第4章 数列（单元分层自测·基础通关卷）数学苏教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学单元自测 第4章 数列·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A A A A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）证明：因为， 所以， 即， 当时，， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列.（6分） （2）由(1)得：， 所以， 所以.（13分） 16．【解析】（1）已知数列 的前 项和为 ， 所以， ， .（4分） （2）已知数列 的前 项和为 ， 所以的对称轴为，又因为，所以当或 时，取最小值， 由于，， 所以的最小值为，（9分） （3）当时， ， 当时，， 所以.（15分） 17．【解析】（1）设等比数列的公比为，则，由，，得， ，消去得，即，所以． 由，得，从而，故，．（6分） （2）由（1）得． 当时，前项均满足，故； 当时，前10项的和为，第11项至第项依次为，故． 综上，，．（15分） 18．【解析】（1）由，去分母化简得，又， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列； ，解得， 所以数列的通项公式为.（4分） （2）由（1），所以， .（9分） （3）因为， 令，，数列的前项和为，数列的前项和为， 所以， ， ， 两式相减得，即， 所以； 又； 所以.（17分） 19．【解析】（1）由，可知是公比为的等比数列，故， 当时，，，故， 由得，又，所以， 故；（4分） （2）记的公差为，由可知， 由得，即， 整理得，即，解得或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 故的通项公式为.所以， 当时，，， 两式相减，得到， 又注意到时，，满足， 故.（9分） （3）由（1）可知， ， 由， 当 时，，，则 ； 当 时，，，则； 所以， 因为 ，所以 ，故 ， 因此 恒成立，又因为随着 增大， 增大， 减小， 而当时，. 若不等式 对任意的 恒成立，则需 ，即 ， 因为 为整数，所以 的最小值为 .（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第4章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 2．正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 3．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 5．各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 6．在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 7．某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 8．已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 11．已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1和4的等差中项是__________． 13．已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 14．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 16．（15分） 已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 17．（15分） 已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 18．（17分） 已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，求数列的前n项和． 19．（17分） 记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. (3)设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第4章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【答案】C 【解析】在A中，表示集合不是数列，所以A不正确； 在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确； 在C中，第k项为，所以C正确； 在D中，数列应记为，所以D不正确． 故选：C. 2．正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】因为，公差为，所以，， 由题意可得：， 即 ， 化简整理得， 解得或， 因为数列是正项等差数列，及公差，故. 3．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】根据等差数列的前项和公式，，所以，解得. 4．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为成等差数列，所以， 因为是正项等比数列，设公比为，且， 所以，因为， 所以，解得：或（舍去）， 因此. 5．各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 【答案】A 【解析】题意知是首项为，公差为3的等差数列， 因为，所以，即， 当时，， 又因为各项均为正数，则. 6．在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 7．某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 【答案】C 【解析】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为， 则，，， ，， 即该企业这个月的总产量为万片. 8．已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 【答案】D 【解析】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于1，一项小于1， 又，故同号且，结合，可得， 所以数列单调递减，因此. 对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，由等比数列性质可得，又，所以，故B错误； 对于C，因为，数列单调递减，， 所以当时，，当时，， 所以，， 因此数列的最大项是，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以使得的的最小值为，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设等差数列的公差为. 对于A，， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对于B，， 因为不一定为常数，所以不一定是等差数列，B错误； 对于C，因为，所以为常数列，故为等差数列，C正确； 对于D，因为，所以为等差数列，D正确. 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】AD 【解析】对于A，设等差数列的公差为，因为，且， 所以，解得：，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，令，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 11．已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AC 【解析】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1和4的等差中项是__________． 【答案】 【解析】设1和4的等差中项为，则，解得， 故1和4的等差中项为． 13．已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 【答案】/ 【解析】等比数列的前项和，所以常数项与的系数互为相反数，又因为，所以． 验证：时，，，，确为等比数列，所以. 14．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【解析】数列中，，当时，； 当时，，两式相减得 ， 整理得，而不满足上式。 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 【解析】（1）证明：因为， 所以， 即， 当时，， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列.（6分） （2）由(1)得：， 所以， 所以.（13分） 16．（15分） 已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 【解析】（1）已知数列 的前 项和为 ， 所以， ， .（4分） （2）已知数列 的前 项和为 ， 所以的对称轴为，又因为，所以当或 时，取最小值， 由于，， 所以的最小值为，（9分） （3）当时， ， 当时，， 所以.（15分） 17．（15分） 已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的公比为，则，由，，得， ，消去得，即，所以． 由，得，从而，故，．（6分） （2）由（1）得． 当时，前项均满足，故； 当时，前10项的和为，第11项至第项依次为，故． 综上，，．（15分） 18．（17分） 已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，求数列的前n项和． 【解析】（1）由，去分母化简得，又， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列； ，解得， 所以数列的通项公式为.（4分） （2）由（1），所以， .（9分） （3）因为， 令，，数列的前项和为，数列的前项和为， 所以， ， ， 两式相减得，即， 所以； 又； 所以.（17分） 19．（17分） 记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. (3)设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 【解析】（1）由，可知是公比为的等比数列，故， 当时，，，故， 由得，又，所以， 故；（4分） （2）记的公差为，由可知， 由得，即， 整理得，即，解得或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 故的通项公式为.所以， 当时，，， 两式相减，得到， 又注意到时，，满足， 故.（9分） （3）由（1）可知， ， 由， 当 时，，，则 ； 当 时，，，则； 所以， 因为 ，所以 ，故 ， 因此 恒成立，又因为随着 增大， 增大， 减小， 而当时，. 若不等式 对任意的 恒成立，则需 ，即 ， 因为 为整数，所以 的最小值为 .（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第4章 数列·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 2．正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 3．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 5．各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 6．在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 7．某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 8．已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 11．已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1和4的等差中项是__________． 13．已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 14．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 16．（15分） 已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 17．（15分） 已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 18．（17分） 已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，求数列的前n项和． 19．（17分） 记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. (3)设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $