专题04 数列（4知识&11题型&1易错）（期末复习知识清单）高二数学上学期苏教版

该高中数学数列专题知识清单全面梳理了等差数列、等比数列的核心内容，涵盖概念、通项公式、前n项和及求通项、求和的常用方法，构建了从基础概念到方法技巧再到题型应用的递进式学习支架。 清单通过“清单+题型”分类呈现知识体系，如清单03细化累加法、构造法等8种求通项方法，清单04归纳裂项相消等5种求和技巧，培养学生数学思维与数学语言。特别设计例题与变式题配套，如“等差数列基本量计算”例题后附变式训练，助力学生高效掌握，教师可直接用于教学备课，提升教学针对性。

专题04 数列 【清单01】等差数列 1．等差数列的有关概念 一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示，定义表达式为 （常数）． 2．等差数列的通项公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是 ． （2）通项公式的推广： ． 3．等差中项 （1）若三个数，，成等差数列，则叫做与的 ，且有 ． （2）在等差数列中，当时， ． 特别地，若，则 ． 4．等差数列的前n项和 （1）设等差数列的公差为，其前项和 ． （2）．数列是等差数列⇔（为常数）． （3），…也成等差数列，公差为． （4）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 【清单02】等比数列 1．等比数列的有关概念 如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列就叫做 ．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示，定义的表达式为 ． 2．等比数列的通项公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式 ． （2）等比数列的通项公式推广形式： 3．等比中项 （1）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的 ． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒ ． （2）等比中项的推广：若时，则 ，特别地，当时， ． 4．等比数列的前n项和 （1）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 （2）为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【清单03】求通项公式的常用方法 1、观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 4、累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 5、构造数列法： （1）形如（其中均为常数且）型的递推式： 方法技巧：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （2）形如型的递推式： ①当为一次函数类型（即等差数列）时： 方法技巧：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ②当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ③当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 6、对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 7、倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 8、形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 【清单04】求前n项和的常用方法 1．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． 2、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【题型一】等差数列基本量的计算 【例1】．（25-26高二上·北京西城·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1-1】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1-2】．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为 ． 【题型二】等差数列的判断与证明 【例2】．（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【变式2-1】．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【变式2-2】．（2025高二上·山西临汾·专题练习）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【题型三】等差数列的性质及应用 【例3】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式3-1】．（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 【变式3-2】．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型四】等比数列基本量的计算 【例4】．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 . 【变式4-1】．（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【题型五】等比数列的判断与证明 【例5】．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【变式5-1】．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式5-2】．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【题型六】等比数列的性质及应用 【例6】．（25-26高二上·江苏常州·月考）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； 【变式6-1】．（2025高二上·重庆·专题练习）数列的前项和为，．正项等比数列的首项为1，为其前项和，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【变式6-2】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 【题型七】累乘法与累加法求数列的通项公式 【例7】．（25-26高二上·福建龙岩·期中）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【变式7-1】．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知在数列中，，， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【变式7-2】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记为数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)证明: 【变式7-3】．（24-25高二下·山东德州·月考）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【题型八】已知前n项和，求通项公式 【例8】．（25-26高三上·湖南·期中）已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 【变式8-1】．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，，求数列的前项和． 【题型九】构造法求数列的通项公式 【例9】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【变式9-1】．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知数列满足，． (1)求数列的前n项和； (2)设的前项和为，证明：． 【题型十】裂项相消法求数列的前n项和 【例10】．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式10-1】．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2025项和. 【题型十一】错位相减法求数列的前n项和 【例11】．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【变式11-1】．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型一】容易忽略数列首项的错误计算而求错通项公式 【例1】．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【变式1-1】．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列的前项和为 (1)求的最小值，并求此时的值： (2)求出的通项公式 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 【答案】 一、1. 2. 3. 4. 二、1. 2. 3. 4. 【清单01】等差数列 1．等差数列的有关概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2．等差数列的通项公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）通项公式的推广：． 3．等差中项 （1）若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． 4．等差数列的前n项和 （1）设等差数列的公差为，其前项和． （2）．数列是等差数列⇔（为常数）． （3），…也成等差数列，公差为． （4）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 【清单02】等比数列 1．等比数列的有关概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． 2．等比数列的通项公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． （2）等比数列的通项公式推广形式： 3．等比中项 （1）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． （2）等比中项的推广：若时，则，特别地，当时，． 4．等比数列的前n项和 （1）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 （2）为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【清单03】求通项公式的常用方法 1、观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 4、累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 5、构造数列法： （1）形如（其中均为常数且）型的递推式： 方法技巧：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （2）形如型的递推式： ①当为一次函数类型（即等差数列）时： 方法技巧：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ②当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ③当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 6、对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 7、倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 8、形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 【清单04】求前n项和的常用方法 1．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． 2、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【题型一】等差数列基本量的计算 【例1】．（25-26高二上·北京西城·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 【变式1-1】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列前项和公式和通项公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 在等差数列中，，， 所以有， 故选：A 【变式1-2】．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为 ． 【答案】30 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列的前项和公式求出的表达式，再结合二次函数相关性质，及为正整数的条件求出的最大值. 【详解】 . 又为正整数，所以当取与最接近的整数即5或6时， 最大，最大值为30. 故答案为：30. 【题型二】等差数列的判断与证明 【例2】．（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 【变式2-1】．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【详解】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 【变式2-2】．（2025高二上·山西临汾·专题练习）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列的定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由，得，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知：，则， ， 于是， 两式相减得 ， 所以. 【题型三】等差数列的性质及应用 【例3】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的前项和计算，再利用等差数列的通项公式计算； （2）利用裂项相消计算. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 又，则， 则数列的通项公式为； （2）， 则 【变式3-1】．（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，求和公式，列方程组求解； （2）利用分组求和，将奇数项、偶数项的和分别由常数列、等差数列求和即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）得， . 【变式3-2】．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 因为，可得，即， 解得，所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知：，可得， 则 . 【题型四】等比数列基本量的计算 【例4】．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 . 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、对数的运算性质的应用 【分析】根据等比数列的通项公式进行计算即可. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，， 所以即，. 所以. 故答案为：9 【变式4-1】．（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【详解】设公比为， 所以， 当且仅当，即3时取等号，此时. 故选：B. 【变式4-2】．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据已知及等比数列的通项公式列方程求基本量，进而求项. 【详解】设数列的公比为，则， 由题意得：，，且， 所以，，则， 整理得，解得，舍去）， 所以，则. 故选：B 【题型五】等比数列的判断与证明 【例5】．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、累加法求数列通项、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用结合等比数列的定义即可得证； （2）利用累加法即可求得的通项公式. （3）利用裂项相消法即可求解，根据其单调性即可证明. 【详解】（1）由，得， 又，，所以， 所以，， 即是以1为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知， 当时， . 当时，也成立，所以的通项公式为； （3）由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以，所以. 【变式5-1】．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求； （2）利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 所以， 又， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）有：， 所以 ； 【变式5-2】．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证； （2）利用等比数列的前项和公式，分组求和即可求解； （3）由（2）得，即，得，令，比较与1的大小来判断数列的单调性，进而求出最大项. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得， 所以 ， 化简得； （3）由（2）得， 所以， 令， 易得，又单调递减，当时，即， 又当时，， 所以数列的最大项为. 【题型六】等比数列的性质及应用 【例6】．（25-26高二上·江苏常州·月考）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据题意可列方程组，解方程组即可求解通项公式； （2）将分为奇数项之和与偶数项之和，利用求和公式分别进行求和再相加即可求得. 【详解】（1）设的公差为，的公比为（）， 因为，所以，又，所以， ，解得； 所以，； （2）当为奇数时，， 数列的前项中所有奇数项之和 ； 当为偶数时，， 数列的前项中所有偶数项之和 ，① ，② ①-②得 . ； . 【变式6-1】．（2025高二上·重庆·专题练习）数列的前项和为，．正项等比数列的首项为1，为其前项和，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解； （2）转化问题为对对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解. 【详解】（1）由，当时，， 又，满足上式，所以. 因为正项等比数列的首项为1，，设其公比为， 当时，，，不满足； 当时，且，，化简整理得， 解得，则， 所以，. （2）由，则，即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 所以当时，取得最小值， 又，所以， 所以实数的最大值为. 【变式6-2】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可. （2）先将绝对值数列分类讨论拆分，再求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． （2）由上问得，则， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 则前项和为， 第6到第16项和为， 则. 【题型七】累乘法与累加法求数列的通项公式 【例7】．（25-26高二上·福建龙岩·期中）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】（1）利用累加法求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 又，也适合，所以. （2）因为， 所以 . 【变式7-1】．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知在数列中，，， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、分组（并项）法求和、累加法求数列通项 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）通过累加法即可求解. 【详解】（1）令，可得，又， 所以， 令，可得，又， 所以； （2） ，， 当时，符合， 所以 【变式7-2】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记为数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)证明: 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）应用，计算得出，最后应用累乘计算求解通项即可； （2）应用裂项相消法计算证明不等式. 【详解】（1）依题意 ① 当时， ② 由①-②， 得 ∴当且时， 又 也符合上式，即 （2） 【变式7-3】．（24-25高二下·山东德州·月考）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）由累乘法结合题意可得答案. （2）由错位相减法可得答案. 【详解】（1）， 则，，， ，则当时， ，满足上式， 所以数列通项公式为 （2）由（1）， ， 两式相减则： 所以. 【题型八】已知前n项和，求通项公式 【例8】．（25-26高三上·湖南·期中）已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 【答案】(1)； (2)，20. 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列求出通项公式. （2）利用分组求和法及等比数列前项和公式求和，再探讨数列的单调性求出最大项. 【详解】（1）在数列中，，则，两式相减得， 而，，则，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）得， 所以， ，当时，；当时，， 即，所以当时，取得最大值. 【变式8-1】．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、累加法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）整理可得，利用累积法结合等比数列求和公式可得，再根据分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为， 当时，则，解得； 当时，则， 两式相减得：，整理可得， 且，则，可得，即，因， 可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由题意可知，即， 当，可得，，，， 累加可得， 可得， 且符合上式，则，， 所以. 【题型九】构造法求数列的通项公式 【例9】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在正整数，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、数列不等式能成立（有解）问题、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】（1）构造出，为等比数列，求出通项公式； （2），错位相减法求和得到； （3）根据等差中项得到方程，求出，设，作差法得到当时，数列为递减数列，结合，得到对所有正整数，均有，所以不存在正整数，使得、、成等差数列. 【详解】（1），故， ，故，所以为首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以； （2）， 所以①，故②， 式子①-②得， 故； （3）不存在正整数，使得、、成等差数列，理由如下： 、、成等差数列，故， 即，即， 设，则， 当时，恒成立， 所以当时，数列为递减数列， 又， 故对所有正整数，均有， 所以不存在正整数，使得、、成等差数列. 【变式9-1】．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知数列满足，． (1)求数列的前n项和； (2)设的前项和为，证明：． 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出的通项公式,再由分组求和求出； （2）由（1）可得，利用等比数列求和公式计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； ； （2）由（1）可得， 当时，即， 所以， 所以 . 【题型十】裂项相消法求数列的前n项和 【例10】．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由的表达式，结合即可求得，递推后即可求得数列的通项公式； （2）利用裂项法求和求得. 【详解】（1）当时，， 由已知， 两式作差得， 则 ，所以， 所以数列的通项公式； （2）， 所以. 【变式10-1】．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2025项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等差中项的应用、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求解； （2）利用裂项相消法结合对数运算公式求数列的前项和即可. 【详解】（1）数列是各项均为正数的等比数列，设公比为，则， 因为是和的等差中项，则，即， 因为，所以，又，解得， 所以. （2）由（1）知， 则， 所以， 所以. 【题型十一】错位相减法求数列的前n项和 【例11】．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 【变式11-1】．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）设等比数列的公比为，由计算，再求出，即可得解； （2）首先求出，即可得到，再由错位相减法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 故，解得，所以. （2）由（1）知，， 所以， 所以①， ②， ①②得 ， 所以. 【题型一】容易忽略数列首项的错误计算而求错通项公式 【例1】．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 【变式1-1】．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列的前项和为 (1)求的最小值，并求此时的值： (2)求出的通项公式 【答案】(1)最小值为，此时或8； (2). 【难度】0.85 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用前n项和的函数性质求最值，并确定对应值； （2）应用的关系求通项公式. 【详解】（1）由，， 故或时，最小为； （2）当时，， 当时，， 显然不满足上式，故. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $