，则． （1）若，则； （2）若，则． （3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和： 3、若，则． 知识点七、等比数列有关的概念 1、等比数列的概念 （1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）． （2）递推公式形式的定义：（且）（，）． 2、等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． 注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实数同号，即时，实数存在等比中项．对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解． ②是、、成等比数列的必要不充分条件． 知识点八、等比数列的公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 知识点九、等比数列的性质 1、数列仍是公比为的等比数列； 2、数列（为常数）为等比数列；特别地，当时，即是公比为的等比数列； 3、若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列； 4、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 5、对称性：若，则；若，则． 6、前n项和的常用性质 ①． ②，…构成公比为的等比数列（）． 7、与的性质 等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． （1）若共有项，则；（2）若共有项，． 知识点十、数列通项公式的常用方法 1、累加法 累加法适用于邻项差结构 利用，将问题转化为基本数列求和， 从而得到所求数列的通项．以下①②③为三种累加后可裂项相消求和的题型： ①若是关于的分式函数，； ②若是关于的对数函数，； ③若是关于的无理式函数，． ④若是关于的一次函数，，累加后可转化为等差数列求和； ⑤若是关于的二次函数，，累加后可分组求和； ⑥若是关于的指数函数，，累加后可转化为等比数列求和； 2、累乘法 累乘法适用于邻项商结构， 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 3、构造法 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 知识点十一、数列求和常用方法 1、公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． 2、几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 易错点1 概念混淆 易错提醒 错误：看到递推公式就想套用等差或者等比的公式． 注意：结合概念观察数列或者式子的结构，先判别后构造． 【对点训练】 1．数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：，，，，，…， 易知数列是周期为4的数列， ． 易错点2 忽略定义域的限制 易错提醒 错误：已知条件或后续求解中，n的范围忽略． 注意：n∈N或n≥2明确范围，要注意分开讨论． 【对点训练】 2．已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】时，； 时，， 时，不满足上式，所以． 易错点3 等差数列求和公式的应用 易错提醒 错误：随意选取求和公式混用，记忆混乱． 注意：结合所知条件选择最优公式，看基本量的需求． 【对点训练】 3．记等差数列的前项和为．若，，则__________，__________． 【答案】 10 【解析】因为是等差数列，，， 所以，解得， ， ． 易错点4 公比q是否等于1的讨论 易错提醒 错误：含参数时忽略对公比是否等于1的讨论； 纠正：运用公式求通项或求和时，注意讨论q是否为1，进行分类总结． 【对点训练】 4．已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，， 根据等比数列前项和的性质： 当时，仍为等比数列，取，则成等比数列， 已知，，设，由等比中项性质可得： ， 展开整理得，解得或，又因为，其中， 故，结合，可得，因此舍去，即． 易错点5 裂项相消法求和不彻底 易错提醒 错误：裂项相消不彻底． 注意： 正确裂项，注意间距． 【对点训练】 5．已知数列{an}的前n项和为，． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 【解析】（1）， 当时，，解得： 当时，， ， 所以，即：，，， 所以是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）可知，则， 所以， 则． 易错点6 错位相减对不齐 易错提醒 错误：错位相减法上下不错项． 注意：严格对齐x幂指数次项，错位后相减运算． 【对点训练】 6．设数列的前n项和为，已知．若． （1）计算，，的值，并猜想数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为，求． 【解析】（1）， ， 即，，，猜想 （2）证明：当时，，则． 当时，，即， 即，而， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． 因为，所以． （3），用错位相减法求和法得： ，① ，② ①-②得： = 1．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的通项公式为，则下列选项正确的是（    ） A．是等差数列且公差为 B．前10项和为 C．前项的和中最大时 D．是等比数列 【答案】B 【解析】对于A，由，可知是公差为的等差数列，A错误． 对于B，由等差数列的前项和公式，得 故，B正确． 对于C，由，且为正整数，得，当且仅当或时等号成立，故C错误． 对于D，，，，显然，故不是等比数列，D错误． 2．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列为等差数列，若，且它的前n项和有最大值，则使成立的n的最大值为（   ） A．40 B．39 C．21 D．20 【答案】B 【解析】由，得， 因为等差数列的前n项和有最大值，所以数列的公差，为递减数列， 则，， 所以，， 所以使成立的n的最大值为39． 3．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，设， 则，， 故． 4．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）若等比数列满足，则（   ） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 由可得， 则． 5．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．256 B．255 C．129 D．127 【答案】B 【解析】令，得 ， 用替换可得，，再与相减可得，，那么 ． 6．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列的项数为， 所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为， ： ：， ，， 由题意可得， ． 7．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知为等差数列的前项和，公差为．若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 【答案】D 【解析】对于A，因为数列为等差数列，且，则，即，可得，则，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B错误； 对于C，，，要使，则，所以最小为19，故C错误； 对于D，由选项B知，已知，则，所以当时有最大值，故D正确． 8．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以． 故选：D． 9．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前n项和，则（   ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】BC 【解析】，则， 时，， 成立， 故，则是首项为，公差为2的等差数列，故A错误，B正确； ，，故数列是公差为1的等差数列，故C正确； ，故，故D错误． 10．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）记数列的前n项和为，若，，则下列选项正确的有（   ） A．数列为等差数列 B． C．的最大值是2 D． 【答案】AD 【解析】设，则， 又， 故是首项为，公差为的等差数列，故A正确； ，故， ，故不恒成立，故B错误； ，时，，故的最大值为5，故C错误； ，且时，， 故，故D正确． 11．（多选题）（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（    ） A．数列 为等差数列 B．数列 为等差数列 C． D． 【答案】BC 【解析】对于A选项，因为，所以， 则是首项为 ，公比为3的等比数列，A错； 对于B选项，因为，所以，且 ， 所以数列为首项为2，公差为0的等差数列，B对； 对于C选项，由A选项可得 ， 由B选项可得 ，联立①②可得，C对； 对于D选项，，D错． 12．（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 【答案】/ 【解析】等比数列的前项和，所以常数项与的系数互为相反数，又因为，所以． 验证：时，，，，确为等比数列，所以． 13．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】，因为时单调递增， 若是递增数列，所以， ， 故，解得． 14．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则____． 【答案】4107 【解析】因为是首项，公差的等差数列，所以， 因为是首项，公比的等比数列，所以， 所以， 所以 15．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前n项和为且． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求； （3）对于第（2）题中，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得，当时也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以数列的通项公式为 （2）， 则， ， 两式相减可得： ， 整理可得 （3）由（2）可知若对任意的恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，即，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增， 即当时，， 当时，，所以， 故的取值范围为． 16．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，满足，且对任意，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）现要在与之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列．数列中是否存在三个互不相同的项，，，使得m，k，p成等差数列的同时，，，也成等比数列？若存在，写出所有解，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，首项为． 由，得，化简得：． 由，令，，即， 联立，解得，． 所以通项公式：． （2）由， 则① ② ①-②，错位相减： 所以． （3）在与之间插入n个数，一共个数构成一个公差为的等差数列， 则，即．因为， 所以． 由题意：m，k，p成等差数列，所以． 因为，，成等比数列，所以． 代入表达式，，，由，得， 约分得：． 令函数，由，且三者互异， 可设，， 则， 作差． 因为，，，所以，， 故， 即，与矛盾． 所以不存在三个互不相同的项，，，使得m，k，p成等差数列的同时，，，也成等比数列． 17．（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）在等比数列 中，，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为 的等差数列，记数列的前项和为，求． 【解析】（1）设等比数列公比为． 因为，所以， 因为，所以， 因为，，所以， 将代入得到， 解得或． ① ，，则通项为， ② ，，则通项为， 综上： 或 ． （2）因为，所以， 则， ， ． （3）因为，在与之间插入个数，所以共有个数构成等差数列， 公差， 等差数列中，， 则， 解得，   ① ①式子的两边乘以，得到② ①②得到， ， 则． 18．（2026·高二·甘肃白银·阶段检测）数列的前n项和（）． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和． （3）令，求数列的前n项和及的最小值． 【解析】（1）当时，， 当时，， 验证当时，，成立， 所以的通项公式为； （2）令，解得，令，解得． ①当时，，则． 此时． ②当时， 因此，的前n项和，； （3），则 两式相减得： 所以（） ， 当时，，时，， ，2，3时单调递减；，5，6…时单调递增，且， 所以． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $